橢球面的幾何特征與測(cè)量計(jì)算

1、第五章第五章 地球橢球及地球橢球及 橢球面上的計(jì)算橢球面上的計(jì)算第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計(jì)算地球橢球及橢球面上的計(jì)算 1、基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)橢球的幾何特征；地球橢球的幾何特征；地球橢球及其定位；橢球面橢球及其定位；橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算。上的弧長(zhǎng)計(jì)算。2、地面觀測(cè)元素化算、地面觀測(cè)元素化算至橢球面至橢球面3、橢球面上大地坐標(biāo)、橢球面上大地坐標(biāo)的計(jì)算問題的計(jì)算問題12345A1NA2(B1,L1)平面坐標(biāo)計(jì)算平面坐標(biāo)計(jì)算球面坐標(biāo)計(jì)算球面坐標(biāo)計(jì)算(x1,y1)第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 測(cè)量的外業(yè)工作主要是在地球表面進(jìn)行的，或者說測(cè)量的外業(yè)工作主要是在地球表面進(jìn)行的，或者

2、說主要是對(duì)地球表面進(jìn)行觀測(cè)的，由于地球表面不是一個(gè)主要是對(duì)地球表面進(jìn)行觀測(cè)的，由于地球表面不是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面，在其上面無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)密的測(cè)量計(jì)算。規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面，在其上面無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)密的測(cè)量計(jì)算。因此，需要尋求一個(gè)大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形因此，需要尋求一個(gè)大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形體體地球橢球，在其表面完成測(cè)量計(jì)算工作。用橢球地球橢球，在其表面完成測(cè)量計(jì)算工作。用橢球來表示地球必須解決來表示地球必須解決2 2個(gè)問題：個(gè)問題：一是橢球一是橢球參數(shù)參數(shù)的選擇的選擇( (橢球的大小和形狀橢球的大小和形狀) )； 二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的定位

3、定位( (橢球橢球與大地水準(zhǔn)面包圍的大地體應(yīng)當(dāng)最密合與大地水準(zhǔn)面包圍的大地體應(yīng)當(dāng)最密合) )。第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位第一偏心率第一偏心率第二偏心率：第二偏心率： 扁率扁率橢球長(zhǎng)半徑橢球長(zhǎng)半徑a a，短半徑，短半徑b b 第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位克拉索夫斯基橢球克拉索夫斯基橢球19801980國(guó)家大地坐標(biāo)系國(guó)家大地坐標(biāo)系WGS-84WGS-84a a637824563782456378140637814063781376378137b b6356863.018776356863.018776356755.

4、288166356755.288166356752.31426356752.3142e e2 20.006693421622970.006693421622970.006694384999590.006694384999590.006694379990130.00669437999013ee2 20.00673852544680.00673852544680.006739501819470.006739501819470.006739496742270.00673949674227f f1:298.31:298.31:298.2571:298.2571:298.2572235631:298.2

5、57223563幾種橢球幾何參數(shù)幾種橢球幾何參數(shù) 1967年起，國(guó)際上采用4個(gè)參數(shù)表達(dá)地球：1. 橢球長(zhǎng)半軸 a2. 引力常數(shù)與地球質(zhì)量的乘積 GM3. 地球重力場(chǎng)二階帶球諧系數(shù) J24. 地球自轉(zhuǎn)角速度 第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位垂線偏差垂線偏差地面一點(diǎn)上，鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法地面一點(diǎn)上，鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法線方向之間的夾角。線方向之間的夾角。垂線偏差垂線偏差 的分量的分量子午圈分量子午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量=-B =-B =(-L)cos=(-L)cos A=-(-L)sin=-A=-(-L)sin=-tantan B=-L=-sec第一節(jié)第一節(jié)

6、地球橢球及其定位地球橢球及其定位 橢球定位橢球定位將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置固定下來，將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置固定下來，確定測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測(cè)量起算數(shù)據(jù)。確定測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測(cè)量起算數(shù)據(jù)。 橢球定位通過大地原點(diǎn)的天文觀測(cè)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于大地原點(diǎn)：橢球定位通過大地原點(diǎn)的天文觀測(cè)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于大地原點(diǎn)：B B0 0= = 0 0-0 0L L0 0= = 0 0-0 0secsec0 0A A0 0= = 0 0-0 0tantan0 0H H0 0= H= H0 0常常+0 0 初期定位時(shí)，初期定位時(shí)，0 0，0 0，0 0未知，可取為未知，可取為0 0。 根

