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文檔簡介

1、流流 體體 力力 學學顧伯勤 主編研 究 生 教 材 退 出中國科學文化出版社第二篇 流體動力學基本原理及流體工程 流體動力學微分形式基本方程 流體動力學積分形式基本方程 伯努利方程及其應用 量綱分析和相似原理 流動阻力與管道計算 邊界層理論 流體繞過物體的流動 氣體動力學基礎 第五章第六章第七章第八章第九章退 出返 回第十章第十一章第十二章 流體動力學的基本方程可以對系統(tǒng)建立,也可以對控制體建立,所謂系統(tǒng)是指確定不變的物質(zhì)的組合。所謂控制體是指相對于某一坐標系固定不變的空間體積,它的邊界面稱為控制面。三大守恒定律的原始形式是對系統(tǒng)建立的,但在許多流體力學實際問題中如對控制體建立方程,應用起來

2、更為方便。所以流體動力學中討論的基本方程多數(shù)是對控制體建立的。求解對有限控制體建立的積分形式基本方程,可以給出流體動力學問題的總體性能關系,如流體與物體間作用的合力和總的能量交換等。本章討論流體動力學的積分形式基本方程。 第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第1頁頁第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第2頁頁第一節(jié) 連續(xù)性方程如圖6.1所示,令為控制體體積,A為控制面面積,n為Ad法線單位向量,w和分別為流體速度和密度。將質(zhì)量守恒定律應用于控制體可知,控制面外其數(shù)學表達式為ddtAAnw式(6.1)稱為積分形式連續(xù)性方程。對于定常流動,上式等號右邊為零。若控制體由流

3、管及其進出口橫截面A1,A2構成,且假設進出口1、2、1w、2w均為常數(shù),則(6.1)式變?yōu)椋?.1)截面上流動參數(shù)均勻,即mAwAw222111(6.2)式中m 為流管內(nèi)的質(zhì)量流量(kg/s)。該式僅適用于定常流動。如流體是不可壓縮的,則(6.2)式可寫成QAwAw2211 (6.3)第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第3頁頁第一節(jié) 連續(xù)性方程圖6.1 控制體和控制面wnpndAAn1n2w2A2A1w1qRdRRoFq式中Q為流管內(nèi)的體積流量(m3/s)。應該指出,對不可壓縮流體,0ddtt所以(6.3)式也適用于不定常流動。應該指出,對不可壓縮流體,如圖6.1所示,令 為

4、流體應力,即外部作用于 控制面上單位面積的力,p為壓力, 為外部作用于 控制體上單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力。在重力場中 , 為重力加速度。將動量守恒定律應用于控制體 可知, 第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第1頁頁第二節(jié) 動量方程 npAdFdgF g一、靜止控制體的動量方程作用于控制體上的力為dF作用于控制面上的力為AnAdp單位時間內(nèi)控制體內(nèi)動量的增量為dwt單位時間內(nèi)通過控制面流入控制體的動量為AAdwnw第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第2頁頁第二節(jié) 動量方程 按照動量守恒定律可寫出靜止控制體的動量方程:ddddwpFwnwtAAAnA對于定常流動0d w

5、t,則(6.4)式變?yōu)锳nAAAdddpFwnw(6.5)(6.4)(6.5)式表示定常流動時作用于控制面和控制體上的力之和等于單位定常流動時作用于控制面和控制體上的力之和等于單位時間內(nèi)流出控制體的動量時間內(nèi)流出控制體的動量。例題例題6.1 如圖6.2所示,不可壓流體定常流過截面積為A的等截面彎管,求流體作用于彎管上的力F。已知進出口截面流動均勻,忽略質(zhì)量力,且已知w1,A,p1,p2及出口截面方向。第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第3頁頁第二節(jié) 動量方程 圖6.2 流體流過等截面彎管p1w2 yw1Fyxp2Fxo解解:選取流體與彎管壁面的交界面及進出口截面為控制面,并選取

