第4章 機電系統(tǒng)運動方程及其解法

1、第四章機電系統(tǒng)運動方程及其解法 研究機電系統(tǒng)（包含機電裝置）的特性，通常包含三個論題(l)對系統(tǒng)的物理分析：(2)系統(tǒng)的運動微分方程（以F簡稱運動方程）的建立；(3)系統(tǒng)的運動方程的求解第一、二章針對機電裝置論述了第一個論題。本章將論述后兩個論題，重點闡明能導(dǎo)出機電系統(tǒng)運動方程的拉格朗日方程，運動方程求解的概貌，以及部分常用的求解方法41建立機電系統(tǒng)運動方程的兩種方法機電系統(tǒng)的運動方程包括若干個電路的電壓平瘴方程和機械系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩（或力）平衡方程。 參見式（2-1）式(2-4)，應(yīng)甩電學(xué)、力學(xué)的基本定律寫出機電系統(tǒng)動態(tài)的電壓平衡方程和轉(zhuǎn)矩（力）平衡方程，前者比靜止電路多一項運動電動勢，后者比純機

2、械系統(tǒng)多一項電磁轉(zhuǎn)矩（力），合在一起多出一對機電耦臺項。因而，加以按電磁感應(yīng)定律導(dǎo)出的運動電動勢表達式，以及應(yīng)用虛位移原理導(dǎo)出的電磁轉(zhuǎn)矩（力）表達式，把電與機械兩方的量及其方程聯(lián)系在一起，就構(gòu)成完整的機電系統(tǒng)運動方程。這種建立運動方程的方法是把處在運動狀態(tài)的機電系統(tǒng)作為動態(tài)耦合電路來看待，故稱為動態(tài)耦合電路法。這也是電機學(xué)中常用的方法。 在學(xué)過機電類比以后，我們有可能設(shè)想：可以不去區(qū)別機、電對量的物理含義和和符號，而統(tǒng)一用任一方（如電系統(tǒng)物理量的符號來表示另一方的對應(yīng)量；同時考慮到，保守系統(tǒng)中的力與電壓都可以表示為儲能的函數(shù)，因而使用某個特定的能量函數(shù)來建立一個普遍的方程-拉格朗日方程，即通過

3、機電系統(tǒng)的某個特定的能量函數(shù)的積分求極值來導(dǎo)出它的運動方程。這種方法稱為變分原理法。一般說來，建立機電系統(tǒng)運動方程的方法就是上述兩種。動態(tài)耦合電路法列的運動方程是一組關(guān)于系統(tǒng)微增變化的方程，是以“微分原理”作為出發(fā)點，而變分原理法是以聯(lián)系機電系統(tǒng)總體運動的“積分原理”作為出發(fā)點。普遍認(rèn)為動態(tài)耦合電路法的物理意義比較清楚，易于理解，但對多變量的機電系統(tǒng)，需要有較高的見解和判斷力才能寫出它的運動方程；變分愿理法應(yīng)用拉格朗日方程可以機械地導(dǎo)出機電系統(tǒng)的運動方程，并能自動導(dǎo)出機電耦合項，步驟比較單一和系統(tǒng)化，在解決較復(fù)雜系統(tǒng)的難題時發(fā)揮了明顯作用，已成為動力學(xué)中一種很有效的技術(shù)。它的缺點是應(yīng)用較多數(shù)學(xué)

4、，較難洞察物理過程，而機械處理問題的方法又往往使人忽視問題的物理意義。42拉格朗日方程 同一個機電系統(tǒng)，應(yīng)用動態(tài)耦臺電路法和變分原理法導(dǎo)出的運動方程完全一樣。當(dāng)某一機電系統(tǒng)的運動方程用一種方法導(dǎo)出后，便能由此推導(dǎo)出另一種方法。因此我們?nèi)蓚€簡單的實例，用動態(tài)耦合電路法列出運動方程來導(dǎo)出拉格朗日方程，使我們一開始就能從物理概念上理解拉格朗日方程，然后才對它作普遍性的解釋。一、保守彈簧振子系統(tǒng)的拉格朗日方程設(shè)一理想的沒有外力和損耗的彈簧振子系統(tǒng)如圖4-1所示。振子的質(zhì)量為m，彈簧的剛性系數(shù)為K。以系統(tǒng)靜止時振子的中心為水平位移x的原點。若加外力使振子沿x方向到某一位移后外力消失，則振子在彈簧力的作

5、用下將在x方向作往復(fù)運動。其運動方程是彈簧彈力fx=kx與振子慣性力的平衡式，即 （4-1） 這保守系統(tǒng)包含的動能T和位能V分別為 （4-2） （4-3） 圖4-1 彈簧振子系統(tǒng)設(shè)想用能量的函數(shù)來表示運動過程中的力，則 （4-4） （4-5） 上兩式表明慣性力僅與系統(tǒng)的動能有關(guān)，而彈力僅與系統(tǒng)的位能有關(guān)。把這兩式代入式（4-1），得 令特定的能量函數(shù)=系統(tǒng)動能T系統(tǒng)位能V則上式可化為 (4-6)這式就是一個保守系統(tǒng)的拉格朗日方程，其中掣稱為拉格朗日函數(shù)，是系統(tǒng)的一個能量函數(shù)，也是系統(tǒng)的一個狀態(tài)函數(shù)，故又稱拉格朗日狀態(tài)函數(shù)。二、單邊激勵機電裝置的拉格朗日方程非保守的機電系統(tǒng)以單邊激勵機電裝置圖1

6、-4所示電磁鐵為例，重畫如圖4-2參照式（1-6），其電路的電壓平衡方程為 (4-7) 圖4-2電磁鐵設(shè)通電的銜鐵位移x =0，則通電后具有質(zhì)量m，剛性系數(shù)K和阻力系數(shù)Rv的銜鐵系統(tǒng)，在電磁力作用下力的平衡方程為 (4-8)整個裝置的能量除電源輸入電能外，有： (4-9)采用f-e類比，磁能為電磁系統(tǒng)的廣義功能，對應(yīng)的磁共能為廣義動共能。此外，裝置還有機械損耗和電阻損耗，損耗通常引用損耗函數(shù)F來反映，各項F的大小等于所對應(yīng)損耗的一半，參看表33第二橫欄，可得 (4-10)根據(jù)以上兩組式子，運動方程中各項力和電壓可用能量的函數(shù)表達如下：用以上各分式的關(guān)系代換運動方程式(47) 和式(48)中的各

