函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、3.2.13.2.1幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型（1 1）人民教育出版社A版必修1 樊成河 蒲世吉返回導(dǎo)航 一、實(shí)例分析 投資回報(bào)和選擇獎(jiǎng)勵(lì)模型兩個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生對(duì)直線上升、指數(shù)爆炸與對(duì)數(shù)增長(zhǎng)有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，初步發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量變得很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長(zhǎng)得快，一次函數(shù)比對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)得快.（底數(shù)a0） 例1. 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下： 方案一：每天回報(bào)40元； 方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元； 方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番. 請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？問(wèn)1：在例1中，涉及哪

2、些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描 述這些數(shù)量關(guān)系？問(wèn)2：根據(jù)例1表格中所提供的數(shù)據(jù)，你對(duì)三種方案 分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長(zhǎng)差異有什么認(rèn)識(shí)？問(wèn)3：你能借助計(jì)算器做出函數(shù)圖象，并通過(guò)圖象描 述一下三個(gè)方案的特點(diǎn)嗎？問(wèn)4：由以上的分析，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)如何做出選擇？ 分析：我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過(guò)比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù). 解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元， 則方案一可以用函數(shù)y=40(xN*)進(jìn)行描述； 方案二可以用函數(shù)y=10 x(xN*)進(jìn)行描述； 方案三可以用函數(shù)y=0.42x-1(xN*)進(jìn)行描述. 三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是遞增函數(shù)模型.要對(duì)三個(gè)方

3、案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析. 我們先用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況（表3-4）。x x/ /天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/y/元元 增加量增加量/ /元元 y/y/元元 增加量增加量/ /元元 y/y/元元增加量增加量/ /元元1 1404010100.40.42 240400 0202010100.80.80.40.43 340400 0303010101.61.60.80.84 440400 0404010103.23.21.61.65 540400 0505010106.46.43.23.2x/x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y

4、/y/元元 增加量增加量/ /元元 y/y/元元 增加量增加量/ /元元y/y/元元增加量增加量/ /元元6 64040606012.812.87 740400 07070101025.625.612.812.88 840400 08080101051.251.225.625.69 940400 090901010102.4102.451.251.2101040400 01001001010204.8204.8102.4102.4303040400 0300300101021474214748364.8364.8 8107374182.107374182.4 4再作出三個(gè)函數(shù)的圖象（圖3.2-

5、1）。 由表3-4和圖3.2-1可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不同. 可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二所無(wú)法企及的. 從每天所得回報(bào)看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過(guò)2億元.下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù),通

6、過(guò)計(jì)算器或計(jì)算機(jī)列表如下：1 12 23 34 45 56 6一一40408080120120160160200200240240二二101030306060100100150150210210三三0.40.41.21.22.82.86 612.412.425.225.27 78 89 910101111一一280280320320360360400400400400二二280280360360450450550550660660三三50.850.8102102204.4204.4 409.2409.2 818.8818.8因此，投資16天，應(yīng)選擇方案一； 投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二； 投

7、資810天，應(yīng)選擇方案二； 投資11天（含11天）以上，則應(yīng)選擇方案三. 例2. 某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？問(wèn)1：例2涉及了哪幾類(lèi)函數(shù)模型？本例的本質(zhì)是什么？問(wèn)2：你能根據(jù)問(wèn)題中的數(shù)據(jù)，判定所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否 符合公司要求嗎？問(wèn)3：通過(guò)對(duì)三個(gè)函數(shù)模型增長(zhǎng)差異的比較，你能寫(xiě)出例 2的解答嗎？

8、 分析：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%，由于公司的總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬(wàn)元，所以人員銷(xiāo)售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn).于是，只需在區(qū)間10，1000上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論，再通過(guò)具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果. 解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的圖象（圖3.2-2）200400600800 100012354687Oxyy=0.25xy=5y=log7x+1y=1.002x 觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間10,1000上，

