《電磁場(chǎng)與電磁波》第4章

1、第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波1 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 4.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 4.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)電磁場(chǎng)的位函數(shù) 4.3 電磁能量守恒定理電磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng)第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波24.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 二二階矢量微分方程，階矢量微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性 麥克斯韋方程麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng)一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng) 間的相互作用關(guān)系間的相互作用關(guān)系 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出0HJtHtH 2220

2、EEt2220HHt 無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波0HJtHtH 3 推證思路：推證思路：從電磁場(chǎng)基本方程組推導(dǎo)電磁波動(dòng)方程從電磁場(chǎng)基本方程組推導(dǎo)電磁波動(dòng)方程 媒質(zhì)均勻媒質(zhì)均勻, ,線性線性, ,各向同性。各向同性。為常數(shù),討論前提：討論前提： 脫離激勵(lì)源脫離激勵(lì)源 ；00HtHtH 0 , 0J2220EEt2220HHt第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波4 推證推證Ht()EHt ()HH 222HtAAA2)()(H()EtHt ()HH 22220HHt0H第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 推證推證Ht()HEt ()EE 222EtAAA

3、2)()(E()HtHt ()EE 20E2220EEt第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波64.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)電磁場(chǎng)的位函數(shù) 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的性質(zhì) 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波7引入位函數(shù)的目的：使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。引入位函數(shù)的目的：使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。 靜態(tài)場(chǎng)的位函數(shù)靜態(tài)場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)變場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)變場(chǎng)的位函數(shù)0ABA AEt E 靜態(tài)場(chǎng)位函數(shù)滿足的泊松方程靜態(tài)場(chǎng)位函數(shù)滿足的泊松方程2 2AJ BA 0At222AAJt 222t 時(shí)變場(chǎng)位函數(shù)滿足的達(dá)朗貝

4、爾方程時(shí)變場(chǎng)位函數(shù)滿足的達(dá)朗貝爾方程第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波8 動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位的定義動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位的定義0BBA Bt ()0AtAEt AEt 推證推證()At At AEt 第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波9 位函數(shù)的不確定性位函數(shù)的不確定性）、（A 滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和和 能描述同能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。即即也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。不同位也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換A 原因：未規(guī)定原因：未規(guī)定 的

5、散度的散度AAt AAEt 為任意可微函數(shù)為任意可微函數(shù)A（ 、 ）A（ 、 ）A()AA()()AttAAtAttt第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波10除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即 在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定 的散度。利用的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定 的散度使位函數(shù)滿足的方程得的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡(jiǎn)化。以簡(jiǎn)化。AAAA

6、0At0A第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波11 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程BDEHDHJtEBJtABAEt ()AAJtt2()AAA 222()AAAJtt 222AAJt 0At222()AAJAtt 22()AJtt第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波12同樣同樣D()At 222t ADEEt 、0AtAt tt 第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波13 說(shuō)明說(shuō)明 應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)： 位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱的，且比較簡(jiǎn)單，易求解；位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱的，且比較簡(jiǎn)單，易求解； 解的物理意義非常清楚；解的物理意義非常清楚； 矢量位只決

7、定于矢量位只決定于J，標(biāo)量位只決定于，標(biāo)量位只決定于，這對(duì)求解方程特別有利。這對(duì)求解方程特別有利。只需解出只需解出A，無(wú)需解出，無(wú)需解出 就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。 電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng) 用不同的規(guī)范條件，矢量位用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位和標(biāo)量位的解也不相同，但最終的解也不相同，但最終 得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。222AAJt 222t 0At第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波144.3 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 討論內(nèi)容討論內(nèi)容

8、 坡印廷定理坡印廷定理 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系 坡印廷矢量坡印廷矢量第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波15 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的能量體積的能量體積V內(nèi)增加的能量體積內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量?jī)?nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度：電磁能量密度電磁能量密度：空間區(qū)域空間區(qū)域V中的電磁能量中的電磁能量： 特點(diǎn)特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨 時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng) 電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量守恒關(guān)系： 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系ddWt

