偏微分方程理論的歸納與總結(jié)

1、偏微分方程基本理論的歸納與總結(jié)偏微分方程是儲存自然信息的載體,自然現(xiàn)象的深層次性質(zhì)可以通過數(shù)學(xué)手段從方程中推導(dǎo)出來.最為一種語言,微分方程在表達(dá)自然定律方面比文字具有更強的優(yōu)越性.微分方程是一個龐大的體系,它的基本問題就是解的存在性和唯一性.該學(xué)科的主要特征是不存在一種可以統(tǒng)一處理大多數(shù)偏微分方程的適定性問題的普適的方法和理論.這是與常微分方程有顯著差異的地方.這種特性使得我們將方程分為很多種不同類型,這種分類的依據(jù)主要來自數(shù)學(xué)與自然現(xiàn)象這兩個方面.從數(shù)學(xué)的角度,方程的類型一般總是對應(yīng)于一些普遍的理論和工具.換句話講,如果能建立一個普遍性的方法統(tǒng)一處理一大類方程問題,那么這個類型就被劃分出來.

2、而從自然現(xiàn)象的角度,我們又可以依據(jù)不同的運動類型以及性質(zhì)將方程進行分類.當(dāng)然這兩種方式常常不能截然區(qū)分,通常它們是相互關(guān)聯(lián)的,這就造成方程的概念有很多重疊現(xiàn)象.依據(jù)數(shù)學(xué)的特征,偏微分方程主要被分為五大類,它們是：（1） 線性與擬微分方程,商量這類方程的主要工具是Fourier分析方法；（2） 橢圓型方程,它的方法是先驗估量+泛函分析手段；（3） 拋物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正則性估量；（4） 雙曲型方程,對應(yīng)于Galerkin方法；（5） 一階偏微分方程,主要工具是數(shù)學(xué)分析方法.從自然界的運動類型動身,偏微分方程可分為如下幾大類：（1） 穩(wěn)態(tài)方程（非時間演化方程）；（2

3、） 耗散型演化方程,這類方程描述了時間演化過程中伴有能量損耗與補充的自然運動.相變與混沌是它們的主要內(nèi)容；（3） 保守系統(tǒng),如具有勢能的波方程.該系統(tǒng)掌握的運動是與外界隔離的,及無能量輸入,也無能量損耗.行波現(xiàn)象與周期運動是它們的主要特征；（4） 守恒律系統(tǒng),這類方程是一階偏微分方程組,它們與保守系統(tǒng)具有類似的性質(zhì),可視為物質(zhì)流的守恒.激波行為是由守恒律系統(tǒng)來掌握.下面簡略來介紹三類經(jīng)典方程：三類典型方程：橢圓型方程,拋物型方程,雙曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解問題的解法以及三類典型方程的基本理論.關(guān)于三類典型方程定解問題的解題方法,它們主要是分離變量法、積分變換法、特征線法、球面平均法

4、、降維法和Green 函數(shù)方法.關(guān)于三類典型方程的基本理論極值原理和能量估量,并由此給出了解的唯一性和穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論.簡略來說,關(guān)于二階線性橢圓形方程,我們商量它的古典解和弱解.前者主要介紹了基本解、調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)、Green 函數(shù)、極值原理、最大模估量、能量方法和變分原理；而后者的商量則需要知道Sobolev空間的相關(guān)知識再加以商量；關(guān)于二階線性拋物型方程,主要商量它的Fourier 變換、特別的求解方法、基本解、方程式和方程組的最大值原理以及最大模估量、帶有非經(jīng)典邊界條件和非局部項的方程式的最大值原理及能量方法；關(guān)于二階線性雙曲型方程,主要商量初值問題的求解方法、初值問題的能量不等式

5、與解的適定性、以及混合問題的能量模估量與解的適定性.橢圓、拋物和雙曲這三類線性偏微分方程解的適定性問題,它們分別以拉普拉斯方程、熱傳導(dǎo)方程和波動方程作為代表.簡略地說,對于某些規(guī)章的求解區(qū)域試圖求出滿足特定線性偏微分方程和定解條件的簡略解,這就決定了存在性問題；再利用方程本身所具有的特別性質(zhì),將證明所求解是唯一的,也就解決了唯一性問題；關(guān)于連續(xù)依靠性問題,需要在不同函數(shù)空間中考慮,我們將在連續(xù)函數(shù)空間和平方可積函數(shù)空間中分別商量解關(guān)于輸入數(shù)據(jù)的連續(xù)依靠性問題 學(xué)習(xí)偏微分方程理論以及偏微分方程分析是商量其它一切的基礎(chǔ).首先有必要解釋一下解的適定性.簡潔地說,一個偏微分方程是適定性的,若它有解（存

