實(shí)變函數(shù)(全)

1、第一章 集合:BxAxxBABA但或差：不一定成立ABBA)(ABcBABA注：ASACs余：（其中S為全集）,簡(jiǎn)記為Ac:BxAxxBA或,:AxxA使為指標(biāo)為指標(biāo)集，|AA或集簇：nA特別當(dāng) 時(shí)，稱集簇為集列，記為N:BxAxxBA且,:AxxA有注：在本書(shū)中我們未把0包含在N內(nèi),+不在中不在中,11:11NnxxAnnn設(shè)0 , 11nnA) 1 , 2(1nnA( ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 11nafnafEE則記設(shè),)(:,:axfExEREfaf ( a-1/n a),(),11nnaa)(11nafnE),(11nna ( ( a-1/n-1 a-1/

2、n a-1/n+1 a則記設(shè),)(:,:axfExEREfaf11nafnafEE( a a+1/n),(11nna)(11nafnE),),(11nnaa,: ),(BbAabaBA,2, 1,:),(211niAxxxxAiinii,2, 1,:),(211niAxxxxAiinniiccAA )(De Morgan公式注：通過(guò)取余集，使A與Ac，與互相轉(zhuǎn)換ccAA )(,:nAxNnNx使是一個(gè)集合序列設(shè),21nAAA() : :limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或?qū)儆跓o(wú)限多個(gè)集合存在無(wú)限多個(gè) ，使1NNnnANB例：設(shè)A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,

3、2() : :limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限個(gè)集外，有當(dāng) 充分大時(shí)，有1NNnnA例：設(shè)A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2,下極限集為111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使() :limsuplimnnnnnAAx xA或?qū)儆跓o(wú)限多個(gè)集合,:nAxNnNx有NBnAAAAnnnnlimlimnAnAAAnnlim;),(1為單調(diào)減少則稱滿足若集列nnnnANnAAA;),(1為單調(diào)增加則稱滿足若集列nnnnANnAAA.)21limnnnnnAAA 單調(diào)減少，則若;,) 11limnnnnnAAA則單調(diào)增加若1,

4、:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA當(dāng)An為單調(diào)增加集列時(shí)11NNNNnnNNnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA 11NNNNnnNNnnAAAA當(dāng)An為單調(diào)減小集列時(shí)111nnNNnnnnNnnAAAA則設(shè),),(),11 ,11(212NnnnAnnAnn),(limnnA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnA

5、AxNnNx有)(inflimlimnnnnAA( ( ( ） ) )-n -1 0 1 2 n 1 , 1(limnnA則設(shè),1 ,4 ,1121112NnAAnnnnnn0, 4)limnnA -1 0 1 2 3 41,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA 1 , 0(limnnA111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使111)(:)(:)()(limkNN

6、nknnnaxfxaxfxxfxf，則設(shè)knkkaxfNnNaxf111)(, 1,)(, 1有利用極限的保號(hào)性知，使得從而aaxfnaxfNnNkknk111)()(, 1, 1取極限，則兩邊關(guān)于有則，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x) 注：集合，元素，映射是一相對(duì)概念略：像，原像，像集，原像集，映射的復(fù)合，單射，滿射，一一映射（雙射） 注：模糊集：參見(jiàn)：模糊集合、語(yǔ)言變量及模糊邏輯，L.A.Zadeh 1 , 0 :Xf2、 實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算+: ba1、 定積分運(yùn)算 為從a,b上的可積函數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射 (

7、函數(shù),泛函,算子, 變換)AxAxAx10)( 1 , 0:XA3、 集合的特征函數(shù)（集合A與特征函數(shù)互相決定） 稱 為集A的特征函數(shù)，1:,() ( ):( ),1)( )( );2) ()( )( ),()();3) ()( )( ),()();fXY A B AXf xxAAf AABf Af Bf ABf Af BfAf Af ABf Af BfAf A定理 ：設(shè)是 的子集，稱為 的像集，記作則有：一般地有：一般地有：為單射等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)如常值映射，一般不成立fBfAfBAf,)()()(11111111111112:, ,() :( )( )()1)( )( );2)()( )(

8、),()();3)()( )( ),()();fXY AX C D CYx f xCCfCfCDfCfDfCDfCfDfCfCfCDfCfDfCfC定理 ：設(shè)是 的子集，稱為 的原像集，記作不一定有逆映射 ，則有：一般地有：一般地有：注：6），7）一般不能使等號(hào)成立，6）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為單射， 7）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為滿射;)()7);()6;)()()5);( )()()41111111CCffAffACfCfDfCfDCfcc;,)3;)2;) 1)2CACBBAABBAAA傳遞性：對(duì)稱性：自反性：性質(zhì)1）非空注：稱與A對(duì)等的集合為與A有相同的勢(shì)（基數(shù)），記作勢(shì)是對(duì)有限集元素個(gè)數(shù)概念的

9、推廣ABA ZNNN) 1偶數(shù)奇數(shù)n2n-12n),() 1 , 1)(2)2(:xtgxf),()3去掉一個(gè)點(diǎn)的圓周有限集與無(wú)限集的本質(zhì)區(qū)別：無(wú)限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素個(gè)數(shù)（對(duì)等）且一定能做到，而有限集則不可能。Galileo在17世紀(jì)最先考慮自然數(shù)與自然數(shù)平方的多少,1870Cantor開(kāi)始系統(tǒng)考慮.；則稱若BABA,) 1( 1,1) ( 1,1)(,) 如：12),ABBABABBA若則稱；相當(dāng)于： 到 有一個(gè)單射，也相當(dāng)于 到 有一個(gè)滿射3),ABABABAB若且，則稱注：不能用 與 的一個(gè)真子集對(duì)等描述.,*BABABBABAABA則，使的子集及，使的子集是兩個(gè)集，若有

