平面問題有限元

1、第四章第四章平面問題的有限元法平面問題的有限元法4-1有限單元法的計(jì)算步驟有限單元法的計(jì)算步驟4-2平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元4-3單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?-4單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)4-5平面問題的矩形單元平面問題的矩形單元4-6六節(jié)點(diǎn)三角形單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元4-7單元載荷移置單元載荷移置4-8整體分析整體分析4-9整體剛度矩陣的形成整體剛度矩陣的形成4-10整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn)4-11支承條件的處理支承條件的處理4-12應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力計(jì)算4-1 有限單元法的計(jì)算步驟有限單元法的計(jì)算步驟彈性力學(xué)平面問題的有限

2、單元法包括五個(gè)主要步驟：彈性力學(xué)平面問題的有限單元法包括五個(gè)主要步驟： 1、所分析問題的數(shù)學(xué)建模、所分析問題的數(shù)學(xué)建模 2、離散化、離散化 3、單元、單元分析分析 4、整體分析與求解、整體分析與求解 5、結(jié)果分析、結(jié)果分析圖 4-14-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。限個(gè)單元組成的離散體。對(duì)于平面問題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是對(duì)于平面問題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是三三

3、角形單元角形單元。因平面問題的變形主要為平面變形，故平面上所因平面問題的變形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點(diǎn)都可視為平面鉸，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。有的節(jié)點(diǎn)都可視為平面鉸，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。單元與單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，作用在連續(xù)體載荷也單元與單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，作用在連續(xù)體載荷也移置到節(jié)點(diǎn)上，成為節(jié)點(diǎn)載荷。如節(jié)點(diǎn)位移或其某一移置到節(jié)點(diǎn)上，成為節(jié)點(diǎn)載荷。如節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處，就在該節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或分量可以不計(jì)之處，就在該節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。如圖相應(yīng)的連桿支座。如圖4-1。4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元1、位移函數(shù)、

4、位移函數(shù) 如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應(yīng)變分量，再?gòu)奈锢矸匠糖髴?yīng)力分量。但對(duì)一個(gè)連續(xù)方程求應(yīng)變分量，再?gòu)奈锢矸匠糖髴?yīng)力分量。但對(duì)一個(gè)連續(xù)體，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。體，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。 有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格，在每一個(gè)單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化若干細(xì)小網(wǎng)格，在每一個(gè)單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。對(duì)每個(gè)單元，可以假定一情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。對(duì)

5、每個(gè)單元，可以假定一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個(gè)函數(shù)稱為個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個(gè)函數(shù)稱為位位移函數(shù)移函數(shù)，或稱為，或稱為位移模式、位移模型、位移場(chǎng)位移模式、位移模型、位移場(chǎng)。對(duì)于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示，對(duì)于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示， 多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。22123456.u a ax ay ax axy ay 22123456.v bbx b y bxbxy b y4-2

6、 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元 三結(jié)點(diǎn)三角形單元三結(jié)點(diǎn)三角形單元六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，所以平面問題的的系數(shù)，所以平面問題的3節(jié)點(diǎn)三角節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下，形單元的位移函數(shù)如下，該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移設(shè)定為坐標(biāo)的線性函數(shù)，該位位移設(shè)定為坐標(biāo)的線性函數(shù)，該位移模式很簡(jiǎn)單。其中移模式很簡(jiǎn)單。其中 為廣義為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點(diǎn)i、j、m的位移值和坐標(biāo)值求出。的位移值和坐標(biāo)值求出。123456vuxyxy位移函數(shù)寫成矩陣形式為：位移函數(shù)寫成矩陣形式為

7、： 12345610000001aaauxyavxyaa 164-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元最終確定六個(gè)待定系數(shù)最終確定六個(gè)待定系數(shù)12312ijmiijmjijmmaaaubbbuAcccu45612ijmiijmjijmmaaavbbbvAcccv1()()() 2iiiijjjjmmmmua bx cyuabx c yuab x c yuA1()()() 2iiiijjjjmmmmva bx cyva bx cyvabx c yvA i,j,mijmmjijmimjax yx ybyycxx輪換其中其中為為2A第第1行各個(gè)元素的行各個(gè)元素的代數(shù)余子式，代

8、數(shù)余子式，1211iijjmmxyAxyxy4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元令令 （下標(biāo)（下標(biāo)i，j，m輪換）輪換）簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為1()2iiiiNabx cyA 000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuv ieijmjmNINININ iiiejjjmmmuvuvuvI是單位矩陣，是單位矩陣，N稱為形稱為形函數(shù)函數(shù)矩陣，矩陣，Ni只與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，稱為單元只與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，稱為單元的形狀函數(shù)的形狀函數(shù)4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元 據(jù)彈性力學(xué)幾何方程得據(jù)彈性力學(xué)幾何方程得 單元的應(yīng)變分量單元的應(yīng)變分

9、量 由于三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則由于三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應(yīng)變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，常應(yīng)變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚?yīng)變?yōu)槌Ａ浚?635xyxyuxvyuvyx4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元2、形函數(shù)的特點(diǎn)及性質(zhì)、形函數(shù)的特點(diǎn)及性質(zhì)1)形函數(shù)形函數(shù)Ni為為x、y坐標(biāo)的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。坐標(biāo)的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。2)形函數(shù)形函數(shù)Ni在在i節(jié)點(diǎn)處的值等于節(jié)點(diǎn)處的值等于1，而在其他節(jié)

