數(shù)學(xué)建模大賽命題與解題思路解析

1、解題思路1CUMCM09年B題“眼科病床的合理安排”命題、解題思路解析及論文點評 解題思路2目 錄v命題思路命題思路v解題思路解題思路v論文點評論文點評v綜合評述綜合評述解題思路3命 題 思 路v來自于人們司空見慣的日常生活現(xiàn)象來自于人們司空見慣的日常生活現(xiàn)象醫(yī)院住醫(yī)院住院排隊現(xiàn)象院排隊現(xiàn)象的一道題目，問題本身非常淺顯的一道題目，問題本身非常淺顯明白，專業(yè)門檻低，但解決問題中卻涉及較深明白，專業(yè)門檻低，但解決問題中卻涉及較深刻的排隊論理論問題，當(dāng)無法通過理論方法獲刻的排隊論理論問題，當(dāng)無法通過理論方法獲得最優(yōu)解時，可以通過仿真優(yōu)化方法獲得實用得最優(yōu)解時，可以通過仿真優(yōu)化方法獲得實用效果令人滿意

2、的可行解，以上構(gòu)成該道題目的效果令人滿意的可行解，以上構(gòu)成該道題目的特點。特點。 解題思路4v這一類以排隊論及仿真優(yōu)化方法為主要解決這一類以排隊論及仿真優(yōu)化方法為主要解決方法的題目，在方法的題目，在CUMCMCUMCM的歷年競賽題目中，還的歷年競賽題目中，還不多見。而這一類隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)優(yōu)化的問題，不多見。而這一類隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)優(yōu)化的問題，在現(xiàn)實實際中卻是大量存在的，因此，在以在現(xiàn)實實際中卻是大量存在的，因此，在以反映現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)建模問題為己任的大反映現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)建模問題為己任的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中，出現(xiàn)這一類題目，也學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中，出現(xiàn)這一類題目，也是很自然的事情，是很自然的事情，M

3、CMMCM中如中如0404年年B B題題“游樂場游樂場快速通道問題快速通道問題”，0505年年B B題題“高速公路收費站高速公路收費站問題問題”，就是兩個這類問題的實例。，就是兩個這類問題的實例。 解題思路5v與我國龐大的人口總量相比較，好的醫(yī)院與我國龐大的人口總量相比較，好的醫(yī)院與好的醫(yī)生目前還是一種稀缺資源，題目與好的醫(yī)生目前還是一種稀缺資源，題目中提到的醫(yī)院住院排隊現(xiàn)象及其嚴(yán)重程度中提到的醫(yī)院住院排隊現(xiàn)象及其嚴(yán)重程度是確實存在的，本問題提出的初衷，就是是確實存在的，本問題提出的初衷，就是要得到對現(xiàn)有的病床安排要得到對現(xiàn)有的病床安排FCFSFCFS方案的一個方案的一個現(xiàn)實、合理的改進(jìn)方案，

4、所以，能得到最現(xiàn)實、合理的改進(jìn)方案，所以，能得到最優(yōu)解固然好，否則得到一個實用效果令人優(yōu)解固然好，否則得到一個實用效果令人滿意的可行解，也是可以的。滿意的可行解，也是可以的。 解題思路6v主要考點：主要考點：1. 1. 分布擬合檢驗；分布擬合檢驗；2. 2. 合理的評價指標(biāo)體系；合理的評價指標(biāo)體系；3. 3. 仿真方法應(yīng)用；仿真方法應(yīng)用；4. 4. 滿足一定置信度的統(tǒng)計預(yù)測模型的建立；滿足一定置信度的統(tǒng)計預(yù)測模型的建立；5. 5. 排隊論優(yōu)化模型的建立。排隊論優(yōu)化模型的建立。 解題思路7v 評閱原則評閱原則 本題解題方法比較多，結(jié)果也未必一本題解題方法比較多，結(jié)果也未必一致，評閱時主要以解題過