10、設(shè).),BAABBA則即：若單射。又滿的映射轉(zhuǎn)化找兩個(gè)；從而我們把找既單，只需找一個(gè)單射即可而要證射；間找一個(gè)既單又滿的映與，需要在注：要證BABABA么：中的集合兩兩不交，那兩兩不交中的集合而且指標(biāo)集，又是一個(gè)是兩個(gè)集族，引理：設(shè): ,:,:BABABABAABf.,*gABfBA上的一一映射到以及上的一一映射到根據(jù)題設(shè)，存在*B*A*B*A1A*1 AAA 令2A)(12BgA 3A)(23BgA 3B)(33AfB 2B)(22AfB 1B)(11AfB 令*B*A1A1B2A3A2B3B不交與，故而知由21*1*12*,)()(AAAAAABgAABg不交的象在從而2121,BBfAA

11、不交下的象在3221,AAgBB兩兩不交故不交與知由32131*3,AAAAAAA 123123,A A AfB B B從而在 下的象也兩兩不交，11321321), 2 , 1(,nnfnnnfnBAnBABBBAAA所以而且也兩兩不交兩兩不交從而1111(1, 2,),ggkkkkkkBAkBA另 外 由可 知*111,ggkkkkBABBAA又所以111111* )(kkkkkkAAAAAAA11kkkkAABBBBBBAAAAkkkkkkkk)()()()(1111此處都是關(guān)于映射g,如果不是同一映射,則不一定成立.(舉例)第二章第二章 點(diǎn)集點(diǎn)集lP0為為 E的接觸點(diǎn)：的接觸點(diǎn)：lP0

12、為為 E的聚點(diǎn)：的聚點(diǎn)：lP0為為 E的內(nèi)點(diǎn)：的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等價(jià)于故的孤立點(diǎn)全體由于說(shuō)明：要證說(shuō)明：要證E是開(kāi)集，只要證是開(kāi)集，只要證 要證要證E是閉集，只要證是閉集，只要證)(顯然因?yàn)镋EEE)(顯然因?yàn)榛駿EEEEEEE 若若E = E , 則稱則稱E為開(kāi)集（為開(kāi)集（E中每個(gè)點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)中每個(gè)點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)) 若若 ,則稱則稱E為閉集（與為閉集（與E緊挨的點(diǎn)不跑到緊挨的點(diǎn)不跑到E外）外）說(shuō)明：要證說(shuō)明：要證E是開(kāi)集，只要證是開(kāi)集，只要證 )(顯然因?yàn)镋EEEabx),(),(baOx 證明：任取證明：任取x(

13、a,b),取取=min|x-a|,|x-b|, 則則 ,從而從而x是（是（a,b）的內(nèi)點(diǎn)，）的內(nèi)點(diǎn)，故故(a,b)是開(kāi)集。是開(kāi)集。說(shuō)明：說(shuō)明： 要證要證E是閉集，只要證是閉集，只要證()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因?yàn)轱@然a b xcxbaO,),( 證明：任取證明：任取xa,bc,取取=min|x-a|,|x-b|, 則則 ,從而x不是a,b的接觸點(diǎn)，從而從而a,b的接觸點(diǎn)都在的接觸點(diǎn)都在a,b內(nèi)，內(nèi)，從而從而a,b是閉集。是閉集。l即：即：A為閉集為閉集當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A中的任意收斂點(diǎn)列收斂于中的任意收斂點(diǎn)列收斂于A中的點(diǎn)中的點(diǎn)為為E的的接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)的充要條件為存在的充要

14、條件為存在E中點(diǎn)列中點(diǎn)列pn, 使得使得或或p p0 0是是E的的聚點(diǎn)聚點(diǎn)的的充要條件為充要條件為存在存在E中的中的互異互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列的點(diǎn)所成的點(diǎn)列pn, 使使得得0limppnn0limppnn若若 （或（或 ）,則稱則稱E為閉集。為閉集。 （與（與E接近的點(diǎn)不跑到接近的點(diǎn)不跑到E外）外）EE EE 為開(kāi)集，即從而EEE)(EOOxy),() ,(則) ,(yOEEOx),()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x

15、xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）) , (xOE( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）為閉集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EElP0為為 E的接觸點(diǎn)：的接觸點(diǎn)：lP0為為 E的聚點(diǎn)：的聚點(diǎn)：lP0為為 E的內(nèi)點(diǎn)：的內(nèi)點(diǎn)：lP0為為 E的外點(diǎn)：的外點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.若E為開(kāi)集，則Ec為閉集; 若E為閉集，則

16、Ec為開(kāi)集。ccccEEEE)()()()(a.CECE 從而x不是Ec的接觸點(diǎn)， 也即Ec的接觸點(diǎn)一定在Ec內(nèi)， 從而 ，即Ec為閉集。 EOExx),(, 0,使得證明：設(shè)證明：設(shè)E為開(kāi)集，即為開(kāi)集，即( , )cxOE 從而EE 證明：設(shè)E為閉集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的內(nèi)點(diǎn)， 則x的任一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)屬于E的點(diǎn)，cxE 從而x為E的接觸點(diǎn)，由為閉集可知x在E內(nèi)， 這與 矛盾，所以Ec中的點(diǎn)都為Ec的內(nèi)點(diǎn)，即Ec為開(kāi)集。a. 空集，空集，Rn為開(kāi)集為開(kāi)集;b. 任意多個(gè)任意多個(gè)開(kāi)集之開(kāi)集之并并仍為開(kāi)集；仍為開(kāi)集；c. 有限個(gè)有限個(gè)開(kāi)集之開(kāi)集之交交仍為開(kāi)集。仍為開(kāi)集。注：無(wú)限多

