幾何概型.ppt

1、第五十一講 隨機事件的概率 第五十二講古典概型與幾何概型關 注 熱 點 1.古典概型的概率是高考考查的重點通常要結合互斥事件、對立事件及排列、組合的有關知識求解2.對幾何概型的考查有升溫的跡象，在復習時要注意幾何概型與線性規(guī)劃、不等式的解集、方程的根所在的區(qū)間等的結合3.多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中低檔題有時也出現(xiàn)在解答題中. 必然事件 不可能事件 必然事件與不可能事件 在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生 確定事件 隨機事件 頻率 常數(shù) 常數(shù) 0P(A)1 P(A)P(B) P(A1)P(A2)P(An) 1P(A) （1 1）任何兩個基本事件是）任何兩個基本事件是互斥互斥的；的；（2 2）

2、任何事件）任何事件( (除不可能事件除不可能事件) )都可以表都可以表 示成基本事件的示成基本事件的和和。5基本事件的特點： （1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個； （有限性）（有限性） （2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。 （等可能性）（等可能性）6古典概率概型（A A）P PA A包含的基本事件的個數(shù)包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)基本事件的總數(shù)7 7古典概型的概率計算公式：古典概型的概率計算公式：nm 8幾何概型幾何概型 （1）如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域

3、的_ _(_ _(_或或_)_)成比例成比例, ,則稱這樣的概率模型為幾何則稱這樣的概率模型為幾何 概率模型概率模型, ,簡稱為簡稱為_._. （2）幾何概型中幾何概型中, ,事件事件A A的概率計算公式的概率計算公式 P P( (A A)= .)= .)()(面積或體積面積或體積的區(qū)域長度的區(qū)域長度試驗的全部結果所構成試驗的全部結果所構成面積或體積面積或體積的區(qū)域長度的區(qū)域長度構成事件構成事件A長長度度 面積面積體積體積幾何概型幾何概型9.9.要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點: : (1) (1)無限性：在一次試驗中無限性：在一次試驗中,

4、,可能出現(xiàn)的結果有無限可能出現(xiàn)的結果有無限 多個；多個； (2)(2)等可能性：每個結果的發(fā)生具有等可能性等可能性：每個結果的發(fā)生具有等可能性. .10.10.幾何概型的試驗中幾何概型的試驗中, ,事件事件A A的概率的概率P P( (A A) )只與子區(qū)域只與子區(qū)域A A 的幾何度量的幾何度量( (長度、面積或體積長度、面積或體積) )成正比成正比, ,而與而與A A的位的位 置和形狀無關置和形狀無關. .11.11.求試驗中幾何概型的概率求試驗中幾何概型的概率, ,關鍵是求得事件所占區(qū)關鍵是求得事件所占區(qū) 域和整個區(qū)域域和整個區(qū)域 的幾何度量的幾何度量, ,然后代入公式即可求然后代入公式即

5、可求 解解. .古典概型例題分析古典概型例題分析 例例1 1、單選題是標準化考試中常用的題型，一單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從般是從A A、 B B、C C、D D四個選項中選擇一個正確四個選項中選擇一個正確答案答案, , 假設考生不會做，他隨機的選擇一個答假設考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少？案，問他答對的概率是多少？10.254“答對”所包含的基本事件的個數(shù)（“答對”） 基本事件的總數(shù) P解：解：由古典概型的概率計算公式得：由古典概型的概率計算公式得： 在標準化的考試中既有單選題又有不定項在標準化的考試中既有單選題又有不定項選擇題，不定項選擇題從選擇題，不定

6、項選擇題從A A、B B、C C、D D四個選項四個選項中選出所有正確答案，若本體改為不定項選擇中選出所有正確答案，若本體改為不定項選擇題，則答對的概率是多少？題，則答對的概率是多少？我們探討正確答案的所有結果：我們探討正確答案的所有結果：如果只要如果只要一個一個正確答案是對的，則有正確答案是對的，則有4 4種種；如果有如果有兩個兩個答案是正確的，則答案可以是（答案是正確的，則答案可以是（A A、B B）（A A、C C）（）（A A、D D）（）（B B、C C）(B(B、D) (CD) (C、D)D)6 6種種如果有如果有三個三個答案是正確的，則答案可以是（答案是正確的，則答案可以是（A