5、程中體現(xiàn)出的對問致，評閱時主要以解題過程中體現(xiàn)出的對問題的理解程度與建模能力為依據(jù)。題的理解程度與建模能力為依據(jù)。 解題思路8解 題 思 路數(shù)據(jù)分析與檢驗數(shù)據(jù)分析與檢驗v在著手解決問題前首先應(yīng)對所給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在著手解決問題前首先應(yīng)對所給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從中獲得對解題有用的信息，這是一種基本素質(zhì)，從中獲得對解題有用的信息，這是一種基本素質(zhì)，是一種具有良好工程素養(yǎng)的表現(xiàn)。在本問題中，是一種具有良好工程素養(yǎng)的表現(xiàn)。在本問題中，這一過程尤其重要，因為如果對病人到達(dá)規(guī)律及這一過程尤其重要，因為如果對病人到達(dá)規(guī)律及病人住院時間規(guī)律都不了解，問題癥結(jié)就抓不準(zhǔn)，病人住院時間規(guī)律都不了解，問題癥結(jié)就抓不準(zhǔn)，解

6、題將缺乏方向感，仿真計算就更無法進(jìn)行了。解題將缺乏方向感，仿真計算就更無法進(jìn)行了。 解題思路9v在本題所給數(shù)據(jù)中，各類病人到達(dá)人數(shù)分別服從不同參在本題所給數(shù)據(jù)中，各類病人到達(dá)人數(shù)分別服從不同參數(shù)的數(shù)的PoissonPoisson分布，需要進(jìn)行分布擬合檢驗及分布參數(shù)分布，需要進(jìn)行分布擬合檢驗及分布參數(shù)提取。提取。v由所給數(shù)據(jù)可以看出，病人術(shù)前住院時間是確定的，依由所給數(shù)據(jù)可以看出，病人術(shù)前住院時間是確定的，依入院時間而定，所以病人住院時間中只有術(shù)后住院時間入院時間而定，所以病人住院時間中只有術(shù)后住院時間是隨機(jī)的，要做擬合檢驗的也是這一部分時間分布。是隨機(jī)的，要做擬合檢驗的也是這一部分時間分布。v

7、各類病人術(shù)后住院時間分別服從正態(tài)分布各類病人術(shù)后住院時間分別服從正態(tài)分布 、分布分布 或或埃爾朗分布，由于檢驗方法或檢驗細(xì)節(jié)處理不相同，可埃爾朗分布，由于檢驗方法或檢驗細(xì)節(jié)處理不相同，可能得到以上不同的分布，這是允許的，但若得出服從負(fù)能得到以上不同的分布，這是允許的，但若得出服從負(fù)指數(shù)分布的結(jié)論，則是錯誤的。也有一些同學(xué)不做擬合指數(shù)分布的結(jié)論，則是錯誤的。也有一些同學(xué)不做擬合分布檢驗，而是畫出直方圖，然后以此經(jīng)驗分布作仿真分布檢驗，而是畫出直方圖，然后以此經(jīng)驗分布作仿真依據(jù)，這樣處理也是可以的。依據(jù)，這樣處理也是可以的。 解題思路10v數(shù)據(jù)分析做得比較深入的同學(xué)，會發(fā)現(xiàn)一數(shù)據(jù)分析做得比較深入的

8、同學(xué)，會發(fā)現(xiàn)一條隱含在數(shù)據(jù)中的關(guān)鍵信息：術(shù)前住院時條隱含在數(shù)據(jù)中的關(guān)鍵信息：術(shù)前住院時間過長是當(dāng)前病床使用效率不高的主要因間過長是當(dāng)前病床使用效率不高的主要因素。這樣一個關(guān)鍵信息的獲得，會使得建素。這樣一個關(guān)鍵信息的獲得，會使得建模更有方向感。模更有方向感。 解題思路11 第第 一一 問問 主要考核對問題的考慮是否全面，對問題實質(zhì)的理解是主要考核對問題的考慮是否全面，對問題實質(zhì)的理解是否到位。評價指標(biāo)分兩類：效率指標(biāo)和公平性指標(biāo)。否到位。評價指標(biāo)分兩類：效率指標(biāo)和公平性指標(biāo)。 兩類指標(biāo)可以有各種不同的定義，其合理性是評分依兩類指標(biāo)可以有各種不同的定義，其合理性是評分依據(jù)據(jù)。 效率指標(biāo)效率指標(biāo)平

