CFD 基 礎(chǔ)(流體力學(xué))

1、第1章 CFD 基 礎(chǔ)計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(computational fluid dynamics，CFD)是流體力學(xué)的一個(gè)分支，它通過計(jì)算機(jī)模擬獲得某種流體在特定條件下的有關(guān)信息，實(shí)現(xiàn)了用計(jì)算機(jī)代替試驗(yàn)裝置完成“計(jì)算試驗(yàn)”，為工程技術(shù)人員提供了實(shí)際工況模擬仿真的操作平臺(tái)，已廣泛應(yīng)用于航空航天、熱能動(dòng)力、土木水利、汽車工程、鐵道、船舶工業(yè)、化學(xué)工程、流體機(jī)械、環(huán)境工程等 領(lǐng)域。本章介紹CFD一些重要的基礎(chǔ)知識(shí)，幫助讀者熟悉CFD的基本理論和基本概念，為計(jì)算時(shí)設(shè)置邊界條件、對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析與整理提供參考。1.1 流體力學(xué)的基本概念1.1.1 流體的連續(xù)介質(zhì)模型流體質(zhì)點(diǎn)(fluid particle

2、)：幾何尺寸同流動(dòng)空間相比是極小量，又含有大量分子的微 元體。連續(xù)介質(zhì)(continuum/continuous medium)：質(zhì)點(diǎn)連續(xù)地充滿所占空間的流體或固體。連續(xù)介質(zhì)模型(continuum/continuous medium model)：把流體視為沒有間隙地充滿它所占據(jù)的整個(gè)空間的一種連續(xù)介質(zhì)，且其所有的物理量都是空間坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)的一種假設(shè)模型：u =u(t,x,y,z)。1.1.2 流體的性質(zhì)1. 慣性慣性(fluid inertia)指流體不受外力作用時(shí)，保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的屬性。慣性與質(zhì)量有關(guān)，質(zhì)量越大，慣性就越大。單位體積流體的質(zhì)量稱為密度(density)，以r表

3、示，單位為kg/m3。對(duì)于均質(zhì)流體，設(shè)其體積為V，質(zhì)量為m，則其密度為 (1-1)對(duì)于非均質(zhì)流體，密度隨點(diǎn)而異。若取包含某點(diǎn)在內(nèi)的體積，其中質(zhì)量，則該點(diǎn)密度需要用極限方式表示，即 (1-2)2. 壓縮性作用在流體上的壓力變化可引起流體的體積變化或密度變化，這一現(xiàn)象稱為流體的可壓縮性。壓縮性(compressibility)可用體積壓縮率k來(lái)量度 (1-3)式中：p為外部壓強(qiáng)。在研究流體流動(dòng)過程中，若考慮到流體的壓縮性，則稱為可壓縮流動(dòng)，相應(yīng)地稱流體為可壓縮流體，例如高速流動(dòng)的氣體。若不考慮流體的壓縮性，則稱為不可壓縮流動(dòng)，相應(yīng)地稱流體為不可壓縮流體，如水、油等。3. 粘性粘性(viscosit

4、y)指在運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)下，流體所產(chǎn)生的抵抗剪切變形的性質(zhì)。粘性大小由粘度來(lái)量度。流體的粘度是由流動(dòng)流體的內(nèi)聚力和分子的動(dòng)量交換所引起的。粘度有動(dòng)力粘度和運(yùn)動(dòng)粘度之分。動(dòng)力粘度由牛頓內(nèi)摩擦定律導(dǎo)出： (1-4)式中：為切應(yīng)力，Pa；為動(dòng)力粘度，Pa s；為流體的剪切變形速率。運(yùn)動(dòng)粘度與動(dòng)力粘度的關(guān)系為 (1-5)式中：為運(yùn)動(dòng)粘度，m2/s。在研究流體流動(dòng)過程中，考慮流體的粘性時(shí)，稱為粘性流動(dòng)，相應(yīng)的流體稱為粘性流體；當(dāng)不考慮流體的粘性時(shí)，稱為理想流體的流動(dòng)，相應(yīng)的流體稱為理想流體。根據(jù)流體是否滿足牛頓內(nèi)摩擦定律，將流體分為牛頓流體和非牛頓流體。牛頓流體嚴(yán)格滿足牛頓內(nèi)摩擦定律且保持為常數(shù)。非

5、牛頓流體的切應(yīng)力與速度梯度不成正比，一般又分為塑性流體、假塑性流體、脹塑性流體3種。塑性流體，如牙膏等，它們有一個(gè)保持不產(chǎn)生剪切變形的初始應(yīng)力，只有克服了這個(gè)初始應(yīng)力后，其切應(yīng)力才與速度梯度成正比，即 (1-6)假塑性流體，如泥漿等，其切應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系是 (1-7)脹塑性流體，如乳化液等，其切應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系是 (1-8)1.1.3 流體力學(xué)中的力與壓強(qiáng)1. 質(zhì)量力與流體微團(tuán)質(zhì)量大小有關(guān)并且集中在微團(tuán)質(zhì)量中心的力稱為質(zhì)量力(body force)。在重力場(chǎng)中有重力mg；直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，有慣性力ma。質(zhì)量力是一個(gè)矢量，一般用單位質(zhì)量所具有的質(zhì)量力來(lái)表示，其形式如下： (1-9)式中：，為單

6、位質(zhì)量力在各軸上的投影。2. 表面力大小與表面面積有關(guān)而且分布作用在流體表面上的力稱為表面力(surface force)。表面力按其作用方向可以分為兩種：一是沿表面內(nèi)法線方向的壓力，稱為正壓力；另一種是沿表面切向的摩擦力，稱為切向力。對(duì)于理想流體的流動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)只受到正壓力，沒有切向力；對(duì)于粘性流體的流動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)所受到的作用力既有正壓力，也有切向力。作用在靜止流體上的表面力只有沿表面內(nèi)法線方向的正壓力。單位面積上所受到的表面力稱為這一點(diǎn)處的靜壓強(qiáng)。靜壓強(qiáng)具有兩個(gè)特征：靜壓強(qiáng)的方向垂直指向作用面； 流場(chǎng)內(nèi)一點(diǎn)處?kù)o壓強(qiáng)的大小與方向無(wú)關(guān)。3. 表面張力在液體表面，界面上液體間的相互作用力稱為張力