9、VS12ew E D 12mw H B1122emwwwE DH B11d()d22VVWw VE DVH B第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波16 其中其中： 單位時(shí)間內(nèi)體積單位時(shí)間內(nèi)體積V 中所增加中所增加 的電磁能量的電磁能量 單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所作的功；中的電流所作的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率內(nèi)總的損耗功率 通過(guò)曲面通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V 的電磁功率的電磁功率 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：積分形式： 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：11()()22tE HE DH

10、 BE J d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J d11()dd22VVtE DH B dVVE J () dSE HS第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波17 在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減，得到將以上兩式相減，得到由由 推證推證DHJtBt DH JtBHHt DBHH JHtt 1()1()22D Dtttt 1()1()22BHH HHHH Btttt第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波18即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢

11、量恒等式：在任意閉曲面在任意閉曲面S 所包圍的體積所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式 物理意義物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的電磁能量等于的電磁能量等于 體積體積V 中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。()HHH 11()()22H DH B Jt d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J 第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波19 定義：定義： ( W/m2 ) 物理意義物理意義：

12、 的方向的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较螂姶拍芰總鬏數(shù)姆较?的大小的大小 通過(guò)垂直于能量傳輸方通過(guò)垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率 描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E SHSS第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波20 例例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流

13、過(guò)的電，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為流為I 。同軸線同軸線求：求：（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；）在?dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波21穿過(guò)任意橫截面的功率為穿過(guò)任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）dSPSS同軸線介質(zhì)中功率面密度同軸線介質(zhì)中功率面密度SEHdeSdz2qSSEdcIHldxzUeEb

14、ad介質(zhì)中介質(zhì)中 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)镋e第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波（1 1）先求線電荷密度為先求線電荷密度為l的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的電場(chǎng)的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的電場(chǎng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系電荷分布具有軸對(duì)稱性，選柱坐標(biāo)電荷分布具有軸對(duì)稱性，選柱坐標(biāo)分析場(chǎng)的分布特征分析場(chǎng)的分布特征zeP(,z )電場(chǎng)沿徑向分布，只有電場(chǎng)沿徑向分布，只有E分量，分量，E=e E根據(jù)場(chǎng)分布作一閉合面根據(jù)場(chǎng)分布作一閉合面高斯面高斯面取高度為取高度為1的閉合圓柱面，即的閉合圓柱面，即S= e S側(cè)側(cè)+ ezS上底上底 - ezS下底下底 代入高斯定律中計(jì)算：代入高斯定律中計(jì)算：112dlSESE2lE 即即2le

15、E第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波（1 1）先求線電荷密度為先求線電荷密度為l的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的電場(chǎng)的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的電場(chǎng)結(jié)合電場(chǎng)強(qiáng)度與電壓的結(jié)合電場(chǎng)強(qiáng)度與電壓的U U關(guān)系關(guān)系z(mì)eP(,z )得得2leEUeEbadbald2Uablln2abUln2l代回電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式：代回電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式：2leE21eEabUln2abUelnba第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波24He H()ab（2 2）根據(jù)安培環(huán)路定律求介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度根據(jù)安培環(huán)路定律求介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度取回路取回路CcIHlddeldIdH20IH22IHe()ab同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷

16、矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波25ln()UEeb a ()ln()2UISEHeeb a2IHe()ab（3 3）求內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量求內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量方向?yàn)榉较驗(yàn)閦軸方向，表明：電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間沿軸方向流動(dòng)，軸方向，表明：電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間沿軸方向流動(dòng)，即由電源向負(fù)載。即由電源向負(fù)載。同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）理想導(dǎo)體內(nèi)理想導(dǎo)體內(nèi)0J內(nèi)E22ln()zUIeb a第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波2622ln()zUISeb a（

17、3 3）求內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量求內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量S的大小的大小同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）與同軸線的尺寸與同軸線的尺寸a、b有關(guān)有關(guān);與同軸線外加電源參數(shù)與同軸線外加電源參數(shù)U、I 有關(guān)有關(guān);與場(chǎng)點(diǎn)位置參數(shù)與場(chǎng)點(diǎn)位置參數(shù) 有關(guān)有關(guān): 則則SS； 則則S S。即：能量集中于內(nèi)導(dǎo)體外表面。即：能量集中于內(nèi)導(dǎo)體外表面。第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波27穿過(guò)任意橫截面的功率為穿過(guò)任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）2

