第四章 彎曲內(nèi)力

1、第四章第四章 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力第一節(jié)第一節(jié) 彎曲的概念和實(shí)例彎曲的概念和實(shí)例第二節(jié)第二節(jié) 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化第三節(jié)第三節(jié) 剪力與彎矩剪力與彎矩第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖第五節(jié)第五節(jié) 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系第六節(jié)第六節(jié) 平面曲桿的彎曲內(nèi)力平面曲桿的彎曲內(nèi)力w 起重機(jī)大梁起重機(jī)大梁第一節(jié)第一節(jié) 彎曲的概念和實(shí)例彎曲的概念和實(shí)例火車輪軸火車輪軸鏜刀桿鏜刀桿第一節(jié)第一節(jié) 彎曲的概念和實(shí)例彎曲的概念和實(shí)例 工程中經(jīng)常遇到前面提及到的工程中經(jīng)常遇到前面提及到的起重機(jī)大梁起重機(jī)大梁、火車輪軸火車輪軸這樣的桿件

2、。作用于這些桿件上的外力這樣的桿件。作用于這些桿件上的外力垂直于桿件軸線垂直于桿件軸線，使原為直線的軸線變形后成為曲線。這種形式的變形，使原為直線的軸線變形后成為曲線。這種形式的變形稱為彎曲變形。稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件稱為梁。某些桿以彎曲變形為主的桿件稱為梁。某些桿件，如件，如鏜刀桿等，在載荷作用下，不但有鏜刀桿等，在載荷作用下，不但有彎曲變形，還彎曲變形，還有扭轉(zhuǎn)等變形。當(dāng)討論其彎曲變形時(shí)，還是把它作為梁有扭轉(zhuǎn)等變形。當(dāng)討論其彎曲變形時(shí)，還是把它作為梁來處理。來處理。工程問題中，絕大部分受彎工程問題中，絕大部分受彎桿件的橫截面都有一根對桿件的橫截面都有一根對稱軸，因而整個(gè)桿件都有

3、一個(gè)包含軸線的稱軸，因而整個(gè)桿件都有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面?？v向?qū)ΨQ面。前面提及到的前面提及到的起重機(jī)大梁起重機(jī)大梁、火車輪軸都屬于這種情況。火車輪軸都屬于這種情況。當(dāng)作用于桿件上的當(dāng)作用于桿件上的所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)（圖時(shí)（圖.），彎曲變形后的軸線也將是位于這個(gè)對稱），彎曲變形后的軸線也將是位于這個(gè)對稱面內(nèi)的一條曲線。這是彎曲問題中最常見的情況，稱為面內(nèi)的一條曲線。這是彎曲問題中最常見的情況，稱為對稱彎曲。對稱彎曲。本章討論受彎本章討論受彎桿件的橫截面上的內(nèi)力，以后兩章將分桿件的橫截面上的內(nèi)力，以后兩章將分別討論別討論彎曲的應(yīng)力和變形。彎曲的應(yīng)力和變形

4、。第一節(jié)第一節(jié) 彎曲的概念和實(shí)例彎曲的概念和實(shí)例縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面FqFAFB圖圖.第一節(jié)第一節(jié) 彎曲的概念和實(shí)例彎曲的概念和實(shí)例桿件軸線桿件軸線第二節(jié)第二節(jié) 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化w 一、支座的幾種基本形式一、支座的幾種基本形式向心推向心推力軸承力軸承滾珠軸承滾珠軸承第二節(jié)第二節(jié) 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化第二節(jié)第二節(jié) 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化二、荷載的簡化二、荷載的簡化(a)集中荷載集中荷載F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷載分布荷載q(x)任意分布荷載任意分布荷載q均布荷載均布荷載第二節(jié)第二節(jié) 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化三、靜定梁的基本形式三、靜定梁的基本形式

5、靜定梁靜定梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁(a)懸臂梁懸臂梁(b)簡支梁簡支梁(c)外伸梁外伸梁第三節(jié)第三節(jié) 剪力與彎矩剪力與彎矩w 求彎曲內(nèi)力（剪力和彎矩）的基本方法求彎曲內(nèi)力（剪力和彎矩）的基本方法截面法截面法一一、截面法過程：、截面法過程：切取、替代、平衡切取、替代、平衡第三節(jié)第三節(jié) 剪力與彎矩剪力與彎矩FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力：二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力： 剪力剪力平行于橫截面的