17、個(gè)開(kāi)集的交不一定為開(kāi)集，如：注：無(wú)限多個(gè)開(kāi)集的交不一定為開(kāi)集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和中只有空集和Rn既開(kāi)又閉，既開(kāi)又閉，存在大量既不開(kāi)又不閉的集合，如：存在大量既不開(kāi)又不閉的集合，如：E=0,1)A B4a.空集，空集，Rn為閉集；為閉集；5b.任意多個(gè)任意多個(gè)閉集之閉集之交交仍為閉集；仍為閉集；6c.有限個(gè)有限個(gè)閉集之閉集之并并仍仍為閉集。為閉集。注：無(wú)限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：注：無(wú)限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：En=0,1-1/nccAA )(若若E為開(kāi)集，則為開(kāi)集，則Ec為閉集為閉集;若若E為閉集，則為閉集，則Ec為開(kāi)集為開(kāi)集ccAA )(l隔離性定理隔

18、離性定理設(shè)設(shè) 是是 中兩個(gè)互不相交的閉集，證明：存在兩個(gè)中兩個(gè)互不相交的閉集，證明：存在兩個(gè)互不相交的開(kāi)集互不相交的開(kāi)集 ，使得，使得 2,1FFnR21G,G2211FG,FG注：隔離性定理中注：隔離性定理中“閉集閉集”的條件不能少，的條件不能少， 如如2，3）和（）和（3，5,: ),(inf),(: ),(inf),(ByAxyxdBAdByyxdBxdBA c. 若若 ,則則 d(A,B)=0; 反之反之?Bxb.d(x,B)=0當(dāng)且僅當(dāng) 注：注：a. 若若x B,則則d(x,B)=0;反之則不一定成反之則不一定成立，如立，如x=0,B=(0,1)l問(wèn)題問(wèn)題2：兩個(gè)閉集：兩個(gè)閉集 不相

19、交，下面的結(jié)不相交，下面的結(jié)論一定成立嗎？論一定成立嗎？l如如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是閉集）（都是閉集） 上面條件換成有界閉集呢？上面條件換成有界閉集呢？2, 1FF0Fq,Fp: )q, p(inf)F,F(2121dd定理（距離可達(dá)性定理定理（距離可達(dá)性定理1）：設(shè)）：設(shè)A為非空閉集為非空閉集 ， ，則必有則必有,使得使得d(x,y)=d(x,A)11,( , )( ,)( , )nnnnyAd x Ad x yd x A使得limiinnnniyyyyy由于為有界點(diǎn)列，故的子列，使1( , )( ,)( , )iinnd x Ad x yd x A又為閉集，故yA,對(duì)兩邊

20、關(guān)于i取極限即得d(x,y)=d(x,A)( , )inf ( , ):d x Ad x yyA證明：由 可得（距離可達(dá)性定理（距離可達(dá)性定理2）xA, yBnnnnnnBAdyxdBAdByAx11),(),(),(,使得可知xxxxiininnlim，使的子列由于A有界，故,: ),(inf),(ByAxyxdBAd證明：由AByyyyjijiinjnnlim，使的子列從而jijijinnnBAdyxdBAd1),(),(),(又又B為閉集，故為閉集，故yB,另外對(duì)另外對(duì)兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于j取極限得取極限得d(x,y)=d(A,B)又又A為閉集，從而為閉集，從而xA ，并可得，并可得yni有

21、界有界因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)ni充分大時(shí)，充分大時(shí)， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）證明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E定理定理 設(shè)設(shè)E為為中非空點(diǎn)集中非空點(diǎn)集 ，則，則d(x,E)是是的的一致連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)函數(shù)所以d(x,E)是的一致連續(xù)函數(shù)。可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)定理：設(shè)定理：設(shè)F1， F2為為Rn中兩個(gè)互不相交的非空閉集，則中兩個(gè)互不相交的非空閉集，則存

22、在存在Rn 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)f(x) ，使得，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2注：可推廣到一般的拓?fù)淇臻g（參見(jiàn)：拓?fù)鋵W(xué) 教材）， 即Urysohn引理.是連續(xù)函數(shù)可得關(guān)于及證明：由xFxdFxdFxdFxdFxdxf),(),(),(),(),()(21211Bolzano-Weierstrass定理：定理： 若若E是是Rn中的一個(gè)中的一個(gè)有界的無(wú)限集有界的無(wú)限集，則，則E至少有一至少有一個(gè)個(gè)聚點(diǎn)聚點(diǎn).注：此定理對(duì)無(wú)限維度量空間不一定成立。注：此定理對(duì)無(wú)限維度量空間不一定成立。(參見(jiàn)參見(jiàn)P306 例例2) 設(shè)設(shè)F為為R

23、n 中的有界閉集，若開(kāi)集簇中的有界閉集，若開(kāi)集簇 覆覆蓋蓋F， 即即 ， 則則 中存在中存在有限個(gè)有限個(gè)開(kāi)集開(kāi)集U1 ，U2， ,Un，它同樣覆蓋，它同樣覆蓋F:IiUiiIiUF:IiUi注：比較下面幾種不同的證法注：比較下面幾種不同的證法1.周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù)周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù) p-362.尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué) p-523.熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義 p-2024.教材教材 p-42注：注： 逆命題也成立逆命題也成立l定義定義 （緊集）：（緊集）：設(shè)設(shè)M是度量空間是度量空間X中的一集合，中的一集合， 是是X中任一族覆蓋了中任一族覆蓋了M的開(kāi)集，的開(kāi)集， 如果可從中