10、點(diǎn)上的值為，而在其他節(jié)點(diǎn)上的值為0。即即 ( ,)1 (,)0 (,)0( ,)0 (,)1 (,)0 ( ,)0 (,)0 (,)1iiiijjimmjiijjjjmmmiimjjmmmN x yN xyN xyNx yNxyNxyNx yNxyNxy類似( , )( , )( , )1ijmN x yNx yNx y3)單元內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)之和恒等于單元內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)之和恒等于1。4)形函數(shù)的值在形函數(shù)的值在01間變化。間變化。4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元3、收斂性分析、收斂性分析 選擇單元位移函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng)選擇單元

11、位移函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解答。網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解答。因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列條件：因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列條件：(1)位移函數(shù)必須含單元常量應(yīng)變。位移函數(shù)必須含單元常量應(yīng)變。(2)單元必須能反映單元的剛體位移（即單元應(yīng)變?yōu)閱卧仨毮芊从硢卧膭傮w位移（即單元應(yīng)變?yōu)?時(shí)的位移）。時(shí)的位移）。前面位移函數(shù)改寫為（注意：前面位移函數(shù)改寫為（注意： 為為0 ）則單元?jiǎng)傮w位移為則單元?jiǎng)傮w位移為53351253354622v22uyxyxy2635, 5315342v2uyx1040

12、vuyx記為顯然，位移函數(shù)包顯然，位移函數(shù)包含了單元的剛體位含了單元的剛體位移（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）移（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元(3)位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)位移。位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)位移。因?yàn)榫€性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)因?yàn)榫€性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù) (4)位移函數(shù)必須保證相鄰單元在公共邊位移函數(shù)必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移協(xié)調(diào)（即在公共邊界上位界處的位移協(xié)調(diào)（即在公共邊界上位移值相同）。如右圖移值相同）。如右圖 設(shè)公共邊界直線方程為設(shè)公共邊界直線方程為y=Ax+B，代，代入位移函數(shù)可得：邊界上位移為入位移函數(shù)可得：邊界上位移為顯然，顯然，u,v仍為線

13、性函數(shù)，即公共邊界仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。綜上所述，常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰凭C上所述，常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰坪瘮?shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元函數(shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元為協(xié)調(diào)單元為協(xié)調(diào)單元123456()()uxAxBvxAxBy=Ax+B 邊界不協(xié)調(diào)產(chǎn)生裂縫邊界不協(xié)調(diào)產(chǎn)生重迭4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣?yán)}：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣N。0ijmmjax yx yijmbyya0imjcxx 0jm iimax yxy0jmibyy jimc x xa 2mijjiax yx

14、 yamijbyyamjicx xa 4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元 由三角形的面積由三角形的面積22aA 211()(00)2iiiixNabxc yaxAaa211()(0 0)2jjjjyNab x c yayAaa 2211()() 12mmmmx yNab x c yaax ayAaa a 00 10 0001xyxyaaaaNxyxyaaaa4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元 4、應(yīng)力、應(yīng)變矩陣、應(yīng)力、應(yīng)變矩陣將位移函數(shù)代入平面問題幾何方程，得應(yīng)變矩陣：將位移函數(shù)代入平面問題幾何方程，得應(yīng)變矩陣： 00000000ii

15、xijmjyijmjxymmuuvxxNNNuvyyNNNvuvuyxyxv 00010002iiijmjeeijmijmjiijjmmmmuvbbbucccBBBBvAcbcbcbuv4-2 平面問題的常應(yīng)變平面問題的常應(yīng)變(三角形三角形)單元單元 應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣由平面問題物理方程得：由平面問題物理方程得： 應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣B反映了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系反映了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系 應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣S反映了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系反映了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系 顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)變矩陣顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)變矩陣B為常量矩陣，

16、說明在為常量矩陣，說明在該單元上的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊該單元上的?yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊界處，?yīng)變及應(yīng)力不連續(xù)，有突變。界處，應(yīng)變及應(yīng)力不連續(xù)，有突變。 eeeijmDDBSSSS yiFixmF xjF xiF ymFy jFmj*yiFi*xmF*xjF*xiF*ymF*yjFmjy*xy*y*xxytx(a)節(jié)點(diǎn)力、內(nèi)部應(yīng)力(b)虛位移、虛應(yīng)變4-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?討論單元內(nèi)部的應(yīng)力與單元的節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系，導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)討論單元內(nèi)部的應(yīng)力與單元的節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系，導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式。位移表示節(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式。 由應(yīng)力推算節(jié)點(diǎn)力，需要利