6、內(nèi)力，符號(hào)：，正負(fù)號(hào)平行于橫截面的內(nèi)力，符號(hào)：，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁有左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢的剪力為正，反之為規(guī)定：使梁有左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢的剪力為正，反之為負(fù)負(fù)(左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正正)； FSFS剪力為正剪力為正FSFS剪力為負(fù)剪力為負(fù)第三節(jié)第三節(jié) 剪力與彎矩剪力與彎矩第三節(jié)第三節(jié) 剪力與彎矩剪力與彎矩MMMM 彎矩彎矩繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力，符號(hào)：繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力，符號(hào)：M，正負(fù)號(hào)正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)規(guī)定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)(梁梁上壓下拉的彎矩為正上壓下拉的彎矩為正)。彎矩為正彎矩為正彎

7、矩為負(fù)彎矩為負(fù)第三節(jié)第三節(jié) 剪力與彎矩剪力與彎矩例一例一 求下圖所示簡支梁求下圖所示簡支梁1 1- -1 1與與2 2- -2 2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。)0(kN29030kN1502335 .460y的正誤或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1 1、求支、求支反力反力第三節(jié)第三節(jié) 剪力與彎矩剪力與彎矩mkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF2 2、計(jì)算、計(jì)算1-11-1截

8、面截面的內(nèi)力的內(nèi)力3 3、計(jì)算、計(jì)算2-22-2截面截面的內(nèi)力的內(nèi)力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖剪力和彎矩均可表示為截面位置剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù)，即的函數(shù)，即)()(SSxMMxFF稱為稱為剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。截面的位置而變化。第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖在載荷無突變的一段桿的各截面在載荷無突變的一段桿的各截面

9、 上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化。上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化。第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 控制截面的概念：控制截面的概念：外力規(guī)律發(fā)生變化的截面外力規(guī)律發(fā)生變化的截面集中集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫力、集中力偶作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。截面。第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖因此，必須因此，必須分段分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的分界點(diǎn)各段的分界點(diǎn)為各段梁的為各段梁的控制截面控制截面。剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖用圖示方法形象地表示剪

10、用圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況。力和彎矩沿梁軸線的變化情況。第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖xxM(+)(+)(-)(-)注意：注意：必須標(biāo)明控制必須標(biāo)明控制截面上的內(nèi)力值截面上的內(nèi)力值QF第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖例二例二 在圖示簡支梁在圖示簡支梁ABAB的的C C點(diǎn)處作用一集中力點(diǎn)處作用一集中力F F，作該梁作該梁的剪力圖和彎矩圖。的剪力圖和彎矩圖。解：解： 1 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和彎矩、建立剪力方程和彎矩方程方程axlFbx

11、xFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AAS圖QF第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 lxaxllFaxlFxMlxalFaFxFCB段ABS)()(:由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。圖M第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖例例三三、懸臂梁受力如圖所示。試列出梁的

12、剪力方程和彎矩方程，、懸臂梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖，并求出梁的作出梁的剪力圖和彎矩圖，并求出梁的 和和 及其所及其所在截面位置。在截面位置。maxQFmaxM解：解：取參考坐標(biāo)系取參考坐標(biāo)系A(chǔ)xyAxy。1 1、列出梁的剪力方程和彎矩、列出梁的剪力方程和彎矩 方程方程ABAB段段: :PamxM)()0(ax0)(xFQ)0(axPm=PaACBaayxxx第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖BCBC段段: :PxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22 2、作梁的剪力圖和彎矩圖、

13、作梁的剪力圖和彎矩圖Pm=PaACBaaxx-P圖QFPa圖M(+)(-)第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖maxQFmaxMPFQmaxPaMmax（在（在BCBC段的各截面）段的各截面）3 3、求、求和和（在（在ABAB段的各截面）段的各截面）第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖注意：注意：1 1、在列梁的剪力方程和彎矩方程時(shí)，參數(shù)、在列梁的剪力方程和彎矩方程時(shí)，參數(shù)x x可以從坐標(biāo)可以從坐標(biāo)原點(diǎn)算起，也可從另外的點(diǎn)算起，僅需要寫清楚方程的原點(diǎn)算起，也可從另外的點(diǎn)算起，僅需要寫清楚方程的適用范圍（

14、適用范圍（x x的區(qū)間）即可。的區(qū)間）即可。2 2、剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反、剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作用處，力）作用處， 應(yīng)為開區(qū)間，因在該處剪力圖有應(yīng)為開區(qū)間，因在該處剪力圖有突變；而在集中力偶作用處，突變；而在集中力偶作用處，M(x)M(x)應(yīng)為開區(qū)間，因在該應(yīng)為開區(qū)間，因在該處彎矩圖有突變。處彎矩圖有突變。)(xFQ第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖3 3、若所得方程為、若所得方程為x x的二次或二次以上方程時(shí)，則在作圖時(shí)除的二次或二次以上方程時(shí)，則在作圖時(shí)除計(jì)算控制截面的值外，應(yīng)注意曲線的