9、均平均術(shù)前住院時間，或病床有效利用率。術(shù)前住院時間，或病床有效利用率。 非外傷病人入院第非外傷病人入院第2 2日（白內(nèi)障）或第日（白內(nèi)障）或第3 3日（其他眼?。┤眨ㄆ渌鄄。┖蟮却中g(shù)的時間稱為病床無效時間，病床有效利用率后等待手術(shù)的時間稱為病床無效時間，病床有效利用率定義為定義為 病床有效利用率病床有效利用率 = 1 - = 1 - 病床無效時間病床無效時間 / / 該病人住院時間該病人住院時間 解題思路12 公平性指標(biāo)公平性指標(biāo)從公平性考慮，希望盡量做到從公平性考慮，希望盡量做到FCFSFCFS（First come, First serveFirst come, First serve

10、）, ,公平度具體如何確定，公平度具體如何確定，是一個小考點。這個指標(biāo)必須考慮，否則會出現(xiàn)盡量收是一個小考點。這個指標(biāo)必須考慮，否則會出現(xiàn)盡量收白內(nèi)障病人入院，以改善效率指標(biāo)的現(xiàn)象。白內(nèi)障病人入院，以改善效率指標(biāo)的現(xiàn)象。 一種比較具操作性的指標(biāo)是一種比較具操作性的指標(biāo)是用用“延期住院延期住院”病人人數(shù)病人人數(shù)占總出院人數(shù)的比例來度量不公平度。占總出院人數(shù)的比例來度量不公平度。 注意到，上述公平度只考慮了注意到，上述公平度只考慮了“延期日子延期日子”，而沒有，而沒有將將“插隊人數(shù)插隊人數(shù)”度量在內(nèi)，對此可以有不同的理解與定度量在內(nèi)，對此可以有不同的理解與定義，不必苛求一致。義，不必苛求一致。 解

11、題思路13第第 二二 問問 本問主要考核能否給出一個相對合理的病本問主要考核能否給出一個相對合理的病床安排模型，主要目標(biāo)為：提高病床有效利用床安排模型，主要目標(biāo)為：提高病床有效利用率以及提高公平度。率以及提高公平度。 就提高病床有效利用率而言，病人術(shù)后住就提高病床有效利用率而言，病人術(shù)后住院時間是一個不可優(yōu)化的量，所以只能在術(shù)前院時間是一個不可優(yōu)化的量，所以只能在術(shù)前等待時間上作文章。經(jīng)對題目所給數(shù)據(jù)的分析等待時間上作文章。經(jīng)對題目所給數(shù)據(jù)的分析可知：可知：對白內(nèi)障病人的入院時間加以限制成為對白內(nèi)障病人的入院時間加以限制成為提高效率的必然選擇。提高效率的必然選擇。 解題思路14 本問主要解決方

12、法是仿真方法，大致可分本問主要解決方法是仿真方法，大致可分為為“先仿真，再優(yōu)化先仿真，再優(yōu)化”與與“邊仿真，邊優(yōu)化邊仿真，邊優(yōu)化”兩類，前者是先確定若干種住院規(guī)則，然后根兩類，前者是先確定若干種住院規(guī)則，然后根據(jù)仿真統(tǒng)計結(jié)果選出較優(yōu)規(guī)則；后者是先確定據(jù)仿真統(tǒng)計結(jié)果選出較優(yōu)規(guī)則；后者是先確定一個優(yōu)化原則，然后在仿真時，對每一個排隊一個優(yōu)化原則，然后在仿真時，對每一個排隊病人按照該優(yōu)化原則決定住院先后。顯然后者病人按照該優(yōu)化原則決定住院先后。顯然后者要更好一些。要更好一些。 解題思路15v一種比較典型的仿真優(yōu)化方法是：對每一位等待一種比較典型的仿真優(yōu)化方法是：對每一位等待入院病人，以該病人當(dāng)日入院

