Ch分離變量法PPT課件

1、Autumn 2013Instructor : Y. Huang Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUISTPartial Differential Equations第1頁(yè)/共106頁(yè)Ch4 分離變量法正交函數(shù)系與廣義Fourier級(jí)數(shù)施圖姆-劉維爾特征值問(wèn)題齊次方程與齊次邊界條件的定解問(wèn)題非齊次方程與齊次邊界條件的定解問(wèn)題非齊次邊界條件的處理第2頁(yè)/共106頁(yè)第3章討論了無(wú)界或半無(wú)界問(wèn)題，介紹了波動(dòng)方程初值問(wèn)題的求解方法。本章討論有界問(wèn)題，介紹解決有界問(wèn)題的有效方法分離變量法分離變量法。sin

2、sin()Akxt分離變量法來(lái)源于物理學(xué)中如下事實(shí)：它是求解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的一種最普遍最基本的方法之一，適用于解一些常見(jiàn)區(qū)域(如有限區(qū)間、矩形域、圓域、長(zhǎng)方體、球面、圓柱體等)上的混合問(wèn)題和邊值問(wèn)題。機(jī)械振動(dòng)總可以分解為具有各種頻率和振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加；而每個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)常具有 的駐波形式，即可表示成只含變量 x 的函數(shù)與只含變量 t 的函數(shù)的乘積變量分離。第3頁(yè)/共106頁(yè)成為問(wèn)題的解。因此，分離變量法又稱為Fourier級(jí)數(shù)法，而在討論波動(dòng)方程時(shí)也被稱為駐波法。求 和 的問(wèn)題歸結(jié)為求解常微分方程的邊值問(wèn)題(即特征值問(wèn)題)，再利用初始條件確定各項(xiàng)中的任意常數(shù) 使 u(x,t)(比如傅里葉(F

3、ourier)級(jí)數(shù)形式) ( )nT t由此得到啟發(fā)，在解線性定解問(wèn)題時(shí)可嘗試滿足齊次方程和齊次邊界條件的具有變量分離形式的解的疊加1( , )( )( ).nnnnu x tC Xx T t( )nXx,nC1sinsinnnnnnaNxtll第4頁(yè)/共106頁(yè)1. 正交函數(shù)系與廣義Fourier級(jí)數(shù)1.1 正交函數(shù)系三角函數(shù)系1,cos ,sin ,cos2 ,sin 2 ,cos,sin,xxxxnxnx具有正交性,即其中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零., sincos0,1,2,kxnxdxk nsinsin0,kxnxdxkncoscos0,kxnxdxkncossin0

4、,1,2,nxdxnxdxn第5頁(yè)/共106頁(yè)Def 1. 設(shè)有一族定義在a,b上的函數(shù)若滿足則稱該函數(shù)系是a,b上的正交函數(shù)系正交函數(shù)系，簡(jiǎn)稱正交系，常記為 或0,( )( ),0,1,0,bmnamnxx dxm nmn01( ), ( ),( ),nxxx0 ( )nnx .n例如,函數(shù)系1,cos,sin,cos,sin,xxn xn xllll為-l,l上的正交函數(shù)系。第6頁(yè)/共106頁(yè)一個(gè)函數(shù) 若積分 存在，則稱 平方可積平方可積，記為( ),x2( )baxdx( ) x2( , ).L a b數(shù) 稱為 在 中的范數(shù)范數(shù)。1222| ( )|( )baxxdx( ) x2( ,

5、)L a b一個(gè)正交函數(shù)系 若滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正交系標(biāo)準(zhǔn)正交系。 ,n2|1, (0,1,2, )nn n例如,函數(shù)系1cossincossin,2xxnxnx為 上的標(biāo)準(zhǔn)正交系。, 第7頁(yè)/共106頁(yè)Def 2. 設(shè) 函數(shù)系 在a,b上滿足則稱該函數(shù)系在a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)關(guān)于權(quán)函數(shù) 正交正交。0,( )( ) ( ),0,1,0,bmnamnxxx dxm nmn( ) 0,x n( ) x一個(gè)函數(shù) 若積分 存在，則稱 關(guān)于權(quán)關(guān)于權(quán)函數(shù)平方函數(shù)平方 可積?？煞e。( ),x2( ) ( )baxx dx( ) x( ) 0 x1.2 廣義Fourier級(jí)數(shù)定理定理 1.設(shè) f(x)是以 2