17、用平衡方程。采用虛功方程表由應(yīng)力推算節(jié)點(diǎn)力，需要利用平衡方程。采用虛功方程表示出平衡方程，即外力在虛位移上所作的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)示出平衡方程，即外力在虛位移上所作的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上作的虛應(yīng)變功。變上作的虛應(yīng)變功。 *T*TF dxdydz 4-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?考慮上圖三角形單元的實(shí)際受力，節(jié)點(diǎn)力和內(nèi)部應(yīng)力為：考慮上圖三角形單元的實(shí)際受力，節(jié)點(diǎn)力和內(nèi)部應(yīng)力為： 任意虛設(shè)位移，任意虛設(shè)位移，節(jié)點(diǎn)位移與內(nèi)部應(yīng)變?yōu)楣?jié)點(diǎn)位移與內(nèi)部應(yīng)變?yōu)?xyxyt *xyxy xiyixjyjxmymFFFFFFF *i*i*e*j*j*m*muvuvuv4-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?令實(shí)際受

18、力狀態(tài)在虛設(shè)位移上作虛功，外力虛功為令實(shí)際受力狀態(tài)在虛設(shè)位移上作虛功，外力虛功為TFFFFFF*ixiiyijxjjyjmxmmymuvuvuvFFFFFFxiyixj*iijjmmyjxmymuvuvuv eeT*F4-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?計(jì)算內(nèi)力虛功時(shí)，從彈性體中截取微小矩形，邊長(zhǎng)為計(jì)算內(nèi)力虛功時(shí)，從彈性體中截取微小矩形，邊長(zhǎng)為dx和和dy，厚度為厚度為t，圖示微小矩形的實(shí)際應(yīng)力和虛設(shè)變形。，圖示微小矩形的實(shí)際應(yīng)力和虛設(shè)變形。dydxdxdxdydydxdxdxdydydyt dyxt dyxt dxyt dxyt dxxytt dxxytt dyxytt dyxytdx*xdy

19、*y*xy*xy(a)實(shí)際應(yīng)力(b)虛設(shè)應(yīng)變4-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?微小矩形的內(nèi)力虛功為微小矩形的內(nèi)力虛功為整個(gè)彈性體的內(nèi)力虛功為整個(gè)彈性體的內(nèi)力虛功為*TUd Utd x d y*() () () () () ()xxyyxyxydUtdydxtdxdytdxdyt*)yxyxytdxdy t*xxy(tdxdyx*xyxyyxy 4-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?根據(jù)虛功原理，得根據(jù)虛功原理，得這就是彈性平面問題的虛功方程，實(shí)質(zhì)是外力與應(yīng)力之間的平這就是彈性平面問題的虛功方程，實(shí)質(zhì)是外力與應(yīng)力之間的平衡方程。衡方程。虛應(yīng)變可以由節(jié)點(diǎn)虛位移求出：虛應(yīng)變可以由節(jié)點(diǎn)虛位移求出：代入虛功

20、方程代入虛功方程 *eTTeFtdxdy * TTeeTTBB * eTeTeTFBtdxdy eTFBtdxdy4-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?接上式，將應(yīng)力用節(jié)點(diǎn)位移表示出接上式，將應(yīng)力用節(jié)點(diǎn)位移表示出 有有 令令實(shí)際上，單元?jiǎng)偠汝嚨囊话愀袷娇杀硎緸閷?shí)際上，單元?jiǎng)偠汝嚨囊话愀袷娇杀硎緸?則則建立了單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，建立了單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系， 稱為單元?jiǎng)偠确Q為單元?jiǎng)偠染仃?。它是矩陣。它?*6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定

21、于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。的平行移動(dòng)而改變。 eD B eeTFBDB tdxdy eTKBD B tdxdy eeeFK eK eTVKBD B dxdydz4-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?由于由于D中元素是常量，而在線性位移模式下，中元素是常量，而在線性位移模式下，B中的元素也中的元素也是常量，且是常量，且因此因此可以進(jìn)一步得出平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題中的單元?jiǎng)偠染乜梢赃M(jìn)一步得出平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題中的單元?jiǎng)偠染仃嚒ｊ嚒?eeTFBDB tdxdydxdyA

22、eeTFBD B tA eTKBD BtA4-3 常應(yīng)變?nèi)切螁卧膭偠染仃嚦?yīng)變?nèi)切螁卧膭偠染仃?單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?可記可記為分塊矩陣形式為分塊矩陣形式 將應(yīng)變矩陣將應(yīng)變矩陣B的分塊陣的分塊陣代入單元?jiǎng)偠染仃?，可代入單元?jiǎng)偠染仃?，可得其子塊計(jì)算式：得其子塊計(jì)算式： 對(duì)于常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，?duì)于常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，考慮平面應(yīng)力問題彈性考慮平面應(yīng)力問題彈性矩陣矩陣D，可得，可得 iiijimejijjjmmimjmmKKKKKKKKKK , ,TrsrsVKBDB dxdydzr si j m eK 20010021122114(1)22srrrssrrssrsrsrsrssrsrrsr

23、sbbcKDctAcbAcbb bc cb cc bEtAb cc bc cb b4-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 上述推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚨倪^程可歸納為上述推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚨倪^程可歸納為單元?jiǎng)傟噯卧獎(jiǎng)傟嘖的物理意義是單元受節(jié)點(diǎn)力作用后抗變形的能力。的物理意義是單元受節(jié)點(diǎn)力作用后抗變形的能力。其元素其元素 的意義為：當(dāng)?shù)诘囊饬x為：當(dāng)?shù)趈個(gè)自由度發(fā)生單位位移，而其他自個(gè)自由度發(fā)生單位位移，而其他自由度的位移為由度的位移為0時(shí)，在第時(shí)，在第i個(gè)自由度上所施加的力。若按節(jié)點(diǎn)來個(gè)自由度上所施加的力。若按節(jié)點(diǎn)來說明，則剛陣中每個(gè)子塊說明，則剛陣中每個(gè)子塊 表示：當(dāng)節(jié)點(diǎn)表示