13、的公平性（以到達(dá)入院病人，以該病人當(dāng)日入院的公平性（以到達(dá)先后計）與病床使用效率（分類考慮）兩方面綜先后計）與病床使用效率（分類考慮）兩方面綜合排序（例如求兩個指標(biāo)的加權(quán)和），然后按排合排序（例如求兩個指標(biāo)的加權(quán)和），然后按排序結(jié)果安排當(dāng)日入院病人，由此得到公平合理的序結(jié)果安排當(dāng)日入院病人，由此得到公平合理的住院方案。按此方案進(jìn)行仿真，再統(tǒng)計各項評價住院方案。按此方案進(jìn)行仿真，再統(tǒng)計各項評價指標(biāo)值，并與指標(biāo)值，并與FCFSFCFS方案作比較，此問即告完成。方案作比較，此問即告完成。 解題思路16v值得一提的是，解法的多樣性在本問題求解中得到了較值得一提的是，解法的多樣性在本問題求解中得到了較充

14、分的體現(xiàn)，例如有的參賽隊引入了計算機(jī)操作系統(tǒng)進(jìn)充分的體現(xiàn)，例如有的參賽隊引入了計算機(jī)操作系統(tǒng)進(jìn)程調(diào)度中的最佳響應(yīng)比算法，使公平性與效率同時得到程調(diào)度中的最佳響應(yīng)比算法，使公平性與效率同時得到了體現(xiàn)，是一種好的創(chuàng)意。了體現(xiàn)，是一種好的創(chuàng)意。v本問中存在的主要問題是公平性考慮不足，有的隊甚至本問中存在的主要問題是公平性考慮不足，有的隊甚至完全不考慮公平性，未免過于脫離實際，而脫離實際是完全不考慮公平性，未免過于脫離實際，而脫離實際是建模最大的忌諱。還有較普遍存在的問題是主要優(yōu)化目建模最大的忌諱。還有較普遍存在的問題是主要優(yōu)化目標(biāo)不清晰，羅列了一堆目標(biāo)，卻未抓住提高病床使用效標(biāo)不清晰，羅列了一堆目標(biāo)

15、，卻未抓住提高病床使用效率這個要害，其根源還是對題目的理解以及對數(shù)據(jù)的分率這個要害，其根源還是對題目的理解以及對數(shù)據(jù)的分析不夠透徹。析不夠透徹。 解題思路17第第 三三 問問 此問希望學(xué)生給出一個滿足一定置信度（例如：此問希望學(xué)生給出一個滿足一定置信度（例如：90%90%）的預(yù)約住院時間區(qū)間，區(qū)間長度越短越好。）的預(yù)約住院時間區(qū)間，區(qū)間長度越短越好。 一種自然的想法是通過同類病人術(shù)后住院時間的一種自然的想法是通過同類病人術(shù)后住院時間的概率分布從理論上得到這一區(qū)間，如果能通過此種理概率分布從理論上得到這一區(qū)間，如果能通過此種理論方法解決此問題，自然是最理想的。論方法解決此問題，自然是最理想的。

16、但這樣做的一但這樣做的一個困難是已處于術(shù)后住院狀態(tài)的該類病人的繼續(xù)住院個困難是已處于術(shù)后住院狀態(tài)的該類病人的繼續(xù)住院時間不服從同一分布，從而將該類病人（含已住院與時間不服從同一分布，從而將該類病人（含已住院與未住院）的預(yù)計住院時間求和后的隨機(jī)變量的分布不未住院）的預(yù)計住院時間求和后的隨機(jī)變量的分布不知道。知道。設(shè)當(dāng)前時刻為設(shè)當(dāng)前時刻為T T0 0，當(dāng)前排隊人數(shù)為，當(dāng)前排隊人數(shù)為P P，預(yù)計住，預(yù)計住院時刻為院時刻為T T，該類病人每日出院人數(shù)的統(tǒng)計平均值為，該類病人每日出院人數(shù)的統(tǒng)計平均值為，則則011PTT 設(shè)一個已出院病人實際住院時刻為設(shè)一個已出院病人實際住院時刻為T T1 1，通過仿真統(tǒng)

