高等代數(shù)(第三版)19

1、第一章第一章 多項式多項式一、本原多項式一、本原多項式二、整系數(shù)多項式有理根的求法二、整系數(shù)多項式有理根的求法三、有理系數(shù)不可約多項式三、有理系數(shù)不可約多項式第一章第一章 多項式多項式定理定理10 (10 (高斯引理高斯引理) ) 兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式.證證 設(shè)給了兩個本原多項式設(shè)給了兩個本原多項式,)(10mmiixaxaxaaxf,)(10nnjjxbxbxbbxg并且設(shè)并且設(shè).)()(10mnmnjijixcxcxccxgxf)()(xgxf如果如果不是本原多項式不是本原多項式, 那么一定存在一個那么一定存在一個素數(shù)素數(shù)p , 它能

2、整除所有系數(shù)它能整除所有系數(shù).,10nmccc若是一個整系數(shù)多項式若是一個整系數(shù)多項式f (x)的系數(shù)互素的系數(shù)互素, 那么那么f (x)叫叫作一個作一個本原多項式本原多項式.一、本原多項式一、本原多項式第一章第一章 多項式多項式由于由于f (x)和和g (x)都是本原多項式都是本原多項式,所以所以p不能整除不能整除f (x)的所有系數(shù)的所有系數(shù),也不能整除也不能整除g (x)的所有系數(shù)的所有系數(shù).令令 各各是是f (x)和和g (x)的第一個不能被的第一個不能被p 整除的系數(shù)整除的系數(shù).考察考察f (x)g (x)的系數(shù)的系數(shù) 有有jiba 和.jic.011110bababababacji

3、jijijijiji這個等式的左端這個等式的左端p整除整除.根據(jù)選擇根據(jù)選擇 的條件的條件,所有所有系數(shù)系數(shù) 都被都被p整除整除.因此乘積因此乘積 也也須被須被p整除整除.但但p是一個素數(shù)是一個素數(shù),所以所以p必須整除必須整除 . 這與假設(shè)矛盾這與假設(shè)矛盾.jiba 和0110,bbaaji以及jibaijab或或第一章第一章 多項式多項式證證 設(shè)設(shè)f f( (x x ) )g g( (x x ) )h h( (x x ) ), ,= g g( (x x ) )h h( (x x ) )( (g g( (x x ) ) )( ( f f( (x x ) ) ), , ( (h h( (x x

4、) ) )( ( f f( (x x ) ) )抖和和是是有有理理系系數(shù)數(shù)多多項項式式，且且如果一個非零整系數(shù)多項式能夠分解成兩個次數(shù)較如果一個非零整系數(shù)多項式能夠分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項式的乘積，那么它一定能分解成低的有理系數(shù)多項式的乘積，那么它一定能分解成次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積. 1 1f f( ( x x ) )a a f f ( ( x x ) )g g( ( x x ) )r rg g ( ( x x ) ), ,h h( ( x x ) )s sh h ( ( x x ) )=11令令第一章第一章 多項式多項式1 11 11 11 11 1

5、1 1f f ( (x x ) ), ,g g ( (x x ) ), ,h h ( (x x ) )a ar r, ,s sa af f ( (x x ) )r rs sg g ( (x x ) )h h ( (x x ) )=這這里里，都都是是本本原原多多項項式式，是是整整數(shù)數(shù)，是是有有理理數(shù)數(shù). .因因此此 1 11 11 11 11 11 11 10 0 , ,g g ( (x x ) ), ,h h ( (x x ) )r rs sa ar rs sf f x xr rs sg g ( (x x ) ) )h h ( (x x ) )r rs sg g ( (x x ) )h h (