7、A、B B、C C） （A A、B B、D D） （A A、C C、D D）（）（B B、C C、D D）4 4種種所有所有四個四個都正確，則正確答案只有都正確，則正確答案只有1 1種種正確答案的所有可能結果有正確答案的所有可能結果有4 46 64 41 11515種，從這種，從這1515種答案中任選一種的可能性只有種答案中任選一種的可能性只有1/151/15，因此更難猜，因此更難猜對。對。 例例2 2 同時擲兩個骰子同時擲兩個骰子, ,計算：計算：（1 1）一共有多少種不同的結果？）一共有多少種不同的結果？（2 2）其中向上的點數(shù)之和是）其中向上的點數(shù)之和是5 5的結果有的結果有多少種？多少

8、種？（3 3）向上的點數(shù)之和是）向上的點數(shù)之和是5 5的概率是多少？的概率是多少？ 例例3 同時擲兩個骰子同時擲兩個骰子,計算：計算：(1)一共有多少種不同的結果一共有多少種不同的結果?所以，同時擲兩個骰子的結果共有所以，同時擲兩個骰子的結果共有3636種種. .解解:(1):(1)把兩個骰子標上記號把兩個骰子標上記號1 1、2 2以便區(qū)分，可能結果有：以便區(qū)分，可能結果有：1234561 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)

9、 (3，6)4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 例例3 同時擲兩個骰子同時擲兩個骰子,計算：計算：(2)其中向上的點數(shù)之和是其中向上的點數(shù)之和是5的結果有多少種的結果有多少種?解解: (2): (2)由上表可知，向上的點數(shù)之和是由上表可知，向上的點數(shù)之和是5 5的結果有的結果有4 4種種. .1234561 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)2 (2，1) (2，2) (2

10、，3) (2，4) (2，5) (2，6)3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)(1，4)(3，2)(2，3)(4，1) (3)記事件A表示“向上點數(shù)之和為5”,由(2)可知，事件A包含的基本事件個數(shù)為4。于是由古典概型的概率計算公式可得 例例3 同時擲兩個骰子同時擲兩個骰子,計算：計算：(3)向上的點數(shù)之和是向上的點數(shù)之和是5的概率是多少

11、的概率是多少?解：解：91364)(AP 左右兩組骰子所呈現(xiàn)的結果，可以讓我們很容易左右兩組骰子所呈現(xiàn)的結果，可以讓我們很容易的感受到，這是兩個不同的基本事件，因此，在投擲兩個的感受到，這是兩個不同的基本事件，因此，在投擲兩個骰子的過程中，我們必須對兩個骰子加以區(qū)分。骰子的過程中，我們必須對兩個骰子加以區(qū)分。為什么要把兩個骰子標上記號？如果不標記號會為什么要把兩個骰子標上記號？如果不標記號會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？ A2A21P所所包包含含的的基基本本事事件件的的個個數(shù)數(shù)（ ）基基本本事事件件的的總總數(shù)數(shù)如果不標上記號，類似于（如果不標上記號，類

12、似于（1 1，2 2）和（）和（2 2，1 1）的結果將沒有區(qū)別。）的結果將沒有區(qū)別。這時，所有可能的結果將是：這時，所有可能的結果將是：（1 1，1 1）（）（1 1，2 2）（）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）（）（1 1，6 6）（）（2 2，2 2）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（）（2 2，5 5）（）（2 2，6 6）（）（3 3，3 3）（）（3 3，4 4）（）（3 3，5 5）（3 3，6 6）（）（4 4，4 4）（）（4 4，5 5）（）（4 4，6 6）（）（5 5，5 5）（）（5 5，6 6）（）（6 6，6 6）共有共有2121種種,

13、,和是和是5 5的結果有的結果有2 2個個, ,它們是（它們是（1 1，4 4）（）（2 2，3 3），所求的），所求的概率為概率為思考與探究思考與探究題型一題型一 與長度有關的幾何概型與長度有關的幾何概型【例例1 1】有一段長為有一段長為1010米的木棍米的木棍, ,現(xiàn)要截成兩段現(xiàn)要截成兩段, ,每段每段 不小于不小于3 3米的概率有多大？米的概率有多大？ 從每一個位置剪斷都是一個基本事件從每一個位置剪斷都是一個基本事件, ,基基 本事件有無限多個本事件有無限多個. .但在每一處剪斷的可能性相等但在每一處剪斷的可能性相等, , 故是幾何概型故是幾何概型. . 思維啟迪思維啟迪幾何概型例題分析