18、d2d2ln()bzSaUIPS e SUIb a （4 4）求內(nèi)外導(dǎo)體之間的功率求內(nèi)外導(dǎo)體之間的功率dSPSSdeSdz222ln()zUISeb a第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波28 （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)向的電場(chǎng)根據(jù)邊界條件，根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體在內(nèi)導(dǎo)體表面表面上電場(chǎng)的切向分量連上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)續(xù)E1t=E2t ，即，即:同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）2zJIEea內(nèi)aazzEE外內(nèi)12en12E2E1E1tE2tlch2

19、zIealn()UEeb a根據(jù)內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)強(qiáng)度根據(jù)內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)強(qiáng)度ln()aUEeab a外第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波29磁場(chǎng)則仍為磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）2aaIHe外()aaSEH外外外因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為2ln()zIUeeaab aaE外2Iea=aazEE外外223222ln()zIUIeeaab a第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波30進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體

20、的功率為功率為:由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。向分量，如圖所示。 dSaPSS外同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）d2dSa z e()dSaPSS 外e223222ln()zaIUISeeaab a 外212302d2Ia za22Ia2I R第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波31式中式中 是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為的功率為結(jié)論：結(jié)論： 電磁能量是由電磁場(chǎng)傳

21、輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。作用。 當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。222IPI Ra21Ra同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波324. 5 時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng) 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 時(shí)

22、諧場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù) 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念0( , )cos( )A r tAtr0( , )sin( )A r tAtr振幅振幅角頻率角頻率初相位初相位 = 2 f4.5.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦正弦或余弦）變化，）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為定角頻率作時(shí)諧

23、變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)?；蛘译姶艌?chǎng)。第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題求解的有利因素時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題求解的有利因素( , )( ) ( )F r tF r T t時(shí)-空可以分離求解！即： 可以獨(dú)立分析物理量的 空間變化和時(shí)間變化實(shí)現(xiàn)時(shí)空分離的方法：實(shí)現(xiàn)時(shí)空分離的方法： 將場(chǎng)量用將場(chǎng)量用復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式來(lái)表示來(lái)表示第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 時(shí)諧場(chǎng)量的數(shù)學(xué)表示時(shí)諧場(chǎng)量的數(shù)學(xué)表示由由復(fù)變函數(shù)，知：復(fù)變函數(shù)，知： ，則：，則： cos()Re()j tte( )Re( )Re ( )jrj tj tmAr eeA r e( )( )( )jrm

24、A rAr e式中：式中： 時(shí)諧場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示( , )( )cos( )mA r tArtrtjtetjsincos時(shí)間因子時(shí)間因子空間相位因子空間相位因子復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)振幅 時(shí)諧場(chǎng)量的實(shí)數(shù)表示（瞬時(shí)表示）時(shí)諧場(chǎng)量的實(shí)數(shù)表示（瞬時(shí)表示）( , )( )cos( )mA r tArtr第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )xxmxyymyzzmzEx y z t

25、Ex y ztx y zEx y z tEx y ztx y zE x y z tEx y ztx y z 在直角坐標(biāo)系下，時(shí)諧電場(chǎng)瞬時(shí)形式為：在直角坐標(biāo)系下，時(shí)諧電場(chǎng)瞬時(shí)形式為：xxyyzzEe Ee Ee E, , ,Re, ,Re, , , ,Re, ,Re, , , ,Re, ,Re, ,xyzjtj txxmxmjtj tyymymjtj tzzmzmEx y z tEx y z eEx y z eEx y z tEx y z eEx y z eEx y z tEx y z eEx y z e, , , , , , ,xyzjxmxmjymymjzmzmEx y zEx y z eE

26、x y zEx y z eEx y zEx y z e其中： 表示為復(fù)數(shù)形式：表示為復(fù)數(shù)形式：第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波xxyyzzEe Ee Ee ERe()Re()Re()j tj tj txxmyymzzmeE eeE eeE eRe()j txxmyymzzme Ee Ee EeRej tmE emxxmyymzzmEe Ee Ee E 時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示（續(xù)）時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示（續(xù)）式中：式中： 復(fù)矢量復(fù)矢量xyzjxmxmjymymjzmzmEE eEE eEE e第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波yxzyxzyxzyxzjjjxxmyymzzmjjjxxm