7、項，可得 再對機械系統(tǒng)也引用動共能，它與動能相等。由此得裝置的總動能T=Wm+Tme,總動共能T+Tme而本例的總位能V=Vmec。將上式中損耗函數(shù)統(tǒng)一用總損耗函數(shù)取代，其它的能量函數(shù)統(tǒng)一用拉格朗日函數(shù)=總動共能T總位能V取代。并且q、x等都用廣義坐標(biāo)q代表； 等都用廣義速度代表；外加的u，f等都用外來廣義驅(qū)動力Q代表。至此，式(4-12)的兩個分式就可用統(tǒng)一形式的方程表示如下：擴展k =1，2，N，則這式就是一般的非保守系統(tǒng)拉格朗日方程，它對機電以外的其它很多物理系統(tǒng)也普遍適用。 對線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的總動共能與總動能相等，則拉格朗日函數(shù)=T- V=T-V。 對保守系統(tǒng)，總損耗函數(shù)F=0和外來廣

8、義驅(qū)動力Qk=0，則拉格朗日方程簡化到與實例一的式( 4-6)一致，即 三、關(guān)于拉格朗日方程的普遍性解釋 一般的非保守系統(tǒng)拉格朗日方程為式中，廣義坐標(biāo)qk=qk(t)是時間的函數(shù)；N為廣義坐標(biāo)個數(shù)，也即運動方程式的個數(shù)。方程前兩項是保守力： 為廣義慣性力；為廣義慣性力以外的保守力，包含廣義彈力和電磁力等。后兩項是非保守力： 是對應(yīng)損耗的廣義阻力，又稱損耗力，其中Rk是代表電阻R、機械阻力系數(shù)Rv等的廣義損耗系數(shù)；Qk=Qk(t)為外來廣義驅(qū)功力。方程的實際含義是系統(tǒng)在動力平衡時，作用在每一廣義坐標(biāo)上的廣義力總和等于零。 由于應(yīng)用拉格朗日方程來導(dǎo)出機電系統(tǒng)的運動方程，其關(guān)鍵在于選擇廣義坐標(biāo)，明確

9、拉格朗日函數(shù)，因而進一步闡明如下。 1廣義坐標(biāo)時選擇 一般地說，描述一個質(zhì)點在空間的位置需要三個坐標(biāo)，描述一個質(zhì)點在空間中運動的即時狀態(tài)需要三個坐標(biāo)及其三個速度。但實際上，各質(zhì)點（或元件）的位置和速度常受到幾何的或運動的約束，使每個質(zhì)點的自由度和獨立坐標(biāo)都小于三個如圖4-3所示的單擺，擺長l定，即擺錘空間位置的約束條件為z=0和x2+y2=l2因此描述單擺即時狀態(tài)的獨立變量只需要一個坐標(biāo)和一個速度，如和就夠了。同理，描述動力系統(tǒng)的即時狀態(tài)需要若干對坐標(biāo)和它對時間的導(dǎo)數(shù)速度。對一個有約束的s個質(zhì)點（或元件）所組成的系統(tǒng)，它的自由度或獨立坐標(biāo)一定小于3s個因而分析系統(tǒng)中質(zhì)點（或元件）的個數(shù)和約束條

10、件，判定系統(tǒng)的自由度，選擇出不多不少的能獨立變化的坐標(biāo)，才是拉格朗日方程中的廣義坐標(biāo)（在完整約束系統(tǒng)中，廣義坐標(biāo)的個數(shù)就是系統(tǒng)的自由度數(shù)）。設(shè)一個機電系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有電的n個，機械的m個，共n+m=N個，表示為qk，其中k=1，2，N（以下對k值常省去此說明）。則相應(yīng)的廣義速度 也有N個。系統(tǒng)的即時狀態(tài)就取決于N對qk和 的即時值。因而廣義坐標(biāo)qk和廣義速兩者就是系統(tǒng)的動力變量。有時還使用廣義動量pk來取代廣義速度，即由廣義坐標(biāo)qk和廣義動量pk組成系統(tǒng)的動力變量，來描述動力系統(tǒng)的即時狀態(tài)。表4-1列出了機電系統(tǒng)中通常選用的動力變量。其機電對應(yīng)關(guān)系采用f-e類比。表4-1 機電系統(tǒng)的動力變量動

11、力變量機械系統(tǒng)電系統(tǒng)平移運動旋轉(zhuǎn)運動廣義坐標(biāo)qk位移xk角位移電荷qk廣義速度 速度 角速度電流ik廣義動量pk動量pk角動量pk磁鏈k 2拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)定義表達式為 =T V (4-6) 按表4l選用動力變量，機電系統(tǒng)的總動共能包含機械系統(tǒng)的動能Tme。和電磁系統(tǒng)的磁共能Wm，即 其中 當(dāng)系統(tǒng)為線性時，磋共能與磁能相等，從而總動共能與總動能相等，得 T T=Tme+Wm (4-20)機電系統(tǒng)的總位能V=V(qk，t)包含機械系統(tǒng)的彈簧位能Vmec和電磁系統(tǒng)的電場能We，即 V=Vmec+We (4-22) 當(dāng)系統(tǒng)為線性時，電場能可簡化為 可見，拉格朗日函數(shù)是廣義坐標(biāo)、廣義速度、時間