7、據(jù)大地測(cè)量和天文測(cè)量數(shù)據(jù)，在根據(jù)大地測(cè)量和天文測(cè)量數(shù)據(jù)，在 條件下，求條件下，求出原點(diǎn)的出原點(diǎn)的0 0，0 0，0 0值。值。橢球定位的三個(gè)條件：1. 橢球的短軸與某一指定歷元的地球自轉(zhuǎn)軸相平行；2. 起始大地子午面與起始天文子午面相平行；3. 在一定區(qū)域范圍內(nèi)，橢球面與大地水準(zhǔn)面（或似大地水準(zhǔn)面）最為密合。第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑法截面法截面包含曲面一點(diǎn)法線的平面。包含曲面一點(diǎn)法線的平面。法截線法截線法截面與曲面的截線。法截面與曲面的截線。子午圈子午圈包含短軸的平面與橢球面的交線。包含短軸的平面與橢球面的交線。卯酉圈卯酉圈與橢球面上一點(diǎn)子午圈相垂直的法截線，

8、為該與橢球面上一點(diǎn)子午圈相垂直的法截線，為該點(diǎn)的卯酉圈。點(diǎn)的卯酉圈。平行圈平行圈垂直于短軸的平面與橢球面的交線。垂直于短軸的平面與橢球面的交線。第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑TWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB+90N=bxrxrra第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑BNrcos第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑-dxdrEDCKBBMMdB表表 M M、N N隨隨B B變化的規(guī)律變化的規(guī)律 B BN NM M說明說明B=0B=0N N0 0=a=aM M0 0= a(1-e= a(1-e2 2) )在赤道上

9、，在赤道上，N N為赤為赤道半徑道半徑a a，M M小于小于赤道半徑赤道半徑a a0 0B90B90aNcaNca(1-ea(1-e2 2)Mc)Mc此間此間N N、M M均隨均隨B B的的增大而增大增大而增大B=90B=90在極點(diǎn)，卯酉圈在極點(diǎn)，卯酉圈變?yōu)樽游缛ψ優(yōu)樽游缛Φ诙?jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算 1 1、計(jì)算、計(jì)算B=0B=0到到B B的子午圈弧長(zhǎng)的子午圈弧長(zhǎng)X X由由M=dXM=dX/dB/dB得：得： 將將 代入上式，從代入上式，從0 0到到B B積分

10、，可得積分，可得X X?？芍?，可知，X X是是B B的函數(shù)。的函數(shù)。第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算 1 1、計(jì)算、計(jì)算B=0B=0到到B B的子午圈弧長(zhǎng)的子午圈弧長(zhǎng)X X由由M=dXM=dX/dB/dB得：得： 將將 代入上式，從代入上式，從0 0到到B B積分，可得積分，可得X X?？芍??？芍琗 X是是B B的函數(shù)。見的函數(shù)。見公式公式(5-41)(5-41)。注意：將不同的橢球參數(shù)代入得相應(yīng)的子午注意：將不同的橢球參數(shù)代入得相應(yīng)的子午圈弧長(zhǎng)計(jì)算式。圈弧長(zhǎng)計(jì)算式。第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算 2 2、計(jì)算已知緯度、計(jì)算已知緯度B1B1和和B2B2之間的子

11、午圈弧長(zhǎng)之間的子午圈弧長(zhǎng)X X（1 1）分別計(jì)算）分別計(jì)算0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之間的子午圈弧長(zhǎng)之間的子午圈弧長(zhǎng)X1X1和和X2X2，然后求，然后求X=X2-X1X=X2-X1；（2 2）用上述積分式求）用上述積分式求B1B1B2B2之間的子午圈弧長(zhǎng)之間的子午圈弧長(zhǎng)X X。第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算 平行圈是一個(gè)半徑等于平行圈是一個(gè)半徑等于 r=Nr=NCOSBCOSB的圓，緯度的圓，緯度B B處經(jīng)度處經(jīng)度L1L1L2L2之間之間的平行圈弧長(zhǎng)的平行圈弧長(zhǎng) 第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面 設(shè)設(shè)Q1Q1和和Q2Q2兩點(diǎn)既不在同一平行

12、圈上，也不在同一子午圈上，它們兩點(diǎn)既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法線的法線Q1n1Q1n1和和Q2n2Q2n2不相交。法截線不相交。法截線Q1m1Q2Q1m1Q2和和Q2m2Q1Q2m2Q1稱為兩點(diǎn)間的相稱為兩點(diǎn)間的相對(duì)法截線。對(duì)法截線。 第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面令令BmBm=45=45，A=45A=45，不同距離，不同距離S S求得的求得的值為：值為： S S 100km 100km 0.042 0.042 60km 60km 0.015 0.015 30km 30km 0.004 0.004 在長(zhǎng)距離的測(cè)量中，對(duì)向觀測(cè)所得在長(zhǎng)距離的測(cè)量中，