7、。在液體表面有自動(dòng)收縮的趨勢(shì)，收縮的液面存在相互作用的與該處液面相切的拉力，稱為液體的表面張力(surface tension)。正是這種力的存在，引起彎曲液面內(nèi)外出現(xiàn)壓強(qiáng)差以及常見的毛細(xì)現(xiàn)象等。試驗(yàn)表明，表面張力大小與液面的截線長(zhǎng)度L成正比，即 (1-10)式中：為表面張力系數(shù)，它表示液面上單位長(zhǎng)度截線上的表面張力，其大小由物質(zhì)種類決定，其單位為N/m。4. 絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)及真空度標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的壓強(qiáng)是101325Pa(760mm汞柱)，通常用patm表示。若壓強(qiáng)大于大氣壓，則以該壓強(qiáng)為計(jì)算基準(zhǔn)得到的壓強(qiáng)稱為相對(duì)壓強(qiáng)(relative pressure)，也稱為表壓強(qiáng)，通常用pr表示。若壓強(qiáng)

8、小于大氣壓，則壓強(qiáng)低于大氣壓的值就稱為真空度(vacuum)，通常用pv表示。如以壓強(qiáng)0Pa為計(jì)算的基準(zhǔn)，則這個(gè)壓強(qiáng)就稱為絕對(duì)壓強(qiáng)(absolute pressure)，通常用ps表示。這三者的關(guān)系如下： (1-11) (1-12)在流體力學(xué)中，壓強(qiáng)都用符號(hào)p表示，但一般來(lái)說有一個(gè)約定：對(duì)于液體，壓強(qiáng)用相對(duì)壓強(qiáng)；對(duì)于氣體，特別是馬赫數(shù)大于0.1的流動(dòng)，應(yīng)視為可壓縮流，壓強(qiáng)用絕對(duì)壓強(qiáng)。壓強(qiáng)的單位較多，一般用Pa，也可用bar，還可以用汞柱、水柱，這些單位換算如下：1Pa=1N/m21bar=105Pa1patm=760mmHg=10.33mH2O=101325Pa5. 靜壓、動(dòng)壓和總壓對(duì)于靜止?fàn)?/p>

9、態(tài)下的流體，只有靜壓強(qiáng)。對(duì)于流動(dòng)狀態(tài)的流體，有靜壓強(qiáng)(static pressure)、動(dòng)壓強(qiáng)(dynamic pressure)、測(cè)壓管壓強(qiáng)(manometric tube pressure)和總壓強(qiáng)(total pressure)之分。下面從伯努利(Bernoulli)方程(也有人稱其為伯努里方程)中分析它們的意義。伯努利方程闡述一條流線上流體質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒，對(duì)于理想流體的不可壓縮流動(dòng)其表達(dá)式如下： (1-13)式中：稱為壓強(qiáng)水頭，也是壓能項(xiàng)，為靜壓強(qiáng)；稱為速度水頭，也是動(dòng)能項(xiàng)；稱為位置水頭，也是重力勢(shì)能項(xiàng)，這三項(xiàng)之和就是流體質(zhì)點(diǎn)的總的機(jī)械能；H稱為總的水頭高。將式(1-13)兩邊同時(shí)乘

10、以，則有 (1-14)式中：稱為靜壓強(qiáng)，簡(jiǎn)稱靜壓；稱為動(dòng)壓強(qiáng)，簡(jiǎn)稱動(dòng)壓；稱為總壓強(qiáng)，簡(jiǎn)稱總壓。對(duì)于不考慮重力的流動(dòng)，總壓就是靜壓和動(dòng)壓之和。1.1.4 流體運(yùn)動(dòng)的描述1. 流體運(yùn)動(dòng)描述的方法描述流體物理量有兩種方法，一種是拉格朗日描述；一種是歐拉描述。拉格朗日(Lagrange)描述也稱隨體描述，它著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，并將流體質(zhì)點(diǎn)的物理量認(rèn)為是隨流體質(zhì)點(diǎn)及時(shí)間變化的，即把流體質(zhì)點(diǎn)的物理量表示為拉格朗日坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。設(shè)拉格朗日坐標(biāo)為(a,b,c)，以此坐標(biāo)表示的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量，如矢徑、速度、壓強(qiáng)等等在任一時(shí)刻t的值，便可以寫為a、b、c及t的函數(shù)。若以f表示流體質(zhì)點(diǎn)的某一物理量，其拉格朗日描述

11、的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 (1-15)例如，設(shè)時(shí)刻t流體質(zhì)點(diǎn)的矢徑即t時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的位置以r表示，其拉格朗日描述為 (1-16)同樣，質(zhì)點(diǎn)的速度的拉格朗日描述是 (1-17)歐拉描述，也稱空間描述，它著眼于空間點(diǎn)，認(rèn)為流體的物理量隨空間點(diǎn)及時(shí)間而變化，即把流體物理量表示為歐拉坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。設(shè)歐拉坐標(biāo)為(q1,q2,q3)，用歐拉坐標(biāo)表示的各空間點(diǎn)上的流體物理量如速度、壓強(qiáng)等，在任一時(shí)刻t的值，可寫為q1、q2、q3及t的函數(shù)。從數(shù)學(xué)分析知道，當(dāng)某時(shí)刻一個(gè)物理量在空間的分布一旦確定，該物理量在此空間形成一個(gè)場(chǎng)。因此，歐拉描述實(shí)際上描述了一個(gè)個(gè)物理量的場(chǎng)。若以f表示流體的一個(gè)物理量，其歐拉描述的數(shù)學(xué)表達(dá)

12、式是(設(shè)空間坐標(biāo)取用直角坐標(biāo)) (1-18)如流體速度的歐拉描述是 (1-19)2. 拉格朗日描述與歐拉描述之間的關(guān)系拉格朗日描述著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，將物理量視為流體坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)；歐拉描述著眼于空間點(diǎn)，將物理量視為空間坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)。它們可以描述同一物理量，必定互相相關(guān)。設(shè)表達(dá)式表示流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)在t時(shí)刻的物理量；表達(dá)式表示空間點(diǎn)(x,y,z)在時(shí)刻t的同一物理量。如果流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)在t時(shí)刻恰好運(yùn)動(dòng)到空間點(diǎn)(x,y,z)上，則應(yīng)有 (1-20) (1-21)事實(shí)上，將式(1-16)代入式(1-21)左端，即有 (1-22)或者反解式(1-16)，得到 (1-23)將式(1-2

13、3)代入式(1-21)的右端，也應(yīng)有 (1-24)由此，可以通過拉格朗日描述推出歐拉描述，同樣也可以由歐拉描述推出拉格朗日 描述。3. 隨體導(dǎo)數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)物理量隨時(shí)間的變化率稱為隨體導(dǎo)數(shù)(substantial derivative)，或物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。按拉格朗日描述，物理量f表示為，f的隨體導(dǎo)數(shù)就是跟隨質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)的物理量f對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)。例如，速度是矢徑對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)， (1-25)即隨體導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)數(shù)。按歐拉描述，物理量f表示為，但并不表示隨體導(dǎo)數(shù)，它只表示物理量在空間點(diǎn)上的時(shí)間變化率。而隨體導(dǎo)數(shù)必須跟隨t時(shí)刻位于空間點(diǎn)上的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)，其物理量f的時(shí)間變化率。由于該流體質(zhì)點(diǎn)是運(yùn)