12、三者的函數(shù)，即 當(dāng)系統(tǒng)為線性時，拉格朗日函數(shù)就等于總動能與總位能之差即最后還應(yīng)指出，動力變量可有不同的選擇方案，相應(yīng)的系統(tǒng)的特定能量函數(shù)也可有不同的選擇方案，例如還有漢密爾登函數(shù)H，在穩(wěn)定的保守系統(tǒng)中它定義為系統(tǒng)的總動能與總位能之和但對機電系統(tǒng)，通常都用拉格朗日函數(shù)。*4-3變分原理和拉格朗日方程的應(yīng)用條件一、由漢密爾登原理推導(dǎo)拉格朗日方程漢密爾登原理是一種積分形式的變分原理，是在一定時間內(nèi)從約束許可的一切可能運動中提供一條判斷真實運動的準(zhǔn)則具體可表述為：對完整約束的保守動力系統(tǒng)，作拉格朗日函數(shù)在時間t1和t2之間的積分函數(shù)泛函I，即則系統(tǒng)從t1狀態(tài)到t2狀態(tài)的一切可能運動中，只有真實運動的泛

13、函I具有極值。 在數(shù)學(xué)上，泛函取得極值的必要條件是泛函的變分為零。所讎漢密爾登原理還可表述為：對完整約束的保守系統(tǒng)的真實運動而言，泛函I的變分為零，于是，動力學(xué)的基本方程概括為最簡潔的形式，即 函數(shù)的變分是假定自變量不變，僅由于函數(shù)本身形式的改變而得到的函數(shù)的任意改變量。對于，自變量是t，則設(shè)t不變，使N個廣義坐標(biāo)分別有變分，并在始點( t =t1)和終點(t=t2)上都有零值，即 這種不依賴于t的變分稱為不含時變分，變分運算可以與對t的微分或積分變換運算順序。因而，廣義速度的變分。由和引起的拉格期日函數(shù)改變量為 式中是的主要部分，它和是同階的微增量，稱為的一次變分，簡稱為變分對泛函I的變分，

14、把變分號移到積分號內(nèi)，可得 將上式代入式( 4-34)，并考慮式(4-29)和式(4-30)，則得 因為，是任意的，它們互不依賴，所以滿足上式的充分必要條件為 上式稱為N歐拉拉格朗日方程用在動力系統(tǒng)中就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程如系統(tǒng)的被確定，該方程可給出系統(tǒng)真實運動的路線，即可導(dǎo)出系統(tǒng)的運動方程。二、應(yīng)用拉格明日方程的鏨要條件系統(tǒng)中各質(zhì)點（或元件，下同）的位置和速度常受到幾何的和運動的約束幾何約束只限制質(zhì)點的坐標(biāo)，表現(xiàn)為坐標(biāo)的函數(shù)方程，如 f (x，y，z)=0和f (x，y，z，t)=0運動約束則不僅限制質(zhì)點的坐標(biāo)，而且還限制質(zhì)點速度的投影，運動約束方程中含有坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)項，如運動約束又分兩種

15、，一種可以通過積分轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀渭s束；另一種不能積分為幾何約束幾何約束和可積分的運動約束統(tǒng)稱為完整約束。凡是僅受完整約束的系統(tǒng)稱為完整約束系統(tǒng)，不可積分的運動約束稱為非完整約束。含有非完整約束的系統(tǒng)稱為非完整約束系統(tǒng)。由s個質(zhì)點組成的完整約束系統(tǒng)，假定受K個方程的約束。由于它的運動約束通過積分可轉(zhuǎn)化為幾何約束，K個約束都可表達成幾何約束方程，于是全部3s個坐標(biāo)中只有( 3sK)個獨立坐標(biāo)，其余K個坐標(biāo)可表達為(3S-K)個獨立坐標(biāo)的函數(shù)。這( 3S-K)既是系統(tǒng)的自由度數(shù)，又是廣義坐標(biāo)的個數(shù)，因為動力系統(tǒng)獨立的廣義坐標(biāo)變分的個數(shù)就是系統(tǒng)的自由度數(shù)，所以廣義坐標(biāo)的變分都互相獨立。在非完整約束系統(tǒng)內(nèi)，

16、至少有一個非完整約束方程不能轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀渭s束，對系統(tǒng)的坐標(biāo)沒有約束，于是只減少系統(tǒng)的自由度數(shù)，而不減少系統(tǒng)的獨立坐標(biāo)數(shù)。所以非完整約束系統(tǒng)的自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)，廣義坐標(biāo)的變分不是都獨立的。 由式( 4-36)得出式(4-37)的條件是廣義坐標(biāo)的變分全部互相獨立因而一般的拉格朗日方程只適用于完整約束系統(tǒng)，而不適用于非完整約束系統(tǒng)。 通常的電磁鐵、維電器、交流電機等都是完整約束系統(tǒng)，都可用拉格朗日方程導(dǎo)出運動方程；但必須指出，換向器電機是非完整約束系統(tǒng)，因為換向器繞組的軸線取決于電刷的位置，在空間是固定的，與繞組轉(zhuǎn)動無關(guān)。換向器繞組軸線的坐標(biāo)不反映其旋轉(zhuǎn)的真實情況，通常稱為準(zhǔn)坐標(biāo)，以區(qū)別于敏捷于

17、繞組本身的軸線的真坐標(biāo)。如用準(zhǔn)坐標(biāo)來表達拉格朗日函數(shù)和套用一般的拉格朗日方程，將產(chǎn)生錯誤的結(jié)果。4-4應(yīng)用拉格朗日方程建立機電系統(tǒng)運動方程應(yīng)用拉格朗日方程建立完整約束的機電系統(tǒng)的運動方程，不僅是用能量觀點統(tǒng)一處理了機電雙方相互作用的運動規(guī)律問題，而且方法單一，可以機械地求得運動方程并自動導(dǎo)出機電耦合項，這一優(yōu)點是很可貴的。其推導(dǎo)步驟如下：(1)根據(jù)系統(tǒng)的約束條件，選擇廣義坐標(biāo)qk和廣義速度； (2)確定總損耗函數(shù)F或廣義損耗系數(shù)Rk：列出外來廣義驅(qū)動力Qk； (3)用qk和表示系統(tǒng)的總動共能T 和總位能V，并寫出拉格朗日函數(shù)； (4)將以上結(jié)果代入拉格朗日方程式(4-15)；或代入方程的另一寫