6、xoy坐標系。已知in1,sincos2jin,111pnnp,222pnnp, inw1111wwsincos2222jinwww,21,21AA ,0dg,bAnAdpF,這里Ab為彎管壁面面積,代入(6.5)式得sincossincos2221212211jiiFjiiAwAwApAp又由連續(xù)性方程(6.3)可知12112wAAww第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第4頁頁第二節(jié) 動量方程 代入上式得到流體對彎管的作用力sincos1cos2122121AwpAwppFFyxjijiF二、運動控制體的動量方程控制體速度為u,流體在控制體內(nèi)運動的相對速度為rw,其絕對速度為

7、rwuw ,參照靜止控制體的動量方程(6.4),可推導出 運動控制體的動量方程。流入控制體的動量為ArArrArrAAAAAddddnwuwnwwnuwwnw單位時間內(nèi)控制體內(nèi)動量的增加dddddddtttttttrrruuwuwuww(b)(a)第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第5頁頁第二節(jié) 動量方程 將式(a),(b)代入式(6.4)得到dddddddtttAAArAnArArruuwpFnwuwnw由連續(xù)性方程可知0ddArAtnwuu,則(c)式變?yōu)閐ddddttAArAnArruwpFwnw(6.6)式稱為運動控制體的動量方程。(c)(6.6)例題例題6.2 求如圖

8、6.3(a)所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。解:首先求火箭發(fā)動機排出氣體對火箭殼體的作用力。選取燃燒室內(nèi)的氣體作為控制體,由于火箭不需要空氣,所以控制面沒有進口。 第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第6頁頁第二節(jié) 動量方程 w圖6.3 垂直上升的火箭U p pamRFxAw pAmRgFdFx papm (b)(a)(c)火箭發(fā)動機噴嘴的截面積為A,燃燒室內(nèi)氣體的質(zhì)量為mf ,排出氣體的質(zhì)量流率為 、相對速度為w、壓力為p,火箭殼體對氣體的作用力為Fx,大氣壓力為pa,如圖6.3(b)所示。若燃燒室內(nèi)的流動是穩(wěn)定的,則由(6.6)式可以得到pm tUmwmppAFfpax

9、dd)(現(xiàn)在考慮火箭殼體的受力,火箭的質(zhì)量為mR、受阻力Fd(圖6.3(c),則tUmgmFFRRdxdd第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第7頁頁第二節(jié) 動量方程 由于燃燒室內(nèi)氣體的質(zhì)量相對于火箭總質(zhì)量為一微量,則由上面兩式可以求得火箭運動的加速度為RRdapmgmFAppwmtU)(dd第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第1頁頁第三節(jié) 動量矩方程 如圖6.1所示,o為某一參考點,R為為o點到控制面Ad或控制體d的向徑,其它符號同前。將動量矩守恒定律應用于控制體 可知:單位時間內(nèi)流入控制體的動量以及作用于控制體與控制面上的外力對參考點o之矩等于單位時間內(nèi)控制體

10、內(nèi)對同一點的動量矩的增量。 作用于控制面上的力矩為AnAdpR作用于控制體上的力矩為dFR通過控制面流入控制體的動量矩為AAdwRnw單位時間內(nèi)控制體內(nèi)動量矩的增量dwRtddddwRFRpRwRnwtAAAnA按動量矩守恒定律得到其數(shù)學表達式為(6.7)(6.7)式稱為積分形式的動量矩方程,對于定常流動,(6.7)式等號右端為零。 處葉輪進出口圓周為控制面,由于對稱性,當對軸心取力矩時,重力和壓力的力矩為零。第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第2頁頁第三節(jié) 動量矩方程 2圖6.4 離心壓縮機葉輪u2r2u1c2w2 1c1w1r1o例題例題6.3 如圖6.4所示,離心壓縮機葉

11、輪轉(zhuǎn)速為 ,帶動流體一起旋轉(zhuǎn),圓周速度為 ,流體沿葉片流動速度為 ,流量為Q,流體密度為 ,求葉輪傳遞給流體的功率。uw解解:流體絕對速度為wuc當葉片足夠多時,可認為流動是穩(wěn)定的。取1r,2r設葉輪作用于流體的力矩為M,由(6.7)式可以得到0coscos222111rcQrcQM 第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第3頁頁第三節(jié) 動量矩方程 上式化簡得到111222coscosrcrcQM因為MN 所以所求葉輪傳遞給流體的功率為111222111222coscoscoscosucucQrcrcQN第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第1頁頁第四節(jié) 能量方程 一