14、動(dòng)的，即x、y、z是變的，若以a、b、c表示該流體質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日坐標(biāo)，則x、y、z將依式(1-16)變化，從而f =F(x,y,z,t)的變化依連鎖法則處理。因此，物理量f =F(x,y,z,t)的隨體導(dǎo)數(shù)是 (1-26)式中：表示隨體導(dǎo)數(shù)。從中可以看出，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)物理量的隨體導(dǎo)數(shù)，歐拉描述與拉格朗日描述大不相同。前者是兩者之和，而后者是直接的偏導(dǎo)數(shù)。4. 定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)根據(jù)流體流動(dòng)過程以及流動(dòng)過程中的流體的物理參數(shù)是否與時(shí)間相關(guān)，可將流動(dòng)分為定常流動(dòng)(steady flow)與非定常流動(dòng)(unsteady flow)。定常流動(dòng)：流體流動(dòng)過程中各物理量均與時(shí)間無(wú)關(guān)，這種

15、流動(dòng)稱為定常流動(dòng)。非定常流動(dòng)：流體流動(dòng)過程中某個(gè)或某些物理量與時(shí)間有關(guān)，則這種流動(dòng)稱為非定常流動(dòng)。5. 流線與跡線常用流線和跡線來(lái)描述流體的流動(dòng)。跡線(track)：隨著時(shí)間的變化，空間某一點(diǎn)處的流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)過程中所留下的痕跡稱為跡線。在t =0時(shí)刻，位于空間坐標(biāo)(a,b,c)處的流體質(zhì)點(diǎn)，其跡線方程為 (1-27)式中：u、v、w分別為流體質(zhì)點(diǎn)速度的三個(gè)分量；x、y、z為在t時(shí)刻此流體質(zhì)點(diǎn)的空間 位置。流線(streamline)：在同一個(gè)時(shí)刻，由不同的無(wú)數(shù)多個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)組成的一條曲線，曲線上每一點(diǎn)處的切線與該質(zhì)點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向平行。流場(chǎng)在某一時(shí)刻t的流線方程為 (1-28)

16、對(duì)于定常流動(dòng)，流線的形狀不隨時(shí)間變化，而且流體質(zhì)點(diǎn)的跡線與流線重合。在實(shí)際流場(chǎng)中除駐點(diǎn)或奇點(diǎn)外，流線不能相交，不能突然轉(zhuǎn)折。6. 流量與凈通量流量(flux)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過某一控制面的流體體積稱為該控制面的流量Q，其單位為m3/s。若單位時(shí)間內(nèi)流過的流體是以質(zhì)量計(jì)算，則稱為質(zhì)量流量Qm；不加說明時(shí)“流量”一詞概指體積流量。在曲面控制面上有 (1-29)凈通量(net flux)：在流場(chǎng)中取整個(gè)封閉曲面作為控制面A，封閉曲面內(nèi)的空間稱為控制體。流體經(jīng)一部分控制面流入控制體，同時(shí)也有流體經(jīng)另一部分控制面從控制體中流出，此時(shí)流出的流體減去流入的流體，所得出的流量稱為流過全部封閉控制面A的凈流量(或

17、凈通量)，通過式(1-30)計(jì)算： (1-30)對(duì)于不可壓縮流體來(lái)說，流過任意封閉控制面的凈通量等于0。7. 有旋流動(dòng)與有勢(shì)流動(dòng)由速度分解定理，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以分解為：(1)隨同其他質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)；(2)自身的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；(3)自身的變形運(yùn)動(dòng)(拉伸變形和剪切變形)。在流動(dòng)過程中，若流體質(zhì)點(diǎn)自身做無(wú)旋運(yùn)動(dòng)(irrotational flow)，則稱流動(dòng)是無(wú)旋的，也就是有勢(shì)的，否則就稱流動(dòng)是有旋流動(dòng)(rotational flow)。流體質(zhì)點(diǎn)的旋度是一個(gè)矢量，通常用表示，其大小為 (1-31)若=0，則稱流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng)，否則就是有旋流動(dòng)。與流體的流線或跡線形狀無(wú)關(guān)；粘性流動(dòng)一般為有旋流動(dòng)；對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)

18、，伯努利方程適用于流場(chǎng)中任意兩點(diǎn)之間；無(wú)旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流動(dòng)(potential flow)，即存在一個(gè)勢(shì)函數(shù)，滿足： (1-32)即    (1-33)8. 層流與湍流流體的流動(dòng)分為層流流動(dòng)(laminar flow)和湍流流動(dòng)(turbulent flow)。從試驗(yàn)的角度來(lái)看，層流流動(dòng)就是流體層與層之間相互沒有任何干擾，層與層之間既沒有質(zhì)量的傳遞也沒有動(dòng)量的傳遞；而湍流流動(dòng)中層與層之間相互有干擾，而且干擾的力度還會(huì)隨著流動(dòng)而加大，層與層之間既有質(zhì)量的傳遞又有動(dòng)量的傳遞。判斷流動(dòng)是層流還是湍流，是看其雷諾數(shù)是否超過臨界雷諾數(shù)。雷諾數(shù)的定義如下： (1-34)式中：V為截面

19、的平均速度；L為特征長(zhǎng)度；為流體的運(yùn)動(dòng)粘度。對(duì)于圓形管內(nèi)流動(dòng)，特征長(zhǎng)度L取圓管的直徑d。一般認(rèn)為臨界雷諾數(shù)為2320，即 (1-35)當(dāng)Re<2320時(shí)，管中是層流；當(dāng)Re>2320時(shí)，管中是湍流。對(duì)于異型管道內(nèi)的流動(dòng)，特征長(zhǎng)度取水力直徑dH，則雷諾數(shù)的表達(dá)式為 (1-36)異型管道水力直徑的定義如下： (1-37)式中：A為過流斷面的面積；S為過流斷面上流體與固體接觸的周長(zhǎng)。臨界雷諾數(shù)根據(jù)形狀的不同而有所差別。根據(jù)試驗(yàn)幾種異型管道的臨界雷諾數(shù)如 表1-1所示。表1-1 幾種異型管道的臨界雷諾數(shù)管道截面形狀正方形正三角形偏心縫隙207019301000對(duì)于平板的外部繞流，特征長(zhǎng)度取