17、計，通過仿真統(tǒng)計一段時間內(nèi)所有病人的一段時間內(nèi)所有病人的1TT根據(jù)根據(jù)90%90%的置信度確定兩個閾值的置信度確定兩個閾值 ,( 0)從而得到當(dāng)前病人的預(yù)計住院時間區(qū)間為從而得到當(dāng)前病人的預(yù)計住院時間區(qū)間為,TT。 解題思路19第第 四四 問問 解題思路20第 五 問主要有三種模型：主要有三種模型：一、仿真計算模型：床位分配只有有限種組合情形，可一、仿真計算模型：床位分配只有有限種組合情形，可以通過窮舉仿真方法得到各種組合的評價指標(biāo)統(tǒng)計值，再以通過窮舉仿真方法得到各種組合的評價指標(biāo)統(tǒng)計值，再比較得到最佳組合方案。此方案計算量較大，且模型通用比較得到最佳組合方案。此方案計算量較大，且模型通用性有

18、一定局限。性有一定局限。二、服務(wù)強(qiáng)度平衡模型：當(dāng)各分類系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度相等二、服務(wù)強(qiáng)度平衡模型：當(dāng)各分類系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度相等時，效果最佳?？梢酝ㄟ^建立條件極值模型，利用拉格朗時，效果最佳?？梢酝ㄟ^建立條件極值模型，利用拉格朗日方法證明這一結(jié)論。日方法證明這一結(jié)論。三、排隊論近似模型：通過經(jīng)驗公式將三、排隊論近似模型：通過經(jīng)驗公式將M/G/KM/G/K系統(tǒng)近似系統(tǒng)近似為為M/M/KM/M/K系統(tǒng)，然后利用排隊論的現(xiàn)成結(jié)論寫出優(yōu)化模型。系統(tǒng)，然后利用排隊論的現(xiàn)成結(jié)論寫出優(yōu)化模型。 解題思路21綜 合 評 述v數(shù)據(jù)檢驗是本問題中必須做的，但被許多參賽數(shù)據(jù)檢驗是本問題中必須做的，但被許多參賽隊所忽略，從而

19、意外成為區(qū)分點之一。隊所忽略，從而意外成為區(qū)分點之一。v公平性指標(biāo)被許多人忽略，反映出對問題本質(zhì)公平性指標(biāo)被許多人忽略，反映出對問題本質(zhì)認(rèn)識不到位。效率指標(biāo)也可以適當(dāng)精簡。認(rèn)識不到位。效率指標(biāo)也可以適當(dāng)精簡。v優(yōu)化模型的多樣性是本題目最大的亮點，涌現(xiàn)優(yōu)化模型的多樣性是本題目最大的亮點，涌現(xiàn)許多意料之外的解法。許多意料之外的解法。解題思路22v入院時間的預(yù)測區(qū)間完成不好，大部分隊沒有入院時間的預(yù)測區(qū)間完成不好，大部分隊沒有置信度概念，不少隊給出的區(qū)間與當(dāng)前隊長無置信度概念，不少隊給出的區(qū)間與當(dāng)前隊長無關(guān)。關(guān)。v第五問理論深度較深，完成得好的不多，拉格第五問理論深度較深，完成得好的不多，拉格朗日條

20、件極值方法的運用是一種有趣的方法。朗日條件極值方法的運用是一種有趣的方法。v存在模型與求解存在模型與求解“兩張皮兩張皮”的現(xiàn)象，以及捏造的現(xiàn)象，以及捏造數(shù)據(jù)結(jié)果的現(xiàn)象，反映出一些學(xué)風(fēng)問題，計算數(shù)據(jù)結(jié)果的現(xiàn)象，反映出一些學(xué)風(fēng)問題，計算能力的欠缺也是一個原因。能力的欠缺也是一個原因。解題思路23v總體上說，競賽論文完成得很好的不多，而在總體上說，競賽論文完成得很好的不多，而在一些基本問題上也做得不理想的論文卻不在少一些基本問題上也做得不理想的論文卻不在少數(shù)，反映出學(xué)生對此類問題的生疏。另外，對數(shù)，反映出學(xué)生對此類問題的生疏。另外，對問題本質(zhì)的理解不到位的也大有人在。問題本質(zhì)的理解不到位的也大有人在。v抽象來看，本問題可歸類于一個通道分