14、幾何概型例題分析解解 記記“剪得兩段都不小于剪得兩段都不小于3 3米米”為事件為事件A A, ,從木棍的從木棍的 兩端各度量出兩端各度量出3 3米米, ,這樣中間就有這樣中間就有10-3-3=4(10-3-3=4(米米).).在中在中間的間的4 4米長的木棍處剪都能滿足條件米長的木棍處剪都能滿足條件, ,所以所以 從該題可以看出從該題可以看出, ,我們將每個事件理解為我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點, ,該區(qū)域中每該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣一點被取到的機會都一樣. .而一個隨機事件的發(fā)生則而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域

15、內的某個指定區(qū)域中的點理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點, ,這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解. . . 4 . 0104103310)(AP探究提高探究提高知能遷移知能遷移1 1 平面上有一組平行線平面上有一組平行線, ,且相鄰平行線間且相鄰平行線間 的距離為的距離為3 cm,3 cm,把一枚半徑為把一枚半徑為1 cm1 cm的硬幣任意平拋在的硬幣任意平拋在 這個平面上這個平面上, ,則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率 是是 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如圖所示如圖

16、所示, ,這是長度型幾何概型問題這是長度型幾何概型問題, ,當硬幣當硬幣 中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相 碰碰, ,故所求概率為故所求概率為41312132.31PB題型二題型二 與面積與面積( (或體積或體積) )有關的幾何概型有關的幾何概型【例例2 2】街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9 cm9 cm的正的正 方形塑料板的寬廣地面上方形塑料板的寬廣地面上, ,擲一枚半徑為擲一枚半徑為1 cm1 cm的小的小 圓板圓板. .規(guī)則如下：每擲一次交規(guī)則如下：每擲一次交5 5角錢角錢, ,若小圓板壓在正若小圓板壓

17、在正 方形的邊上方形的邊上, ,可重擲一次；若擲在正方形內可重擲一次；若擲在正方形內, ,須再交須再交5 5 角錢可玩一次；若擲在或壓在塑料板的頂點上角錢可玩一次；若擲在或壓在塑料板的頂點上, ,可獲可獲 1 1元錢元錢. .試問：試問： (1)(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？ (2)(2)小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？ 應用幾何概型的概率計算公式應用幾何概型的概率計算公式P P( (A A)=)= 即可解決此類問題即可解決此類問題. . 思維啟迪思維啟迪的測度的測度Dd解解 (1)(1)考慮圓心位置在中心

18、相同且邊長分別為考慮圓心位置在中心相同且邊長分別為7 cm 7 cm 和和9 cm9 cm的正方形圍成的區(qū)域內的正方形圍成的區(qū)域內, ,所以概率為所以概率為(2)(2)考慮小圓板的圓心在以塑料板頂點為圓心的考慮小圓板的圓心在以塑料板頂點為圓心的 圓圓內內, ,因正方形有四個頂點因正方形有四個頂點, ,所以概率為所以概率為 幾何概型的概率計算公式中的幾何概型的概率計算公式中的“測度測度”, ,既包含本例中的面積既包含本例中的面積, ,也可以包含線段的長度、體積也可以包含線段的長度、體積等等, ,而且這個而且這個“測度測度”只與只與“大小大小”有關有關, ,而與形狀和而與形狀和位置無關位置無關.