20、沿流動(dòng)方向的長(zhǎng)度，其臨界雷諾數(shù)為5×1053×106。1.2 CFD基本模型流體流動(dòng)所遵循的物理定律，是建立流體運(yùn)動(dòng)基本方程組的依據(jù)。這些定律主要包括質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、動(dòng)量矩守恒、能量守恒、熱力學(xué)第二定律，加上狀態(tài)方程、本構(gòu)方程。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，還要考慮不同的流態(tài)，如層流與湍流。1.2.1 基本控制方程1. 系統(tǒng)與控制體在流體力學(xué)中，系統(tǒng)是指某一確定流體質(zhì)點(diǎn)集合的總體。系統(tǒng)以外的環(huán)境稱為外界。分隔系統(tǒng)與外界的界面，稱為系統(tǒng)的邊界。系統(tǒng)通常是研究的對(duì)象，外界則用來(lái)區(qū)別于系統(tǒng)。系統(tǒng)將隨系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)始終包含在系統(tǒng)內(nèi)，系統(tǒng)邊界的形狀和所圍空間的大小可隨運(yùn)動(dòng)而變化

21、。系統(tǒng)與外界無(wú)質(zhì)量交換，但可以有力的相互作用，及能量(熱和功)交換。控制體是指在流體所在的空間中，以假想或真實(shí)流體邊界包圍，固定不動(dòng)形狀任意的空間體積。包圍這個(gè)空間體積的邊界面，稱為控制面?？刂企w的形狀與大小不變，并相對(duì)于某坐標(biāo)系固定不動(dòng)?？刂企w內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)組成并非不變的?？刂企w既可通過控制面與外界有質(zhì)量和能量交換，也可與控制體外的環(huán)境有力的相互作用。2. 質(zhì)量守恒方程(連續(xù)性方程)在流場(chǎng)中，流體通過控制面A1流入控制體，同時(shí)也會(huì)通過另一部分控制面A2流出控制體，在這期間控制體內(nèi)部的流體質(zhì)量也會(huì)發(fā)生變化。按照質(zhì)量守恒定律，流入的質(zhì)量與流出的質(zhì)量之差，應(yīng)該等于控制體內(nèi)部流體質(zhì)量的增量，由此可導(dǎo)出

22、流體流動(dòng)連續(xù)性方程的積分形式為 (1-38)式中：V表示控制體，A表示控制面。等式左邊第一項(xiàng)表示控制體V內(nèi)部質(zhì)量的增量；第二項(xiàng)表示通過控制表面流入控制體的凈通量。根據(jù)數(shù)學(xué)中的奧-高公式，在直角坐標(biāo)系下可將其化為微分形式： (1-39)對(duì)于不可壓縮均質(zhì)流體，密度為常數(shù)，則有 (1-40)對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，其形式為 (1-41)對(duì)于不可壓縮均質(zhì)流體，密度為常數(shù)，則有 (1-42)3. 動(dòng)量守恒方程(運(yùn)動(dòng)方程)動(dòng)量守恒是流體運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)遵循的另一個(gè)普遍定律，描述為：在一給定的流體系統(tǒng)，其動(dòng)量的時(shí)間變化率等于作用于其上的外力總和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式即為動(dòng)量守恒方程，也稱為運(yùn)動(dòng)方程，或N-S方程，其微分形式表達(dá)如下

23、： (1-43)式中：、分別是單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力在三個(gè)方向上的分量；是流體內(nèi)應(yīng)力張量的分量。動(dòng)量守恒方程在實(shí)際應(yīng)用中有許多表達(dá)形式，其中比較常見的有如下幾種。(1)可壓縮粘性流體的動(dòng)量守恒方程 (1-44)(2)常粘性流體的動(dòng)量守恒方程 (1-45)(3)常密度常粘性流體的動(dòng)量守恒方程 (1-46)(4)無(wú)粘性流體的動(dòng)量守恒方程(歐拉方程) (1-47)(5)靜力學(xué)方程 (1-48)(6)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程在非慣性參考系中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程是研究像大氣、海洋及旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中流體運(yùn)動(dòng)的所必須考慮的。由理論力學(xué)得知，絕對(duì)速度為相對(duì)速度及牽連速度之和，即 (1-49)其中，為運(yùn)動(dòng)系中的平動(dòng)速度，是其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

24、，為質(zhì)點(diǎn)矢徑。而絕對(duì)加速度為相對(duì)加速度、牽連加速度及科氏加速度之和，即 (1-50)其中，。將絕對(duì)加速度代入運(yùn)動(dòng)方程，即得到流體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程 (1-51)4. 能量守恒方程將熱力學(xué)第一定律應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)，把式(1-51)各項(xiàng)用有關(guān)的流體物理量表示出來(lái)，即是能量方程。如式(1-52)所示。 (1-52)式中：；是有效熱傳導(dǎo)系數(shù)，其中是湍流熱傳導(dǎo)系數(shù)，根據(jù)所使用的湍流模型來(lái)定義；是組分j的擴(kuò)散流量；包括了化學(xué)反應(yīng)熱以及其他用戶定義的體積熱源項(xiàng)；方程右邊的前3項(xiàng)分別描述了熱傳導(dǎo)、組分?jǐn)U散和粘性耗散帶來(lái)的能量輸運(yùn)。1.2.2 湍流模型 湍流是自然界廣泛存在的流動(dòng)現(xiàn)象。大氣、海洋環(huán)境的流動(dòng)，飛行器和船

25、艦的繞流，葉輪機(jī)械、化學(xué)反應(yīng)器、核反應(yīng)器中的流體運(yùn)動(dòng)都是湍流。湍流流動(dòng)的核心特征是其在物理上近乎于無(wú)窮多的尺度和數(shù)學(xué)上強(qiáng)烈的非線性，這使得人們無(wú)論是通過理論分析、實(shí)驗(yàn)研究還是計(jì)算機(jī)模擬來(lái)徹底認(rèn)識(shí)湍流都非常困難。回顧計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，特別是活躍的20世紀(jì)80年代，不僅提出和發(fā)展了一大批高精度、高分辨率的計(jì)算格式，從主控方程看相當(dāng)成功地解決了歐拉方程的數(shù)值模擬，可以說歐拉方程數(shù)值模擬方法的精度已接近于它有效使用范圍的極限；同時(shí)還發(fā)展了一大批有效的網(wǎng)格生成技術(shù)及相應(yīng)的軟件，具體實(shí)現(xiàn)了工程計(jì)算所需要的復(fù)雜外形的計(jì)算網(wǎng)格；且隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，無(wú)論從計(jì)算時(shí)間還是從計(jì)算費(fèi)用考慮，歐拉方程都已能適用于各種實(shí)