12、、能量方程的建立如圖6.1所示, 為外部給予控制面 上單位時間單位面積的傳導熱, 為外部給予控制體 上單位時間單位質(zhì)量流體非熱傳導的熱, 如輻射熱、化學生成熱等,e為單位質(zhì)量流體的廣義內(nèi)能,如熱力學中的內(nèi)能,電磁能等,z為向上度量的鉛垂高度,其它符號意義同前。將能量守恒定律應用于控制體可知:單位時間內(nèi)流入控制體的能量,外部傳入的熱量以及外力所作的功的總和等于單位時間內(nèi)控制體內(nèi)能量的增加。其數(shù)學表達式為qAdRqdd2d2dddd22wetAweAqAqAAnRAnwwFwp(6.8)式稱為積分形式的能量方程。(6.8)第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第2頁頁第四節(jié) 能量方程

13、二、能量方程的簡化對于定常(0t)、絕熱(0Rqq)、質(zhì)量力有勢(UF理想流體(pnnp)的流動,(6.8)式簡化為)、0d2dd2AweUApAAnwwwn但dddwwwUUU而AAUUddwnw由連續(xù)性方程,定常流動時0w,因而0dwU。于是有0d22AAUpwenw(6.9)(廣義高斯定理)第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第3頁頁第四節(jié) 能量方程 (6.9)式是定常絕熱理想流體質(zhì)量力有勢時的能量方程。式中 可視為單位質(zhì)量流體的總能量,它是內(nèi)能e、動能 、壓力勢能 和質(zhì)量力勢U 的總和。(6.9)式的物理意義是單位時間流進和流出控制面的總能量的代數(shù)和為零。重力場中 稱為單

14、位質(zhì)量的位能。Upwe2222wpgzU 對于細小流管,其截面上參數(shù)可認為是均勻的,于是由(6.9)式可得到const22Upwe(6.10)式可理解為定常絕熱理想流體質(zhì)量力有勢條件下,沿流線單位質(zhì)量流體的總能量保持不變。這就是伯努利方程。(6.10)對于質(zhì)量力為重力、理想不可壓縮流體非絕熱定常流動,若滿足0q則控制體內(nèi)流體內(nèi)能的增量將由輻射熱提供,于是有teqRdd,即dddddddetteqR(6.11)第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第4頁頁第四節(jié) 能量方程 據(jù)系統(tǒng)導數(shù)公式(輸運公式),有AeetetAdddddnw穩(wěn)定流動時由式(6.11)、(6.12)可得AeqAR

15、ddnw即由熱輻射引起的控制體內(nèi)流體內(nèi)能的增量等于通過控制面的流體所具有的內(nèi)能之和。將式(6.13)代入式(6.8),有0d22AAgzwpwn(6.14)(6.12)(6.13)對于微小流管及其任意兩個流通截面構成的控制體,上式為const22gzpw這就是常用的重力場中理想不可壓縮流體的伯努利方程式。(6.15)第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第5頁頁第四節(jié) 能量方程 im 圖6.5 充氣中的容器 piTip0,T0,V例題例題6.4 如圖6.5所示一容器體積為V,通過管道充氣,容器入口處的壓力為ip,溫度為iT,質(zhì)量流量為im ,容器內(nèi)初始狀態(tài)為0p、0T絕熱,不計重力

16、及進口動能,求容器內(nèi)溫度的變化規(guī)律。解:解:取容器內(nèi)氣體為控制體。由連續(xù)性方程,AtAd)(dnw即imtmdd上式積分得到t時刻容器內(nèi)流體的質(zhì)量為:tmmmi0由理想氣體狀態(tài)方程000RTMmVp得到第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第6頁頁第四節(jié) 能量方程 000RTVMpm 由題意知0Rqq,0F,022w,則可由(6.8)式得到emtmempiiiiddivvimTCtTCtmmtmetememtdddddddd0因為ipiiiiiiiiTCmepmmemp所以ipiivviTCmmTCtTCtmmdd0上式化簡為tmmTkTmtTiii0dd其中k為絕熱指數(shù),vpCCk (a)第六章 流體動力學積分形式基本方程 退 出返 回第第7頁頁第四節(jié) 能量方程 (a)式積分得到CtmmTkTiil

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