18、法如下：經(jīng)求導(dǎo)后即可得到N個運動方程式。 【例4-1】一電磁鐵如圖4-4所示。已知電壓為u，電阻為R線圈電感是L（x），正在提升質(zhì)量為m的動鐵。不計動鐵的運動阻力。試用拉格期日方程導(dǎo)出電磁鐵的運動方程?！窘狻侩姺矫媸菃芜吋睿瑱C械方面的動鐵只在垂直方向運動，因此選擇電荷q和動鐵的垂直位移x為廣義坐標(biāo)。設(shè)動鐵通電前位移x=0，電磁鐵的動力變量和外來廣義驅(qū)動力列于表4-2（若不把重力mg作為外力處理，令Q2 =0，則考慮動鐵有位能為mgx也可，讀者可自行驗證）。表4-2點的k=1機械的k=2qkqxiQkumg總損耗函數(shù) F = 因L（x）僅是x的函數(shù)，磁路是線性的。因而總動能 T=+總位能 V=

19、0抗拉格朗日函數(shù) = TV=+逐項帶入式（4-5）后求導(dǎo)，就可得電磁鐵的運動方程。先取k=1求激勵回路的電壓方程： 得 再取k = 2，求動鐵的力平衡方程： 得 式（4-39）和式(4-40)即為本題所求?？梢娺\動電動勢和電磁力 這一對機電耦合項都自動正確地從上述步驟導(dǎo)出。 圖4-5 例4-1的電機示意圖【例4-2】 一臺p對極隱極電動機如圖4-5所示。i設(shè)罐路是線性的；定子單相繞組a，電阻為Rs，電感為Ls，電源電壓為ua（t），轉(zhuǎn)子兩相正交繞組b和c，各自短路，電阻Rb= Rc=Rr，電感Lb=Lc=Lr；定、轉(zhuǎn)子繞組的互感是a、b兩繞組軸線之間的機械角位移的函數(shù)，Lab=Lba=Mcos

20、 p；Lac=Lca=Msin p；轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為J，旋轉(zhuǎn)阻力系數(shù)為，轉(zhuǎn)軸上負(fù)載轉(zhuǎn)矩為Tmec，不計軸的扭轉(zhuǎn)變形。試用拉格朗日方程導(dǎo)出電動機的運動方程?！窘狻看_定電機的動力變量，廣義損耗系數(shù)，以應(yīng)外來廣義驅(qū)動力。列表如喪4-3所示。表4-3定子繞組aK=1轉(zhuǎn)子繞組bK=2轉(zhuǎn)子繞組cK=3機械轉(zhuǎn)子K=4qkqaqbqciaibicRkRaRrRcQkua(t)00Tmec 遙項代入式( 4-38)：k=l時，可導(dǎo)出定子繞組a的電壓方程，K=2時，可導(dǎo)出轉(zhuǎn)子繞組b的電壓方程，K=3時，可導(dǎo)出轉(zhuǎn)子繞組c的電壓方程，顯然，式( 4-41)、(4-42)(4-43)和(4-44)合起來就是電動機的運動

21、方程。前三式中含有的項都是運動電動勢，是后一式右邊那項就是電磁轉(zhuǎn)矩。4-5 機電系統(tǒng)運動方程解法概述要確定機電系統(tǒng)對給定激勵的響應(yīng)，分析其運行特性，就要求其運動方程的解，至少要化解和判別出方程的特性。 機電系統(tǒng)的運動方程，一般可分為以下三類：(l)常系數(shù)線性微分方程；(2)變系數(shù)線性微分方程；(3)非線性微分方程。一個微分方程為線性的充分必要條件是適用疊加原理和有均勻性。如式中t為自變量，f（t）為激勵函數(shù)，因變量x為響應(yīng)函數(shù)。若系數(shù)a1、a0為常量或t的函數(shù)，由于方程中x與其導(dǎo)數(shù)都不高于一次，可以證明方程適用疊加原理和有均勻性，這是一個兩階線性微分方程，其中a1、a0為常量的，叫常系數(shù)線性微

22、分方程；若a1、a0或其一為t的函數(shù)，叫變系數(shù)線性微分方程。 若方程中的因變量或其導(dǎo)數(shù)項高于一次，或出現(xiàn)因變量與其導(dǎo)數(shù)的乘積項，則方程將不適用疊加原理，就是非線性微分方程。疊加原理不僅用來辨別方程是否線性，而且是線性微分方程求解的主要依據(jù)。如多個激勵時，可逐個解出單一激勵的響應(yīng)，然后把這些響應(yīng)疊加得總響應(yīng)。 機電系統(tǒng)的運動方程多數(shù)是非線性微分方程，其中除少數(shù)特殊情況外，現(xiàn)在還無通用的解析求解法。過去用的圖解法或手算數(shù)值解法，不但是近似的，而且相當(dāng)麻煩，電子計算機的發(fā)展，使非線性微分方程可以采用模擬計算機仿真或狀態(tài)變量分析法用數(shù)字計算機求解，后者將在第八章內(nèi)介紹。當(dāng)然，電子計算機也可用來解線性微

23、分方程。 應(yīng)用計算機求解非線性微分方程的重要性是不言而喻的，但它需要有實際數(shù)值才能計算。若僅要求定性地知道系統(tǒng)的變化趨向和各種因素的作用，則用計算機求解未必最好。因此在某些允許條件下，將非線性微分方程線性化，然后進行求解，這在工程上也是個重要的解題手段。 對變系數(shù)線性微分方程，除了一階方程有一定解以外，一般的高階變系數(shù)線性微分方程無一定的求斛方法。常用的方法有兩種：一種是方程解用冪級數(shù)來表達；另一種是換元法，即旋轉(zhuǎn)電機中的坐標(biāo)變換法，在旋轉(zhuǎn)電機不考慮磁路飽和影響時，繞組電感僅是角位移口的周期函數(shù)，其運動方程的系數(shù)為周期性變化，在恒轉(zhuǎn)速下應(yīng)用坐標(biāo)變換法可變換成常系數(shù)線性微分方程，這將在下一章詳細(xì)