27、yymzzmjjjxxmyymzzmjjjxxmyymzzmjmDe D ee D ee D eHe Hee Hee H eBe B ee B ee B eJe Jee Jee J ee同理同理 時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示（續(xù)）時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示（續(xù)） 復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng) 有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波場(chǎng)量復(fù)數(shù)表達(dá)形式和瞬時(shí)（實(shí)數(shù)）形式相互轉(zhuǎn)換場(chǎng)量復(fù)數(shù)表達(dá)形式和瞬時(shí)（實(shí)數(shù)）形式相互轉(zhuǎn)換場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式：場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形

28、式：jmEE e場(chǎng)量的瞬時(shí)形式場(chǎng)量的瞬時(shí)形式：cos()mEEt 場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)形式的方法：場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)形式的方法：jmEE etje ()jtmE e取實(shí)部cos()mEt第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波40 研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義 在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信廣播、電視和通信 的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。 任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅立葉分析方法展開(kāi)為不任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅立葉分析方法展開(kāi)為不 同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加

29、。第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波41 例例4.5.1 將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式解：思路：解：思路：先將各個(gè)分量寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形式，再按照定義寫(xiě)出復(fù)振幅先將各個(gè)分量寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形式，再按照定義寫(xiě)出復(fù)振幅（1）所以所以( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz(/2)()ReeReeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E(/2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme E

30、ee jE e(/2)()Reeeeeyxjkzjkzj tj txxmyyme Ee E(/2)()Re eeeyxjkzjkzj txxmyyme Ee E可以略去可以略去第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波42解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?故故 所以所以 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkz( , , )H x z t 00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza200( , )()sin()ecos()ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa（2）00( , , )()sin()sin(

31、)cos()cos()xzaxxH x z te H kkzte Hkztaa第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波43 例例4.5.2 已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解解:其中其中kz和和Exm為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量( )cos()mxxmzEze jEk z()2( , )Recos()eRecos()ej txxmzjtxxmzE z te jEk ze Ek zcos()cos()2xxmze Ek ztcos()sin()xxmze Ek zt 第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波44以電場(chǎng)旋度方程以電場(chǎng)旋度方程 為例，每個(gè)場(chǎng)量寫(xiě)成復(fù)矢量

32、形式得：為例，每個(gè)場(chǎng)量寫(xiě)成復(fù)矢量形式得：t Re 將將 、 交換次序，得交換次序，得因?yàn)樯鲜綄?duì)任意因?yàn)樯鲜綄?duì)任意 t 均成立，所以將均成立，所以將 t0 ， t/2兩個(gè)時(shí)刻分別兩個(gè)時(shí)刻分別代入式得：代入式得：4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程t/2時(shí)：時(shí)：BEt Re(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)j tj tmmEBt ReRemmEj B Ret與Reej tmj Bt0時(shí)：時(shí)：22Re(e)ReejjmmEj B第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波454.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程即即ImImmmEj BmmEj B I

33、mImmmEj Bt/2時(shí)：時(shí)：ReRemmEj BReRe ()mmjEjj Bt0時(shí)：時(shí)：22Re(e)ReejjmmEj B2ecos+ sin22jjj第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波46總結(jié)：任意矢量場(chǎng)總結(jié)：任意矢量場(chǎng)BEt mmEj B j( , )Re( )etA r tj A rt( )j A r( , )A r ttjtj( , )Re ( )etA r tA r瞬時(shí)形式（瞬時(shí)形式（每個(gè)矢量都是每個(gè)矢量都是r r，t t的函數(shù)的函數(shù)）復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式（每個(gè)矢量?jī)H是每個(gè)矢量?jī)H是r r的函數(shù)的函數(shù)）第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波47從形式上講，只要把微分算子從形式上講，

34、只要把微分算子 用用 代替，就可以把基本方程代替，就可以把基本方程的的瞬時(shí)瞬時(shí)形式形式轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量復(fù)矢量形式。形式。復(fù)矢量的麥克斯韋方程：復(fù)矢量的麥克斯韋方程：略去略去“.”和下標(biāo)和下標(biāo)mtj jt0tt DHJBEBD0mmmmmmmmHJj DEj BBD0H J j DEj BDB 第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波無(wú)源區(qū)無(wú)源區(qū)0(mJ)0m復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程任意區(qū)域任意區(qū)域0mmmmmmmmHJj DEj BBD00mmmmmmHj DEj BBD第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波HEjE 當(dāng)介質(zhì)的電導(dǎo)率為當(dāng)介質(zhì)的電導(dǎo)率為不為零的有限值不為零的有限值，此