13、對(duì)向觀測(cè)所得3 3個(gè)內(nèi)角不能組成個(gè)內(nèi)角不能組成閉合三角形，需在兩點(diǎn)間選擇一條單一曲線閉合三角形，需在兩點(diǎn)間選擇一條單一曲線大地線。大地線。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面1 1、大地線、大地線曲面上兩點(diǎn)間的最短曲線。（或：大地線曲面上兩點(diǎn)間的最短曲線。（或：大地線是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點(diǎn)處的密切平面都包是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點(diǎn)處的密切平面都包含曲面在該點(diǎn)的法線。含曲面在該點(diǎn)的法線。2 2、大地線幾何特征、大地線幾何特征大地線與相對(duì)法截線間的夾角為大地線與相對(duì)法截線間的夾角為=/3/3。大地線與相對(duì)法截線間的長(zhǎng)度之差甚微，大地線與相對(duì)法截線間的長(zhǎng)度之

14、差甚微，600km600km時(shí)二者之時(shí)二者之差僅為差僅為0.007mm0.007mm。兩點(diǎn)位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、兩點(diǎn)位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。赤道重合。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面Kddss2211PPPBA線法曲面切平面密切平面31 =BELDK第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面 大地線的解析特性大地線的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA與與dSdS的關(guān)系：的關(guān)系： 大地線的三個(gè)微分方程：大地線的三個(gè)微分方程：21-+cos=rro90KMTNNNLLSPPPPBBBBddd

15、ddAdAAA第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面 大地線的解析特性大地線的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA與與dSdS的關(guān)系：的關(guān)系： 大地線的大地線的克萊勞方程克萊勞方程 ：r rsinAsinA= =常數(shù)常數(shù) 對(duì)于橢球面上一大對(duì)于橢球面上一大地線而言，每點(diǎn)處平行地線而言，每點(diǎn)處平行圈半徑與該點(diǎn)處大地線圈半徑與該點(diǎn)處大地線方位角正弦的乘積是一方位角正弦的乘積是一個(gè)常數(shù)。個(gè)常數(shù)。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面 將地面測(cè)站點(diǎn)鉛垂線為基準(zhǔn)的觀測(cè)方向換算成橢球面將地面測(cè)站點(diǎn)鉛垂線為基準(zhǔn)的觀測(cè)方向換算成橢球面上以法線為準(zhǔn)的觀測(cè)方向，其改正

16、數(shù)上以法線為準(zhǔn)的觀測(cè)方向，其改正數(shù)11為：為：1= -1= -（sinA-cosAsinA-cosA）tantan例：例：A=0A=0，tantan=0.01=0.01，=5=5，則，則1=0.051=0.05。 垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差和觀測(cè)方向的天頂距（或沒垂直角）。僅在國(guó)家一、二等和觀測(cè)方向的天頂距（或沒垂直角）。僅在國(guó)家一、二等三角測(cè)量計(jì)算中，才規(guī)定加入此項(xiàng)改正。三角測(cè)量計(jì)算中，才規(guī)定加入此項(xiàng)改正。 第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面 因照準(zhǔn)點(diǎn)因照準(zhǔn)點(diǎn) B B高出橢球面某一高度高出橢球面某一高度

17、 H2H2，使得在，使得在A A點(diǎn)照準(zhǔn)點(diǎn)照準(zhǔn)B B點(diǎn)的法截點(diǎn)的法截線線AbAb與與AbAb之間有一夾角之間有一夾角22。B2 B2 照準(zhǔn)點(diǎn)的大地緯度；照準(zhǔn)點(diǎn)的大地緯度；A1 A1 測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；H2 H2 照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程；照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程；M1 M1 測(cè)站點(diǎn)子午圈曲率半徑。測(cè)站點(diǎn)子午圈曲率半徑。例：例：A1=45A1=45，B2=45B2=45，H2=2000mH2=2000m，1=0.11=0.1局部地區(qū)的控制測(cè)量一般不必考慮此項(xiàng)改正。局部地區(qū)的控制測(cè)量一般不必考慮此項(xiàng)改正。 第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面

18、將橢球面上法截線方向換算為大地線方向?qū)E球面上法截線方向換算為大地線方向所加的為截面差改正數(shù)所加的為截面差改正數(shù)33。例：例：A1=45A1=45，BmBm=45=45，S=30km 3=0.001S=30km 3=0.001 截面差改正主要與測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)間的距截面差改正主要與測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)間的距離有關(guān)。只有在國(guó)家一等三角測(cè)量計(jì)算中，才離有關(guān)。只有在國(guó)家一等三角測(cè)量計(jì)算中，才進(jìn)行改正。進(jìn)行改正。 第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面 設(shè)設(shè)A A、B B兩點(diǎn)的大地高分別為兩點(diǎn)的大地高分別為H1H1為為H2H2，h=H2-H1h=H2-H1，d d為空間直線長(zhǎng)。為空間直線長(zhǎng)