24、介紹。 對常系數(shù)線性微分方程，則不論什么激勵總可用解析法求出響應(yīng)。著名的解析法有經(jīng)典解法、傅氏變換法和拉氏變換法，并以拉氏變換法用得最多。有些工程問題如系統(tǒng)穩(wěn)定性、諧波成分等的研究，我們感興趣的不是解的數(shù)值結(jié)果，而是方程的特性和系統(tǒng)的行為，這時常應(yīng)用傳遞函數(shù)，頻率響應(yīng)，框圖法或信號流圖法來分析。此外，有些用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)，對于正弦激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)引用阻抗參數(shù)概念，既有明確的物理意義又易于求解，這時應(yīng)用一個等效電路來表達一組常系數(shù)線性微分方程，這一方法也得到廣泛使用。 總之，機電系統(tǒng)的運動方程按其不同的類別、特定條件、研究范圍和目的，可有不同的求解方法，掌握運動方程的多種基本解法是解

25、決工程問題的基礎(chǔ)和重要手段，應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí)。4-6傳遞函數(shù)、框圖和流圖法一，傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)系統(tǒng)的特性可用給定激勵下具有的輸出響應(yīng)表示。在機電系統(tǒng)中，常用的給定激勵有脈沖函數(shù)、階躍函數(shù)和正弦函數(shù)。 對線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理，任何激勵的響應(yīng)可分解為許多具有不同幅值的脈沖響應(yīng)的疊加，由于脈沖函數(shù)具有突變性質(zhì)，單位脈沖響應(yīng)可用來有效地描述系統(tǒng)的暫態(tài)特性，并在分解線性系統(tǒng)時廣泛應(yīng)用拉氏變換法，因而定義系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換式，也就是在復(fù)頻域內(nèi)系統(tǒng)對F(p)=1的響應(yīng)為復(fù)頻域內(nèi)的傳遞函數(shù)，記作G( p)。下面用兩階常系數(shù)線性微分方程為例，進一步說明傳遞函數(shù)。設(shè)某一系統(tǒng)的運動方程為 (4-45)式中a1、

26、a0為常數(shù)，對方程取拉氏變換，得 即 （4-46）根據(jù)上述傳遞函數(shù)G(p)的定義，F(xiàn)(p)=1，x(0+)=x (0+)=0，代人上式得 （4-47）則 X(p)=G(p)F(p)+(p+ a1) x(0+)+ x (0+) ( 4-48)由上兩式可見：(l)改變激勵函數(shù)只改變F(p)，不同的初始條件只使x(0+)和x (0+)不同，而傳遞函數(shù)G(p)保持不變G(p)僅與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān)，并包含了運動方程中有關(guān)系統(tǒng)本身的一切資料，因此可用來描述系統(tǒng)的自然特性，替代運動方程來分析系統(tǒng)；(2)復(fù)頻域內(nèi)傳遞函數(shù)也可定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)的輸出對輸入的拉氏變換之比，即 G(p)= ( 4-49)G

27、(p)還是以p代替系統(tǒng)運動方程中 所得特征函數(shù)的倒數(shù)。 根據(jù)傅氏分析的重要性質(zhì)，任何一個周期函數(shù)都可以展開為含有許多正弦分量的傅氏級數(shù)，任何一個非周期函數(shù)可以表達為傅氏積分。故對于線性系統(tǒng)的任何激勵的響應(yīng)，還可用系統(tǒng)對各種頻率正弦波的響應(yīng)的疊加來研究。于是，向系統(tǒng)輸入隨時間正弦變化、單位幅值、頻率可以從零連續(xù)增大到無窮大的激勵函數(shù)，在系統(tǒng)輸出端獲得的響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。它只取決于系統(tǒng)的參數(shù)，反映了在不同頻率的正弦激勵下輸入與輸出之間的大小和相位關(guān)系，常用來描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。 因為正弦函數(shù)可表達成相應(yīng)復(fù)數(shù)相量的虛部，在相量運算中,則微分方程中j；又穩(wěn)態(tài)時方程解中暫態(tài)分量為零。所以，頻率響應(yīng)也可定

28、義為：正弦激勵下，系統(tǒng)輸出對輸人之比，記作G（j）。若把傳遞函數(shù)G(p)中的p都換成j，即得頻率響應(yīng)G（j）。故頻率響應(yīng)是傳遞函數(shù)G(p)的一個特例，是復(fù)數(shù)p為純虛數(shù)j的特殊情況。 此外，令微分算子D=，,從運動方程直接求得系統(tǒng)輸出對輸入之比，稱為實時域內(nèi)的傳遞函數(shù)，記作g(D)在模擬計算機模擬系統(tǒng)運動方程時常用到g(D)。對線性系統(tǒng)，g(D)與G(p)在形式上完全相同，只要把復(fù)頻率p替換為微分算子D，就能由G(p)求得g(D)，或反之。但是，g( D)與G(p)的含義是截然不同的，G(p)須經(jīng)拉氏反變換才能從復(fù)頻城內(nèi)回到實時城內(nèi)。用方框和傳遞函數(shù)表示線性系統(tǒng)如圖4-6所示。 圖4-6 用方程

29、表示線性系統(tǒng)【例4-3】在圈4-7所示RLC電路中，設(shè)u1(t)為輸入量，u2(t)為輸出量。求這電路的傳遞函數(shù)。圖4-7 例4-3的RLC電路【解】電路的微分方程為 u1(t)= +Ri+ u2(t)= 在零初始條件下F，上兩式取拉氏變換，得 復(fù)頻域內(nèi)和實時域內(nèi)傳遞函數(shù)G(p)和g(D)分別為G(p) = = g(D) = = = 把G(p)中的p換為j，得頻率響應(yīng)為 G(j)= = =式中，= 為系統(tǒng)的自然頻率，=為阻尼比。引用這兩個參數(shù)可間接反映系統(tǒng)的暫態(tài)特性。G(j)還可用其幅值、相位或幅值與相位一起隨頻率變化的曲線圖來描述。 對復(fù)雜的線性系統(tǒng)，應(yīng)用微分方程組來求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)并不容