9、模型y=0.25x，y=1.002x的圖象都有一部分在直線y=5的上方，只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方，這說(shuō)明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求. 下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷. 首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn). 對(duì)于模型y=0.25x，它在區(qū)間10,1000上遞增，而且當(dāng)x=20時(shí)，y=5，因此，當(dāng)x20時(shí)，y5，所以該模型不符合要求； 對(duì)于模型y=1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿(mǎn)足 ，由于它在區(qū)間10,1000上遞增，因此當(dāng)xx0時(shí)，y5，所以該模型也不符合要求；5002. 10 x 對(duì)于模型y=

10、log7x+1，它在區(qū)間10,1000上遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，y=log71000+14.555，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求.再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x10,1000時(shí)，是否有25. 01log7 xxxy成立. 令f(x)=log7x+1-0.25x，x10,1000.利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象（圖3.2-3）200200400400600600800800 10001000 12001200-250-250-300-300-200-200-150-150-100-100-50-50Oxy 由圖象可知它是遞減的，因此

11、 f(x)f(10)-0.31670 即 log7x+1x2，有時(shí)2xlog2x.3說(shuō)說(shuō)函數(shù)y=2x，y=x2，y=log2x的增長(zhǎng)差異.在區(qū)間(0,+)上，總有x2log2x；當(dāng)x4時(shí)，總有2xx2.所以當(dāng)x4時(shí)，總有2xx2log2x. 4一般的，在區(qū)間(0,+)上， 盡管函數(shù)y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函數(shù)， 但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)檔次上，隨著x的增大， y=ax(a1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n0)的增長(zhǎng)速度， 而y=logax(a1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢.因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，就有 logaxxn

12、x0時(shí)，總有xxyx2121log2 .), 0() 10(log),0(),10(上的衰減情況在區(qū)間最后探究axynxyaayanx在區(qū)間在區(qū)間(0,+)(0,+)上，總存在一個(gè)上，總存在一個(gè)x0 0, ,當(dāng)當(dāng)xx0 0時(shí)，總有時(shí)，總有 xnaxloglogax（n0,00,0a0，且520-40 x0，即0 x13，于是可得 y=(520-40 x)x-200 =-40 x2+520 x-200，0 x1.2，所以，這個(gè)男生偏胖.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程；收集數(shù)據(jù)畫(huà)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求函數(shù)模型用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題檢驗(yàn)不符合實(shí)際符合實(shí)際課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1. 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的

13、固定成本為150萬(wàn)元，而每件產(chǎn)品的可變成本為2500元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為3500元. （1）分別求出總成本y1（單位：萬(wàn)元），單位成本y2（單位：萬(wàn)元），銷(xiāo)售總收入y3（單位：萬(wàn)元），總利潤(rùn)y4（單位：萬(wàn)元）與總產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)解析式； （2）根據(jù)所求函數(shù)的圖象，對(duì)這個(gè)公司的經(jīng)濟(jì)效益作出簡(jiǎn)單分析. 2. 某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，61，68.為了預(yù)測(cè)以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y=ax2+bx+c，乙選擇了模型y=pqx+r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a,b,c,p,q,r都是常數(shù).結(jié)果4月，5月，6月份的患病人分別為74，78，83，你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？ 例3. 北京市的一家報(bào)刊攤點(diǎn)，從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)北京日?qǐng)?bào)的價(jià)格是每份0.20元，賣(mài)出的價(jià)格是每份0.30元，賣(mài)不掉的報(bào)紙可以以每份0.05元的價(jià)格退回報(bào)社.在一個(gè)月（30天計(jì)算）里，有20天每天可賣(mài)出400份，其余10天每天只能賣(mài)出250份，但每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)的份數(shù)必須相同，這個(gè)攤主每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)多少份，才能使每月所獲的利潤(rùn)最大？并計(jì)算他一個(gè)月最多可賺得多少元？ 解：設(shè)每