24、如果可從中選出有限個(gè)開(kāi)集選出有限個(gè)開(kāi)集U1 ，U2， ,Un仍然覆蓋仍然覆蓋M，則稱，則稱M是是X中的緊集中的緊集l定理（緊集的充要條件）（定理（緊集的充要條件）（P303）：設(shè)）：設(shè)X是度量空間，是度量空間，M是是X中一子集，則中一子集，則M是是X中的緊集的充要條件為對(duì)中的緊集的充要條件為對(duì)M中任何點(diǎn)列，都存在子列收斂于中任何點(diǎn)列，都存在子列收斂于M中一元素中一元素.:IiUi 緊緊 集集l定理：定理： 設(shè)設(shè)M是度量空間是度量空間 中的緊集，則中的緊集，則M是是X中的有界閉集中的有界閉集l舉例說(shuō)明有界閉集未必是緊集（教材舉例說(shuō)明有界閉集未必是緊集（教材P306例例2）結(jié)論：結(jié)論： 中緊集與有

25、界中緊集與有界閉集等價(jià)等價(jià)nR設(shè)設(shè)F為為Rn中一中一 集合，若開(kāi)集簇集合，若開(kāi)集簇 覆蓋覆蓋F（ 即即 ），）， 則則 中存在中存在可數(shù)個(gè)可數(shù)個(gè)開(kāi)集開(kāi)集U1 ，U2， ,Un ， ，它同樣覆蓋，它同樣覆蓋F:IiUiiIiUF:IiUi提示：利用空間中以提示：利用空間中以有理點(diǎn)有理點(diǎn)為為中心中心，正有理數(shù)正有理數(shù)為為半徑半徑的圓全體為可數(shù)集，開(kāi)集中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)，以及有理的圓全體為可數(shù)集，開(kāi)集中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)，以及有理點(diǎn)全體在點(diǎn)全體在Rn中中稠密稠密l自密集自密集：設(shè)：設(shè) ，如果，如果 ，則稱，則稱E 為自密集，也即集合中每點(diǎn)都是這個(gè)集為自密集，也即集合中每點(diǎn)都是這個(gè)集 合的聚點(diǎn)，或沒(méi)有孤立點(diǎn)的集

26、合為自密合的聚點(diǎn)，或沒(méi)有孤立點(diǎn)的集合為自密 集。集。 例：有理數(shù)集例：有理數(shù)集Q為自密集為自密集l完備集完備集：設(shè)：設(shè) ，如果，如果 ，則稱，則稱 E為完備集。為完備集。 例：任何閉區(qū)間及全直線都為完備集例：任何閉區(qū)間及全直線都為完備集nRE EE nRE EE l定義（構(gòu)成區(qū)間）定義（構(gòu)成區(qū)間） 設(shè)設(shè)G為直線上的開(kāi)集，如果開(kāi)區(qū)間為直線上的開(kāi)集，如果開(kāi)區(qū)間而且端點(diǎn)而且端點(diǎn) 不屬于不屬于G，則稱，則稱 為為G的的構(gòu)成區(qū)間。構(gòu)成區(qū)間。例如： G),(,),()d, c ()b, a (A( ) ( ( ) ) a b c c d d (a,b),(c,d)為構(gòu)成區(qū)間（c,d）不是l定理：直線上的任

27、一非空定理：直線上的任一非空開(kāi)集開(kāi)集都可唯一地表示成都可唯一地表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交互不相交的的構(gòu)成區(qū)間構(gòu)成區(qū)間的并，又當(dāng)?shù)牟?，又?dāng)非空開(kāi)集表示成互不相交的開(kāi)區(qū)間的和集時(shí)，這非空開(kāi)集表示成互不相交的開(kāi)區(qū)間的和集時(shí)，這些區(qū)間必是構(gòu)成區(qū)間些區(qū)間必是構(gòu)成區(qū)間( ) ( )( ) ( ) (直線上的直線上的閉集閉集或是全直線，或是從直線上或是全直線，或是從直線上挖去挖去有限個(gè)或有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間所得之集所得之集.開(kāi)開(kāi) 集集 構(gòu)構(gòu) 造造 性性 定定 理理直線上的閉集的孤立點(diǎn)必是其余區(qū)間的某兩個(gè)相鄰開(kāi)區(qū)直線上的閉集的孤立點(diǎn)必是其余區(qū)間的某兩個(gè)相鄰開(kāi)區(qū)間

28、的公共端點(diǎn)間的公共端點(diǎn);（4）Rn中的中的開(kāi)集開(kāi)集一般不能表示成至一般不能表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間之并，多可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間之并，但總可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相但總可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的交的半開(kāi)半閉區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間之并，且不唯一之并，且不唯一.( ) ( )( ) ( ) (l（3）（完備集的構(gòu)造定理）直線上的完備集）（完備集的構(gòu)造定理）直線上的完備集F或是全或是全直線，或是從直線上去掉有限或可數(shù)個(gè)互不相交的沒(méi)直線，或是從直線上去掉有限或可數(shù)個(gè)互不相交的沒(méi)有公共端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間而得到的集合有公共端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間而得到的集合第n次去掉的開(kāi)區(qū)間留下的閉區(qū)間12n1)1(iIi2 , 1)1

29、(iIi2)2(2, 2 , 1iIi2 , 1)2(iIi1( )1,2,2innIinniiI2, 2 , 1)(ininIG)(,定義：令稱P=0,1- G=0,1Gc 為Cantor集ininIG)(,a .分割點(diǎn)一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc為閉集注：第n次共去掉2n-1個(gè)長(zhǎng)為1/3n的開(kāi)區(qū)間11231323111nnnb. P的“長(zhǎng)度”為0，去掉的區(qū)間長(zhǎng)度和( )x- x x+第 n+1次等分去掉的區(qū)間第n次等分留下的區(qū)間()130,nniIO（ x, ）當(dāng)時(shí) ， 有但由Cantor集的作法知，我們要對(duì)繼續(xù)三等分去掉中間一個(gè)開(kāi)區(qū)間，從而 內(nèi)至少有