26、踐所需。在此基礎(chǔ)上，20世紀(jì)80年代還進(jìn)行了求解可壓縮雷諾平均方程及其三維定態(tài)粘流流動(dòng)的模擬。20世紀(jì)90年代又開始一個(gè)非定常粘流流場(chǎng)模擬的新局面，這里所說的粘流流場(chǎng)具有高雷諾數(shù)、非定常、不穩(wěn)定、劇烈分離流動(dòng)的特點(diǎn)，顯然需要繼續(xù)探求更高精度的計(jì)算方法和更實(shí)用可靠的網(wǎng)格生成技術(shù)。但更為重要的關(guān)鍵性的決策將是，研究湍流機(jī)理，建立相應(yīng)的模式，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)哪M仍是解決湍流問題的重要途徑。1. 湍流模型分類湍流流動(dòng)模型很多，但大致可以歸納為以下3類。第一類是湍流輸運(yùn)系數(shù)模型，即將速度脈動(dòng)的二階關(guān)聯(lián)量表示成平均速度梯度與湍流粘性系數(shù)的乘積，用笛卡兒張量表示為 (1-53)模型的任務(wù)就是給出計(jì)算湍流粘性系數(shù)

27、的方法。根據(jù)建立模型所需要的微分方程的數(shù)目，可以分為零方程模型(代數(shù)方程模型)、單方程模型和雙方程模型。第二類是拋棄了湍流輸運(yùn)系數(shù)的概念，直接建立湍流應(yīng)力和其他二階關(guān)聯(lián)量的輸運(yùn) 方程。第三類是大渦模擬。前兩類是以湍流的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，對(duì)所有渦旋進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均。大渦模擬把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通過求解三維經(jīng)過修正的Navier-Stokes方程(納維-斯托克斯方程，簡(jiǎn)稱N-S方程)，得到大渦旋的運(yùn)動(dòng)特性，而對(duì)小渦旋運(yùn)動(dòng)還采用上述的模型。實(shí)際求解中，選用什么模型要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)來(lái)決定。選擇的一般原則是精度要高，應(yīng)用簡(jiǎn)單，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，同時(shí)也具有通用性。Fluent 提供的湍流模型包括：

28、單方程(Spalart-Allmaras)模型、雙方程模型(標(biāo)準(zhǔn)模型、重整化群模型、可實(shí)現(xiàn)模型)及雷諾應(yīng)力模型和大渦模擬，如圖1-1所示。圖1-1 湍流模型詳解2. 平均量輸運(yùn)方程雷諾平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬時(shí)變量分解成平均量和脈動(dòng)量?jī)刹糠?。?duì)于速度，有 (1-54)式中：和分別是平均速度和脈動(dòng)速度()。類似地，對(duì)于壓力等其他標(biāo)量，也有 (1-55)式中：表示標(biāo)量，如壓力、能量、組分濃度等。把上面的表達(dá)式代入瞬時(shí)的連續(xù)與動(dòng)量方程，并取平均(去掉平均速度上的橫線)，可以把連續(xù)與動(dòng)量方程寫成如下的笛卡兒坐標(biāo)系下的張量形式： (1-56) (1-57)上面兩個(gè)方程稱為雷諾平均的

29、Navier-Stokes(RANS)方程。它們和瞬時(shí)Navier-Stokes方程有相同的形式，只是速度或其他求解變量變成了時(shí)間平均量。額外多出來(lái)的項(xiàng)是雷諾應(yīng)力，表示湍流的影響。對(duì)于密度變化的流動(dòng)過程，如燃燒問題，需要采用法夫雷(Favre)平均才可以求解。法夫雷平均就是除了壓力和密度本身以外，所有變量都用密度加權(quán)平均。變量的密度加權(quán)平均定義如下： (1-58)式中：符號(hào)表示密度加權(quán)平均，對(duì)應(yīng)于密度加權(quán)平均值的脈動(dòng)值用表示，有。顯然，這種脈動(dòng)值的簡(jiǎn)單平均值不為零，但它的密度加權(quán)平均值等于零，即。為了求解方程(1-57)，必須模擬雷諾應(yīng)力項(xiàng)以使方程封閉。通常的方法是應(yīng)用Boussinesq假設(shè)

30、，認(rèn)為雷諾應(yīng)力與平均速度梯度成正比，表達(dá)式如下： (1-59)Boussinesq假設(shè)被用于單方程模型和雙方程模型。這種近似方法好處是與求解湍流粘性系數(shù)有關(guān)的計(jì)算時(shí)間比較少。例如，在Spalart-Allmaras單方程模型中只多求解一個(gè)表示湍流粘性的輸運(yùn)方程；在雙方程模型中只需多求解湍動(dòng)能k和耗散率兩個(gè)方程，湍流粘性系數(shù)用湍動(dòng)能k和耗散率的函數(shù)來(lái)描述。Boussinesq假設(shè)的不足之處是假設(shè)是個(gè)各向同性標(biāo)量，對(duì)于一些復(fù)雜流動(dòng)，該條件并不是嚴(yán)格成立，所以具有其應(yīng)用局限性。另外的近似方法是求解雷諾應(yīng)力各分量的輸運(yùn)方程。這也需要額外再求解一個(gè)標(biāo)量方程，通常是耗散率方程。這就意味著對(duì)于二維湍流流動(dòng)問

31、題，需要多求解4個(gè)輸運(yùn)方程，而三維湍流問題需要多求解7個(gè)方程，需要較多的計(jì)算時(shí)間，要求更高的計(jì)算機(jī)內(nèi)存。在很多情況下基于Boussinesq假設(shè)的模型很好用，而且計(jì)算量并不是很大。但是，如果湍流場(chǎng)各向異性很明顯，如強(qiáng)旋流動(dòng)以及應(yīng)力取得的二次流等流動(dòng)中，求解RSM模型可以得到更好的結(jié)果。3. 常用湍流模型簡(jiǎn)介1)單方程(Spalart-Allmaras)模型單方程模型求解變量是，表征出了近壁(粘性影響)區(qū)域以外的湍流運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。的輸運(yùn)方程為 (1-60)式中：是湍流粘性產(chǎn)生項(xiàng)；是由于壁面阻擋與粘性阻尼引起的湍流粘性的減少；和是常數(shù)；是分子運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。湍流粘性系數(shù)，其中，是粘性阻尼函數(shù)，定義為

32、，。而湍流粘性產(chǎn)生項(xiàng)模擬為，其中，和是常數(shù)，是計(jì)算點(diǎn)到壁面的距離；，。在Fluent軟件中，考慮到平均應(yīng)變率對(duì)湍流產(chǎn)生也起到很大作用，其中，=2.0，平均應(yīng)變率。在渦量超過應(yīng)變率的計(jì)算區(qū)域計(jì)算出來(lái)的渦旋粘性系數(shù)變小。這適合渦流靠近渦旋中心的區(qū)域，那里只有“單純”的旋轉(zhuǎn)，湍流受到抑止。包含應(yīng)變張量的影響更能體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對(duì)湍流的影響。忽略了平均應(yīng)變，估計(jì)的渦旋粘性系數(shù)產(chǎn)生項(xiàng)偏高。湍流粘性系數(shù)減少項(xiàng)為，其中，、是常數(shù)，在計(jì)算r時(shí)用到的受平均應(yīng)變率的影響。上面的模型常數(shù)在Fluent軟件中默認(rèn)值為，。2)標(biāo)準(zhǔn)模型標(biāo)準(zhǔn)模型需要求解湍動(dòng)能及其耗散率方程。湍動(dòng)能輸運(yùn)方程是通過精確的方程推導(dǎo)得到的，但耗散率方程是