6、l 為周期的函數(shù)，如在-l,l上滿足(1)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)至多有有限個(gè)極值點(diǎn)，第8頁(yè)/共106頁(yè)則在-l,l上 f(x)可以展成傅里葉級(jí)數(shù)01( )cossin,2nnnan xn xf xabll并且當(dāng) x 是 f(x)的連續(xù)(或間斷)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 f(x)(或 )，其中()()2fxfx1( )cos,0,1,2,1( )sin,1,2,lnllnln xaf xdxnlln xbf xdxnll第9頁(yè)/共106頁(yè)特別地，當(dāng) f 是偶函數(shù)時(shí)，01( )cos,2nnan xf xal其中02( )cos,0,1,2,;lnn xaf xdxnll當(dāng) f 是奇函數(shù)時(shí)，1

7、( )sin,nnn xf xbl其中02( )sin,1,2,.lnn xbf xdxnll第10頁(yè)/共106頁(yè)定理定理 2.設(shè) 為定義在a,b上的一個(gè)關(guān)于權(quán)函數(shù) 平方可積的正交函數(shù)系，f(x)是a,b上的給定函數(shù)且 f (x)可表示成如下一致收斂的級(jí)數(shù)形式 n( ) x1( )( ),(4.1)nnnf xCx其中2( )( ) ( ),0,1,2,(4.2)( ) ( )bnanbnaf xxx dxCnxx dx按照(4.2)確定系數(shù)的方法得到的級(jí)數(shù)(4.1)，稱為 f (x) 按關(guān)于權(quán)函數(shù) 正交的函數(shù)系 展開(kāi)的廣義傅里葉級(jí)數(shù)；由(4.2)確定的系數(shù) 成為廣義傅里葉系數(shù)。 ( ) x

8、nnC第11頁(yè)/共106頁(yè)類似，可定義雙變量正交函數(shù)系 將 f(x,y)按 展開(kāi)成廣義傅里葉級(jí)數(shù)( , )mnx y( , )mnx y00( , )( , ),mnmnnmf x yCx y其中2( , )( , ).( , )mnRmnmnRf x yx y dxdyCx y dxdy第12頁(yè)/共106頁(yè)2 施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)問(wèn)題2.1 二階線性齊次常微分方程的求解求解特征值問(wèn)題時(shí)，常遇到二階線性齊次常微分方程的求解問(wèn)題。對(duì)二階常系數(shù)線性齊次常微分方程的求解問(wèn)題。0(4.3)ypyqy可利用特征根法特征根法求解。設(shè)(4.3)對(duì)應(yīng)的特征方程 的兩個(gè)根為20rpr

9、 q 12, .r r根據(jù) 的不同情形，有下面的結(jié)論：12, r r第13頁(yè)/共106頁(yè)當(dāng) 為相等實(shí)根時(shí)，12rrr12( ) () ;rxy xCCx e當(dāng) 為共軛復(fù)根時(shí)，1,2ri 12( )(cossin).xy xeCx Cx對(duì)于二階變系數(shù)歐拉(Euler)方程2120,x ya xya y若令 可將其化為關(guān)于 t 的常系數(shù)方程,tx e2122(1)0.d ydyaa ydtdt再用特征根法求解，最后用 回代，得到關(guān)于 x 的解。lntx當(dāng) 為相異實(shí)根時(shí)，12, r r1212( );rxr xy xCeCe第14頁(yè)/共106頁(yè)2.2 二階線性齊次偏微分方程問(wèn)題的變量分離解通過(guò)變量代

10、換，二階線性常系數(shù)齊次偏微分方程及一維情形下的線性齊次邊界條件總可化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：()0,(4.4) (, )(, )0,xxyyxyxx aaubucudueuku yluy邊界點(diǎn)比如處其中a,b,c,d,e,k,l都是常數(shù)，且a,b不全為零，k,l不全為零。例如,當(dāng) a=-b 時(shí)為雙曲型，a=0 或 b=0 時(shí)為拋物型，a=b 時(shí)為橢圓型；當(dāng) l=0 時(shí)為Dirichlet邊界，k=0 時(shí)為Neumann邊界，k,l 時(shí)為Robin邊界。0第15頁(yè)/共106頁(yè)下面求解其變量分離形式的非零解 u(x,y)=X(x)Y(y).將 u 代入泛定方程，得( ) ( )( ) ( )( ) ( )