30、易。此時可將系統(tǒng)分解為若干基礎(chǔ)單元，求出各單元的傳遞函數(shù)，應(yīng)用下述圖解法求解。二、框圖法 框圖是系統(tǒng)的一種圖解，是一些指明系統(tǒng)變量流動方向的單向運算方框的相互連接圖。每個方框表示單個元件或一組元件組成的基礎(chǔ)單元，并且一個方框只用一個傳遞函數(shù)加以說明。然后根據(jù)整個系統(tǒng)內(nèi)的因果關(guān)系，應(yīng)用規(guī)定的符號把每個輸入、輸出連接起來構(gòu)成系統(tǒng)的框圖，在許多情況下，不必建立和求解系統(tǒng)的運動方程，只要應(yīng)用一套變換規(guī)則，經(jīng)過歸并和簡單的運算處理就可把系統(tǒng)框圖簡化成一個等效框圖，很快寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這種用框圖把運動系統(tǒng)分解和合成的分析方法稱為框圖法因為框圖能清楚地把系統(tǒng)中輸入、輸出、擾動處和信號流動方向表示出來，比

31、用微分方程容易看出更改單個元件或環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響，以及各元件或環(huán)節(jié)在系統(tǒng)總響應(yīng)中的相互聯(lián)系。所以，框圖在很多工程學(xué)中已被廣泛使用。 與傳遞函數(shù)相對應(yīng)，框圖也有復(fù)頻域內(nèi)框圖和實時域內(nèi)框圖之分。本小節(jié)主要講前者，它常用來研究線性系統(tǒng)在零初始條件下的一般性能（如穩(wěn)定度，響應(yīng)速度等）；當(dāng)初始條件不為零時，則通常要把初始條件作為一種輸入單獨表示出來。實時域內(nèi)的框圖不需另行考慮初始條件，又可用來描述非線性系統(tǒng)，這將在下節(jié)中結(jié)臺模擬計算機仿真加以介紹。 表4-4和表4-5分別列出框圖的基本符號及其等效變換。表4-4 框圖的基本符號表4-5的前7項不難理解。第8項原來框圖是一個含有反饋回路的系統(tǒng)典型框圖。X是

32、被控制的輸出量，F(xiàn)是基準(zhǔn)輸入量R是與輸出量成正比的反饋變量，在負(fù)反饋（圖中號取號）時，F(xiàn)與R之差為誤差變量E它通過相當(dāng)于放大器的方框G產(chǎn)生和控制輸出量X其中G稱為前向傳遞函數(shù)，H稱為反向傳遞函數(shù)，稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)H=1時稱為直接反饋。這個等效變換可按原來框圖的變量關(guān)系證明如下： (FHX)G=X （4-50）即 FG=XGHX (4-51)【例4-4】試將圖4-8所示的兩節(jié)RC電路用框圖表示，并加以簡化。 圖4 8 例4 4的電路【解】先引入三個中間變量u2，i1，i2 如圖所示，使四個元件各用一框圖表示。各元件的電壓與電流關(guān)系為R1 ： i1 = C1 ： u2 = R21： i2 =

33、C2 ： u3= 取拉氏變換后的方程為R1： I1(p) = C1: U2(p) = R2： I2 (p) = C21: U3(p) = 據(jù)此可畫出四個元件框圖如圖4-9的四個分圖所示（當(dāng)熟練后，可直接按照電路中各元件的電壓與電流關(guān)系畫出元件框圖）。 （a） （b） （c） （d） 圖4-9 圖4-8電路的元件框圖（a）R1;（b）C1;（c）R2;（d）C2把四個元件的框圖順著各變量的流向從輸入到輸出全部連接起 來，得圖4-10（a）所示的電路框圖。按照等效變按規(guī)則逐步簡化框圖，依次得到圖4-10(b)，(c)，(d)，(e)，(f)。最后可寫出電路的傳遞函數(shù)為G(p)= (4-52) （a

34、） （b） （c） （d） （e） （f） 圖4-10 圖4-8電路框圖及其簡化(a)圖4-8電路的框圖；(b)第一個求和點移到方框后面，量后一個分裂點移到方框前面；（c）第一、二個求和點交換位置，并消去兩個反饋回路；（d）中間兩個方框串聯(lián)合并；(e)消去反饋回路；（f）三個方框串聯(lián)合并。三、信號流圖法 信號流圖是系統(tǒng)的又一種圖解，相應(yīng)的信號流圖法比框圖法更加簡便，現(xiàn)在已出現(xiàn)一門普通信號流圖代數(shù)學(xué)，導(dǎo)出了許多可寫出系統(tǒng)任兩個變量間函數(shù)關(guān)系的公式，使用范圍日益擴大。 信號流圖簡稱流圖，是由一些稱為支路的定向直通線段和稱為節(jié)點的小圓點連接起來的網(wǎng)絡(luò)圖。每個節(jié)點對應(yīng)一個稱為點信號的系統(tǒng)變量或常量，信

35、號只沿著支路上標(biāo)出的箭頭方向流動，每條支路旁還標(biāo)有支路傳遞函數(shù)，單向地把一端節(jié)點的點信號乘上支路傳遞函數(shù)流給另一端節(jié)點多支路節(jié)點的點信號，等于所有輸入支路流給它的信號的總和。僅有輸出支路的節(jié)點稱為源節(jié)點或源點，僅有輸入支路的節(jié)點稱為匯節(jié)點或溝點，除了源點（信號就是它本身）以外，流圖上每個節(jié)點流圖（包括該節(jié)點及其全部輸入支路）都對應(yīng)一個說明該節(jié)點信號成因的方程，由不包括源點在內(nèi)的全部節(jié)點方程構(gòu)成的方程組就是系統(tǒng)微分方程的變換式。例如圖4-11所示有四個節(jié)點和六條支路的流圖。X1是源點，X1=X1，其它三個節(jié)點X2、X3、X4的方程構(gòu)成線性方程組，如下 圖4-11 一個典型的流圖 (4-53)信號

