牛頓萊布尼茨微積分參考模板

1、牛頓與萊布尼茲創(chuàng)立微積分之解析摘要:文章主要探討了牛頓和萊布尼茲所處的時(shí)代背景以及他們的哲學(xué)思想對(duì)其創(chuàng)立廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域的基本數(shù)學(xué)工具微積分的影響。 關(guān)鍵詞:牛頓;萊布尼茲;微積分;哲學(xué)思想 今天,微積分已成為基本的數(shù)學(xué)工具而被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。恩格斯說(shuō)過(guò):“在一切理論成就中,未有象十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績(jī),那就正是在這里?！?(p.244)本文試從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立“被看作人類精神的最高勝利”的微積分的時(shí)代背景及哲學(xué)思想對(duì)其展開(kāi)剖析。 一、牛頓所處的時(shí)代背景及其哲學(xué)思想 “牛頓(I

2、saacNewton,1642-1727)1642年生于英格蘭。,1661年,入英國(guó)劍橋大學(xué),1665年,倫敦流行鼠疫,牛頓回到鄉(xiāng)間,終日思考各種問(wèn)題,運(yùn)用他的智慧和數(shù)年來(lái)獲得的知識(shí),發(fā)明了流數(shù)術(shù)(微積分)、萬(wàn)有引力和光的分析?！?(p.155) 1665年5月20日,牛頓的手稿中開(kāi)始有“流數(shù)術(shù)”的記載。流數(shù)的介紹和用運(yùn)動(dòng)解決問(wèn)題等論文中介紹了流數(shù)(微分)和積分,以及解流數(shù)方程的方法與積分表。1669年,牛頓在他的朋友中散發(fā)了題為運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)的小冊(cè)子,在這里,牛頓不僅給出了求一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的普遍方法,而且證明了面積可以由求變化率的逆過(guò)程得到。因?yàn)槊娣e也是用無(wú)窮小

3、面積的和來(lái)表示從而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過(guò)程得到(更精確地說(shuō),和的極限能夠由反微分得到),這個(gè)事實(shí)就是我們現(xiàn)在所講的微積分基本定理。這里“,牛頓使用的是無(wú)窮小方法,把變量的無(wú)限小增量叫做“瞬”,瞬是無(wú)窮小量,是不可分量,或是微元,牛頓通過(guò)舍棄“瞬”求得變化率?！?(p.199)1671年牛頓將他關(guān)于微積分研究的成果整理成流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)(1736),在這里,他認(rèn)為變量是連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,他把變量叫做流,變量的變化率叫做流數(shù)。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問(wèn)題:已知兩個(gè)流之間的關(guān)系,求它們流數(shù)之間的關(guān)系,以及它的逆問(wèn)題。流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)是一部較完整的微積分著作。書(shū)的后半部分

4、通過(guò)20個(gè)問(wèn)題廣泛地介紹了流數(shù)法各無(wú)窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用。1676年,牛頓寫(xiě)出了求曲邊形的面積(1704),在這里,牛頓的微積分思想發(fā)生了重大變化,他放棄了微元或無(wú)窮小量,而采用了最初比和最后比的方法。 1687年牛頓發(fā)表了它的劃時(shí)代的科學(xué)名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理,流數(shù)術(shù)(即微積分)是其三大發(fā)現(xiàn)之一。正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)的:“牛頓啊你所發(fā)現(xiàn)的道路在你的那個(gè)時(shí)代是一位具有最高思維能力和創(chuàng)造能力的人所發(fā)現(xiàn)的唯一道路,你所創(chuàng)造的概念即使在今天仍然指導(dǎo)著我們的物理學(xué)思想”。4(p.192) 牛頓生活的時(shí)代正是英國(guó)發(fā)生變化的時(shí)代,當(dāng)時(shí)英國(guó)發(fā)生了國(guó)內(nèi)戰(zhàn)爭(zhēng),資產(chǎn)階級(jí)和貴族的階級(jí)妥協(xié),使英國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命明顯的帶上了不徹底性