30、一點(diǎn)不屬于P，所以x不可能是P的內(nèi)點(diǎn)。O（x, ）( )niI證明：對(duì)任意x P, x必含在“去掉手續(xù)進(jìn)行到第n次”時(shí)留下的2n個(gè)長(zhǎng)為1/3n的互不相交的某個(gè)閉區(qū)間中)(),(xPOx從而從而x為P的聚點(diǎn)，當(dāng)然不為孤立點(diǎn)。)(, 0),(xPOx有 證明：對(duì)任意x P ， 只要證：( )1( , )3,nnxiniOI及某個(gè)，使)(niI 由Cantor集的作法知 而 的兩個(gè)端點(diǎn)定在P中，第n次等分留下的區(qū)間( )x- x x+nniI31|)(l十進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1十等分l二進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1二等分l三進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1三等分說(shuō)明：對(duì)應(yīng)0,1十等分的端點(diǎn)有兩種表示，如

31、0.20000000.1999999 （十進(jìn)制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位小數(shù)證明思路：把0,1區(qū)間中的點(diǎn)都寫(xiě)成三進(jìn)制小數(shù)，則Cantor集的作法中去掉的點(diǎn)為小數(shù)位出現(xiàn)1的點(diǎn)的全體，從而Cantor集為小數(shù)位只是0,2的點(diǎn)的全體，作對(duì)應(yīng))(. 0. 0)(222321321二進(jìn)制數(shù)三進(jìn)制數(shù)aaaaaa注:Cantor集中除了分割點(diǎn)外,還有大量其他點(diǎn).說(shuō)明：三等分的端點(diǎn)有必要特殊考慮，因?yàn)樗袃煞N表示，如0.1000000 = 0.0222222 （三進(jìn)制小數(shù)）0.2000000 = 0.1222222第三章 測(cè)度理論iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(

32、其中iiiiiixxxxx11積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1 xi(1) Riemann積分回顧（分割定義域）從分割值域入手iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“長(zhǎng)度”問(wèn)題：如何把長(zhǎng)度,面積,體積概念推廣?圓的面積)(22sin22cos22sin22122nRRnnnRnRn內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接)(cos1sin2222122nRRnnnRnRtgn外切外切正n邊形的面積（外包）達(dá)布上和與下和 Riemann積分iniiTbaxfdxxfR10|

33、)(lim)()(xi-1 xiiniiTbaxmdxxf10|lim)(達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1 xiiniiTbaxMdxxf10|lim)(達(dá)布上和的極限上積分（外包）Jordan測(cè)度: |inf)(11為開(kāi)區(qū)間且iininiiJIIEIEmJordan外測(cè)度（外包）JJEmEm)()(Jordan可測(cè): |sup)(11為兩兩不交的開(kāi)區(qū)間且iininiiJIEIIEmJordan內(nèi)測(cè)度（內(nèi)填）1)(JEm由于任一覆蓋0,1中0)(JEm由于無(wú)理數(shù)在0,1中稠密，故任一開(kāi)區(qū)間都不可能含在E內(nèi)，從而JJEmEm)()( ( ) )( )( ( ) ) ( )- 1+為E的Leb

34、esgue外測(cè)度。定義： ，稱非負(fù)廣義實(shí)數(shù)nRE 設(shè))(*RR: |inf11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIEIEm與Jordan外測(cè)度比較： : |inf)(11為開(kāi)區(qū)間且iininiiJIIEIEmSinfxSxS,) 1 (的下界，即是數(shù)集xSxS使得即的最大下界，是數(shù)集, 0)2(: |inf11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIEIEmEmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得開(kāi)區(qū)間列即：用一開(kāi)區(qū)間列 “近似”替換集合EiI證明：由于E為可數(shù)集，2111|iiiiiiEII 則且0*Em再由的任意性知, 1 , 0321rrrQE故不妨令, 3 , 2 , 1),(, 01122irrIiii

35、ii作開(kāi)區(qū)間Em*從而( )1122iiiiirrr22221122122222(,) (,),( , ),1,2,3,iiiiiiiiiiiIrrrrr rQ Qi 2222(1,1) (,),1,2,3,iiiiiiIrrrZi，),(|, 1 , 0, 0, 1 , 0111222iiiiiiiirrIxrxQrQx，則有從而取使得12i, 3 , 2 , 1),(1122irrIiiiii, 1 , 0321rrrQEiiiiI211|( ) 1122iiiiirrr注：對(duì)可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間不一定有從左到右的一個(gè)排列（如antor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）( ( ) )( )( ( ) )注：對(duì)有

36、限個(gè)開(kāi)區(qū)間一定有從左到右的一個(gè)排列(b)的證明:能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列比能覆蓋A的開(kāi)區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。BmAmBA，則若（b）單調(diào)性：: |inf11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIEIEm0Em0Em（a）非負(fù)性： ， 當(dāng)E為空集時(shí)，證明：對(duì)任意的0,由外測(cè)度的定義知，對(duì)每個(gè)An都有一列開(kāi)區(qū)間（即用一開(kāi)區(qū)間I nm列近似替換An）nnmnmnnmmnnmnnAmIAmIAIII2|,*1*121且使得*,11111|()2nmnmnnnn mnmnnIIm Am A且111nnmnnmAI 從 而*1111()|nnmnnnmnmAIm A可見(jiàn)注：一般

