Chap4-3協(xié)方差等

1、第 四 章 第三節(jié)協(xié) 方 差 與 相 關(guān) 系 數(shù) 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之和方差，對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)，一、協(xié)方差一、協(xié)方差2.簡(jiǎn)單性質(zhì)簡(jiǎn)單性質(zhì) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常數(shù)是常數(shù)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) (, )()( )X

2、 YEXE XYE YXYX Y設(shè)為二維隨機(jī)向量，若存在，則稱此期望為 與 的協(xié)方差,記為Cov( , ),Cov(X,X)= Var(X)(4) Cov(a, X) = 0, a是常數(shù)是常數(shù) Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可見(jiàn)，若可見(jiàn)，若X與與Y獨(dú)立，獨(dú)立， Cov(X,Y)= 0 .3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即即但反過(guò)來(lái)不成立但反過(guò)來(lái)不

3、成立若若X1,X2, ,Xn兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立,，上式化為，上式化為4. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系和的方差與協(xié)方差的關(guān)系niniiiXX11)Var()Var(Var(X Y)= Var(X)+Var(Y) 2Cov(X,Y)例1 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度為8 , 01,( , )0,xyxyf x y 其他Cov(, )Var().X YXY計(jì)算和解：1101101108()( , )d d8d d154( )( , )d d8d d54()( , )d d8d d9xxxE Xxf x yxyx xyyxE Yyf x yxyy xyyxE XYxyf x yx

4、yxy xyyx 4Cov(,)()() ( ).225X YE XYE X E Y所以1122201122201()( , )d d8d d32()( , )d d8d d3xxE Xx f x yxyxxyyxE Yy f x yxyyxyyx 2222221811Var()()(),315225242Var( )()( ),3575XE XE XYE YE Y1Var()Var()Var( )2Cov(, ).25XYXYX Y二二、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)在不致引起混淆時(shí)，記在不致引起混淆時(shí)，記 為為 .XY 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X和和Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) .定義定義: （X，Y）為二維隨

5、機(jī)向量，）為二維隨機(jī)向量，)Var()Var(),Cov(YXYXXY 稱稱Var(X)0，Var(Y)0, Cov(X,Y)2Var(X)Var(Y)“=”成立 X與Y之間有線性關(guān)系,即 a和b,使Y=aX+b證明證明:l定理定理 4.3.14.3.112,()( )0tREt XE XYE Y 有（）（）0)Var(),Cov(2)Var(:2YtYXtX即 0 0即: Cov(X,Y)2Var(X)Var(Y)若若 =0， Y與與X無(wú)線性關(guān)系無(wú)線性關(guān)系;稱稱X,Y不相關(guān)不相關(guān)。 Y與與X有嚴(yán)格線性關(guān)系有嚴(yán)格線性關(guān)系;, 1 若若| |的值越接近于的值越接近于1, Y與與X的線性相關(guān)程度越

6、高的線性相關(guān)程度越高; | |的值越接近于的值越接近于0, Y與與X的線性相關(guān)程度越弱的線性相關(guān)程度越弱. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：11 | . 1X與與Y之間有線性關(guān)系之間有線性關(guān)系X與與Y之間有線性關(guān)系之間有線性關(guān)系111 | . 1111 | . 1X與與Y之間有線性關(guān)系之間有線性關(guān)系Cov(X,Y)2Var(X)Var(Y) “ =”成立 X與Y之間有 線性關(guān)系,即 a和b,使Y=aX+bp=0-2-1012-2-1012p=0.2-303-303p=0.5-303-3-2-10123p=0.9-303-3-2-10123p=1-303-303對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的的(X,Y).1, 9

7、. 0, 5 . 0, 2 . 0, 0定理：對(duì)二維隨機(jī)向量定理：對(duì)二維隨機(jī)向量(X,Y),下列結(jié)論等價(jià)：下列結(jié)論等價(jià)：(1)Cov(, )0;(2)(0);(3)()() ( );(4)Var()Var()Var( ).XYX YXYE XYE X E YXYXY與 不相關(guān)由于當(dāng)由于當(dāng)X和和Y獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)= 0.故故)Var()Var(),Cov(YXYX = 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立.請(qǐng)看下例請(qǐng)看下例.2. X和和Y獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)， =0，即，即X，Y必不相關(guān)，必不相關(guān)，但其逆不真但其逆不真.例例1 設(shè)設(shè)X服從服從(-1/2, 1/2)

8、內(nèi)的均勻分布內(nèi)的均勻分布,而而Y=cos X,（請(qǐng)課下自行驗(yàn)證）（請(qǐng)課下自行驗(yàn)證）因而因而 =0， 即即X和和Y不相關(guān)不相關(guān) .但但Y與與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即即X和和Y不獨(dú)立不獨(dú)立 .不難求得，不難求得，Cov(X,Y)=0，但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨(dú)立獨(dú)立X與與Y不相關(guān)不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：前面，我們已經(jīng)看到：若若X與與Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則X與與Y不相關(guān)，不相關(guān)，但由但由X與與Y不相關(guān)，不一定能推出不相關(guān)，不一定能推出X與與Y獨(dú)立獨(dú)立.0,),(),(222121的充要條件