24、：當(dāng)節(jié)點(diǎn)j處發(fā)生單位位移，處發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點(diǎn)固定時(shí)，在節(jié)點(diǎn)而其他節(jié)點(diǎn)固定時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i上所施加的力。上所施加的力。 tABT tA BD BKTee eF D B BDS (6)(6)(3)(3)(3)(3)(6(63)3)(3(33)3)(3(36)6)(3(36)6)(6(66)6)ijkijK4-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：(以簡(jiǎn)單平面桁架為例以簡(jiǎn)單平面桁架為例)平面問題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)平面問題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點(diǎn)載荷的作用下，節(jié)點(diǎn)對(duì)單元、

25、單元對(duì)節(jié)點(diǎn)都有作用力與反作點(diǎn)載荷的作用下，節(jié)點(diǎn)對(duì)單元、單元對(duì)節(jié)點(diǎn)都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點(diǎn)力。用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點(diǎn)力。節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系前面已經(jīng)求出：節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系前面已經(jīng)求出：ADBPCAP eeeFK4-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：將將 寫成分塊矩陣寫成分塊矩陣寫成普通方程寫成普通方程其中其中 表示節(jié)點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)S(S=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時(shí)，在產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)r(r=i,j,m)上所需要施加的上所需要施加的節(jié)節(jié)點(diǎn)力的大小。點(diǎn)力的大小。

26、iiiijimijjijjjmjmmimjmmmFKKKFKKKFKKK iiiiijjimmjjiijjjjmmimiimjjmmmFK K K FK K K FK K K eF rsK4-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：將節(jié)點(diǎn)力列矩陣將節(jié)點(diǎn)力列矩陣 與節(jié)點(diǎn)位移列矩陣與節(jié)點(diǎn)位移列矩陣 均展開成均展開成(6*1)階階列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)地展開成列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)地展開成(6*6)階方陣：階方陣：元素元素K的腳碼，標(biāo)有的腳碼，標(biāo)有“-”的表示水平方向，沒有標(biāo)的表示水平方向，沒有標(biāo)“-”的表的表示垂直方向。

27、示垂直方向。 eF e xiiiiiijijimimiiiijimimyiiiijixjjijijjjjjmjmjjijjjmjmyjjijjjmimjmmmmxmmimjmmimjmmmmymmimjmKKKKKKFuKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFv 4-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 單元?jiǎng)偠染仃嚨拿恳粋€(gè)元素都有明顯的物理意義。單元?jiǎng)偠染仃嚨拿恳粋€(gè)元素都有明顯的物理意義。 表示節(jié)點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移

28、時(shí)，在產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平上分別所要施加的水平節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)力和垂直力和垂直節(jié)節(jié)點(diǎn)力的大小。例如點(diǎn)力的大小。例如 表示表示節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在單位位移時(shí)，在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)i所需要施加的水平所需要施加的水平節(jié)節(jié)點(diǎn)力的大小。點(diǎn)力的大小。, ,()(, ,)xrrssrssS i j mFK uK vri j m , ,()(, , )yrrssrs sS i j mFK uK vri j m rsrsrsrsKKKK， ， ，ijK4-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 1）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱陣，）單元

29、剛度矩陣是對(duì)稱陣，(只要證明只要證明 ) 2）單元?jiǎng)傟囍鲗?duì)角線元素恒為正值；因?yàn)橹鲗?duì)角元素）單元?jiǎng)傟囍鲗?duì)角線元素恒為正值；因?yàn)橹鲗?duì)角元素 表表示力的方向和位移方向一致，故功總為正值。示力的方向和位移方向一致，故功總為正值。 3）單元?jiǎng)傟囀瞧娈愱?，即）單元?jiǎng)傟囀瞧娈愱?，即|K|=0，這是因?yàn)橛?jì)算單元?jiǎng)傟嚂r(shí)，這是因?yàn)橛?jì)算單元?jiǎng)傟嚂r(shí)沒有對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，沒有對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元?jiǎng)偠绕胶夥匠滩豢赡艿菰S單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元?jiǎng)偠绕胶夥匠滩豢赡艿玫轿ㄒ晃灰平獾玫轿ㄒ晃灰平?，只能得到唯一的節(jié)點(diǎn)力解。，只能得到唯一的

30、節(jié)點(diǎn)力解。 4）單元?jiǎng)傟囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行）單元?jiǎng)傟囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和也為零。由此可見，單元?jiǎng)傟嚫髁性氐牡膶?duì)應(yīng)元素之和也為零。由此可見，單元?jiǎng)傟嚫髁性氐目偤蜑榱?。由?duì)稱性可知，各行元素的總和也為零?？偤蜑榱恪Ｓ蓪?duì)稱性可知，各行元素的總和也為零。 ()eeTKKiik 1()eeKF4-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)例題：求下圖所示例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，單元的剛度矩陣，設(shè)設(shè) 1000101000101011011Ba 1、求、求B 2、求求D 3、求求S 4、求求 100 010000.5D