6、 (x x ) )f f( (x x ) ). .由由定定理理是是本本原原多多項項式式，從從而而= =, ,即即是是一一個個整整數(shù)數(shù), ,則則( ( ) )= =( (與與都都是是整整系系數(shù)數(shù)多多項項式式，且且次次數(shù)數(shù)都都低低于于的的次次數(shù)數(shù)第一章第一章 多項式多項式設(shè)設(shè)是是整整系系數(shù)數(shù)多多項項式式，且且是是本本原原多多項項式式，如如果果其其中中是是有有理理系系數(shù)數(shù)多多項項式式，那那么么一一定定是是整整系系數(shù)數(shù)多多項項推推式式論論 f(x),g(x)g(x)f(x)= g(x)h(x),h(x)h(x)第一章第一章 多項式多項式 設(shè)設(shè)是是一一個個整整系系數(shù)數(shù)多多項項式式， 而而是是它它的的一一

7、個個有有理理根根，其其中中互互定定理理1 1素素，那那么么必必有有2 2nnnn0n0 f xa xaxarsr ss a r a-=+11( ),| , | .L二、整系數(shù)多項式有理根的求法二、整系數(shù)多項式有理根的求法( () ), ,( () ). .=特特 別別 ， 如如 果果的的 首首 項項 系系 數(shù)數(shù)那那 么么的的 有有 理理 根根 都都 是是 整整 根根 ， 而而 且且 是是的的 因因 子子n0f xa1f xa第一章第一章 多項式多項式證證 由于由于 是是f (x)的一個根的一個根, 所以所以r rs sr rf f( (x x) )( (x x) )q q( (x x) ),

8、,s s=-這里這里q (x)的一個有理系數(shù)多項式的一個有理系數(shù)多項式. 我們有我們有f xr r( ( x x) )( ( s sx xr r ) ), ,s ss s( ( s sx xr r ) ) | | ( () )-=-1所所 以以 ，因為因為s和和r互素，所以互素，所以sx r 是一個本原多項式是一個本原多項式.由上由上推論，推論，第一章第一章 多項式多項式n10bbn nn nf f( (x x) )( (s sx xr r) )( (b bx xb b ) ), , ,-=-+110LL其其中中，都都是是整整數(shù)數(shù)，比比較較兩兩邊邊系系數(shù)數(shù)，n0sar an nn na as

9、sb b, ,a ar rb b , ,| |, ,. .-=-100因因此此， | |第一章第一章 多項式多項式這個多項式的最高次項系數(shù)這個多項式的最高次項系數(shù)3的因數(shù)的因數(shù) 常數(shù)項常數(shù)項 2的因數(shù)的因數(shù) 所以可能的有理根是所以可能的有理根是, 3, 1. 2, 1.32,31, 2, 1求多項式求多項式 2553)(234xxxxxf的有理根的有理根.例例1, ,f f( ( x x ) ). . 1 2我我 們們 可可 驗驗 證證不不 是是的的 根根解解第一章第一章 多項式多項式應(yīng)用綜合除法應(yīng)用綜合除法: | 5 1 5 2 6 23 1 3 0所以所以 2 是是f (x) 的一個根的一

10、個根. 同時我們得到同時我們得到f(x)(x)( xxx).f(x)(x)( xxx).=+-+-322331 1 3 1 323233|31 3 2 ( ( x xx xx x) )f f( (x x ) ). .-+-3223312容容易易看看出出，不不是是的的根根，所所以以不不是是的的重重根根第一章第一章 多項式多項式至此已經(jīng)看到至此已經(jīng)看到,商式不是整系數(shù)多項式商式不是整系數(shù)多項式,因此不必再除因此不必再除下去就知道下去就知道, 的根的根,所以它也不是所以它也不是f (x)的的根根. 再作綜合除法再作綜合除法:)(31xg不是所以所以 的一個根的一個根,因而它也是因而它也是f (x)的