6、在性）解唯一（唯一性）且對輸入數(shù)據(jù)的微小轉(zhuǎn)變的響應(yīng)也是很小的轉(zhuǎn)變（連續(xù)依靠性）.前兩個準(zhǔn)則是一個有意義的物理模型所要求的,第三個準(zhǔn)則是實驗觀察的基礎(chǔ).考慮適定性時,還應(yīng)記得對有實際意義的問題通常不行能求得顯示解,從而可考慮逼近格式,特別是數(shù)值解在應(yīng)用中就具有特別的重要性.因此,適定性問題與偏微分方程科學(xué)計算的如下中心問題有親密聯(lián)系：對一個問題給定肯定精度的數(shù)據(jù),數(shù)值解計算輸出有多少精度？正由于這個問題對現(xiàn)代定量科學(xué)的重要性,適定性成為偏微分方程理論的核心內(nèi)容.因此,偏微分方程的學(xué)習(xí)應(yīng)以三類線性偏微分方程的適定性問題為主要商量對象.同時,考慮到偏微分方程理論的兩個特點：一是與應(yīng)用、與物理的緊密聯(lián)

7、系；二是與數(shù)學(xué)其它分支的聯(lián)系.以下,我們簡略來說一下其兩個具有應(yīng)用價值的特點.針對特點一：首先,數(shù)學(xué)物理方程是自然科學(xué)和工程技術(shù)的各門分支中消失的偏微分方程,這些方程給出了所考察的物理量關(guān)于自變量（時間變量和空間變量）的偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.例如連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理的范疇,數(shù)學(xué)物理方程側(cè)重于模型的建立和定解問題的解題方法,而偏微分方程則側(cè)重于其自身的數(shù)學(xué)理論,所以偏微分方程理論的商量是能夠更好地將其運用于物理當(dāng)中.針對特點二：偏微分方程理論與其他數(shù)學(xué)分支如泛函分析、數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)、復(fù)分析等緊密聯(lián)系.偏微分方程理論廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)這些領(lǐng)域中的基本概念,基礎(chǔ)思想和基

8、本方法,并且它本身也給這些學(xué)科分支的商量問題的范圍與方向以影響.鑒于此,對于應(yīng)用數(shù)學(xué)而言,掌握和商量偏微分方程的目的主要應(yīng)該放在以下幾個方面：（1）建立模型.在經(jīng)典物理中,具有普遍意義的自然定律不僅可以用實驗手段獲得,而且依據(jù)這些定律很容易對相應(yīng)的自然現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型.如天體力學(xué),連續(xù)介質(zhì)力學(xué),流體動力學(xué)以及經(jīng)典電磁學(xué)中的物理定律就屬于這種情況.在近代物理中,情況有一些變化.咋愛量子力學(xué)與廣義相對論中,一些自然規(guī)章與物理定律是隱而不見的,此時數(shù)學(xué)物理方程是依靠部分物理原則與實驗數(shù)據(jù)猜想出來的.然而,到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段,大多數(shù)面臨的問題僅依靠物理或數(shù)學(xué)的單一學(xué)科知識和直覺建立模型已變得特別困難,必

9、須具備多學(xué)科交叉能力才行.因此,只有系統(tǒng)全面地掌握偏微分方程的理論與方法,才能訓(xùn)練出從方程解的性質(zhì)反推出模型的形式的能力,這里方程解的性質(zhì)是由實驗數(shù)據(jù)與觀測資料所供應(yīng).這種模型反推能力再結(jié)物理直覺就是現(xiàn)在建立數(shù)學(xué)模型的基本要求;（2）從已知的方程和模型推導(dǎo)出新的發(fā)現(xiàn)和預(yù)言.這個方面可以說是科學(xué)進展最重要的環(huán)節(jié)之一;（3）從掌握自然現(xiàn)象的微分方程中得到問題的機理和解釋;（4）最后一個方面就是從數(shù)學(xué)模型獲得與實驗和觀測相吻合的性質(zhì)和結(jié)論.雖然這類工作不能供應(yīng)新的科學(xué)結(jié)果,但能使我們加深對問題的理解,體現(xiàn)自然美與數(shù)學(xué)美的有機結(jié)合.在總結(jié)了偏微分方程理論所商量的內(nèi)容及其特點以后,我們該怎樣學(xué)習(xí)基本理論

10、呢？首先,對于每一類方程,我們要了解它的物理背景及其意義,否則,我們根本不知道它在說什么.事實上,同一個方程有很多不同的來源,這一方面是偏微分方程理論具有廣泛應(yīng)用的緣由之一.同時對于不同的來源進行類比商量可以更好地解釋物理過程的某些特性,由于某個簡略物理特性在某個物理過程還沒有被觀察到或沒有引起注意,而在另外某個物理過程已經(jīng)被觀察注意到了,如果這兩個物理過程聽從同一個偏微分方程,則在原來的物理過程中應(yīng)該也具有這個特性.其次,在對數(shù)學(xué)模型商量之后,需要有意識地講數(shù)學(xué)解帶回原來的物理意義中,去理解,解釋物理現(xiàn)象.這一方面可以驗證數(shù)學(xué)模型的有效性,另一方面可以更好地理解已知的物理現(xiàn)象,從而更加深刻地了解其在現(xiàn)實中的意義.然后,要擅長去思考,總結(jié),歸納.逐步提高分析、解決實際問題的能力.至于與數(shù)學(xué)其他學(xué)科的聯(lián)系,比如,求解過程中將會用到很多微積分或數(shù)學(xué)分析的概念,思想,和定理,解的表達(dá)形式也是有積分形式的或級數(shù)形式的,解空間的結(jié)構(gòu)則用到很多線性代數(shù)的知識.最后,學(xué)好泛