15、凹凸向及其極值。計(jì)算控制截面的值外，應(yīng)注意曲線的凹凸向及其極值。例例四四、外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaCa2axAyFByFx第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖解：解：1 1、取參考坐標(biāo)系、取參考坐標(biāo)系CxyCxy。根據(jù)平衡條件求支座反力根據(jù)平衡條件求支座反力0AMqaFBy210BMqaFAy25yABqF=qaCa2axAyFByF第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力

16、圖與彎矩圖2 2、列出梁的剪力方程和彎矩方程、列出梁的剪力方程和彎矩方程qaxFQ)()0 (axqaxxM)()0 (axCA段段:AB段段 :)()(axqFqaxFAyq)3(axa)(25)(axqaqaxxM2)(21axq)3(axa第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖yABqF=qaCa2axAyFByFaxE23第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖qaaxFQ23)(qaaxFQ21)3(0ax25281)25(qaaxM)(xFQ3 3、作梁的剪力圖和彎矩圖、作梁的剪力圖和彎矩圖)(2

17、5axaqaqadxdM第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖某些機(jī)器的機(jī)身（壓力機(jī)等）某些機(jī)器的機(jī)身（壓力機(jī)等）由幾根直桿組成，而各桿在由幾根直桿組成，而各桿在其聯(lián)接處的夾角不能改變，其聯(lián)接處的夾角不能改變，這種聯(lián)接稱為剛節(jié)點(diǎn)。有剛這種聯(lián)接稱為剛節(jié)點(diǎn)。有剛節(jié)點(diǎn)的框架稱為剛架。節(jié)點(diǎn)的框架稱為剛架。AxFAyFABByF剛節(jié)點(diǎn)剛節(jié)點(diǎn)橫梁橫梁立柱立柱第四節(jié)第四節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖做圖示剛架的內(nèi)力圖做圖示剛架的內(nèi)力圖qLLA

18、BC22qL22qL)(kNmMqL2qL)(kNFsqLqL/2qL/2第五節(jié)第五節(jié) 載荷集度、剪力和彎矩載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系間的關(guān)系1.假設(shè)：規(guī)定假設(shè)：規(guī)定q(x)向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)為向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)為其上其上q(x)為常數(shù)，無集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假為常數(shù)，無集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。設(shè)。2.微分關(guān)系推導(dǎo)：微分關(guān)系推導(dǎo)：MF1q(x)ABxdx一一、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系第五節(jié)第五節(jié) 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系)(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFd

19、xxqxFxFxFFy：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMxqdxxFxMxMxMMdxO：)(d)(d22xqxxM第五節(jié)第五節(jié) 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系二、討論微分關(guān)系的幾何意義二、討論微分關(guān)系的幾何意義1.微分關(guān)系的幾何意義：微分關(guān)系的幾何意義： 剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大?。粡澗丶袅D上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大?。粡澗貓D上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。 2.各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)：外力情況外力情況q0(向下向下)無

20、荷載段無荷載段集中力集中力F作用作用處：處：集中力偶集中力偶M作作用處：用處：剪力圖上的特剪力圖上的特征征(向下斜直線向下斜直線)水平線水平線突變突變，突變值突變值為為F不變不變彎矩圖上的特彎矩圖上的特征征(下凸拋物線下凸拋物線)斜直線斜直線有有尖點(diǎn)尖點(diǎn)有有突變突變，突變突變值為值為M最大彎矩可最大彎矩可 能的截面位置能的截面位置剪力為零的截剪力為零的截面面剪力突變的截剪力突變的截面面彎矩突變的某彎矩突變的某一側(cè)一側(cè)第五節(jié)第五節(jié) 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系3.其它規(guī)律其它規(guī)律： |M|max可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作

21、用處、集中力偶作用處；作用處； q突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)拐點(diǎn)；突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)拐點(diǎn)； 荷載圖關(guān)于梁左右對稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱，彎荷載圖關(guān)于梁左右對稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱，彎矩圖左右對稱；荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱，則剪力圖左右對矩圖左右對稱；荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱，則剪力圖左右對稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱。稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對稱。第五節(jié)第五節(jié) 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系例例五五、一外伸梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。、一外伸梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。ABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mAyFByF解：解：1 1、根據(jù)平衡條件求支座反力、根據(jù)平衡條件求支座反力第五節(jié)第五節(jié) 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系0AMKNFAy2 .7KNFBy8 . 30BM校核無誤。由0yFABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mAyFByF第五節(jié)第五節(jié) 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系2 2、由微分關(guān)系判斷各段的、由微分關(guān)系判