19、. 探究提高探究提高.8132979222.8192 41知能遷移知能遷移2 2 在邊長為在邊長為2 2的正的正ABCABC內任取一點內任取一點P P, , 則使點則使點P P到三個頂點的距離至少有一個小于到三個頂點的距離至少有一個小于1 1的概率的概率 是是_._. 解析解析 以以A A、B B、C C為圓心為圓心, ,以以1 1為半為半 徑作圓徑作圓, ,與與ABCABC交出三個扇形交出三個扇形, , 當當P P落在其內時符合要求落在其內時符合要求. .63243)1321(322P63題型三題型三 與角度有關的幾何概型與角度有關的幾何概型 【例例3 3】在在RtRtABCABC中中,A

20、A=30=30, ,過直角頂點過直角頂點C C作射作射 線線CMCM交線段交線段ABAB于于MM, ,求使求使| |AMAM|ACAC| |的概率的概率. . 如圖所示如圖所示, ,因為過一因為過一 點作射線是均勻的點作射線是均勻的, ,因而應把在因而應把在 ACBACB內作射線內作射線CMCM看做是等可能看做是等可能 的的, ,基本事件是射線基本事件是射線CMCM落在落在ACBACB內任一處內任一處, ,使使 | |AMAM|ACAC| |的概率只與的概率只與BCCBCC的大小有關的大小有關, ,這符合這符合 幾何概型的條件幾何概型的條件. . 思維啟迪思維啟迪解解 設事件設事件D D為為“

21、作射線作射線CMCM, ,使使| |AMAM|ACAC|”. |”. 在在ABAB上取點上取點C C使使| |ACAC|=|=|ACAC|,|,因為因為ACCACC是等是等腰三角形腰三角形, ,所以所以 幾何概型的關鍵是選擇幾何概型的關鍵是選擇“測度測度”, ,如本例如本例以角度為以角度為“測度測度”. .因為射線因為射線CMCM落在落在ACBACB內的任意內的任意位置是等可能的位置是等可能的. .若以長度為若以長度為“測度測度”, ,就是錯誤的就是錯誤的, ,因為因為MM在在ABAB上的落點不是等可能的上的落點不是等可能的. . 探究提高探究提高, 75230180CAC.619015)(,

22、90,157590DPA知能遷移知能遷移3 3 在圓心角為在圓心角為9090的扇形的扇形AOBAOB中中, ,以圓心以圓心O O 為起點作射線為起點作射線OCOC, ,求使得求使得AOCAOC和和BOCBOC都不小于都不小于 3030的概率的概率. . 解解 如圖所示如圖所示, ,把圓弧把圓弧ABAB三等分三等分, ,則則 AOFAOF=BOEBOE=30=30, ,記記A A為為“在扇在扇 形形AOBAOB內作一射線內作一射線OCOC, ,使使AOCAOC和和 BOCBOC都不小于都不小于3030”,”,要使要使AOCAOC和和BOCBOC都不小都不小 于于3030, ,則則OCOC就落在就

23、落在EOFEOF內內, ,.319030)(AP題型四題型四 可化為幾何概型的概率問題可化為幾何概型的概率問題 【例例4 4】甲、乙兩人約定在甲、乙兩人約定在6 6時到時到7 7時之間在某處會面時之間在某處會面, , 并約定先到者應等候另一人一刻鐘并約定先到者應等候另一人一刻鐘, ,過時即可離去過時即可離去. . 求兩人能會面的概率求兩人能會面的概率. . 在平面直角坐標系內用在平面直角坐標系內用x x軸表示甲到達軸表示甲到達 約會地點的時間約會地點的時間, ,y y軸表示乙到達約會地點的時間軸表示乙到達約會地點的時間, ,用用 0 0分到分到6060分表示分表示6 6時到時到7 7時的時間段

24、時的時間段, ,則橫軸則橫軸0 0到到6060與縱與縱 軸軸0 0到到6060的正方形中任一點的坐標的正方形中任一點的坐標( (x x, ,y y) )就表示甲、就表示甲、 乙兩人分別在乙兩人分別在6 6時到時到7 7時時間段內到達的時間時時間段內到達的時間. .而能會而能會 面的時間由面的時間由| |x x- -y y|15|15所對應的圖中陰影部分表示所對應的圖中陰影部分表示. .思維啟迪思維啟迪解解 以以x x軸和軸和y y軸分別表示甲、乙軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間兩人到達約定地點的時間, ,則兩人則兩人能夠會面的充要條件是能夠會面的充要條件是| |x x- -y y|15.

