機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)第五章(哈工大—孫靖民)

1、Page 22022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分 目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，像這類約束目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，像這類約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)都是為線性函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，稱作函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)都是為線性函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，稱作線性規(guī)劃問(wèn)題。它的解法在理論和方法上都很成熟，線性規(guī)劃問(wèn)題。它的解法在理論和方法上都很成熟，實(shí)際應(yīng)用也很廣泛。雖然大多數(shù)工程設(shè)計(jì)是非線性實(shí)際應(yīng)用也很廣泛。雖然大多數(shù)工程設(shè)計(jì)是非線性的，但是也有采用線性逼近方法求解的，但是也有采用線性逼近方法求解非線性問(wèn)題的。非線性問(wèn)題的。此外，線性規(guī)劃方法還常被用作解決非線性問(wèn)題的此外，線性規(guī)劃方法還常被用作解決非線性問(wèn)題的子問(wèn)題的工具，如在

2、可行方向法中可行方向的尋求子問(wèn)題的工具，如在可行方向法中可行方向的尋求就是采用線性規(guī)劃方法。當(dāng)然，對(duì)于真正的線性優(yōu)就是采用線性規(guī)劃方法。當(dāng)然，對(duì)于真正的線性優(yōu)化問(wèn)題，線性規(guī)劃方法就更有用了。化問(wèn)題，線性規(guī)劃方法就更有用了。Page 32022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分0024261553. .2max21212121xxxxxxt sxxz解：設(shè)生產(chǎn)解：設(shè)生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品分別兩產(chǎn)品分別為為x1, x2臺(tái)，則該問(wèn)題的優(yōu)化臺(tái)，則該問(wèn)題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：數(shù)學(xué)模型為：例例5-1： 某工廠要生產(chǎn)某工廠要生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一臺(tái)產(chǎn)品每生產(chǎn)一臺(tái)產(chǎn)品A 可獲產(chǎn)值可獲產(chǎn)值2萬(wàn)元；萬(wàn)元；需占

3、用一車間工作日需占用一車間工作日3天，二車間工天，二車間工作日作日6天；每生產(chǎn)一臺(tái)產(chǎn)品天；每生產(chǎn)一臺(tái)產(chǎn)品B 可獲產(chǎn)可獲產(chǎn)值值1萬(wàn)元；需占用一車間工作日萬(wàn)元；需占用一車間工作日5天，天，二車間工作日二車間工作日2天?，F(xiàn)一車間可用于天?，F(xiàn)一車間可用于生產(chǎn)生產(chǎn)A、B產(chǎn)品的時(shí)間產(chǎn)品的時(shí)間15天，二車間天，二車間可用于生產(chǎn)可用于生產(chǎn)A、B產(chǎn)品的時(shí)間產(chǎn)品的時(shí)間24天。天。試求出生產(chǎn)組織者安排試求出生產(chǎn)組織者安排A、B兩種產(chǎn)兩種產(chǎn)品的合理投資產(chǎn)數(shù)，以獲得最大的總品的合理投資產(chǎn)數(shù)，以獲得最大的總產(chǎn)值。產(chǎn)值。Page 42022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分例例5-2：生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需使用材料生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每

4、件需使用材料9kg9kg、3 3個(gè)工時(shí)、個(gè)工時(shí)、4kw4kw電，獲電，獲利潤(rùn)利潤(rùn)6060元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材料元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材料4kg4kg、1010個(gè)工時(shí)、個(gè)工時(shí)、5kw5kw電，電，可獲利可獲利120120元。若每天能供應(yīng)材料元。若每天能供應(yīng)材料360kg360kg，有，有300300個(gè)工時(shí)，能供個(gè)工時(shí)，能供200kw200kw電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，使每天可能獲得的電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，使每天可能獲得的利潤(rùn)利潤(rùn)最大最大？ 12,x x1212( ,)60120maxf x xxx112()94360gXxx分析：分析：每天生產(chǎn)的每天生產(chǎn)的分別為分別為 件件

5、（工時(shí)約束）（工時(shí)約束）（電力約束）（電力約束）（材料約束）（材料約束）( (利潤(rùn)最大利潤(rùn)最大) )212()310300gXxx312()45200gXxxPage 52022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分例5-3：某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知：兩種產(chǎn)品分別由兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)。第一條生產(chǎn)甲，每天最多生產(chǎn)9件，第二條生產(chǎn)乙，每天最多生產(chǎn)7件；該廠僅有工人24名，生產(chǎn)甲每件用2工日，生產(chǎn)乙每件用3工日；產(chǎn)品甲、乙的單件利潤(rùn)分別為40元和80元。問(wèn)工廠如何組織生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)？日利潤(rùn)最大日利潤(rùn)最大生產(chǎn)能力限制生產(chǎn)能力限制勞動(dòng)力限制勞動(dòng)力限制變量非負(fù)變量非負(fù)12121212max()408097