37、證明都是從大的一邊開(kāi)始，因?yàn)橥鉁y(cè)度的定義用的是下確界nnnnAmAm*11*)(nnnnAmAm*11*)(由的任意性，即得)(|)(, 0*1*BAmIBAmIiii使得開(kāi)區(qū)間列: |inf)(11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIBAIBAm當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時(shí)候，區(qū)間Ii不可能同時(shí)含有A，B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點(diǎn)，一部分含有B中的點(diǎn)。)()()(*BmAmBAm若d(A,B) 0,則證明參見(jiàn)教材p-56思考：書(shū)本中的證明用有限開(kāi)覆蓋定理的目的何在？此例說(shuō)明Lebesgue外測(cè)度某種程度是區(qū)間長(zhǎng)度概念的推廣| IEmI注：稱外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，

38、可數(shù)并仍為零集0)(|)()(32213121)()(21*niininiinnnnIImPm從而0Pm故nniiI2, 2 , 1)(證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為第三章 測(cè)度理論nnnnAmAm*11*)(: |inf11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIEIEm即：用一開(kāi)區(qū)間列“近似”替換集合EEmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得開(kāi)區(qū)間列注：Lebesgue開(kāi)始也是利用外測(cè)度與內(nèi)測(cè)度相等定義可測(cè)集，但此方法對(duì)處理問(wèn)題很不方便，故我們采用上述方法。EEcTETEc,nRT 若)()(*cETmETmTm有mE（Caratheodory條件） ，則稱E為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)集，此時(shí)E的

39、外測(cè)度稱為E的測(cè)度，記作 *()()( )( )( )cm Tm TEm TEm Em Tm T有nRT 證明：*()()cm Tm TEm TE從而即E為可測(cè)集。)()(,*cnETmETmTmRT有證明：(充分性）nRT 即可令cETBETA,(必要性)令BAT有,cEBEA)()()(*BmAmBAm)()(,*cnETmETmTmRT有（a）集合E可測(cè)（即 ）11,ciiiiAABABABAAnABTR 若，則*()()()m TABm TAm TB有注:上式由前面可測(cè)集的等價(jià)刻畫(huà)立刻可得若 兩兩不交，則（測(cè)度的可數(shù)可加性）11)(iiiimAAm,mABAmAmBABm)(也可測(cè)。若

40、 可測(cè)已證明，則易知BA cccBABA)(cBABAnRT )()(*cETmETmTm有易知Ac可測(cè)可測(cè)余即可證明通過(guò)取兩不交情形把一般情形轉(zhuǎn)化為兩可過(guò)令則通可測(cè)已證明為兩兩不交時(shí)若當(dāng)iniininniiiAAABAA1111;,*()() )(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)()(1)(2)(3)(4)()( )cm Tm TABm TABmmmmmmBmAm T有可測(cè)可測(cè)*()() )cm Tm TABm TAB從而nRT 證明：(1)(2)(3)(4)AB)()()()()()(1*11*11*1ciiniiciiiniciniiniATmATmATmATmATmATm

41、Tm)()(*)()(1*11*1ciiiiciiiiATmATmATmATmTm從而)()(1*1ciiiiATmATmTm另外顯然有，有證明：nRT )()(1*1ciiiiATmATmTm從而即得結(jié)論）式，入（代并用可測(cè)從而*,11iiiiATA11)(iiiimAAm下面證明若A i 兩兩不交，則11niimAniniA111(0,1)niimA )(1 ,0()()(111cinicciniiniAmAmAm證明：0)1()1 (111nmAmAiniini)()1 ,0()1 ,0(11ciniciniAmmAm注：左邊的極限是集列極限， 而右邊的極限是數(shù)列極限， (b)中的條件

42、不可少1mAnnnnmAAm lim)lim(nnnnmAAm lim)lim(則1mA若An如An = ( n, +)（ n第三章 測(cè)度理論注：開(kāi)集、閉集既是 型集也是 型集； 有理數(shù)集是 型集，但不是 型集； 無(wú)理數(shù)集是 型集，但不是 型集。GGGFFF有理數(shù)集可看成可數(shù)個(gè)單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過(guò)取余 型集與 型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開(kāi)集與閉集互換）GFIFG注：零集、區(qū)間、開(kāi)集、閉集、 型集（可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交）、 型集（可數(shù)個(gè)閉集的并）、Borel型集（粗略說(shuō)：從開(kāi)集出發(fā)通過(guò)取余，取交或并（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）運(yùn)算得到）都是可測(cè)集。證明見(jiàn)書(shū)本p66| ImI 即：可測(cè)集與開(kāi)集、閉集只相差

43、一小測(cè)度集（可測(cè)集“差不多”就是開(kāi)集或閉集），從而可測(cè)集基本上是至多可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間的并。)(,0)1(EGmGEGE且使得，開(kāi)集可測(cè)，則若)(,0)2(FEmEFFE且使得，閉集可測(cè)，則若證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知)(, 0ccEGmGEG且，使得開(kāi)集)()()()()(cccccccEGmEFmFEmFEmFEm且EF 取F=G c，則F為閉集)(,0)1 (EGmGEGE且使得，開(kāi)集可測(cè)，則若)(, 0)2(FEmEFFE且使得，閉集可測(cè)，則若 證明:(1)當(dāng)mE+時(shí)，由外測(cè)度定義知)(, 0EGmGEG且，使得開(kāi)集111,|iiiiiiGIGEGmEmGmIImE 令則 為開(kāi)集，

44、且mEmGEGm)(從而（這里用到mE+ ）EmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得開(kāi)區(qū)間列，且為開(kāi)集，則令GEGGGii,112111111)()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiEGmEGmEGmEGmEGmiiiiiiEGmGEG2)(且，使得開(kāi)集對(duì)每個(gè)Ei應(yīng)用上述結(jié)果)(1iiimEEE(2)當(dāng)mE=+時(shí)，這時(shí)將E分解成可數(shù)個(gè)互不相交的可測(cè)集的并：, 3 , 2 , 1,)()(1nEGmEOmnn1nnOGOG 令， 則為型 集 ， EO且是可測(cè)集。，則且，使得開(kāi)集，若設(shè)EEGmGEGREn)(, 0()0m OE故()EOOE從而為可測(cè)集nnnnEGmGEG1)