31、E 1000100001010 0.5 0.5 00.50.5ESa 1000100.5.50.5.50.5.50.5.500010121.5.501.5.50.5.51.51.5eEtK eK0yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a)4-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明： 1）單元?jiǎng)偠确匠淌菨M足節(jié)點(diǎn)力平衡條件而建立的，即有限）單元?jiǎng)偠确匠淌菨M足節(jié)點(diǎn)力平衡條件而建立的，即有限元方程是一組節(jié)點(diǎn)力平衡方程組。元方程是一組節(jié)點(diǎn)力平衡方程組。 2）單元內(nèi)任一點(diǎn)位置的平衡條件往往不滿足，即微分平衡）單元內(nèi)任一點(diǎn)位置的平衡條件往往不滿足，即微分平衡方

32、程可能不滿足。對(duì)于非線性單元，位移函數(shù)常不滿足以位方程可能不滿足。對(duì)于非線性單元，位移函數(shù)常不滿足以位移為未知量的平衡方程，對(duì)線性單元，因位移函數(shù)為線性的，移為未知量的平衡方程，對(duì)線性單元，因位移函數(shù)為線性的，應(yīng)變、應(yīng)力為常量，可以滿足單元內(nèi)平衡。應(yīng)變、應(yīng)力為常量，可以滿足單元內(nèi)平衡。 3）單元之間的平衡條件一般得不到滿足，線性單元的應(yīng)力）單元之間的平衡條件一般得不到滿足，線性單元的應(yīng)力為常量，單元間應(yīng)力有突變，明顯不滿足平衡條件。為常量，單元間應(yīng)力有突變，明顯不滿足平衡條件。4-5 平面問題的矩形單元平面問題的矩形單元利用節(jié)點(diǎn)位移，可待定系數(shù)利用節(jié)點(diǎn)位移，可待定系數(shù)xaxyi(1,-1)j(

33、1,1)l(-1,1)m(-1,-1)ybxa12345678vuxyxyxyxy181000000001uv 115148 mmuvCCuv 111111111 1111 111C 矩形單元是平面問題常用的一種矩形單元是平面問題常用的一種單元，尤其是邊界比較規(guī)則的平單元，尤其是邊界比較規(guī)則的平面結(jié)構(gòu)，如圖面結(jié)構(gòu)，如圖2a*2b的的4節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)8自自由度矩形單元。由度矩形單元。位移函數(shù)位移函數(shù)取無(wú)量綱坐標(biāo)，得矩陣表示取無(wú)量綱坐標(biāo)，得矩陣表示4-5 平面問題的矩形單元平面問題的矩形單元 代入系數(shù)至位移函數(shù)，并整理成位移插值函數(shù)代入系數(shù)至位移函數(shù)，并整理成位移插值函數(shù) Ni為形函數(shù)，仍具有前述的形函

34、數(shù)的基本性質(zhì)為形函數(shù)，仍具有前述的形函數(shù)的基本性質(zhì) 記為矩陣形式，記為矩陣形式，I為單位矩陣為單位矩陣 可以證明該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)元可以證明該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)元00000000iijlmiijlmmuNNNNvuNNNNvv 11(1)(1) (1)(1)4411(1)(1) (1)(1)44ijlmNNNN eeijlmuNININININv 4-5 平面問題的矩形單元平面問題的矩形單元 應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣 0000000000ixiijlmyijlmxymmuuxxvNNNNvyyNNNNuuvyxyxv ()000()00()0()00()()()()

35、eeeijlmbybybybyaxaxaxaxaxbyaxbyaxbyaxbyBBBBB 應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣B的元素是的元素是x，y的函數(shù)，所以，矩形單元中的應(yīng)的函數(shù)，所以，矩形單元中的應(yīng)變不是常量，而是隨變不是常量，而是隨x或或y線性變化的，顯然，應(yīng)力也是隨線性變化的，顯然，應(yīng)力也是隨x或或y線性變化的。較常應(yīng)變單元有更高的計(jì)算精度線性變化的。較常應(yīng)變單元有更高的計(jì)算精度 eeDDBS4-5 矩形單元的剛度矩陣矩形單元的剛度矩陣 將剛陣記為分塊形式將剛陣記為分塊形式 其子塊的計(jì)算為其子塊的計(jì)算為 （雖然該計(jì)算式是從三角形推導(dǎo)的，但它是一般格式，適用（雖然該計(jì)算式是從三角形推導(dǎo)的，但它是一般格式