6、2324,0F Xxxxxxxx xs.t.Page 62022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式：線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式：11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb求求T12nxx xx1122( )minnnfxc xc xc x使使且滿足且滿足0(1,2, )ixin 0(1,2,)jbjm 說(shuō)明：說(shuō)明：1 1）m=n,m=n,唯一解唯一解2 2）mn,mn,無(wú)解無(wú)解3 3）mn,mm)為轉(zhuǎn)軸元素，此時(shí)為轉(zhuǎn)軸元素，此時(shí)xt進(jìn)入進(jìn)入基，基， xs出基。這樣就完成了從一個(gè)基本解到另一個(gè)

7、基本出基。這樣就完成了從一個(gè)基本解到另一個(gè)基本解的轉(zhuǎn)換解的轉(zhuǎn)換staPage 262022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分1234512345541322058xxxxxxxxxx解：用解：用a11, a22作為軸元素進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)軸運(yùn)算：作為軸元素進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)軸運(yùn)算：例：給定如下方程組，試進(jìn)行基本解的轉(zhuǎn)換運(yùn)算。例：給定如下方程組，試進(jìn)行基本解的轉(zhuǎn)換運(yùn)算。134523450723120123420 xxxxxxxx 得到一組得到一組基本解：基本解： x1=-12 x2=-20 x3=x4=x5=0Page 272022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分用用a25作為軸元素進(jìn)行第三次轉(zhuǎn)軸運(yùn)算：作為軸元素

8、進(jìn)行第三次轉(zhuǎn)軸運(yùn)算：1234234531203441303544xxxxxxxx又得到一組又得到一組基本可行解：基本可行解： x1=3 x5=5 x2=x3=x4=0此時(shí)此時(shí)x5進(jìn)入基，進(jìn)入基， x2出基。出基。Page 282022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分二、基本可行解到基本可行解的轉(zhuǎn)換二、基本可行解到基本可行解的轉(zhuǎn)換121211111122112212100010000nnmmmkknmmmkknmxxxaxa xa xbxxxaxa xa xbxxx111211001lnmnlmmlkknlmmmmmkknmaxa xa xbxxxaxaxa xb當(dāng)已經(jīng)得到一組基本可行解，若要求

9、把當(dāng)已經(jīng)得到一組基本可行解，若要求把xk選進(jìn)基本變量，選進(jìn)基本變量，并使下一組基本解是可行解的話并使下一組基本解是可行解的話Page 292022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分alk作為轉(zhuǎn)軸元素進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算：作為轉(zhuǎn)軸元素進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算：121211111122112212100010000nnmmmkknmmmkknmxxxaxa xa xbxxxaxa xa xbxxx1112110101lnmnlmlmnlklklkmmmmmkkknmaabxxaaaxxxaxaxa xxbPage 302022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分1121111111211000100nlnmmmkknlml

10、mmnlklklkkxxxaxa xa xbaabxxxxaaaxx1121111111211111100000nlnmmmkknlmlmkmknklklkklkkxxxaxa xa xbaabxxxaxaxaaaaa xPage 312022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分方程組第一行發(fā)生的變化：方程組第一行發(fā)生的變化：1121111111211111100000nlnmmmkknlmlmkmknklklkklkkxxxaxa xa xbaabxxxaxaxaaaaa x1112111111121111111100()0()000lnnlnlmmmkmkknlklklmlmkmkkknklk

11、llklklkkbbaaaaxxxaaxxaaxaaaabxxxaxa xaxaaaaPage 322022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分若想用若想用xk取代取代xl成為可行解中的基本變量，成為可行解中的基本變量，即所選取的行即所選取的行要滿足條件要滿足條件: :0lka min ()lkllkbxa規(guī)則規(guī)則Page 332022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分例：例：1234234531203441303544xxxxxxxx基本可行解：基本可行解： x1=3 x5=5 x2=x3=x4=0基本變量基本變量x1、x5 基本可行解的轉(zhuǎn)換：基本可行解的轉(zhuǎn)換： 1）x2、x4系數(shù)全部為負(fù)，只能選