11、( ) ( )( ) ( ) 0,aX xY ybX xY ycX xY ydX xY yeX xY y即( )( )( )( ),( )( )aX xcX xbY ydY yeX xY y上式左端僅是 x 的函數(shù)，右端僅是 y 的函數(shù)。欲對(duì)所有變量 x,y 均相等，兩端必為常數(shù)，記作( )( )( )( ),( )( )aX xcX xbY ydY yeX xY y 第16頁(yè)/共106頁(yè)于是( )( )( ) 0( )( ) () ( ) 0aX xcX xX xbY ydY yeY y即化為了兩個(gè)常微分方程。將 u 代入邊界條件，有 ( )( ) ( ) 0,kX alX a Y y欲求非

12、零解 u(x,y)，應(yīng)有 故需( ) 0,Y y ( )( ) 0.kX alX a因此，欲求解偏微分方程問(wèn)題(),只需：先解常微分方程的邊值問(wèn)題( )( )( ) 0( )( )0aX xcX xX xkX xlX x邊界點(diǎn)得到 及其對(duì)應(yīng)的非零X(x);再將 代入( )( )() ( )0,bYydY yeY y結(jié)合其他定解條件求解非零Y(y)。第17頁(yè)/共106頁(yè)2.3 Sturm-Liouville問(wèn)題(1) Sturm-Liouville方程方程在分離變量法中，常遇到下面含參數(shù) 的二階線性齊次常微分方程21232( )( ) ( )0, (4.5)d ydya xa xa xya x

13、bdxdx 其中 乘上適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)后,()可化為1( ) 0.a x ( )( )( )0, (4.6)ddyk xq x yx ya x bdxdx 事實(shí)上，將()式兩端同乘以函數(shù) 有( ),x21232( ) ( )( ) ( )( ) ( )0. (4.7)d ydyx a xx a xx a xydxdx第18頁(yè)/共106頁(yè)()式可寫成22( )( )( )( )0, (4.8)d ydyk xk xq xx ydxdx 比較兩式，可得12( ) ( )( ),( ) ( )( ).x a xk xx a xk x從而21211( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),( )a

14、 xx a xx a xx a xa x即1 210( )( )11( ),( )xxa tdta txea x其中 是a,b中任一點(diǎn)。進(jìn)而0 x第19頁(yè)/共106頁(yè)11221100( )( )( )( )331( )( ), ( )( ) ( ).( )xxxxa ta tdtdta ta ta tk xeq xx a xea t方程()稱為施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)方程，簡(jiǎn)記S-L方程，其中 為實(shí)函數(shù)。( ), ( ), ( )k x q xx( ), ( )q xx注1. 在分量變量法中遇到的常微分方程都是()(或()的特例。例如：當(dāng) 時(shí)，()變?yōu)? ) 1, (

15、) 0, ( ) 1,0,k xq xxab l0, 0.yyx l 為保證解的存在性，假定 連續(xù)，而k(x)連續(xù)可微。 第20頁(yè)/共106頁(yè)20, 0,ddynxyxyx bdxdxx 即222()0, 0.x yxyxn yx b 當(dāng) 時(shí)，()變?yōu)槔兆尩?Legendre)方程2( ) 1, ( ) 0, ( ) 1,0,1k xx q xxab 2(1)0, 01,ddyxyxdxdx 即2(1)20, 01.x yxyyx 當(dāng) 時(shí)，()變?yōu)閚階貝塞爾(Bessel)方程。2( ), ( ), ( ),0nk xx q xxx ax第21頁(yè)/共106頁(yè)(2) 正則與正則與奇異奇異S-L方

16、程()常分為正則和奇異兩種類型。若在a,b上， 則稱()在(a,b)上是正則的；( ) 0, ( ) 0,k xx當(dāng)區(qū)間是無(wú)窮或半無(wú)窮時(shí)，或者當(dāng) k(x)或 在有限區(qū)間a,b的一個(gè)或兩個(gè)端點(diǎn)處為零時(shí)，()稱為在(a,b)上是奇異的。( ) 0 x(3) S-L特征值問(wèn)題根據(jù) k(x)在端點(diǎn) a,b 處的不同取值可給予S-L方程()相應(yīng)的邊界條件。當(dāng) k(a),k(b)0 時(shí)，給予邊界條件例如勒讓德方程在（0,1）上是奇異的。第22頁(yè)/共106頁(yè)1212( )( ) 0,( )( ) 0,k y a y k y al y a y l y a其中 為實(shí)數(shù),且 與 不同時(shí)為零, 與 不同時(shí)為零.12