36、，適用于所有單元）于所有單元） 8 8iiijilimjijjjljmeliljlllmmimjmlmmKKKKKKKKKKKKKKKKK TrsrsVKBDB dV4-6 六節(jié)點(diǎn)三角形單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元 面積坐標(biāo)面積坐標(biāo) 稱為稱為p點(diǎn)的面積坐標(biāo)，顯然三個(gè)點(diǎn)的面積坐標(biāo)，顯然三個(gè)面積坐標(biāo)不完全獨(dú)立，有如下關(guān)面積坐標(biāo)不完全獨(dú)立，有如下關(guān)系系 實(shí)際為三角形實(shí)際為三角形 的高與的高與 高的比，即平行高的比，即平行jm線的直線上的線的直線上的所有點(diǎn)有相同的所有點(diǎn)有相同的 。同時(shí)，易。同時(shí)，易得得 jimijmAAALLLAAA 1ijmijmAAAALLLiLiA 1 0 1 0 1 0ijmjimm

37、jiiLLLLLLLLL點(diǎn)j點(diǎn)m點(diǎn)ijmpiAmAjAAiL4-6 六節(jié)點(diǎn)三角形單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元 將三角形頂點(diǎn)將三角形頂點(diǎn)ijm坐坐標(biāo)與標(biāo)與p點(diǎn)坐標(biāo)代入面點(diǎn)坐標(biāo)代入面積坐標(biāo)，則得面積坐積坐標(biāo)，則得面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)標(biāo)與直角坐標(biāo)xoy的的關(guān)系式關(guān)系式 比較比較 與常應(yīng)變?nèi)c常應(yīng)變?nèi)切蔚男魏瘮?shù)角形的形函數(shù) 可可知，兩者相同知，兩者相同1111()221ijjiiimmxyAxyab xc yxy1() , ,2rrrrLab xc yri j mA112iiiijjjjmmmmLabcLabcxALabcy rLrN4-6 六節(jié)點(diǎn)三角形單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元 如圖六節(jié)點(diǎn)如圖六節(jié)點(diǎn)12自由度三角

38、形單元自由度三角形單元 位移函數(shù)：?jiǎn)卧獌?nèi)任意一點(diǎn)的位位移函數(shù)：?jiǎn)卧獌?nèi)任意一點(diǎn)的位移函數(shù)用移函數(shù)用6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與相應(yīng)的形個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與相應(yīng)的形函數(shù)來表示函數(shù)來表示1 122331 1223 3iijjmmiijjmmuN uN uN uN uN uN uvN vN vN vN vN vN vi(1,0,0)j(0,1,0)m(0,0,1)1(1/2,1/2,0)2(0,1/2,/2)3(1/2,0,1/2)123(21) 4(21) 4(21) 4iiiijjjjjmmmmmiNLLNL LNLLNL LNLLNL L4-6 六節(jié)點(diǎn)三角形單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元 應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣 1233xiyijm

39、xyuxuvBBBBBByvuvyx eB(41)010(41) , ,2(41)(41)rrrrrrrrrbLBcLri j mAcLbL14()01,j,m104() 2,i,m24()4()3,i,jjmjmjmjmjmjmjmjmb LL bBc LL cAc LL cb LL b 從上可知：位移為從上可知：位移為面積坐標(biāo)或直角坐面積坐標(biāo)或直角坐標(biāo)的二次函數(shù)，應(yīng)標(biāo)的二次函數(shù)，應(yīng)變或應(yīng)力為面積坐變或應(yīng)力為面積坐標(biāo)或直角坐標(biāo)的一標(biāo)或直角坐標(biāo)的一次式，即在單元內(nèi)次式，即在單元內(nèi)位移為二次變化，位移為二次變化，應(yīng)變或應(yīng)力為線性應(yīng)變或應(yīng)力為線性變化變化4-6 六節(jié)點(diǎn)三角形單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元 將

40、剛陣記為分塊形式將剛陣記為分塊形式 123123123111111213222212223333313233iiijimiiijijjjmjjjmimjmmmmmeijmijmijmKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK TrsrsVKBDB dV 其子塊的計(jì)算為其子塊的計(jì)算為 (雖然該計(jì)算式是從三角形推導(dǎo)的，但它是一般格式，適用于雖然該計(jì)算式是從三角形推導(dǎo)的，但它是一般格式，適用于所有單元所有單元)4-7 單元載荷移置單元載荷移置 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷

41、都向節(jié)點(diǎn)移置彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置(分解分解)，而成為節(jié)點(diǎn)，而成為節(jié)點(diǎn)載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，就不存在移置的問題，集中力就是節(jié)點(diǎn)載的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，就不存在移置的問題，集中力就是節(jié)點(diǎn)載荷。荷。但實(shí)際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用但實(shí)際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在節(jié)點(diǎn)上在節(jié)點(diǎn)上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點(diǎn)未。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點(diǎn)未被取為節(jié)點(diǎn)，該集中力也要向節(jié)點(diǎn)移置。被取為節(jié)點(diǎn)，該集中力也要向節(jié)點(diǎn)移置。 將載荷移

42、置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則。將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。則。4-7 單元載荷移置單元載荷移置 載荷移置的原則：能量等效，即單元的實(shí)際載荷與移置后的節(jié)載荷移置的原則：能量等效，即單元的實(shí)際載荷與移置后的節(jié)點(diǎn)載荷在相應(yīng)的虛位移上所做的虛功相等點(diǎn)載荷在相應(yīng)的虛位移上所做的虛功相等 載荷移置的條件：圣維南原理載荷移置的條件：圣維南原理 載荷移置的方法

