第一講(電子的粒子性和波動性)

1、鍵合、晶體結構、電子能量結構是鍵合、晶體結構、電子能量結構是理解和理解和創(chuàng)新創(chuàng)新一種材料的物理性能的理論基礎。一種材料的物理性能的理論基礎。原原 子子 間間 鍵鍵 合合晶晶 體體 結結 構構固 體 的 電 子能量結構和狀態(tài)材材 料料物理性能物理性能其中電子的能量結構最為復雜。其中電子的能量結構最為復雜。19271927年年1010月，第五屆索爾維會議月，第五屆索爾維會議 Jx-+B0所產生的電場稱為霍耳場，用霍耳系數(shù)來所產生的電場稱為霍耳場，用霍耳系數(shù)來表征。表征。0HHxERJ BJx-+B0霍耳場強度霍耳場強度xJvne0 xB JEne霍耳場霍耳場表達式表達式0 xHJ BEne0001

2、1xHHxxJ BERJ BJ Bnene0HHxERJ B00NNnZZMM2Em Ch 式中：式中：m m為粒子質量。為粒子質量。v v為自由粒子運動為自由粒子運動速度。速度。 由上式計算的波長，稱為由上式計算的波長，稱為。 2;hhEmChpm在相對論力學中運動物體的相對質量在相對論力學中運動物體的相對質量m m、靜止質、靜止質 量量m m0 0及速度及速度v v間存在如下關系：間存在如下關系：0221mmC與該粒子相聯(lián)系的平面單色波的波長又可與該粒子相聯(lián)系的平面單色波的波長又可表示為：表示為： 上式為上式為計算公式計算公式 。如果如果CC，那么：，那么：0hm2201hhhpmmC德布

3、羅意關于德布羅意關于物質波物質波的的假設，在假設，在19271927年被美國年被美國貝爾電話實驗室的戴維貝爾電話實驗室的戴維森森(Davisson(Davisson) )和革末和革末(Germer(Germer) ) 的電子衍射的電子衍射實驗所證實。實驗所證實。電子槍電子槍探測器探測器54vNi500KGBDUsin,1dkkdd電子槍電子槍探測器探測器500Ni54v100102.15 10sin501.65 10( )m探測器探測器sin,1dkkdd電子槍電子槍50054vNi再看由物質波波長方程式計算電子的波長：再看由物質波波長方程式計算電子的波長：電子質量電子質量 m m9.19.1

4、 1010-31 -31 kgkg，電子能量，電子能量E E54e54eV V，則電子動量：則電子動量： 式中：式中：1.61.6 1010-19-19為電子伏特向焦耳的轉換因子。為電子伏特向焦耳的轉換因子。1/23119 1/224(2)(2 9.1 1054 1.6 10)3.97 10(/ )pmEkg m s212PmEm3424106.6210/ 3.97101.6610()hmp比較兩個結果基本一致，說明德布羅意假設的正比較兩個結果基本一致，說明德布羅意假設的正確性。確性。 19281928年以后的進一步實驗證明：不僅電子具有波年以后的進一步實驗證明：不僅電子具有波性，自然界中的性

5、，自然界中的一切微觀粒子一切微觀粒子，不論它們的靜止，不論它們的靜止質量是否為零，都具有波粒二象性質量是否為零，都具有波粒二象性 ，包括如原子、，包括如原子、分子、質子等都微觀粒子，其波長與分子、質子等都微觀粒子，其波長與 =h/p=h/p計算出計算出來的完全一致，從而肯定了來的完全一致，從而肯定了物質波物質波的假說。的假說。波粒二象性波粒二象性是一切物質是一切物質( (包括電磁場包括電磁場) )所具有所具有的普遍屬性。的普遍屬性。 例：一質量例：一質量m m=0.05=0.05kgkg的子彈，以速率的子彈，以速率=300m/s=300m/s運動，其德布羅意波長為多少運動，其德布羅意波長為多少

6、? ? 由此可見，對于一般的宏觀物體，其物質波由此可見，對于一般的宏觀物體，其物質波波長是很小的，很難顯示波動性。波長是很小的，很難顯示波動性。 34356.63 104.4 10( )0.05 300hmm34311930126.6210229.1101.610200102.7410()0.0274()hhpmEmA納米金剛石納米金剛石SiSi 薄膜薄膜透射電鏡透射電鏡22,dWdvdWCdv 2*CdVCdV21CdV2說說 明明 波波 函函 數(shù)數(shù) 要要滿足歸一化條件滿足歸一化條件21dVC222電子雙縫衍射實驗電子雙縫衍射實驗：7個電子100個電子底片上出現(xiàn)一個個的點子底片上出現(xiàn)一個個的