45、(且，使得開(kāi)集證明：對(duì)任意的1/n，,321rrrE 開(kāi)集: (0,1) 閉集：),( 1 , 011221iiiiirrF),(11221iiiiirrG開(kāi)集：閉集：空集GFGF 可測(cè)集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。0)(HEmEH且F(2).若E可測(cè)，則存在 型集H, 使0)(EOmOE且G(1).若E可測(cè)，則存在 型集 O, 使0)(ccEOmOEOG且，使得型0)()()()()(cccccccEOmEHmHEmHEmHEm0)(EOmOE且0)(HEmEH且FG(1).若E可測(cè)，則存在 型集 O, 使 (2).若E可測(cè)，則存在 型集H, 使證明：若(1)已證明，由Ec

46、可測(cè)可知EH F取H=O c，則H為 型集 ， 且證明：對(duì)任意的1/n， 0)(EOmOE且G1()(),1,2,3,nnm OEm GEnnnnnEGmGEG1)(且，使得開(kāi)集()0m OE故OEGO型集，且為則,1nnOG 令GFGF注：上面的交與并不可交換次序),( 1 , 011112211ininiiinrrH型集：F) 1 , 0(型集：G),(11112211ininiiinrrO型集：G空集型集：F證明:由外測(cè)度定義知nininiininEmIEmIEI1*1*11|,且使得開(kāi)區(qū)間列1*111,|nninninnininiiGIGEGm EmGmIIm E 令則為 開(kāi) 集 ，

47、且1nnOGOGE 令，則為型集，且OE,mO=m，型集，則存在若OGREn的等測(cè)包）為（稱且使得EOEmmOOEl存在不可測(cè)集（利用選擇公理構(gòu)造，教材p73 ; 1970，R.Solovay證明不可測(cè)集存在蘊(yùn)涵選擇公理）l存在不是Borel集的可測(cè)集（利用Cantor函數(shù)和不可測(cè)集構(gòu)造） 參見(jiàn)：實(shí)變函數(shù)周民強(qiáng) , p87第三章 測(cè)度理論0EmEmcEm1 , Ea b證明：由于E有界，故不妨令令f(x)=m*(Ea,x)，則f(a)=0,f(b)=m*E,下證f(x)在a,b上連續(xù) a x1 x2 b 12212112111212),(),(),(),(),(),(),()()(xxxxmx

48、xEmxaEmxxEmxaEmxaEmxaEmxfxf從而f(x)在a,b上（一致）連續(xù)；由界值定理知，存在 a,b ,使f()=c,令E1=E a, ，則E1滿足要求.任取x1,x2 a,b, x1a, 則f(x)a,由連續(xù)性假設(shè)知，( ) xf(x0)+f(x0)f(x0)-a( ,)xfaxx EGO令( ,)( ,)()()xxfafaxxfax Ex EGEOEOEE另外則G為開(kāi)集，當(dāng)然為可測(cè)集，且( ,)()xfafaxx EEOEGE所以反之a(chǎn)I a x1 x2 )(|),)(|),(axfxIIEaxfxIIEafaaaaE當(dāng)當(dāng)由f單調(diào)增知下面的集合為可測(cè)集)(|infaxfx

49、Ia令證明：不妨設(shè)f單調(diào)增，對(duì)任意aR可測(cè),)2(afERa可測(cè),)3(afERa可測(cè),)4(afERa(5),(|( )|)a f ba bR ab Ef x 可測(cè) 充分性要求證明：利用（1）與（4），（2）與（3）互為余集，以及11111()fafaafanfnnfanfaafbfafbnfanEEEEEEEEEE ),) 1 (可測(cè)即afERa定義：設(shè)f(x)是可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)，則 f(x)在E上可測(cè))(1111nnafnafnafEEE),(),(),1111nnnnaaa ( a-1/n a)(1111nnafnafnafEEE),(),),(1111nnnnaaa( a a+1/

50、n11 1afnnafafafEEEEE可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)nnEE1l反之，若 , f(x)限制在En上是可測(cè)函數(shù)，則f(x)在E上也是可測(cè)函數(shù)。11,EEE l即:若f(x)是E上的可測(cè)函數(shù), 可測(cè)，則f(x)限制在E1上也是可測(cè)函數(shù)；若m (Efg)=0,則稱f(x)=g(x)在E上幾乎處處成立,記作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）注：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測(cè)性證明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，則m E1=0從而 g(x)在E1上可測(cè) ，即： 設(shè)f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可測(cè)，則g(

51、x)在E上也可測(cè) 注：用到了可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)另外f(x)在E2上可測(cè)，從而 g(x)在E2上也可測(cè) ，進(jìn)一步g(x)在E=E1 E2上也可測(cè) 。即:若f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)仍為E上的可測(cè)函數(shù)?？蓽y(cè)，：只要證證明,gafagfEERa,( )( ),( )( )()fa gfrg a rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取則從而使即a-g(x) r f(x)類(lèi)似可證：設(shè)f(x),g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則 為可測(cè)集。gfE()frg a rfa gr QEEE

52、 反之也成立()fa gfrg a rr QEEE 從而()fa gfrg a rr QEEE 從而可測(cè)證明中利用了Q是可數(shù)集和R中的稠密集兩個(gè)性質(zhì),( )( ),( )( )()fagfrga rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取則從而使即a-g(x) r f(x)作業(yè)：若f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x) -g(x) ,f(x)/g(x)為E上的可測(cè)函數(shù)再利用f(x)g(x) =(f(x)+g(x)2 - (f(x) -g(x)2/4即可200fafaEaEEafaE證明：首先f(wàn)2(x)在E上可測(cè)，因?yàn)閷?duì)任意aR11afnaafnannEEEE)(infs