17、12, , ,k k l l1k2k1l2l如果還有k(a)=k(b),則可給予周期性邊界條件( )( ), ( )( ).y ay b y ay b當(dāng) 時(shí),對(duì)端點(diǎn) a 處給予自然邊界條件(有界性條件)| ( )|.y a ( ) 0, ( ) 0k bk a對(duì)于 的情況，或者k(a)=k(b)=0的情況，可類似地提邊界條件。( ) 0, ( ) 0k ak b第23頁(yè)/共106頁(yè)S-L方程()若帶上上述邊界條件之一，就得到一個(gè)二階線性常微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，稱該問(wèn)題為施圖姆-劉維爾問(wèn)題，簡(jiǎn)稱為S-L問(wèn)題。 一定是它的解(平凡解)?，F(xiàn)在要問(wèn)：是否存在參數(shù) 的一些值，使得該問(wèn)題有非零解？0y這

18、樣的一類問(wèn)題稱為特征值問(wèn)題(或固有值問(wèn)題)，而使得S-L問(wèn)題有非零解的參數(shù) 的值稱為此問(wèn)題的特征值(或固有值)，相應(yīng)的非零解 y(x)稱為是與特征值 相對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)(或固有函數(shù))。第24頁(yè)/共106頁(yè)例1. 求解特征值問(wèn)題( )( ) 0, 0(0). 0,(yyyyx llxx 解. 對(duì) 取值的三種情形加以討論。(1)當(dāng) 時(shí)，方程的通解是20,012( ).xxy xCeCe由邊界條件得1212(0)0, ( )0,llyCCy lCeCe由此解得 120.CC從而 不符合非零解的要求。因此 不能小于零。( ) 0,y x (2)當(dāng) 時(shí)，方程的通解是012( ).y xCx C第25頁(yè)/共

19、106頁(yè)由邊界條件得112(0)0, ( )0,yCy lCl C由此解得120,CC從而 同樣，它也不是所需要的解。( ) 0,y x (3)當(dāng) 時(shí)，方程的通解是20,0 12( )cossin.y xCx Cx為求非零解，設(shè) 故20,C sin0.l從而,1,2, .nnln因此所求的特征值為 22,1,2, .nnnln 對(duì)應(yīng)于 的特征函數(shù)為( )sin,1,2, .n xnnly xAnn其中 為任意非零常數(shù)。nA第26頁(yè)/共106頁(yè)注2. 本例中， 且120,n().nn例2. 求解特征值問(wèn)題( )( ) 0, 0,(0)( ) 0.y xy xx lyy l解. 對(duì) 取值的三種情形

20、加以討論。(1)當(dāng) 時(shí)，方程的通解滿足20,012( ).xxy xC eC e由邊界條件得1212(0) ()0, ( ) ()0,llyCCy lCeCe由此解得 從而 不符合非零解的要求。120.CC( ) 0,y x 第27頁(yè)/共106頁(yè)(2)當(dāng) 時(shí)，方程的通解滿足01( ).y xC由邊界條件得 從而可得非零常數(shù)解( ) 0,y x00( )0.y xA(3)當(dāng) 時(shí)，方程的通解滿足20,0 12( )sincos.y xCx Cx由邊界條件，得212(0)0,( )sincos0.yCy lCl Cl故 且 20C 1sin0.Cl為求非零解，設(shè) 故 從而10,C sin0.l,1,

21、2, .nnln因此，綜合情況(2)和(3)，所求的特征值為 22,0,1,2, .nnnln 第28頁(yè)/共106頁(yè)對(duì)應(yīng)于 的特征函數(shù)為( )cos,0,1,2, .n xnnly xBnn其中 為任意非零常數(shù)。nB注3. 本例中， 且0120,n().nn例3. 求解特征值問(wèn)題(0) 0, ( )( ) 0( )( ) 0, 0,.y xy xxyy lhyll 解. 易知,當(dāng) 時(shí),沒(méi)有非零解.0當(dāng) 時(shí)，方程的通解為2,0 12( )cossin.y xCx Cx第29頁(yè)/共106頁(yè)由邊界條件得120,( cossin) 0.CCl hl為求非零解，設(shè) 故20,C cossin0.l hl記