5、。當(dāng)時(shí)的英國(guó)資產(chǎn)階級(jí)正在為現(xiàn)存的剝削階級(jí)的一切上層建筑做永恒存在的論證,因此絕對(duì)化的思想成為占統(tǒng)治地位的主導(dǎo)思想,它也影響到當(dāng)時(shí)的自然科學(xué)家們把形而上學(xué)的思想方法絕對(duì)化。牛頓的思想也受到了英國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命不徹底性的影響,因而牛頓也往往不能從自然界本身或事物的本身來(lái)尋找最初的原因,而借助于外來(lái)的推動(dòng)力。 牛頓在30歲以前發(fā)現(xiàn)了微積分,并建立了經(jīng)典力學(xué)體系,而他的后半生在自然科學(xué)的研究上幾乎一事無(wú)成。這是由于在資本主義產(chǎn)生和形成的時(shí)期,資產(chǎn)階級(jí)曾經(jīng)向宗教神學(xué)發(fā)起沖擊,幫助科學(xué)從神學(xué)中解放出來(lái)。但是當(dāng)資產(chǎn)階級(jí)的地位鞏固以后,階級(jí)斗爭(zhēng)逐漸激化之時(shí),資產(chǎn)階級(jí)就逐漸衰退,他們就抓住各種各樣的宗教信念作為奴

6、役人民的思想武器。牛頓受其影響很大,其前半生由于自發(fā)的唯物主義的思想傾向,使他獲得了巨大成就,而后半生則完全沉迷于神學(xué)的研究。 牛頓繼承了培根的經(jīng)驗(yàn)主義傳統(tǒng),特別重視實(shí)驗(yàn)和歸納推理的作用,他曾斷言,自然科學(xué)只能從經(jīng)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)解釋世界。這在當(dāng)時(shí)對(duì)打擊經(jīng)院哲學(xué)的崇尚空談、妄稱神意來(lái)歪曲自然界是起過(guò)積極作用的。但是“,牛頓卻拘泥于經(jīng)驗(yàn)事實(shí),片面強(qiáng)調(diào)歸納的重要性。只有大量的感性材料,一切停留在事物的現(xiàn)象上,單獨(dú)依靠歸納的方法是得不出系統(tǒng)的普遍性的理性認(rèn)識(shí)來(lái)的。在分析和綜合、演繹和歸納的問(wèn)題上,形而上學(xué)使牛頓陷入了矛盾?！?(p.123) 二、萊布尼茲所處的時(shí)代背景及其哲學(xué)思想 “萊布尼茲(Gottfr

7、iedWilhelmLeibniz,1646-1716)生于德國(guó)。2 / 6,1672年赴巴黎,在那里接觸到惠更斯等一些數(shù)學(xué)名流,引其進(jìn)入了數(shù)學(xué)領(lǐng)域,開(kāi)始微積分的創(chuàng)造性工作?！?(p.165) 1684年萊布尼茨發(fā)表了數(shù)學(xué)史上第一篇正式的微積分文獻(xiàn)一種求極限值和切線的新方法。這篇文獻(xiàn)是他自1673年以來(lái)的微積分研究的概括與成果,其中定義了微分,廣泛地采用了微分符號(hào)dx、dy,還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則。同時(shí)包括了微分法在求切線、極大、極小值及拐點(diǎn)方面的應(yīng)用。兩年后,又發(fā)表了一篇積分學(xué)論文深?yuàn)W的幾何與不 變量及其無(wú)限的分析,其中首次使用積分符號(hào)“”,初步論述了積分(或求積)問(wèn)題與微分