43、：載荷移置的方法： 1）直接法（靜力等效法，虛功移置法）直接法（靜力等效法，虛功移置法） 2）普遍公式法）普遍公式法0.5ql0.5ql0.5ql0.5qlMM靜力等效靜力等效4-7 單元載荷移置單元載荷移置 虛功移置：虛功移置：在線性位移模式下，對(duì)于常見的一些載荷，可以通過在線性位移模式下，對(duì)于常見的一些載荷，可以通過簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算得節(jié)點(diǎn)載荷。即簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算得節(jié)點(diǎn)載荷。即移置前后虛功相等移置前后虛功相等。如均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把如均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/3的重力移到每的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn)，即個(gè)節(jié)點(diǎn)，即 yjcbxiwlmmyiYjYyjcbxiwlmmxiXjX

44、1/31*1*3iYW4-7 單元載荷移置單元載荷移置 例：例：總載荷的總載荷的2/3移置到節(jié)點(diǎn)移置到節(jié)點(diǎn)i，1/3移置到節(jié)點(diǎn)移置到節(jié)點(diǎn)j，與原載荷同向，與原載荷同向yxmjip=0.5qLiX =2/3pjX =1/3pjL =2/3LiL =1/3LyxmjiqL4-7 單元載荷移置單元載荷移置 普遍公式法普遍公式法集中力的移置集中力的移置體力的移置體力的移置分布面力的移置分布面力的移置在線性位移模式下，用直接在線性位移模式下，用直接計(jì)算法簡(jiǎn)單；非線性模式下，計(jì)算法簡(jiǎn)單；非線性模式下，要用普遍公式計(jì)算。要用普遍公式計(jì)算。yxoMpmjimxjxixmyjyiyypxp eTRNp tdxd

45、y eTsRNP tds eTRNp4-8 整體分析整體分析23yP3xP314562xP1yPaaaa圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)1、4、6共有四個(gè)支桿支承。結(jié)構(gòu)的共有四個(gè)支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為節(jié)點(diǎn)載荷。載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為節(jié)點(diǎn)載荷。整體分析的四個(gè)步驟：整體分析的四個(gè)步驟：1、建立整體剛度矩陣；、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；度矩陣；3、解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；、解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃?，下面，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)

46、單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃?，下面，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。行整體分析。4-8 整體分析整體分析1、建立整體剛度矩陣、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣) 上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有12個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和12個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：系為：分塊形式為：分塊形式為： 其中子向量其中子向量 和和 都是二階向量，子矩陣都是二階向量，子矩陣 是二行二是二行二列矩陣，整體剛度矩陣列矩陣，整體剛度矩陣K是是12*12階矩陣。階矩陣。

47、FK 111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666FKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKK i iFijK4-8 整體分析整體分析2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣 建立整體剛度矩陣時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移當(dāng)作未知量看待，沒建立整體剛度矩陣時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移當(dāng)作未知量看待，沒有考慮具體的支承情況，因此進(jìn)行整體分析時(shí)還要針對(duì)支承條有考慮具體的支承情況，因此進(jìn)行整體分析時(shí)還要針對(duì)支承條件加以處理。件加以處理。

48、在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個(gè)，即在節(jié)點(diǎn)在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個(gè)，即在節(jié)點(diǎn)1、4、6的四的四個(gè)支桿處相應(yīng)位移已知為零：個(gè)支桿處相應(yīng)位移已知為零： 建立節(jié)點(diǎn)平衡方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。建立節(jié)點(diǎn)平衡方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。3、解方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移。、解方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移。 通常采用消元法和迭代法兩種方法。通常采用消元法和迭代法兩種方法。4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。14460000uuvv，4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 是單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧獎(jiǎng)偠染仃?的集成。的集成。1、剛度集成法的物理概念：、剛度集

49、成法的物理概念：剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點(diǎn)作單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力。在剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點(diǎn)作單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力。在單元?jiǎng)傟噯卧獎(jiǎng)傟?中，中， 表示表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，時(shí)，單元單元e在在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力；類似，在整體剛陣中，；類似，在整體剛陣中， 表表示示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，整體結(jié)構(gòu)在整體結(jié)構(gòu)在i節(jié)點(diǎn)引起節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力的節(jié)點(diǎn)力(由于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與由于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與i、j節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的單元在相關(guān)的單元在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力之和節(jié)點(diǎn)引

50、起的節(jié)點(diǎn)力之和)。 如上圖結(jié)構(gòu)，計(jì)算如上圖結(jié)構(gòu)，計(jì)算 時(shí)，與節(jié)點(diǎn)時(shí)，與節(jié)點(diǎn)2和和3相關(guān)的單元有單元相關(guān)的單元有單元和和，當(dāng)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)3發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元和和同時(shí)在節(jié)點(diǎn)同時(shí)在節(jié)點(diǎn)2引起節(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在節(jié)點(diǎn)引起節(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在的節(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力的節(jié)點(diǎn)力 。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對(duì)應(yīng)子塊的集成。關(guān)單元的對(duì)應(yīng)子塊的集成。 ek K ekeijkijk23k132323

51、23kkk4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式2、剛度矩陣的集成方法：、剛度矩陣的集成方法：1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移，點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移，2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷荷Ri， 12niiii eiieFR12i 3412i Ri34