7、點子電子具有粒子性。電子具有粒子性。來源于來源于“一個電子一個電子”所具有的波動性，所具有的波動性，而不是電子間相互作用的結果。而不是電子間相互作用的結果。隨著電子增多，逐漸形成衍射圖樣隨著電子增多，逐漸形成衍射圖樣30007000020000如何理解電子的波粒二象性？如何理解電子的波粒二象性？電子一個一個發(fā)射，重復實驗，結果衍射花紋不變；電子一個一個發(fā)射，重復實驗，結果衍射花紋不變；單個電子也具有單個電子也具有“波動性波動性”。單個電子入射每次集中于一點，出現(xiàn)在屏上；單個電子入射每次集中于一點，出現(xiàn)在屏上；電子在屏上的落點是隨機分布的，多次積累以后電子在屏上的落點是隨機分布的，多次積累以后出

8、現(xiàn)衍射花紋；出現(xiàn)衍射花紋；外界條件一定，重復實驗，結果衍射花紋不變；外界條件一定，重復實驗，結果衍射花紋不變；電子是一個完整的顆粒，不可分割。電子是一個完整的顆粒，不可分割。在測量前具有不確定性，但在測量前具有不確定性，但是有一定的統(tǒng)計性。是有一定的統(tǒng)計性。電子在空間的統(tǒng)計分布是一定的。電子在空間的統(tǒng)計分布是一定的。而不是電子間相互作用的結果。而不是電子間相互作用的結果。經典概念中經典概念中 1.1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化實在的物理量的空間分布作周期性的變化; ; 波意味著波意味著 2 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。粒子性（粒子性（不是經典的粒子）

9、不是經典的粒子） ：“原子性原子性”或或“顆粒顆粒性性”。即具有。即具有不與不與“粒子有確切的軌道粒子有確切的軌道”的概念相聯(lián)的概念相聯(lián)系。系。 波動性波動性（不是經典的波）：波的（不是經典的波）：波的“疊加性疊加性”，并不與并不與某種實際的物理量在空間的分布相聯(lián)系。某種實際的物理量在空間的分布相聯(lián)系。 經典概念中經典概念中 1.1.有一定質量、電荷等有一定質量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; ; 粒子意味著粒子意味著 2 2有確定的運動軌道，每一時刻有一定有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。位置和速度。2e 機械振動在彈性媒質中的傳播過程稱為機械波。機械振動在彈性媒質中的傳播

10、過程稱為機械波。就每一質點來說，只是做振動，就全部媒質來就每一質點來說，只是做振動，就全部媒質來說，振動傳播形成機械波。產生機械波的條件說，振動傳播形成機械波。產生機械波的條件是：具有是：具有和和。波動中真正傳播的是波動中真正傳播的是；傳播是現(xiàn)象，傳播是現(xiàn)象，傳播是實質，傳播是實質，傳播傳播是波動的量度。是波動的量度。 波速波速：一定振動狀態(tài)（或相位）傳播的速度，：一定振動狀態(tài)（或相位）傳播的速度，單位時間內一定振動位相在傳播方向上傳播的單位時間內一定振動位相在傳播方向上傳播的距離。用距離。用u u表示。表示。 波長波長：波動傳播時，同一波線上兩個相鄰的位：波動傳播時，同一波線上兩個相鄰的位相

11、差為相差為2 2 的質點之間的距離，即一個完整波的的質點之間的距離，即一個完整波的長度。用長度。用波的周期波的周期：傳過一個波長的時間，或一個完整波通過：傳過一個波長的時間，或一個完整波通過波線上某點所需要的時間。用波線上某點所需要的時間。用T T表示。表示。波的頻率波的頻率：單位時間內波動推進的距離中所包含的完：單位時間內波動推進的距離中所包含的完整波長的數(shù)目，或單位時間內通過波線上某點的完整整波長的數(shù)目，或單位時間內通過波線上某點的完整波的數(shù)目。用波的數(shù)目。用 表示。表示。1uuTT角頻率角頻率圓頻率圓頻率 波數(shù)波數(shù)角頻率角頻率 波矢波矢0cos()yAtxy oxp簡諧波運動學方程是一個