22、 則上式為 其中, ltan,k1.hlk 此方程的根(取正根)是正切曲線 與直線 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，有無(wú)窮多個(gè)，依次設(shè)為1tany2yk120,n其中1122()() ,1,2, .nnnn 對(duì)應(yīng)于 的特征函數(shù)為( )sin,1,2, .nnny xCxnln其中 為任意非零常數(shù)。nC第30頁(yè)/共106頁(yè)例4. 求解特征值問(wèn)題( )( )() 0, 02 , 02 .2 )yy xxxxxyy x 解. 易知,當(dāng) 時(shí),沒(méi)有非零解.當(dāng) 時(shí)，有非零常數(shù)解000( )0.y xA0當(dāng) 時(shí)，方程的通解為12( )cossin.y xCx Cx2,0 由周期性邊界條件，得(1,2, )n n所以特征值和

23、對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為2,( )cossin,0,1,2, .nnnnn y xAnx Bnx n第31頁(yè)/共106頁(yè)例5. 求解特征值問(wèn)題2220, 1,(1)( ) 0.d ydyxxyx edxdxyy e 解. 這是歐拉方程，可通過(guò)變換 來(lái)求解。tx e220.d yydt易知,當(dāng) 時(shí),沒(méi)有非零解.0當(dāng) 時(shí)，方程的通解為12( )cos( ln )sin( ln ).y xCxCx2,0 原方程可化為: 由 y(1)=0，得 由 y(e)=0，得10.C 2sin0.C所以特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為2() ,( )sin(ln ),1,2, .nnnny xAnxx n第32頁(yè)/共106頁(yè)關(guān)于

24、特征值和特征函數(shù)，有一些基本結(jié)論，是分離變量法能夠進(jìn)行的關(guān)鍵所在。定理2. 設(shè)S-L問(wèn)題中對(duì)應(yīng)于不同特征值 和 的特征函數(shù) 和 在a,b上連續(xù)可微，則 和 在a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù) 正交。mn( )my x( )ny x( )my x( )ny x( ) x推論1. 區(qū)間a,b上的周期S-L問(wèn)題，屬于不同特征值的特征函數(shù)在a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù) 正交。( ) x定理3. 若 則S-L問(wèn)題的所有特征值都是實(shí)的，且相應(yīng)的特征函數(shù)也可以取成實(shí)的。( ) 0,( , ),xxab定理4. 正則但非周期的S-L問(wèn)題的所有特征值都是單重的，即在允許相差一個(gè)常數(shù)因子的定義下是唯一的。第33頁(yè)/共106頁(yè)定理5. 若

25、 則S-L問(wèn)題存在可列無(wú)窮多個(gè)實(shí)的特征值，按大小排列為其中 且 對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)恰好有n個(gè)零點(diǎn)。特征函數(shù)的全體 構(gòu)成一個(gè)完備正交系。( ) 0,( , ),xxab012,n(),nn(0,1,2, )nn( )ny x ( )ny x進(jìn)一步地，若函數(shù) f (x) 在a,b上滿足狄利克雷條件和S-L問(wèn)題的邊界條件，則 f (x) 可按特征函數(shù)系 展開(kāi)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)，即 ( )ny x0( )( ), (4.9)n nnf xC y x第34頁(yè)/共106頁(yè)其中2( ) ( ) ( ), 0,1,2, . (4.10)( ) ( )bnanbnaf x y xxdxCny xxd

26、x且等式在積分平均 2lim ( )( )( )0bnanf xS xxdx0( )( ),0,1,2, .nnkkkS xC y x n如果 f (x) 在a,b上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則級(jí)數(shù)(4.9)a,b上絕對(duì)且一致收斂于 f (x)。的意義下成立，其中 第35頁(yè)/共106頁(yè)3 齊次方程和齊次邊界條件的定解問(wèn)題3.1 波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題(1) 兩端固定的有界弦的自由振動(dòng)例1. 考慮長(zhǎng)為 l 的兩端固定的弦，由初始位移問(wèn)題 和初始速度 引起的振動(dòng)問(wèn)題2, 0,0,( ,0)( ), ( ,0)( ),0, (1)(0, )(, ) 0,0.ttxxtuaux l tu xx