52、4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 2、整體剛度矩陣的集成方法、整體剛度矩陣的集成方法 具體集成方法是：先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染仃嚲唧w集成方法是：先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染仃?，然后將其中的每個(gè)子塊然后將其中的每個(gè)子塊 送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K的子塊，從的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K。 關(guān)鍵是如何找出關(guān)鍵是如何找出 中的子塊在中的子塊在K中的對(duì)應(yīng)位置。這需要了中的對(duì)應(yīng)位置。這需要了解單元中的節(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。解單元中的節(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的

53、節(jié)點(diǎn)編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 ekkij ek4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆碼，各個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針方向編為時(shí)針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點(diǎn)的局稱為節(jié)點(diǎn)的局部碼。部碼。單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K是按節(jié)點(diǎn)單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K是按節(jié)點(diǎn)的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點(diǎn)的總碼排列陣中的子塊是按節(jié)點(diǎn)的總碼排列的。因此，在單元?jiǎng)偠染仃囍?，的。因此，在單元?jiǎng)偠染仃囍?，把?jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把把節(jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排其中的子塊按照總碼次序

54、重新排列。列。4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式以單元以單元為例，局部碼為例，局部碼i,j,m對(duì)應(yīng)于總碼對(duì)應(yīng)于總碼5,2,4，因此，因此 子塊按照總子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣 為：為： (2)k(2)K 而相應(yīng)的單元?jiǎng)偠确匠虨槎鄳?yīng)的單元?jiǎng)偠确匠虨椋ɑ蚬?jié)點(diǎn)力表達(dá)式）：（或節(jié)點(diǎn)力表達(dá)式）： 1222(2)32442556000FKFF4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 用同樣的方法可得出其他用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠确絾卧臄U(kuò)大的單元?jiǎng)偠确匠坛? 1122( )33445566 e=1,2,.4eeeeeeeFFFKFFF

55、i=1,.6eiieFR KR 據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相應(yīng)據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力疊加：節(jié)點(diǎn)力疊加： 整理可得，整體平衡方程：整理可得，整體平衡方程：4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式整體平衡方程：整體平衡方程： 1）其中）其中K為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣：為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣：集成包含搬家和迭加兩個(gè)環(huán)節(jié)：集成包含搬家和迭加兩個(gè)環(huán)節(jié)： A、將單元?jiǎng)偠染仃嚒卧獎(jiǎng)偠染仃?中的子塊搬家，得出單元的擴(kuò)大剛中的子塊搬家，得出單元的擴(kuò)大剛度矩陣度矩陣 。 B、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣 迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣迭加，得出結(jié)構(gòu)

56、剛度矩陣K。2） 為節(jié)點(diǎn)載荷向量，為節(jié)點(diǎn)載荷向量， 為節(jié)點(diǎn)位移向量。為節(jié)點(diǎn)位移向量。 (1)(2)(3)(4)( ) eKKKKKK eK KReK eK 1TnRRR 1Tn)1(jjK)2(mmK)2(miK)1(jmK)1(jiK)2(jmK)4(iiK)4(miK)4(jiK2m1j2m4i126543216543局部碼總碼321i ,j ,m431j ,m,i432m,j ,i321ijm1j431jmi432mji4i)1(mmK)2(jjK)3(iiK)1(miK)3(imK)1(iiK)3(mmK)4(jjK)2(jiK)3(ijK)3(mjK)4(jmK)2(iiK)3(jj

57、K)4(mmK4-10 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn)在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。在解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。 1、對(duì)稱性。、對(duì)稱性。 只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。量。 2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。部分。4-10 整體剛度矩陣的

58、特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn)2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5只與周圍的六個(gè)節(jié)點(diǎn)只與周圍的六個(gè)節(jié)點(diǎn)(2、3、4、6、8、9)用三角形用三角形單元相連，它們是單元相連，它們是5的相關(guān)節(jié)的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因此，在矩陣此，在矩陣K中，第中，第5行的非行的非零子塊只有七個(gè)零子塊只有七個(gè)(即與相關(guān)節(jié)點(diǎn)即與相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七

59、個(gè)子塊對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊)。4-10 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn)2、稀疏性、稀疏性一般，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)節(jié)點(diǎn)不一般，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)節(jié)點(diǎn)不會(huì)超過九個(gè)，如果網(wǎng)格中有會(huì)超過九個(gè)，如果網(wǎng)格中有200個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非零子個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非零子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)相塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于比不大于9/200，即在，即在5%以下，以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，則如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。剛度矩陣的稀疏性就越突出。 利用矩陣?yán)镁仃嘖的稀疏性，可的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。大量地節(jié)省存貯容量。11109876

60、543210987654324-10 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 3、帶形分布規(guī)律。、帶形分布規(guī)律。 上圖中，矩陣上圖中，矩陣K的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中(包括對(duì)角線元包括對(duì)角線元素在內(nèi)素在內(nèi))，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶表示。半帶寬的一般計(jì)算公式是：寬的一般計(jì)算公式是： 半帶寬半帶寬 d = ( 相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值 + 1 ) * 2 上圖中相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值為上圖中相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值