12、與時間簡諧波運動學方程是一個與時間t t 和位置和位置 x x 的相的相關的函數(shù)，原點關的函數(shù)，原點O O的振動方程可表示為：的振動方程可表示為：波線上距離波線上距離O O點點x x距離的某點距離的某點P P的的相位落后于相位落后于O O點點 ，則，則P P點在時點在時刻刻t t的波動方程表示為：的波動方程表示為：0cos()yAt2x而初始相位差初始相位差2 2、t t一定時，令一定時，令t t= =t t1 1，則質點位移，則質點位移y y僅是僅是x x的函數(shù)。的函數(shù)。得到一余弦曲線，它是得到一余弦曲線，它是t t1 1時刻波線上各個質點時刻波線上各個質點偏離各自平衡位置的位移所構成的波形

13、曲線。偏離各自平衡位置的位移所構成的波形曲線。1 1、x x 一定時，令一定時，令x x= =x x1 1，則質點位移，則質點位移y y僅是時間僅是時間t t的的函數(shù)。函數(shù)。10cos2xyAt10cos2xyAt簡諧機械波的波動方程簡諧機械波的波動方程xyu0cos()yAt0000cos()cos2 ()cos()cos()2xyAtAxAtKxAtt 2x而22,K 0 0= =0 0，A=yA=y0 0 ，則有：則有：2()0(,)xityxtye0(,)c o s 2()xyxtythhpm0cos2 ()xyAt 對于對于2EmCh在此，不考慮在此，不考慮初始相位差。初始相位差。0

14、1(,)c o s 2()yxtytxEh1PhhpEhPh0(, )c o s 2()EPyx tytxhh02( , )cos()y x tyEtPxh2h令令01( , )cos()x tEtPx 12()0(,)itxyxtyeEh1PhhpEhPh2h令令()0( , )iEtpxx te ()0( , )it Kxx te 一維自由粒子的波函數(shù)為：一維自由粒子的波函數(shù)為：()0( , )iEtpxx te 2222px 對位移求二階偏導：對位移求二階偏導：0( , )iiEtpxx tee 20220222( , )()()( , )iiEtpxiiEtpxx tiippeexpe

15、epx t 一維自由粒子的波函數(shù)為一維自由粒子的波函數(shù)為：()0( , )iEtpxx te 對時間求一階偏導對時間求一階偏導： 0( , )iiEtpxx tee 0( , )()( , )iiEtpxx tiEeetiEx t iEt這就是一維自由粒子（含時間）這就是一維自由粒子（含時間）薛定諤方程薛定諤方程。iEt 2222px 2222imxt 2222( , )( , )x tix tPtEt 212Emv根據(jù)根據(jù) ，Pmv212EPm即：即：22PEm得：得：如果如果電子電子在確定的在確定的勢場勢場中運動，其薛定諤方程也中運動，其薛定諤方程也可用可用類似的方法類似的方法建立起來。在

16、有勢力場中粒子的建立起來。在有勢力場中粒子的總能量為：總能量為：212EmvU將將P=mP=mv v帶入，得：帶入，得：22PEUm212EPUm 2222Uimxt 2222Px iEt勢場勢場中中一維一維運運動粒子動粒子薛定諤方程薛定諤方程2222Px iEt 基于基于一維一維粒子的薛定諤方程，對于在勢場中作粒子的薛定諤方程，對于在勢場中作三三維維運動的粒子的薛定諤方程可以寫成為：運動的粒子的薛定諤方程可以寫成為：2222222()2Uimxyzt 令：令： ，稱為拉普拉斯算，稱為拉普拉斯算符，上式可以寫成符，上式可以寫成：2222222xyz 222Uimt 在在定態(tài)問題中勢函數(shù)不是時間

17、的函數(shù)定態(tài)問題中勢函數(shù)不是時間的函數(shù)，即，即U U可寫成可寫成U U( (x,y,zx,y,z) )，故上式可以寫成：，故上式可以寫成：22( , )2U x y zimt 這就是這就是勢場中勢場中三維三維運動粒子的運動粒子的定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)薛定諤方程。( , , )( , )( )x y z tx y z f t依據(jù)分離變量法，依據(jù)分離變量法，波函數(shù)可以表示為：波函數(shù)可以表示為：2211( )( , )2( , )( )f tU x y zimx y zf tt得：得：2222( )( )22Uf tUf tmm 左邊：左邊：( )f tiitt右邊：右邊：2211( )( , , )2( , , )( )f tU x y zimx y zf tt方程的左邊只是空間坐標的函數(shù)，右邊只是時間方程的左邊只是空間坐標的函數(shù)，右邊只是時間的函數(shù)，只有兩邊都等于一個