8、求切線問(wèn)題的互逆問(wèn)題。即今天大家熟知的牛頓-萊布尼茨公式baf(x)dx=f(b)-f(a),為我們勾畫(huà)了微積分學(xué)的基本雛形和發(fā)展藍(lán)圖。 “牛頓建立微積分是從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā),而萊布尼茲則從幾何學(xué)的角度去考慮,所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓符號(hào),并有效地促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。”6(p.120)牛頓發(fā)現(xiàn)微積分(1665-1666年)比萊布尼茨至少早了9年,然而萊布尼茨公開(kāi)發(fā)表它的微積分文章比牛頓早3年。據(jù)萊布尼茨本人提供的證據(jù)說(shuō)明他是在1674年形成了微分的思想與方法。如果說(shuō),牛頓建立微積分主要是從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā),而萊布尼茲則是從哲學(xué)的和幾何學(xué)的角度去考慮,特別是和巴羅的“微分三角形”有密切關(guān)

9、系,萊布尼茲稱它為“特征三角形”。巴羅的微分三角形對(duì)萊布尼茲有著重要啟發(fā),對(duì)微分三角形的研究,使他意識(shí)到求切線和求積問(wèn)題是一對(duì)互逆的問(wèn)題。萊布尼茲第一個(gè)表達(dá)出微分和積分之間的互逆關(guān)系。 萊布尼茲的許多研究成果和思想的發(fā)展,都包含在從1673年起寫(xiě)的但從未發(fā)表過(guò)的成百頁(yè)的筆記中。1673年左右,他看到求曲線的切線的正問(wèn)題和反問(wèn)題的重要性,他完全相信反方法等價(jià)于通過(guò)求和來(lái)求面積和體積。1684年,萊布尼茲發(fā)表第一篇微分學(xué)論文一種求極大、極小和切線的新方法,它也適用于分式或無(wú)理量,以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算,對(duì)他以往的研究作了初步整理,敘述了微分學(xué)的基本原理,認(rèn)為函數(shù)的無(wú)限小增量是自變量無(wú)限小變

10、 化的結(jié)果,且把這個(gè)函數(shù)的增量叫做微分,用字母d表示。1675-1676年間,他從求曲邊形面積出發(fā)得到積分的概念,給出微積分基本定理baf(x)dx=f(b)-f(a)。1686年萊布尼茲發(fā)表積分學(xué)論文潛在的幾何與分析不可分和無(wú)限。1693年,他給出了上述定理的一個(gè)證明。以上這些都發(fā)表在教師學(xué)報(bào)上。將微分和積分統(tǒng)一起來(lái),是微積分理論得以建立的一個(gè)重要標(biāo)志。萊布尼茲出生在德國(guó)路德派諸侯與天主教諸侯之間的對(duì)立而引起的“三十年戰(zhàn)爭(zhēng)”結(jié)束前。為了改變宗教紛爭(zhēng)的局面,萊布尼茲立志要發(fā)現(xiàn)一種新的天主教和路德教都能適合的關(guān)于實(shí)體的學(xué)說(shuō),以成為兩派教會(huì)得以聯(lián)合的哲學(xué)基礎(chǔ)。雖然萊布尼茲的意圖是不可能實(shí)現(xiàn)的,但他

11、后來(lái)卻因此提出了一種與笛卡爾不同的實(shí)體學(xué)說(shuō)單子論。 “單子論是萊布尼茲哲學(xué)的核心內(nèi)容。萊布尼茲認(rèn)為一切事物都由單子這種精神的實(shí)體構(gòu)成的,這種單子既非物質(zhì)的而又具有一定的質(zhì),它是精神性的,萊布尼茲就把它比之于靈魂。只有精神的單子才是真實(shí)的存在的實(shí)體,從單子是不可分的,即沒(méi)有部分的“單純”實(shí)體這一點(diǎn)出發(fā),萊布尼茲就推論出它的一系列特征:單子沒(méi)有部分,它就不能以自然的方式通過(guò)各部分的組合而產(chǎn)生,或通過(guò)各部分的分解而消滅,因此它的生滅只能出于上帝的突然創(chuàng)造或毀滅;單子沒(méi)有部分,就不能設(shè)想有什么東西可以進(jìn)入其內(nèi)部來(lái)造成變化,這樣,單子就成了各自獨(dú)立或徹底孤立的東西,各單子之間不能有任何真正的相互作用或影