33、通過物理推理，數(shù)學(xué)上模擬相似原形方程得到的。該模型假設(shè)流動(dòng)為完全湍流，分子粘性的影響可以忽略。因此，標(biāo)準(zhǔn)模型只適合完全湍流的流動(dòng)過程模擬。標(biāo)準(zhǔn)模型的湍動(dòng)能k和耗散率方程為如下形式： (1-61) (1-62)式中：表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，表示由于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；表示可壓縮湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響。湍流粘性系數(shù)。在Fluent中，作為默認(rèn)值常數(shù)，=1.44， =1.92， = 0.09，湍動(dòng)能k 與耗散率的湍流普朗特?cái)?shù)分別為=1.0，=1.3。3)重整化群模型重整化群模型是對(duì)瞬時(shí)的Navier-Stokes方程用重整化群的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出來(lái)的模型。模型中的常數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)模

34、型不同，而且方程中也出現(xiàn)了新的函數(shù)或者項(xiàng)。其湍動(dòng)能與耗散率方程與標(biāo)準(zhǔn)模型有相似的形式： (1-63) (1-64)式中：表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，表示由于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；表示可壓縮湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響，這些參數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)模型中相同。和分別是湍動(dòng)能k 和耗散率的有效湍流普朗特?cái)?shù)的倒數(shù)。湍流粘性系數(shù)計(jì)算公式為，其中，。對(duì)于前面方程的積分，可以精確到有效雷諾數(shù)(渦旋尺度)對(duì)湍流輸運(yùn)的影響，這有助于處理低雷諾數(shù)和近壁流動(dòng)問題的模擬。對(duì)于高雷諾數(shù)，上面方程可以給出：，。這個(gè)結(jié)果非常有意思，和標(biāo)準(zhǔn)模型的半經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)給出的常數(shù)非常近似。在Fluent中，如果是默認(rèn)設(shè)置，用重整化群模

35、型時(shí)是針對(duì)的高雷諾數(shù)流動(dòng)問題。如果對(duì)低雷諾數(shù)問題進(jìn)行數(shù)值模擬，必須進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)置。4)可實(shí)現(xiàn)模型可實(shí)現(xiàn)模型的湍動(dòng)能及其耗散率輸運(yùn)方程為 (1-65) (1-66)式中：，。在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，表示由于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；表示可壓縮湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響；和是常數(shù)；和分別是湍動(dòng)能及其耗散率的湍流普朗特?cái)?shù)。在Fluent中，作為默認(rèn)值常數(shù)，=1.44，=1.9，=1.0，=1.2。該模型的湍流粘性系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)模型相同。不同的是，粘性系數(shù)中的不是常數(shù)，而是通過公式計(jì)算得到，其中， ，表示在角速度旋轉(zhuǎn)參考系下的平均旋轉(zhuǎn)張量率。模型常數(shù)，式中，。從這些式子中發(fā)

36、現(xiàn)，是平均應(yīng)變率與旋度的函數(shù)。在平衡邊界層慣性底層，可以得到，與標(biāo)準(zhǔn)模型中采用的常數(shù)一樣。該模型適合的流動(dòng)類型比較廣泛，包括有旋均勻剪切流、自由流(射流和混合層)、腔道流動(dòng)和邊界層流動(dòng)。對(duì)以上流動(dòng)過程模擬結(jié)果都比標(biāo)準(zhǔn)模型的結(jié)果好，特別是可實(shí)現(xiàn)模型對(duì)圓口射流和平板射流模擬中，能給出較好的射流擴(kuò)張角。雙方程模型中，無(wú)論是標(biāo)準(zhǔn)模型、重整化群模型還是可實(shí)現(xiàn)模型，三個(gè)模型有類似的形式，即都有k和的輸運(yùn)方程，它們的區(qū)別在于：計(jì)算湍流粘性的方法不同；控制湍流擴(kuò)散的湍流普朗特?cái)?shù)不同；方程中的產(chǎn)生項(xiàng)和Gk關(guān)系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，表示由于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；表示可壓縮

37、湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響。湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng) (1-67) (1-68)式中：是能量的湍流普特朗數(shù)，對(duì)于可實(shí)現(xiàn)模型，默認(rèn)設(shè)置值為0.85；對(duì)于重整化群模型，。熱膨脹系數(shù)，對(duì)于理想氣體，浮力引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)變?yōu)?(1-69)5)雷諾應(yīng)力模型雷諾應(yīng)力模型(RSM)是求解雷諾應(yīng)力張量的各個(gè)分量的輸運(yùn)方程。具體形式為 (1-70)式中：左邊的第二項(xiàng)是對(duì)流項(xiàng)，右邊第一項(xiàng)是湍流擴(kuò)散項(xiàng)，第二項(xiàng)是分子擴(kuò)散項(xiàng)，第三項(xiàng)是應(yīng)力產(chǎn)生項(xiàng)，第四項(xiàng)是浮力產(chǎn)生項(xiàng)，第五項(xiàng)是壓力應(yīng)變項(xiàng)，第六項(xiàng)是耗散項(xiàng)，第七項(xiàng)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生項(xiàng)。在式(1-69)中，、不需要模擬，而、需要模擬以封閉方程。下面簡(jiǎn)單對(duì)幾個(gè)需要模擬項(xiàng)進(jìn)行模擬?？梢杂肈el

38、ay和Harlow的梯度擴(kuò)散模型來(lái)模擬，但這個(gè)模型會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定，在Fluent中是采用標(biāo)量湍流擴(kuò)散模型： (1-71)式中：湍流粘性系數(shù)用來(lái)計(jì)算，根據(jù)Lien和Leschziner，這和標(biāo)準(zhǔn)模型中選取1.0有所不同。壓力應(yīng)變項(xiàng)可以分解為三項(xiàng)，即 (1-72)式中：、和分別是慢速項(xiàng)、快速項(xiàng)和壁面反射項(xiàng)，具體表述可以參見文獻(xiàn)2。浮力引起的產(chǎn)生項(xiàng)模擬為 (1-73)耗散張量模擬為 (1-74)式中：，是馬赫數(shù)；標(biāo)量耗散率用標(biāo)準(zhǔn)模型中采用的耗散率輸運(yùn)方程求解。6)大渦模擬湍流中包含了不同時(shí)間與長(zhǎng)度尺度的渦旋。最大長(zhǎng)度尺度通常為平均流動(dòng)的特征長(zhǎng)度尺度。最小尺度為Komogrov尺度。LES的基本假設(shè)

