曲線的凹凸性與拐點-0

1、主要內容主要內容：曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義 曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定 曲線的拐點及其求法曲線的拐點及其求法單調性單調性單調性的判別法單調性的判別法xyo)( xfy abAB0)( xf單單調調增增加加xyo)(xfy 0)( xfabBA單單調調減減少少單調區(qū)間的求法單調區(qū)間的求法函數(shù)極值函數(shù)極值函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法oxy0 xoxy0 xxyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 函數(shù)最值函數(shù)最值最值存在判別法最值存在判別法oxyoxybaoxyabab最值的求法最值的求法函數(shù)最值的求法函數(shù)最值的求法曲線凹凸性曲線凹凸性問題問題:如何研究

2、曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoABC(凹凸性凹凸性)一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC定義定義;),()(,2)()()2(,),(212121內的圖形是凸的內的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內任意兩點內任意兩點如果對如果對baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹在在那末稱那末稱的

3、的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹且在且在內連續(xù)內連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內的圖形是凹的內的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點兩點內任意內任意如果對如果對內連續(xù)內連續(xù)在在設設baxfxfxfxxfxxbabaxf 二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內內若在若在二階導

4、數(shù)二階導數(shù)內具有內具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義xyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方的的（或或凸凸弧?。┥仙系牡膱D圖形形是是（向向上上）凸凸在在那那末末稱稱如如果果恒恒有有的的（或或凹凹弧?。┥仙系牡膱D圖形形是是（向向上上）凹凹在在那那末末稱稱恒恒有有點點上上任任意意兩兩如如果果對對上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設設IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(

5、,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸內內的的圖圖形形是是凹凹在在那那末末稱稱的的或或凸凸內內的的圖圖形形是是凹凹且且在在內內連連續(xù)續(xù)在在如如果果baxfbabaxf凹弧凹弧凸弧凸弧曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹

6、的在在則則內內若在若在一階和二階導數(shù)一階和二階導數(shù)內具有內具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1. 討論曲線y=lnx在(0, +)內的凹凸性.解解:)0( 012時因為 xxy由定理3知曲線 y=lnx在(0, +)內是凸的. oyx1y=lnx例例2 2.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當當0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點點注意到注意到,曲線凹凸的定義曲線凹凸的

7、定義xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y曲線的拐點及曲線的拐點及其求法其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點拐點. 注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.xyoABC0 x0y0 x,()拐點拐點改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定xyo)(xfy

8、abAB遞遞增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y曲線的拐點及曲線的拐點及其求法其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點拐點. 拐點的求法拐點的求法:曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y曲線的拐點及曲線的拐點及其求法其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點拐點. 拐點的求法拐點的求法:( (方法方法1)1)0)

9、(0 xf;)0(,0(,)(0)1(即即為為拐拐點點點點變變號號兩兩近近旁旁xfxxfx .)0(,0(,)(0)2(不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx xyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y曲線的拐點及曲線的拐點及其求法其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點拐點. 拐點的求法拐點的求法:( (

10、方法方法1)1)0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf例例3 3.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凸區(qū)間凸區(qū)間凹為凹為曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定xyo)(xfy

11、 abAB遞遞增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y曲線的拐點及曲線的拐點及其求法其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點拐點. 拐點的求法拐點的求法:( (方法方法1)1)0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf( (方法方法2)2)0)(0 xf0)(0 xf.)()0(,0(的拐點的拐點是曲線是曲線xfyxfx 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐點的拐點內內求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得

12、得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內曲線有拐點為內曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 例例4 4.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy5329,yx .,0均不存在均不存在是不可導點是不可導點yyx , 0,)0 ,( y內內但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內內在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 注意注意: :曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲線凹凸的判定曲線凹凸的判

13、定xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y曲線的拐點及曲線的拐點及其求法其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點拐點. 拐點的求法拐點的求法:( (方法方法1)1)0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf( (方法方法2)2)0)(0 xf0)(0 xf.)()0(,0(的拐點的拐點是曲線是曲線xfyxfx 拐點的求法拐點的求法:在在0)(0 xf或一階二階導數(shù)不存在處用方法一或二判定或一階二階導數(shù)不存在處用方法一或二判定單調性單調性單調性的判別法單調性的判別法xyo)

14、( xfy abAB0)( xf單單調調增增加加xyo)(xfy 0)( xfabBA單單調調減減少少單調區(qū)間的求法單調區(qū)間的求法函數(shù)極值函數(shù)極值函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法oxy0 xoxy0 xxyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 函數(shù)最值函數(shù)最值最值存在判別法最值存在判別法oxyoxybaoxyabab最值的求法最值的求法函數(shù)最值的求法函數(shù)最值的求法曲線凹凸性曲線凹凸性曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定曲線的拐點及其求法曲線的拐點及其求法xyo)( xfy 1x2xxyo1x2x)( xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)( xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y0)