53、up)(inflim)(supinf)(suplim)(inf)()(sup)(xfxfxfxfxfxxfxmnmnnnmnmnnnnn若fn(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則下列函數(shù)仍為E上的可測(cè)函數(shù)。1afnanEE)(inf)(xfxnxSxS,) 1 (的下界，即是數(shù)集xSxS使得即的最大下界，是數(shù)集, 0)2(Sinf下確界：1111fannfafannEEE比 較 ： ( a-1/n a從而f (x)是一列連續(xù)函數(shù)（當(dāng)然是可測(cè)函數(shù)）的極限，故f (x)是可測(cè)函數(shù).nnnoxxfxfxxfxxfxf11)()(lim)()(lim)( 證明：由于gn(x)注意：函數(shù)列收斂與函數(shù)列收斂于f之間

54、的不同.limlimnnnnEfflimlimnnnnEff證明：發(fā)散點(diǎn)全體為 收斂點(diǎn)全體為limlimnnnnff在利用和是可測(cè)函數(shù)即可再可測(cè)函數(shù)f(x)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限12| )()(|nnmMxfxMmMmMmn0次等分nn 21220 ,1,2 ,212()nnkknnkfknnfnxExnxE)(lim)(xxfnn| )(| )(|21xx)(xnl若f(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限 ，而且還可辦到證明：要證f( g(x)是可測(cè)函數(shù)，只要證對(duì)任意a，Ef ga=x| f( g(x)a可測(cè)即可,g 可測(cè)f 連續(xù)x| f( g(x)a= (f

55、 g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =),(iiiba),(),(11iiiiiibagbag（利用Cantor函數(shù)構(gòu)造，參見(jiàn)：實(shí)變函數(shù)，周民強(qiáng)，p114)證明：要證f( g(x)是可測(cè)函數(shù)，只要證對(duì)任意a，m (Ef ga)=x| f( g(x)a可測(cè)即可,由于f在F=R上連續(xù)，故Ffa為R中的開(kāi)集，),(iiiafbaF又直線上的開(kāi)集可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間的并，故不妨令iifg aag biEE 為可測(cè)集再由g可測(cè)，可知11( )( )( ( )()( )iiniEiniEixcxfxf cxE若為簡(jiǎn)單函數(shù)，則仍為上簡(jiǎn)單函數(shù)。注：)(lim)(x

56、xgnn)(xn另證：若g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則g(x)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù) 的極限)(lim)(lim()(xfxfxgfnnnn因?yàn)閒(x)連續(xù)，故所以f( g(x)是簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限，故為可測(cè)函數(shù)第四章 可測(cè)函數(shù)| )()(|, 0, 0,xfxfNnNExnxx有一致收斂:| )()(|, 0, 0 xfxfExNnNn有注：近似地說(shuō)一致收斂是函數(shù)列收斂慢的程度能有個(gè)控制 近似地說(shuō)一致連續(xù)是函數(shù)圖象陡的程度能有個(gè)控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnEffn于點(diǎn)點(diǎn)收斂: 記作1-0.20.40.60.810.20.40.60.81例：函數(shù)列fn(

57、x)=xn , n=1,2,在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測(cè)度集合(1-,1),在留下的集合上一致收斂fn(x)=xnEeaffn于.feEEfmeEen上一致收斂于在使得可測(cè)子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可測(cè)子集即：去掉某個(gè)零測(cè)度集，在留下的集合上處處收斂即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂Euaffn于.0 ffnE注：從定義可看出，l幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)的是在點(diǎn)上函數(shù)值的收斂（除一零測(cè)度集外）l依測(cè)度收斂并不 指出函數(shù)列在哪個(gè)點(diǎn)上的收斂，其要點(diǎn)在于誤差超過(guò)的點(diǎn)所成的集的測(cè)度應(yīng)隨n趨于無(wú)窮而趨于零，

58、而不論點(diǎn)集的位置狀態(tài)如何Effn于0lim, 0|ffnnmE有|0,0,0,nffNn NE 有m|0,0,0,nffNnNE 有m0lim,0|ffnnmE有0, 0|不收斂于使得ffnmE|0,0,0,nffNnNE使得m說(shuō)明：當(dāng)n越大，取1的點(diǎn)越多，故fn(x)在R+上處處收斂于1)(limlim, 10|，有對(duì)nmmEnffnnn, 2 , 1)(, 0 (1),(0nxfnxnxn 在R+上處處收斂于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依測(cè)度收斂于1，另外feEEfmeEen上一致收斂于在使得可測(cè)子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可測(cè)

59、子集Euaffn于.即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen使可測(cè)子集即：去掉 測(cè)度集，在留下的集合上仍不一致收斂任意 （ ）適當(dāng)小小| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen使可測(cè)子集即：去掉任意?。ㄟm當(dāng)?。y(cè)度集，在留下的集合上仍不一致收斂| )()(|),1,()(, 0, 0, 02121xfxfnneExNNnNmeEen使可測(cè)子集, 0(1),(0)(nxnxnxfn0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40

60、1f30 1f20 1/8 1/4 1f80lim,(limlim, 1021212|kkknkiikffnmmE有,0)(),()()(21,2(2xfxxfxfkkkiiin令 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,Effn于則說(shuō)明：對(duì)任何x(0,1 , fn(x)有兩個(gè)子列，一個(gè)恒為1，一個(gè)恒為0，所以fn(x)在(0,1上處處不收斂；例：函數(shù)列fn(x)=xn在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測(cè)度集合(1-,1),在留下的集合上一致收斂1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn即：于Euaffn.即：去掉