25、|15.在如圖所示平面直角坐標系下在如圖所示平面直角坐標系下, ,( (x x, ,y y) )的所有可能結果是邊長為的所有可能結果是邊長為6060的正方形區(qū)域的正方形區(qū)域, ,而事而事件件A A“兩人能夠會面兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影部分的可能結果由圖中的陰影部分表示表示. .由幾何概型的概率公式得：由幾何概型的概率公式得：所以所以, ,兩人能會面的概率是兩人能會面的概率是.167600302526003604560)(222SSAPA.167探究提高探究提高 (1)(1)甲、乙兩人都是在甲、乙兩人都是在6 6 7 7時內的任意時時內的任意時 刻到達會面地點刻到達會面地點, ,故每

26、一對結果對應兩個時間故每一對結果對應兩個時間, ,分別用分別用 x x, ,y y軸上的數(shù)表示軸上的數(shù)表示, ,則每一個結果則每一個結果( (x x, ,y y) )就對應于圖中就對應于圖中正方形內的任一點正方形內的任一點. .(2)(2)找出事件找出事件A A發(fā)生的條件發(fā)生的條件, ,并把它在圖中的區(qū)域找出并把它在圖中的區(qū)域找出來來, ,分別計算面積即可分別計算面積即可. .(3)(3)本題的難點是把兩個時間分別用本題的難點是把兩個時間分別用x x, ,y y兩個坐標表兩個坐標表示示, ,構成平面內的點構成平面內的點( (x x, ,y y),),從而把時間是一段長度問從而把時間是一段長度問

27、題轉化為平面圖形的二維面積問題題轉化為平面圖形的二維面積問題, ,進而轉化成面積進而轉化成面積型幾何概型的問題型幾何概型的問題. . 知能遷移知能遷移4 4 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=x x2 2-2-2ax ax + +b b2 2, ,a a, ,b bR R. . (1) (1)若若a a從集合從集合0,1,2,30,1,2,3中任取一個元素中任取一個元素, ,b b從集合從集合 0,1,20,1,2中任取一個元素中任取一個元素, ,求方程求方程f f( (x x)=0)=0有兩個不相有兩個不相 等實根的概率；等實根的概率； (2)(2)若若a a從區(qū)間從區(qū)間0,20,2

28、中任取一個數(shù)中任取一個數(shù), ,b b從區(qū)間從區(qū)間0,30,3中中 任取一個數(shù)任取一個數(shù), ,求方程求方程f f( (x x)=0)=0沒有實根的概率沒有實根的概率. . 解解 (1)(1)a a取集合取集合0,1,2,30,1,2,3中任一個元素中任一個元素, ,b b取集合取集合 0,1,20,1,2中任一個元素中任一個元素, ,a a, ,b b的取值的情況有的取值的情況有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(1,1),(1,2),(2,0),(2

29、,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),(3,2),其中第一個數(shù)表示其中第一個數(shù)表示a a的取值的取值, ,第二個數(shù)表示第二個數(shù)表示b b的的取值取值, ,即基本事件總數(shù)為即基本事件總數(shù)為12.12.設設“方程方程f f( (x x)=0)=0有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根”為事件為事件A A, ,當當a a0,0,b b00時時, ,方程方程f f( (x x)=0)=0有兩個不相等實根的充要有兩個不相等實根的充要條件為條件為a a b b. .當當a a b b時時, ,a a, ,b b取值的情況有取值的情況有(1,0),(2,0),(2,1),(1,0),(2,0

30、),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(3,0),(3,1),(3,2),即即A A包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為6,6,方程方程f f( (x x)=0)=0有兩個不相等實根的概率有兩個不相等實根的概率.21126)(AP(2)(2)a a從區(qū)間從區(qū)間0,20,2中任取一個數(shù)中任取一個數(shù), ,b b從區(qū)間從區(qū)間0,30,3中任取一個數(shù)中任取一個數(shù), ,則試則試驗的全部結果構成區(qū)域驗的全部結果構成區(qū)域 =(=(a a, ,b b)|)|00a a2,02,0b b3,3,這是一個矩形這是一個矩形區(qū)域區(qū)域, ,其面積其面積設設“方程方程f f( (x x)=0)=0沒有實根沒