11、一個根的一個根,容易看出容易看出, 的重根的重根. )(31xg是)(31xf不是-3131110133030第一章第一章 多項式多項式2 23 3x x3 3f f( (x x) )f f( (x x) ). .3 3+-2312同同理理，均均不不是是的的根根，所所以以也也不不是是的的根根，從從而而，的的有有理理根根只只有有，第一章第一章 多項式多項式三、有理系數(shù)不可約多項式三、有理系數(shù)不可約多項式那么多項式那么多項式f (x)在有理數(shù)域上不可約在有理數(shù)域上不可約.n nn n1 1n n2 20 02 20 0( ( ) )p p| |a a ; ;( (2 2 ) ) p p a a,

12、,a a, , ,a a ; ;( (3 3 ) ) p p| | a a-/1L- - | | 定理13 (Eisenstein判斷法)pn nn nn nn nf f( (x x) )a a x xa ax xa a-=+110L設(shè)設(shè)是是一一個個整整系系數(shù)數(shù)多多項項式式，如如果果有有一一個個素素數(shù)數(shù) 使使得得第一章第一章 多項式多項式證證 如果多項式如果多項式f (x)在有理數(shù)域上可約在有理數(shù)域上可約,那么那么f (x)可以可以分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積:)()()(xhxgxf這里這里,)(,)(1010llkkxcxccxhxbxbbx

13、g并且并且 k n , l n , k + l = n , 由此得到由此得到.000cba 因為因為 被被p整除整除,而而p是一個素數(shù)是一個素數(shù), 所以所以 整除整除.但但 不能被不能被 整除整除, 所以所以 不能同時被不能同時被p整除整除. 0apcb被或000a2p00cb 與第一章第一章 多項式多項式0c不妨假定不妨假定 整除而整除而 不被不被p整除整除. g (x)的系數(shù)的系數(shù)不能全被不能全被p整除整除,否則否則f (x) = g (x)h (x)的系數(shù)的系數(shù) 將被將被p整除整除,這與假定矛盾這與假定矛盾. 令令g (x)中第一個不能被中第一個不能被p整除的整除的系數(shù)是系數(shù)是 . 考察

14、等式考察等式pb 被0nasb.0110sssscbcbcba由于在這個等式中由于在這個等式中 都被都被p整除整除,所以所以 也必須被也必須被p整除整除. 但但p是一個素數(shù)是一個素數(shù), 所以所以 中至少中至少有一個被有一個被p整除整除. 這是一個矛盾這是一個矛盾.01,bbass0cbs0cbs與第一章第一章 多項式多項式n nx x2 23 3+ 多多項項式式在在有有理理數(shù)數(shù)域域上上例例 是是否否不不可可約約？n n3 31 13 3x x3 3+ 存存在在素素數(shù)數(shù) 滿滿足足定定理理，所所以以，多多項項式式在在有有理理數(shù)數(shù)域域上上是是不不可可約約的的. .因因此此，在在有有理理數(shù)數(shù)域域上上存

15、存在在任任意意次次的的解解不不可可約約多多項項式式. .第一章第一章 多項式多項式小結(jié)小結(jié)本節(jié)解決了兩個問題本節(jié)解決了兩個問題:1.有理系數(shù)多項式的因式分解問題，即有理有理系數(shù)多項式的因式分解問題，即有理系數(shù)多項式的有理根的問題：系數(shù)多項式的有理根的問題：n nn nn nn n0 0n n0 0 f f( (x x) )a a x xa ax xa ar rs sr r, ,s ss s1 12 2| |a a , ,r r | |a a . .-=+11L 設(shè)設(shè)是是一一個個整整系系數(shù)數(shù)多多項項式式， 而而是是它它的的一一個個有有理理根根，其其中中互互素素，那那么么必必有有定定理理第一章第一章 多項式多項式2. 有理系數(shù)多項式環(huán)中存在任意次的有理系數(shù)多項式環(huán)中存在任意次的 不可約多項式不可約多項式那么多項式那么多項式f (x)在有理數(shù)域上不可約在有理數(shù)域上不可約.n nn n1 1n n2 20 02 20