36、流圖中，連續(xù)的單向的支路組合稱為路徑。從源點通向溝點的途中，每個節(jié)點只通過一次的路徑稱為正向路徑。例如圖4-11中只有兩條正向路徑，即X1X2X3X4和X1X3X4 。起始和終止在同一節(jié)點上，其它各節(jié)點只通過一次的路徑稱為回路，或稱為環(huán)。只有一條支路的回路稱對自環(huán)，是環(huán)的一個特例。沒有公共節(jié)點時若干個回路稱為不相接回路。正向路徑中各個支路傳遞函數(shù)的乘積稱為正向路徑傳遞函數(shù)?；芈分懈鱾€支路傳遞函數(shù)的乘積稱為回路傳遞函數(shù)。從源點到一個指定節(jié)點的總傳遞函數(shù)稱為圖傳遞函數(shù)。與框圖法類似，流圖也可以簡化，以便寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)。流圖的簡化規(guī)則如表4-6所示，其中要說明兩點：(1)規(guī)則3可用于中間節(jié)點有多條

37、輸入支路和多條輸出支路，中間節(jié)點消去后，原通過該節(jié)點的各路徑與對應(yīng)支路的傳遞函數(shù)分別保持不變。規(guī)則4是規(guī)則3的流圖當(dāng)d =0和X2 = X3.時的特例；(2)規(guī)則5可用于X2節(jié)點有多條輸入支路和多條輸出支路當(dāng)消去傳遞函數(shù)為b的自環(huán)時，應(yīng)將所有輸入支路的傳遞函數(shù)分別除以（1b），或用X2替代X2，將所有輸出支路的傳遞函數(shù)分別除以(1b )。 信號流圖也可以不簡化，應(yīng)用公式來計算圖傳遞函數(shù)G(p)，其中最基本的梅森公式為 （4-5）式中：N為正向路徑數(shù)；Gk為第k條正向路徑的傳遞函數(shù)；為流圖行列式，=1所有回路的傳遞函數(shù)之和 十所有不相接回路每次取兩個回路傳遞函數(shù)的乘積之和 一所有不相接回路每次取

38、三個回路傳遞函數(shù)的乘積之和 十所有不相接回路每次取四個回路傳遞函數(shù)的乘積之和為第k條正向路徑的路余因子，即 =除去第k條正向路徑及與它相接的回路，余下的流圖的值表 4-6 流圖的簡化規(guī)則【例4-5】試畫出圖4-8所示兩節(jié)RC電路的流圖，并求出傳遞函數(shù)?！窘狻繀⒄绽?-4，引入 、 、，列出四個元件拉氏變換后的方程如下： 據(jù)以上方程，對應(yīng)分別畫出四個節(jié)點流圖如圖4-12的四個分圖所示。 圖4-12 圖4-8電路的節(jié)點流圖 （a）；（b）；（c）；（d） （a） （b） （c） （d） （e） 圖4-13 圖4-8電路的流圖及其簡化（a）電路的原流圖；（b）簡化前后兩條回路（規(guī)則4）；（c）消去前

39、一個自環(huán)（規(guī)則5）；（d）簡化回路（規(guī)則4）后兩個自環(huán)合并（規(guī)則2）；（e）消去自環(huán)（規(guī)則5）后串聯(lián)合并（規(guī)則1）。把四個節(jié)點流圖從輸入到輸出連成電路的流圖如圖4-13（a）所示。下面用兩種方法求解傳遞函數(shù)：1、簡化流圖求傳遞函數(shù)按照等效簡化規(guī)律逐步簡化流圖，依次得圖4-13（b）、（c）、（d）、（e）。由圖4-13（e）可得電路的傳遞函數(shù)為 2、應(yīng)用梅森公式求傳遞函數(shù)據(jù)圖4-13（a）的流圖可得：正向路徑數(shù)N=1，經(jīng)過所有節(jié)點，其傳遞函數(shù)為有3條回路：A: ， B: ， C: , 不相接回路有2個：回路A與回路C。因此行列式為 正向路徑與其他相連的回路除去后沒有流圖，則路余因子為1 =10

40、 =1代入公式，G(p)= 本例表明，用流圖的兩種方法求解G(p)，與例4-4用框圖法求解結(jié)果都完全一致。47 方程線性化和模擬計算機仿真一、非線性微分方程線性化機電能量轉(zhuǎn)換是一個非線性過程，機電系統(tǒng)的運動方程幾乎都是非線性微分方程。如系統(tǒng)在小信號和小振幅運動時，則可將非線性微分方程線性化后求解。非線性方程線性化的要點是：當(dāng)系統(tǒng)變量離開穩(wěn)定運行點的偏差足夠小時，將偏差量（或稱微增變化量）的兩次或多次乘積各項都略去。具體如下。先設(shè)個變量為穩(wěn)定運行點的常量（以下標(biāo)為0的大寫字母表示）與偏差量（以下標(biāo)為1的小寫字母表示）之和。如機電裝置中 （4-55） 對方程的變量乘積項，用上式代入后略去偏差量的乘

41、積項。例如。對非線性參數(shù)則可對穩(wěn)定運行點按泰勒級數(shù)展開，然后略去偏差量的乘積項，求得偏差量的乘積項，求得線性比。以非線性電感為例，x2 （4-56）并 （4-57）將上述經(jīng)線性化后的變量和參數(shù)，代人非線性方程，即可求得以偏差量表示的線性微分方程。以上是對方程線性化的一般說明。通常在線性化前，還應(yīng)證明系統(tǒng)有穩(wěn)定運行點；最后還需估算線性化近似的準(zhǔn)確度。圖4-14 例4-6的電磁鐵【例4-6】圖4-14所示的直流電磁鐵。設(shè)無電時x=0，已知u，R,，m，Re，K咀匣L(z)一嗇。為了分析這電磁鐵微小擾動的響應(yīng)，試將它的運動方程線性化。 【解】 仿例4-1，寫出這裝置的運動方程為 (4-58)式中是運

42、動電動勢，是電磁力。由于方程中含有變量與變量的乘積項，兩個方程都是非線性微分方程。 首先確定裝置的穩(wěn)定運行點存在的范圍。設(shè)裝置在某一穩(wěn)定運行點工作時電壓U0、電流I 0、電感L0，位移X0 皆為常量。代入式(4-58)則得 RI0=U0 (4-59) (4-60)上式左邊是彈力，右邊是電磁力fm，都是X0的函數(shù)。在0 X0 范圍內(nèi)分別作曲線如圖4-15所示。兩曲線的交點才是滿足上式的運行點。 圖4-15 電磁鐵的穩(wěn)定運行點當(dāng)Uo =U 01時，兩曲線無交點，說明電磁力總大于彈力，磚鐵被吸合到x=的位置； 當(dāng)U0=U02時，兩曲線只有一不穩(wěn)定運行點B； 當(dāng)U0=U03時，兩曲線有兩交點； C為穩(wěn)