12、響。單子之間沒(méi)有量的差異,而只有質(zhì)的不同?！?(p.85) 總之,萊布尼茲的基本觀點(diǎn)是唯心主義的,也是形而上學(xué)的。他把宇宙的秩序都?xì)w因于上帝的預(yù)先決定。他肯定許多必然真理并非來(lái)自經(jīng)驗(yàn),他認(rèn)為不但認(rèn)識(shí)的對(duì)象都是由精神性的“單子”所構(gòu)成。而且認(rèn)識(shí)的主體也只能作為精神實(shí)體的心靈這種“單子”。他把一切發(fā)展變化都?xì)w因于上帝的“前定”,實(shí)際也就否定了真正的發(fā)展,這是他的觀點(diǎn)的消極的一面。但另一方面,萊布尼茲的哲學(xué)也有積極方面,它的哲學(xué)中含有豐富的辯證法思想,他肯定實(shí)體本身就具有力,因而是能動(dòng)的,實(shí)質(zhì)上肯定了物質(zhì)與運(yùn)動(dòng)不可分的思想,他試圖解決“不可分的點(diǎn)”和“連續(xù)性”的矛盾問(wèn)題,接觸到了個(gè)別與全體、間斷性與

13、連續(xù)性的對(duì)立統(tǒng)一問(wèn)題,對(duì)促進(jìn)理性和經(jīng)驗(yàn)的辯證結(jié)合做出了一定的貢獻(xiàn)三、牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分之比較 牛頓和萊布尼茲用各自不同的方法,創(chuàng)立了微積分學(xué)。如果說(shuō)牛頓接近最后的結(jié)論要比萊布尼茲早一些,那么萊布尼茲發(fā)表自己的結(jié)論要早于牛頓。雖然牛頓的微積分應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)萊布尼茲的工作,刺激并決定了幾乎整個(gè)十八世紀(jì)分析的方向,但是萊布尼茲成功地建立起更加方便的符號(hào)體系和計(jì)算方法。兩位微積分的奠基人,一位具有英國(guó)式的處事謹(jǐn)慎,治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘L(fēng)度,一位具有德國(guó)人的哲理思辨心態(tài),熱情大膽。由于陰陽(yáng)差錯(cuò)的時(shí)代背景,過(guò)分追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐ｎD遲遲未將自己的發(fā)現(xiàn)發(fā)表,讓萊布尼茨搶了一個(gè)發(fā)表的頭籌。 牛頓和萊布尼茲的哲學(xué)觀點(diǎn)的不同導(dǎo)

14、致了他們創(chuàng)立微積分的方法不同。牛頓堅(jiān)持唯物論的經(jīng)驗(yàn)論,特別重視實(shí)驗(yàn)和歸納推理。他在研究經(jīng)典力學(xué)規(guī)律和萬(wàn)有引力定律時(shí),遇到了一些無(wú)法解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題,而這些數(shù)學(xué)問(wèn)題用歐幾里德幾何學(xué)和16世紀(jì)的代數(shù)學(xué)是無(wú)法解決的,因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長(zhǎng)度、重心、最大最小值等問(wèn)題的方法流數(shù)法?！芭ｎD的研究采用了最初比和最后比的方法。他認(rèn)為流數(shù)是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬間的比值?！?(p.180)這個(gè)解釋太模糊了,算不上精確的數(shù)學(xué)概念,只不過(guò)是一種直觀的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度與末速度的數(shù)學(xué)抽象,在物體作位置