9、為相互獨(dú)立則YXNYX下面我們看一個(gè)投資風(fēng)險(xiǎn)組合方面的應(yīng)用：設(shè)設(shè)X,Y分別表示在兩個(gè)不同風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目上的投資分別表示在兩個(gè)不同風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目上的投資回報(bào)，回報(bào)，a, b代表組合投資中這兩個(gè)項(xiàng)目的權(quán)重，代表組合投資中這兩個(gè)項(xiàng)目的權(quán)重，a X+ bY就表示了此組合投資的總收益，就表示了此組合投資的總收益，a+b=1.222222222(),Var()= Var( )+b Var( )+2Cov( , )+b+2()2 (1)()2 (1)aX bYXYaX bYXYXYXYXYXYXYXYXYXYE aX bYabaX bY aXYabX Yaababababab 注意到在實(shí)際中0,0,| 1XYabXYa

10、X bYXYabab(1)(1)1,(0,1),0(1),(1),aXa YXYaXa YXYbaaaaaa 記則對(duì)任意的有(1),0,.XYXYXYaXa YXYX Y 假設(shè)這兩個(gè)項(xiàng)目的投資回報(bào)滿足且即高回報(bào)伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)a:1即逐步將高風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的權(quán)重加大，此時(shí)總收益的期望值從逐步增加到與此同時(shí)投資風(fēng)險(xiǎn)(用反映)也從增加到但深入的研究表明：這一變化不是單調(diào)的，即但深入的研究表明：這一變化不是單調(diào)的，即低風(fēng)險(xiǎn)能同時(shí)實(shí)現(xiàn)。減小，即增加收益與降而增加，變小時(shí)，當(dāng)通常存在一個(gè)區(qū)間YaaXYaaXa)1()1(),1 , 0(),( 哈里哈里.馬克維茨馬克維茨(Harry Markowitz)9

11、0年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng) 第 4 節(jié) 協(xié)方差陣與矩 對(duì)二維隨機(jī)變量（對(duì)二維隨機(jī)變量（X, Y）)(211XEXEc)()(12YEYXEXEc排成矩陣的形式排成矩陣的形式:)()(21XEXYEYEc)(222YEYEc稱此矩陣為（稱此矩陣為（X, Y）的協(xié)方差矩陣）的協(xié)方差矩陣.22211211cccc這是一個(gè)這是一個(gè)對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣)Var( X),Cov(YX),Cov(XY)Var(Y 類似定義類似定義n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2, ,Xn) 的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣.為為(X1,X2, ,Xn) 的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣nnnnnncccccccccC21222211

12、1211稱矩陣稱矩陣i, j=1,2,n都存在都存在,),Cov(jijiXXc 若若)()(jjiiXEXXEXE這是一個(gè)這是一個(gè)對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 定義定義 4.4.14.4.1 對(duì)隨機(jī)變量X,若E(Xk)存在,則稱它為X的k階原點(diǎn)矩,若EX-E(X)k存在,則稱它為X的k階中心矩.這里k=1,2, 于是,E(X)是X的一階原點(diǎn)矩,Var(X)是X的二階中心矩.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,高于四階的矩應(yīng)用較少.矩的定義矩的定義復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1. 這一章的關(guān)鍵就是要掌握好期望這一章的關(guān)鍵就是要掌握好期望E(X)的求法的求法.)(.,)(vrXdxxfxvrXpxXEkkk為連續(xù)型，為離散型連續(xù)型離散型Xdxxfx

13、gXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(2. 隨機(jī)變量函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù))( XgY 的期望的期望 ijijjipyxgYXgE),(),(dxdyyxfyxgYXgE ),(),(),(3. 二維隨機(jī)變量函數(shù)二維隨機(jī)變量函數(shù)),(YXg的期望的期望4.方差的計(jì)算方差的計(jì)算 Var(X)=E(X2)-E(X)2 5.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的計(jì)算協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) )Var()Var(),Cov(YXYXXY 1. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為0, 0, 0,!)(xxnexxfxn求求X的期望的期望 及方差及方差

14、)(XE)Var( XdxnexdxxxfXExn01!)()(dxexx01)( 1) 1 (),() 1( 1)!1(!1)2(!1nnnnn )21()!1()( nn)1)(2()!2(!1)3(!1!)()(0222nnnnnndxnexdxxfxXExn 1) 1() 1)(2()()()Var(222nnnnXEXEX2.設(shè)二維隨機(jī)向量設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為其它, 010,),(2xyAyyxf(1) 求常數(shù)求常數(shù)A (2) 判斷判斷X，Y是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立(3) 求求)()(),(22YXEXYEXE及12112),(1002 AAdyA

15、ydxdxdyyxfxxy 1其它, 010),1 (1212),()(122yYyyydxydxyxfyf不相互獨(dú)立所以，時(shí)，當(dāng)YXyfxfyxfyxYX,)()(),(1,0其它, 010,412),()() 2(032xXxxdyydyyxfxfxy 1dxxxfXEX)()(104544dxx其它, 010,4)(3xxxfX 100104254412),()(xdxxdyyxdxdydxyxxfXE或或 100105321312),()(xdxxdyyxdxdydxyxxyfXYE 10022222221516)(12),()()(xdyyyxdxdydxyxfyxYXExy 1想想想想的概率密度函數(shù)求YXYXP)5(?) 12()4(設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度函數(shù)有概率密度函數(shù)其它, 0, 10,1, 01,1)(xxxxxf令令,2XY 求求(1) Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù))( yfY)Var(),() 3(96. 125. 0)2(YYEYPyydxxfyXyPyXPyYPyFyyY2)()(2 1 , 0 (y當(dāng), 0)(0yFyY時(shí)，當(dāng)當(dāng)y1時(shí)，時(shí)，1)(yFY其它, 0 1 , 0(, 1)()(1yyyfY 1 , 0 (2)(yyyyFY25. 0)25. 0() 1 ()()(96. 125. 0) 2(1