12、取系數(shù)全部為負(fù)，只能選取x3所在的第所在的第3列為轉(zhuǎn)軸列列為轉(zhuǎn)軸列 2） , 由于由于 ，則取第一行為轉(zhuǎn)軸行，則取第一行為轉(zhuǎn)軸行, 于是取于是取a13=2為轉(zhuǎn)軸元素，使為轉(zhuǎn)軸元素，使x3取代取代x1成為基本變量。成為基本變量。3523minikiikbxaPage 342022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分經(jīng)轉(zhuǎn)軸運(yùn)算得：經(jīng)轉(zhuǎn)軸運(yùn)算得：12341245131302882373102882xxxxxxxx得基本可行解：得基本可行解： 351243122xxxxx Page 352022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分結(jié)論結(jié)論：可把松馳變量作為初始基本可行解中的基本變量。可把松馳變量作為初始基本可

13、行解中的基本變量。12312352100,1,2,3ixxxxxxxi 123412350520100,1,2,3,4,5ixxxxxxxxxi 451235,10,0 xxxxx三、初始基本可行解的求法三、初始基本可行解的求法原始約束條件原始約束條件:引入松馳變量引入松馳變量:可得一組基本可行解：可得一組基本可行解：Page 362022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分一、單純形法的基本思想一、單純形法的基本思想從一個(gè)初始基本可行解從一個(gè)初始基本可行解X X0 0出發(fā)，尋找目標(biāo)函數(shù)有較出發(fā)，尋找目標(biāo)函數(shù)有較大下降的一個(gè)新的基本可行解大下降的一個(gè)新的基本可行解X X1 1, ,代替原來(lái)的基本可

14、行代替原來(lái)的基本可行解解X X0 0，如此完成一次迭代。隨后作出判斷，如果未達(dá)到，如此完成一次迭代。隨后作出判斷，如果未達(dá)到最優(yōu)解，則繼續(xù)迭代下去。因?yàn)榛究尚薪獾臄?shù)目有限，最優(yōu)解，則繼續(xù)迭代下去。因?yàn)榛究尚薪獾臄?shù)目有限，所以經(jīng)過(guò)有限次迭代一定能達(dá)到最優(yōu)解。所以經(jīng)過(guò)有限次迭代一定能達(dá)到最優(yōu)解。采用單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題，主要應(yīng)解決以下三個(gè)問(wèn)題：采用單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題，主要應(yīng)解決以下三個(gè)問(wèn)題：（1）如何確定初始基本可行解；）如何確定初始基本可行解；（2）如何由一個(gè)基本可行解迭代出另一個(gè)基本可行解，）如何由一個(gè)基本可行解迭代出另一個(gè)基本可行解，同同時(shí)保證目標(biāo)函數(shù)的下降性時(shí)保證目標(biāo)函數(shù)的下

15、降性；（3）如何判斷一個(gè)基本可行解是否為最優(yōu)解。）如何判斷一個(gè)基本可行解是否為最優(yōu)解。Page 372022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分二二. .最優(yōu)解規(guī)則最優(yōu)解規(guī)則 對(duì)應(yīng)一組基本可行解：對(duì)應(yīng)一組基本可行解： 前前m個(gè)變量組成基本可行解的基本變量個(gè)變量組成基本可行解的基本變量相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為: :1 122( )00mmf xc bc bc b12 ,0,0TmXb bb1mlllcbPage 382022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸運(yùn)算得到另經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸運(yùn)算得到另一組基本可行解為一組基本可行解為:111222kkssskmmmkkxbaxbaxXbaxbax其

16、中：其中：0 ()ssskxbasm 進(jìn)基變量進(jìn)基變量xk出基變量出基變量xsPage 392022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為: :111222( )()()()()00kkssskmmmkkf xc bac bac bacbac11mmllllkkllcbc ac1( )mkllklf xcc a( )kf xrPage 402022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分由于要求由于要求( )( )( )kf xf xrf x0kr結(jié)論結(jié)論: :一旦所有的一旦所有的 , ,即可停止即可停止 轉(zhuǎn)軸運(yùn)算轉(zhuǎn)軸運(yùn)算, ,對(duì)應(yīng)的可行解就是對(duì)應(yīng)的可行解就是最優(yōu)解。最優(yōu)解。r是是 對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的解進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)的標(biāo)對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的解進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)的標(biāo) 志，稱之為檢驗(yàn)數(shù)。志，稱之為檢驗(yàn)數(shù)。10mkkllklrcc a010mkkllklrcc aPage 412022年年7月月4日日10時(shí)時(shí)19分分1minmkllkklcc a具體計(jì)算時(shí)應(yīng)選取具體計(jì)算時(shí)應(yīng)選取: :由于有可能同時(shí)有幾組由于