15、移動(dòng)的過(guò)程中的每一瞬間具有的速度是自明的,牛頓就是從這個(gè)客觀事實(shí)出發(fā)提出了最初比和最后比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點(diǎn)。 萊布尼茲的微積分創(chuàng)造始于研究“切線問(wèn)題”和“求積問(wèn)題”,他從微分三角形認(rèn)識(shí)到:求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值;求曲邊圖形的面積則依賴于在橫坐標(biāo)的無(wú)限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和或無(wú)限薄的矩形之和。萊布尼茲認(rèn)識(shí)到求和與求差運(yùn)算是可逆的。萊布尼茲用無(wú)窮小的思想給出了微積分的基本定理,并發(fā)展成為高階微分。萊布尼茲的無(wú)窮小是分階的,這源于他哲學(xué)中的單子論思想。“萊布尼茲在單子論中指出:不同的單子其知覺(jué) 的清晰程度是不一樣的,并從一種知覺(jué)向另一種知覺(jué)過(guò)渡和變化,發(fā)展就是

16、由單子構(gòu)成的事物,由低級(jí)向高級(jí)的不同等級(jí)的序列。”6(p.91)可以說(shuō),萊布尼茲的無(wú)窮小的分階正是和它的客觀唯心論的哲學(xué)體系中那個(gè)不同層次的單子系統(tǒng)是相對(duì)應(yīng)的。萊布尼茲在微積分的研究過(guò)程中,連續(xù)性原則成為其工作的基石,而連續(xù)性原則是扎根于他哲學(xué)中無(wú)限的本質(zhì)的思想。 牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的相同點(diǎn)有:從不同的角度創(chuàng)立了一門(mén)新的數(shù)學(xué)學(xué)科,使微積分具有廣泛的用途并能應(yīng)用于一般函數(shù);用代數(shù)的方法從過(guò)去的幾何形式中解脫出來(lái);都研究了微分與反微分之間的互逆關(guān)系。 牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的不同點(diǎn)主要有:牛頓繼承了培根的經(jīng)驗(yàn)論,對(duì)歸納特別青睞。牛頓的微積分明顯帶著從力學(xué)脫胎而來(lái)的物理模型的痕跡,以機(jī)械運(yùn)動(dòng)

17、的數(shù)學(xué)模型出現(xiàn),其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都來(lái)自機(jī)械運(yùn)動(dòng),是機(jī)械運(yùn)動(dòng)瞬間狀態(tài)的數(shù)學(xué)抽象。他建立微積分的目的是為了解決特殊問(wèn)題,強(qiáng)調(diào)的是能推廣的具體結(jié)果。而萊布尼茲強(qiáng)調(diào)能夠應(yīng)用于特殊問(wèn)題的一般方法和算法,以便統(tǒng)一處理各種問(wèn)題。萊布尼茲在符號(hào)的選擇上花費(fèi)了大量的時(shí)間,發(fā)明了一套富有提示性的符號(hào)系統(tǒng)。他把sum(和)的第一個(gè)字母S拉長(zhǎng)表示積分,用dx表示x的微分,這套簡(jiǎn)明易懂又便于使用的符號(hào)一直沿用至今。 牛頓認(rèn)為微積分是純幾何的自然延伸,關(guān)心的是微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用。經(jīng)驗(yàn)、具體和謹(jǐn)慎是他的工作特點(diǎn),這種拘束的做法,使他沒(méi)有能盡情發(fā)揮。而萊布尼茲關(guān)心的是廣泛意義下的微積分,力求創(chuàng)造建立微積分的完善體系。他富于想象,喜歡推廣,大膽而且有思辯性,所以毫不猶豫地宣布了新學(xué)科的誕生。 牛頓和萊布尼茲都是他們時(shí)代的科學(xué)巨人。微積分之所以能成為獨(dú)立的學(xué)科并給整個(gè)自然科學(xué)帶來(lái)革命性的影響,主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作。從牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的