43、定運行點，A為不穩(wěn)定運行點。 可見，電源電壓必須小于U02，才能對式（4-58）線性化。先按式（4-55），設(shè)變量為常量與偏差量之和： （4-61）然后把電感按式（4-56）和式(4-57)表達為 （4-62） 再把上兩式代入( 4-58)得 （4-63） （4-64）上兩式用式( 4-59)和式(4-60)代入化簡，并略去全部變量乘積項，即得電磁鐵線性化后的運動方程為 （4-65）最后估算一下線性化近似準(zhǔn)確度。例如可從與正確的比較入手，設(shè)x1的最大擺幅引起的;則L0(1+ )=L0 ;而 L0(1)1 = L0，表明在電感上產(chǎn)生的4%誤差，等等。 二、模擬計算機仿真 當(dāng)系統(tǒng)是大擾動情況，或方

44、程線性化后求解不能滿足要求時，可應(yīng)用模擬計算機來直接模擬系統(tǒng)或模擬它的非線性微分方程組，在顯示記錄裝置上獲得定量的解，并可研究改變?nèi)我粎?shù)對輸出響應(yīng)的影響。這對機電裝置的優(yōu)化設(shè)計及其模擬試驗都是很有價值的。在模擬計算機中系統(tǒng)方程的變量都用電壓表示，系統(tǒng)方程的仿真模型是在一塊插孔板（稱為模擬編排板）上，用插接線把有關(guān)的模擬運算部件互相連接起來組成的。一臺模擬計算機備有許多可選用的模擬運算部件，每個模擬運算部件實現(xiàn)一種（或幾種）數(shù)學(xué)運算?；镜木€性運算部件有乘一個常數(shù)用的常系數(shù)器，符號變換器，加法器，積分器等；非線性運算部件有乘法器，函數(shù)發(fā)生器，典型非線性部件等。表4-7列出了這些部件的符號和功能

45、，在近代模擬計算機中還有大量的模擬存儲部件，數(shù)學(xué)邏輯部件，以及數(shù)模混合運算部件等。本小節(jié)不作介紹。 要用模擬計算機建立系統(tǒng)的仿真模型，并進行調(diào)試，運行及解題，通常要先畫出該系統(tǒng)的模擬計算機運算框圖，簡稱模擬圖。它實質(zhì)是上節(jié)講過的一種實時域內(nèi)的框網(wǎng)，具有兩大特點: 表(l)模擬圖中一般不用微分器。因為微分器會放大高頻干擾，引起計算機電路不穩(wěn)定。所以在模擬圖中，徽分運算總化為逆積分運算。例如變量u的兩階導(dǎo)數(shù)，是靠兩個積分器串聯(lián)在輸入端上獲得的，如圖4-16所示。 圖4-16 兩階導(dǎo)數(shù)模擬圖一般畫不包含微分器的模擬圈有兩條途徑：一是把系統(tǒng)的運動方程適當(dāng)?shù)匾祈?，改寫成最高階導(dǎo)數(shù)項等于其它各項之和的形式

46、，然后應(yīng)用表4-7的符號對應(yīng)畫出多次積分的模擬圖；另一是按照框圖法，從系統(tǒng)的基礎(chǔ)單元出發(fā)，直接畫出系統(tǒng)的模擬圖。兩條途徑畫的模擬圖都要盡量簡化，使應(yīng)用的模擬運算部件減至最少。 （2）系統(tǒng)變量應(yīng)用模擬計算機的電壓表示，由于機器電壓有規(guī)定的最大值（如l00V或10V），因此先要恰當(dāng)選擇變量的幅度比例尺，使實際變量的最大值和幅度比例尺之積接近(0.91)模擬機的最大允許電壓值，它既不應(yīng)過大，又不應(yīng)過小，以免影響解題的準(zhǔn)確度；其次，考慮記錄裝置等許可響應(yīng)時間，還要恰當(dāng)選擇時間比倒尺，使模擬機上復(fù)現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)過程時間（實際時間乘以時間比例尺）在幾秒（或幾分）之內(nèi)，利于觀察研究系統(tǒng)的動態(tài)特性。于是，實用的

47、模擬圖應(yīng)該是引入比例尺后的模擬圖。通常引入比例尺也有兩條途徑：一是在系統(tǒng)的運動方程中，引入幅度和時間比例尺，把方程轉(zhuǎn)換成數(shù)量上適合模擬計算機運行的微分方程，然后畫出模擬圖；另一是先畫出系統(tǒng)的模擬圖，然后按比例尺修改圖中的系數(shù)，得到引入比例尺后的模擬圖。 【例4-7】RLC串聯(lián)電路如圖4-17所示。已知：R=1L=100mHC=100和u=100V。開關(guān)閉合時定為圖t=0此時i(0+)=0，q（0+）= 1000。試畫出求解電路電流用的模擬運算框圖。 圖4-17 例4-7的RLC電路【解】電路的微分方程為移項后最高階導(dǎo)數(shù)項等于其它各項之和，即 (4-66)為使解題具有一般意義，數(shù)據(jù)暫不代入。設(shè)時間比例尺為a，電源電壓和電流的幅度比例尺分別為1和2，則得 （4-67）上式代入式( 4-66)，整理得 （4-68）據(jù)此畫得系統(tǒng)方程的模擬運算框圖如圖4-18（a）所示。圖中三個方框當(dāng)其系數(shù)確定后要修正為實用的常系數(shù)器。假如模擬機電壓的最大值是100V，則根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定比例尺：，u=100V，取=1 (a) (b)圖4-18 例題4-17電路的模擬運算框圖，imax= A=100A，取=1；電路的自然振蕩角頻率，