35、時(shí)介質(zhì)存在，此時(shí)介質(zhì)存在歐姆損耗歐姆損耗。()cjEjEj 式中：式中：cj等效復(fù)介等效復(fù)介電常數(shù)電常數(shù) 等效復(fù)介電常數(shù)等效復(fù)介電常數(shù)均為省略上標(biāo)均為省略上標(biāo)“.”的復(fù)矢量的復(fù)矢量4.5.4 復(fù)介電常數(shù)復(fù)介電常數(shù)表征歐姆表征歐姆損耗損耗HjE湊成了與湊成了與無(wú)損耗區(qū)無(wú)損耗區(qū)安培環(huán)路定律相似的形式：安培環(huán)路定律相似的形式：第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 介質(zhì)損耗角介質(zhì)損耗角 復(fù)介電常數(shù)（續(xù)）復(fù)介電常數(shù)（續(xù)）等效復(fù)介電常數(shù)等效復(fù)介電常數(shù)虛部虛部與與實(shí)部實(shí)部的的比比, ,稱為稱為損耗角正切損耗角正切。對(duì)。對(duì)導(dǎo)電媒質(zhì)：導(dǎo)電媒質(zhì)：tan介質(zhì)損耗角介質(zhì)損耗角tan()arc1 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體弱

36、導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體1 普通導(dǎo)電媒質(zhì)普通導(dǎo)電媒質(zhì)1 良導(dǎo)體良導(dǎo)體導(dǎo)電媒導(dǎo)電媒質(zhì)分類(lèi)質(zhì)分類(lèi)cj 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性 導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波例例 海水電導(dǎo)率海水電導(dǎo)率 ，相對(duì)介電常數(shù)，相對(duì)介電常數(shù) 。求海水。求海水在在 和和 時(shí)的等效復(fù)介電常數(shù)。時(shí)的等效復(fù)介電常數(shù)。4/S m 解：解：81 r r1fkHzfGHz1當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1fkHzcj46.37 10/jF m 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1fGHz09481210cj

37、j10107.16 106.37 10/jF m910813634210j第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波524.5.4 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)理想介質(zhì) 在時(shí)諧時(shí)情況下，根據(jù)在時(shí)諧時(shí)情況下，根據(jù) 、 ，即可得到即可得到復(fù)復(fù)矢量的波動(dòng)方程矢量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。，稱為亥姆霍茲方程。瞬時(shí)矢量瞬時(shí)矢量復(fù)矢量復(fù)矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH()cck jt 222t 均為省略上標(biāo)均為省略上標(biāo)“.”.”的復(fù)矢的復(fù)矢量量傳播常數(shù)傳播常數(shù): :第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁

38、場(chǎng)與電磁波534.5.5 時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù) 在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程瞬時(shí)矢量瞬時(shí)矢量復(fù)矢量復(fù)矢量t BAAEj BAEAt Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ 復(fù)達(dá)朗貝爾方程復(fù)達(dá)朗貝爾方程均為省略上標(biāo)均為省略上標(biāo)“.”.”的復(fù)矢的復(fù)矢量量第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波544.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 為場(chǎng)量為場(chǎng)量 的復(fù)數(shù)共軛。的復(fù)數(shù)共軛。0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT2T時(shí)諧條件下的計(jì)算式：時(shí)諧條件下的計(jì)算式：1Re2avSEH式中：式中： 、 為場(chǎng)量的為場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表達(dá)式復(fù)數(shù)表達(dá)式；EHHH 定義式（對(duì)物理量沒(méi)有定義式（對(duì)物理量沒(méi)有“時(shí)諧時(shí)諧”要求）要求）第4章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波( )( )( )S tE tH tRe Rej tj tEeHe01( )TavSS t dtT時(shí)諧場(chǎng)平均坡印廷矢量的證明時(shí)諧場(chǎng)平均坡印廷矢量的證明211Re()Re()22jtEHEHe代回定義式，代回定義式，20111Re(