31、有實根”為事件為事件B B, ,則事件則事件B B所構成所構成的區(qū)域為的區(qū)域為MM=(=(a a, ,b b)|0)|0a a2,02,0b b3,3,a a b b,即圖中即圖中陰影部分的梯形陰影部分的梯形, ,其面積其面積 由幾何概型的概率計算公式可得方程由幾何概型的概率計算公式可得方程f f( (x x)=0)=0沒有實根沒有實根的概率的概率. 632S. 422216MS.3264)(MSSBP 1.1.幾何概型也是一種概率模型幾何概型也是一種概率模型, ,它與古典概型的區(qū)別它與古典概型的區(qū)別 是試驗的可能結果不是有限個是試驗的可能結果不是有限個. .它的特點是試驗結果它的特點是試驗結

32、果 在一個區(qū)域內均勻分布在一個區(qū)域內均勻分布, ,所以隨機事件的概率大小與所以隨機事件的概率大小與 隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關, ,只與該區(qū)域的大只與該區(qū)域的大 小有關小有關. .2.2.幾何概型的幾何概型的“約會問題約會問題”已經是程序化的方法與技已經是程序化的方法與技 巧巧, ,必須熟練掌握必須熟練掌握. . 方法與技巧方法與技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高幾何概型具有無限性和等可能性兩個特點幾何概型具有無限性和等可能性兩個特點. .無限性是無限性是指在一次試驗中指在一次試驗中, ,基本事件的個數(shù)可以是無限的；等基本事件的個數(shù)可以是無限的；等可能性是

33、指每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的可能性是指每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的. .因此因此, ,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的是相同的, ,同屬于同屬于“比例解法比例解法”, ,即隨機事件即隨機事件A A的概率的概率可以用可以用“事件事件A A包含的基本事件所占的圖形長度包含的基本事件所占的圖形長度( (面積面積或體積或體積)”)”與與“試驗的基本事件所占總長度試驗的基本事件所占總長度( (面積或體面積或體積積)”)”之比來表示之比來表示. . 失誤與防范失誤與防范 一、選擇題一、選擇題1.1.在長為在長為12 cm12 cm的線段

34、的線段ABAB上任取一點上任取一點MM, ,并以線段并以線段AM AM 為邊作正方形為邊作正方形, ,則這個正方形的面積介于則這個正方形的面積介于36 cm36 cm2 2與與 81 cm81 cm2 2之間的概率為之間的概率為 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 面積為面積為36 cm36 cm2 2時時, ,邊長邊長AMAM=6,=6, 面積為面積為81 cm81 cm2 2時時, ,邊長邊長AMAM=9,=9,4131274154.411231269PA定時檢測定時檢測2.2.在區(qū)域在區(qū)域 內任取一點內任取一點P P, ,則點則點P P落在單落在單

35、位圓位圓x x2 2+ +y y2 2=1=1內的概率為內的概率為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 區(qū)域為區(qū)域為ABCABC內部內部( (含邊界含邊界),),則概率為則概率為, 0, 02, 02yyxyx.4222212ABCSSP半圓D28643.3.在面積為在面積為S S的的ABCABC的邊的邊ABAB上任取一點上任取一點P P, ,則則PBC PBC 的面積大于的面積大于 的概率是的概率是 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由由ABCABC, ,PBCPBC有公共底邊有公共底邊BCBC, ,所以只需所以只需

36、P P位位 于線段于線段BABA靠近靠近B B的四分之一分點的四分之一分點E E與與A A之間之間, ,這是一個這是一個 幾何概型幾何概型, ,4S41214332.43ABAEPC4.4.已知正三棱錐已知正三棱錐S SABCABC的底面邊長為的底面邊長為4,4,高為高為3,3,在正在正 三棱錐內任取一點三棱錐內任取一點P P, ,使得使得V VP PABCABC V VS SABCABC的概率的概率 是是 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 當當P P在三棱錐的中截面及下底面構成的正三在三棱錐的中截面及下底面構成的正三 棱臺內時符合要求棱臺內時符合要求,