39、是：動(dòng)量、能量、質(zhì)量及其他標(biāo)量主要由大渦輸運(yùn)；流動(dòng)的幾何和邊界條件決定了大渦的特性，而流動(dòng)特性主要在大渦中體現(xiàn)；小尺度渦旋受幾何和邊界條件影響較小，并且各向同性，大渦模擬(LES)過程中，直接求解大渦，小尺度渦旋模擬，從而使得網(wǎng)格要求比DNS低。LES的控制方程是對(duì)Navier-Stokes方程在波數(shù)空間或者物理空間進(jìn)行過濾得到的。過濾的過程是去掉比過濾寬度或者給定物理寬度小的渦旋，從而得到大渦旋的控制方程： (1-75) (1-76)式中：為亞網(wǎng)格應(yīng)力，。很明顯，上述方程與雷諾平均方程很相似，只不過大渦模擬中的變量是過濾過的量，而非時(shí)間平均量，并且湍流應(yīng)力也不同。1.2.3 初始條件和邊界條

40、件計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)分析中，初始條件和邊界條件的正確設(shè)置是關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)有的CFD軟件都提供了現(xiàn)成的各種類型的邊界條件，這里對(duì)有關(guān)的初始條件和邊界條件作一般討論。1. 初始條件顧名思義，初始條件就是計(jì)算初始給定的參數(shù)，即時(shí)給出各未知量的函數(shù)分布，如 (1-77)很明顯，當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)定常時(shí)，無(wú)初始條件問題。2. 邊界條件所謂邊界條件就是流體力學(xué)方程組在求解域的邊界上，流體物理量應(yīng)滿足的條件。例如，流體被固壁所限，流體將不應(yīng)有穿過固壁的速度分量；在水面這個(gè)邊界上，大氣壓強(qiáng)認(rèn)為是常數(shù)(一般在距離不大的范圍內(nèi)可如此)；在流體與外界無(wú)熱傳導(dǎo)的邊界上，流體與邊界之間無(wú)溫差，如此等。由于各種具體問題不同

41、，邊界條件提法千差萬(wàn)別，一般要保持恰當(dāng)：保持在物理上是正確的；要在數(shù)學(xué)上不多不少，剛好能用來(lái)確定積分微分方程中的積分常數(shù)，而不是矛盾的或有隨意性。通常流體邊界分為流固交界面和流流(液液、液氣)交界面，下面分別討論。1)流固分界面邊界條件飛機(jī)、船舶在空氣及水中運(yùn)動(dòng)時(shí)的流固分界面，水在岸邊及底部的流固分界面，均屬這一類。一般而言，流體在固體邊界上的速度依流體有無(wú)粘性而定。對(duì)于粘性流體，流體將粘附于固體表面(無(wú)滑移)，即 (1-78)式中：是流體速度；是固壁面相應(yīng)點(diǎn)的速度。式(1-78)表明，在流固邊界面上，流體在一點(diǎn)的速度等于固體在該點(diǎn)的速度。對(duì)于無(wú)粘性流體，流體可沿界面滑移，即有速度的切向分量，

42、但不能離開界面，也就是流體的法向速度分量等于固體的法向速度分量，即 (1-79)另外，也可視所給條件，給出無(wú)溫差條件： (1-80)式中：是流體溫度，是固壁面相應(yīng)點(diǎn)的溫度。2)液液分界面邊界條件密度不同的兩種液體的分界面就屬于這一類。一般而言，對(duì)分界面兩側(cè)的液體情況經(jīng)常給出的條件是 (1-81)對(duì)應(yīng)力及傳導(dǎo)熱情況給出的條件是 (1-82) (1-83)3)液氣分界面邊界條件液氣分界面最典型的是水與大氣的分界面，即自由面。由于自由面本身是運(yùn)動(dòng)和變形的，而且其形狀常常也是一個(gè)需要求解的未知函數(shù)，因此就有一個(gè)自由面的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件問題。設(shè)自由面方程為 (1-84)并假定在自由面上的流體質(zhì)點(diǎn)始終保持在自由

43、面上，則流體質(zhì)點(diǎn)在自由面上一點(diǎn)的法向速度，應(yīng)該等于自由面本身在這一點(diǎn)的法向速度。經(jīng)過一系列推導(dǎo)(參見文獻(xiàn)2)，得到自由液面運(yùn)動(dòng)學(xué)條件： (1-85)如果要考慮液氣邊界上的表面張力，則在界面兩側(cè)，兩種介質(zhì)的壓強(qiáng)差與表面張力有如下關(guān)系： (1-86)這就是自由面上的動(dòng)力學(xué)條件。當(dāng)不考慮表面張力時(shí)，有 (1-87)式中：為大氣壓強(qiáng)。4)無(wú)限遠(yuǎn)的條件流體力學(xué)中的很多問題，流體域是無(wú)限遠(yuǎn)的。例如，飛機(jī)在空中飛行時(shí)，流體是無(wú)界的。如果將坐標(biāo)系取在運(yùn)動(dòng)物體上，這時(shí)無(wú)限遠(yuǎn)處的邊界條件為當(dāng)時(shí)， (1-88)其中下標(biāo)表示無(wú)窮遠(yuǎn)處的值。1.3 CFD模型的離散有限體積法1.3.1 CFD模型的數(shù)值求解方法概述從上面

44、的分析看到，CFD模型(控制方程)是一系列偏微分方程組，要得到解析解比較困難，目前，均采用數(shù)值方法得到其滿足實(shí)際需要的近似解。數(shù)值方法求解CFD模型的基本思想是：把原來(lái)在空間與時(shí)間坐標(biāo)中連續(xù)的物理量的場(chǎng)(如速度場(chǎng)、溫度場(chǎng)、濃度場(chǎng)等)，用一系列有限個(gè)離散點(diǎn)(稱為節(jié)點(diǎn)，node)上的值的集合來(lái)代替，通過一定的原則建立起這些離散點(diǎn)上變量值之間關(guān)系的代數(shù)方程(稱為離散方程，discretization equation)，求解所建立起來(lái)的代數(shù)方程以獲得所求解變量的近似解。在過去的幾十年內(nèi)已經(jīng)發(fā)展了多種數(shù)值解法，其間的主要區(qū)別在于區(qū)域的離散方式、方程的離散方式及代數(shù)方程求解的方法這三個(gè)環(huán)節(jié)上。在CFD求