19、。由三角形由三角形AOBAOB按余弦公式可得：按余弦公式可得： 弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面 目的目的將方向觀測(cè)值和起算邊長(zhǎng)歸算到橢球面上后，在橢球面上解將方向觀測(cè)值和起算邊長(zhǎng)歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長(zhǎng)。算未知邊長(zhǎng)。方法一：按球面三角形解算公式：方法一：按球面三角形解算公式： 方法二：將球面三角形改化為對(duì)應(yīng)邊相等的平面三角形，按平面三角方法二：將球面三角形改化為對(duì)應(yīng)邊相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長(zhǎng)。公式解算三角形求得球面邊長(zhǎng)。球面三角形球面角超球面三角形球面角超 =（A A0 0+B+B0 0+C+C0 0）-

20、180-180= =/R2/R2，為三角為三角形面積。形面積。 A A1 1=A=A0 0-/3-/3， B B1 1=B=B0 0-/3-/3，C C1 1=C=C0 0-/3-/3。 第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 大地問題正解大地問題正解已知已知P P1 1點(diǎn)大地坐標(biāo)（點(diǎn)大地坐標(biāo)（B B1 1，L L1 1）、）、P P1 1P P2 2大地線長(zhǎng)大地線長(zhǎng)S S和大地方位角和大地方位角A A1 1，推求推求P P2 2點(diǎn)大地坐標(biāo)（點(diǎn)大地坐標(biāo)（B B2 2，L L2 2）和大地方位角和大地方位角A A2 2。 大地問題反解大地問題反解已知已知P1P2P1P2兩點(diǎn)的大地

21、坐標(biāo)（兩點(diǎn)的大地坐標(biāo)（B B1 1，L L1 1）、（）、（B B2 2，L L2 2）反算）反算P P1 1P P2 2的大的大地線長(zhǎng)地線長(zhǎng)S S和大地方位角和大地方位角A A1 1、A A2 2。第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 1 1、按解算的距離分為短距離（、按解算的距離分為短距離（400km)400km)、中距離、中距離（4004001000km)1000km)和長(zhǎng)距離（和長(zhǎng)距離（100010002000km)2000km)的解算。的解算。 2 2、直接解法和間接解法、直接解法和間接解法 直接解法直接解法直接解求點(diǎn)直接解求點(diǎn)B B、A A和相鄰起算點(diǎn)的大和相鄰起

22、算點(diǎn)的大地經(jīng)差。地經(jīng)差。 間接解法間接解法先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角差，再加入到已知點(diǎn)的相應(yīng)大地?cái)?shù)據(jù)中。主要用于短差，再加入到已知點(diǎn)的相應(yīng)大地?cái)?shù)據(jù)中。主要用于短距離大地問題的解算。距離大地問題的解算。 第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 3 3、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適用于短距離）。用于短距離）?；舅悸罚夯舅悸罚篴 a、按照平均引數(shù)展開的臺(tái)勞級(jí)數(shù)把大地線兩端點(diǎn)的經(jīng)、按照平均引數(shù)展開的臺(tái)勞級(jí)數(shù)把大地線兩端點(diǎn)的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長(zhǎng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長(zhǎng)

23、S S的冪級(jí)數(shù)；的冪級(jí)數(shù)；b b、利用大地線微分方程推求冪級(jí)數(shù)中各階導(dǎo)數(shù)，最終、利用大地線微分方程推求冪級(jí)數(shù)中各階導(dǎo)數(shù)，最終得到大地問題解算公式。得到大地問題解算公式。 第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 平均引數(shù)平均引數(shù)xmxm為為xoxo、xaxa的中點(diǎn)，將的中點(diǎn)，將f(xf(xa a) )、f(xf(xo o) )都以都以x xm m為出發(fā)點(diǎn)展為臺(tái)勞級(jí)數(shù)。為出發(fā)點(diǎn)展為臺(tái)勞級(jí)數(shù)。第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算1 1、經(jīng)差、經(jīng)差l l、緯差、緯差b b、方位角差、方位角差a a是是S S的函數(shù)，故可以將其的函數(shù)，故可以將其展為展為S S的臺(tái)勞級(jí)數(shù)（按平均引數(shù)在的臺(tái)勞級(jí)數(shù)（按平均引數(shù)在 S/2S/2處展為處展為S S的冪級(jí)的冪級(jí)數(shù)）。數(shù)）。2 2、引入大地線兩端點(diǎn)的平均緯度和平均方位角，將、引入大地線兩端點(diǎn)的平均緯度和平均方位角，將dL/dSdL/dS以以BmBm、AmAm按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開。