37、 ,由幾何概型知由幾何概型知, ,2187432141.87811PA5.5.(2009(2009遼寧遼寧) )ABCDABCD為長方形為長方形, ,ABAB=2,=2,BCBC=1,=1,O O為為AB AB 的中點的中點, ,在長方形在長方形ABCDABCD內隨機取一點內隨機取一點, ,取到的點到取到的點到O O 的距離大于的距離大于1 1的概率為的概率為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如圖如圖, ,要使圖中點到要使圖中點到O O的的 距離大于距離大于1,1,則該點需取在圖中陰則該點需取在圖中陰 影部分影部分, ,故概率為故概率為4.41222P4

38、1881B6.6.(2009(2009山東山東) )在區(qū)間在區(qū)間 上隨機取一個上隨機取一個 數(shù)數(shù)x x,cos,cos x x的值介于的值介于0 0到到 之間的概率為之間的概率為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 2,22312132.,),(),(cos,313223233221022 Pxxx由幾何概型知由幾何概型知的長度為的長度為又已知區(qū)間已知區(qū)間其區(qū)間長度為其區(qū)間長度為A21二、填空題二、填空題 7.7.(2008(2008江蘇江蘇) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中, ,設設D D是橫是橫 坐標與縱坐標的絕對值均不大于坐標與縱坐

39、標的絕對值均不大于2 2的點構成的區(qū)域的點構成的區(qū)域, , E E是到原點的距離不大于是到原點的距離不大于1 1的點構成的區(qū)域的點構成的區(qū)域, ,向向D D中隨中隨 機投一點機投一點, ,則落入則落入E E中的概率為中的概率為_._. 解析解析 如圖所示如圖所示, ,區(qū)域區(qū)域D D表示邊長表示邊長 為為4 4的正方形的內部的正方形的內部( (含邊界含邊界),),區(qū)區(qū) 域域E E表示單位圓及其內部表示單位圓及其內部, ,.164412P因此168.8.已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)= )= 若若a a是從區(qū)間是從區(qū)間00，22上任取上任取 的一個數(shù)的一個數(shù), ,b b是從區(qū)間是從區(qū)間0,2

40、0,2上任取的一個數(shù)上任取的一個數(shù), ,則此函則此函 數(shù)在數(shù)在1,+)1,+)遞增的概率為遞增的概率為_._. 解析解析 令令t t= =axax2 2- -bxbx+1,+1,函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在在1,+)1,+)上遞增上遞增, ,根根 據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷方法據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷方法, ,則則t t= =axax2 2- -bxbx+1+1須在須在 1,+)1,+)上遞增上遞增, , ,122 bxax.2, 12baab即 由題意得由題意得 畫出圖示得畫出圖示得 陰影部分面積陰影部分面積. . 概率為概率為 答案答案 ,22020baba.4322122122P439.

41、9.(2009(2009福建福建) )點點A A為周長等于為周長等于3 3的圓周上的一個定的圓周上的一個定 點點. .若在該圓周上隨機取一點若在該圓周上隨機取一點B B, ,則劣弧則劣弧 的長度小的長度小 于于1 1的概率為的概率為_._. 解析解析 圓周上使弧圓周上使弧 的長度為的長度為1 1的點的點MM有兩個有兩個, ,設設 為為MM1 1, ,MM2 2, ,則過則過A A的圓弧的圓弧 的長度為的長度為2,2,B B點落在點落在 優(yōu)弧優(yōu)弧 上就能使劣弧上就能使劣弧 的長度小于的長度小于1,1,所以劣弧所以劣弧 的長度小于的長度小于1 1的概率為的概率為.3232三、解答題三、解答題10.

42、10.如圖所示如圖所示, ,在單位圓在單位圓O O的某一直徑上隨機的取一點的某一直徑上隨機的取一點 Q Q，求過點，求過點Q Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過且與該直徑垂直的弦長長度不超過1 1的的 概率概率. .解解 弦長不超過弦長不超過1,1,即即| |OQOQ| | 而而Q Q點在直徑點在直徑AB AB 上是隨機的上是隨機的, ,事件事件A A=弦長超過弦長超過1.1.由幾何概型的概率公式得由幾何概型的概率公式得 弦長不超過弦長不超過1 1的概率為的概率為 答答 所求弦長不超過所求弦長不超過1 1的概率為的概率為 ,23.232223)(AP.231)(1AP.23111.11.投擲一個質地均勻的、每個面上標有一個數(shù)字