45、解計(jì)算中用得較多的數(shù)值方法有：有限差分法(finite difference method，F(xiàn)DM)、有限體積法(finite volume method，F(xiàn)VM)、有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)及有限分析法(finite analytic method，F(xiàn)AM)。下面簡(jiǎn)要介紹，后面將著重介紹有限體積法。1. 有限差分法有限差分法是歷史上采用最早的數(shù)值方法，對(duì)簡(jiǎn)單幾何形狀中的流動(dòng)與換熱問題也是一種最容易實(shí)施的數(shù)值方法。其基本點(diǎn)是：將求解區(qū)域用與坐標(biāo)軸平行的一系列網(wǎng)格線的交點(diǎn)所組成的點(diǎn)的集合來(lái)代替，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，將控制方程中每一個(gè)導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分表達(dá)式來(lái)代替，從而

46、在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上形成一個(gè)代數(shù)方程，每個(gè)方程中包括了本節(jié)點(diǎn)及其附近一些節(jié)點(diǎn)上的未知值，求解這些代數(shù)方程就獲得了所需的數(shù)值解。由于各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式可以從Taylor(泰勒)展開式來(lái)導(dǎo)出，這種方法又稱建立離散方程的Taylor展開法。有限差分法軟件一般研究者自己編寫，很少看到商品的有限差分法軟件。2. 有限體積法在有限體積法中將所計(jì)算的區(qū)域劃分成一系列控制體積，每個(gè)控制體積都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)作代表，通過將守恒型的控制方程對(duì)控制體積作積分來(lái)導(dǎo)出離散方程。在導(dǎo)出過程中，需要對(duì)界面上的被求函數(shù)本身及其一階導(dǎo)數(shù)的構(gòu)成作出假定，這種構(gòu)成的方式就是有限體積法中的離散格式。用有限體積法導(dǎo)出的離散方程可以保證具有守恒特性

47、，而且離散方程系數(shù)的物理意義明確，是目前流動(dòng)與傳熱問題的數(shù)值計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的一種方法。Phoenics是最早投入市場(chǎng)的有限體積法軟件，F(xiàn)luent、STAR-CD和CFX都是常用的有限體積法軟件，它們?cè)诹鲃?dòng)、傳熱傳質(zhì)、燃燒和輻射等方面應(yīng)用廣泛。3. 有限元法在有限元法中把計(jì)算區(qū)域劃分成一系列單元體(在二維情況下，單元體多為三角形或四邊形)，在每個(gè)單元體上取數(shù)個(gè)點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，然后通過對(duì)控制方程做積分來(lái)獲得離散方程。它與有限體積法區(qū)別主要在于如下兩點(diǎn)。(1)要選定一個(gè)形狀函數(shù)(最簡(jiǎn)單的是線性函數(shù))，并通過單元體中節(jié)點(diǎn)上的被求變量之值來(lái)表示該形狀函數(shù)，在積分之前將該形狀函數(shù)代入到控制方程中去。這一形

48、狀函數(shù)在建立離散方程及求解后結(jié)果的處理上都要應(yīng)用。(2)控制方程在積分之前要乘上一個(gè)權(quán)函數(shù)，要求在整個(gè)計(jì)算區(qū)域上控制方程余量(即代入形狀函數(shù)后使控制方程等號(hào)兩端不相等的差值)的加權(quán)平均值等于零，從而得出一組關(guān)于節(jié)點(diǎn)上的被求變量的代數(shù)方程組。 有限元法的最大優(yōu)點(diǎn)是對(duì)不規(guī)則區(qū)域的適應(yīng)性好。但計(jì)算的工作量一般較有限體積法大，而且在求解流動(dòng)與換熱問題時(shí)，對(duì)流項(xiàng)的離散處理方法及不可壓流體原始變量法求解方面沒有有限體積法成熟。Ansys、Sysweld和北京飛箭公司的FEPG(finite element programs generator)等有限元軟件比較流行。4. 有限分析法有限分析法是由美籍華裔科

49、學(xué)家陳景仁教授在1981年提出的。在這種方法中，也像有限差分法那樣，用一系列網(wǎng)格線將區(qū)域離散，所不同的是每個(gè)節(jié)點(diǎn)與相鄰的4個(gè)網(wǎng)格(二維)問題組成計(jì)算單元，即一個(gè)計(jì)算單元由一個(gè)中心節(jié)點(diǎn)與8個(gè)鄰點(diǎn)組成。在計(jì)算單元中把控制方程中的非線性項(xiàng)(如Navier-Stokes方程中的對(duì)流項(xiàng))局部線性化(即認(rèn)為流速已知)，并對(duì)該單元上未知函數(shù)的變化型線作出假設(shè)，把所選定型線表達(dá)式中的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)用單元邊界節(jié)點(diǎn)上未知的變量值來(lái)表示，這樣該單元內(nèi)的被求問題就轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件下的一個(gè)定解問題，可以找出其分析解；然后利用這一分析解，得出該單元中點(diǎn)及邊界上8個(gè)鄰點(diǎn)上未知值間的代數(shù)方程，此即為單元中點(diǎn)的離散方程。有限

50、分析法中的系數(shù)不像有限體積法中那樣有明確的物理意義，對(duì)不規(guī)則區(qū)域的適應(yīng)性也較差。1.3.2 有限體積法從上面的簡(jiǎn)介看到，有限體積法是一種分塊近似的計(jì)算方法，其中比較重要步驟是計(jì)算區(qū)域的離散和控制方程的離散。1. 計(jì)算區(qū)域的離散化所謂區(qū)域的離散化(domain discretization)實(shí)質(zhì)上就是用一組有限個(gè)離散的點(diǎn)來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)空間。一般的實(shí)施過程是：把所計(jì)算的區(qū)域劃分成許多個(gè)互不重疊的子區(qū)域(sub-domain)，確定每個(gè)子區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)位置及該節(jié)點(diǎn)所代表的控制體積。區(qū)域離散后，得到以下四種幾何要素。l 節(jié)點(diǎn)(node)：需要求解的未知物理量的幾何位置。l 控制體積(control volume)：應(yīng)用控制方程或守恒定律的最小幾何單位。l 界面(face)：它定義了與各節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的控制體積的界面位置。l 網(wǎng)格線(grid line)：連接相鄰兩節(jié)點(diǎn)面形成的曲線簇。一般把節(jié)點(diǎn)看成是控制體積的代表。在離散過程中，將一個(gè)控制體積上的物理量定義并存儲(chǔ)在該節(jié)點(diǎn)處。圖1-2給出了一維問題的有限體積法計(jì)算網(wǎng)格，圖1-3給出了二維問題的有限體積法計(jì)算網(wǎng)格。 圖1-2 一維的有限體積法網(wǎng)格 圖1-3 二維的有限體積法網(wǎng)格計(jì)算區(qū)域離散的網(wǎng)格有兩類：結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)排列有序，即當(dāng)給出了一個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)后，立即可以得出其相鄰節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，所有內(nèi)