27、 u xxx lutu l tt ( ) x( ) x分析：此定解問(wèn)題中泛定方程和邊界條件都是線性和齊次的，可利用疊加原理。第36頁(yè)/共106頁(yè)思路：分離變量法求解：通過(guò)初值問(wèn)題找出奇次方程的無(wú)窮多個(gè)變量分離形式的特解，并做這些特解的疊加(線性組合)，再利用初始條件確定疊加系數(shù)，得到原問(wèn)題的解。解：Step 1. 分離變量設(shè)定解問(wèn)題有非零的變量分離形式的解 u(x,t)=X(x)T(t)，將其代入泛定方程得2( ) ( )( ) ( )X xT ta X xT t或2( )( ).( )( )T tX xaT tX x上式左端僅是 t 的函數(shù)，右端僅是 x 的函數(shù)，要使等號(hào)對(duì)所有0 x0成立，

28、兩端必為常數(shù)，記作2( )( ).( )( )T tX xaT tX x第37頁(yè)/共106頁(yè)于是2( )( ) 0,0,T taT tt( )( ) 0,0.X xX xx l 因T(t)不恒為零，利用邊界條件(0, )(0) ( ) 0, (, )( ) ( ) 0,utXT tu l tX l T t可得(0)( ) 0.XX lStep 2. 解特征值問(wèn)題求解特征值問(wèn)題( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx llxx 由前節(jié)可知，該問(wèn)題的特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為20,( )sin,1,2, .nnnnn xX xCnll第38頁(yè)/共106頁(yè)Step 3. 求解其它常微分方程，得

29、特解( , )nu x t對(duì)于每一個(gè) 代入與 T 相關(guān)的另一個(gè)常微分方程中：,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn其通解為( )cossinnnnnnT tAat Batcossin,1,2,nnn atn atABnll其中 都是任意常數(shù)。,nnA B于是得到滿足定解問(wèn)題中的泛定方程和邊界條件的變量分離特解( , )( ) ( )nnnu x tX xT tsincossinnnnn xn atn atCABlllcossinsin,1,2,nnn atn atn xabnlll第39頁(yè)/共106頁(yè)其中 為任意常數(shù)。,nnnnnnaAC bBC這表明特解有無(wú)窮多個(gè)，但一般來(lái)說(shuō)，

30、其中的任意一個(gè)并不一定能滿足定解問(wèn)題中的初始條件。因?yàn)楫?dāng)t =0時(shí)，0( ,0)sin,sinnnnntun xn an xu xabltll當(dāng)固定函數(shù)，而初值 和 是任意函數(shù)。因此這些特解中的任意一個(gè)，一般還不是問(wèn)題的解。( ) x( ) xStep 4. 特解 的疊加( , )nu x t由于泛定方程和邊界條件都是線性齊次的，可利用疊加原理將諸 疊加起來(lái)，得到的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)( , )nu x t第40頁(yè)/共106頁(yè)11( , )( , )cossinsin(2)nnnnnn atn atn xu x tu x tablll亦滿足泛定方程和邊界條件，只要該級(jí)數(shù)收斂且對(duì) x,t 均二次逐項(xiàng)可微。

31、Step 5. 系數(shù) 的確定,nna b由初始條件得11( )( ,0)sin( )( ,0)sinnntnnn xxu xaln an xxu xbll這表明 分別是函數(shù) 在0,l上關(guān)于特征函數(shù)系 展開(kāi)的系數(shù)(本例恰好是Fourier正弦級(jí)數(shù)的系數(shù))。,nnn aa bl( ), ( )xxsinn xl第41頁(yè)/共106頁(yè)用 分別乘以上兩式，再對(duì)x在0,l上積分，并利用 在0,l上的正交性sinn xlsinn xl020,sinsin,lln kn xk xdxn kll可得002( )sin,1,2, . (3)2( )sin,lnlnn xaxdxllnn xbxdxn al這樣，該

32、定解問(wèn)題的解形式上由級(jí)數(shù)(2)給出，其系數(shù) 由上式(3)所確定。,nna b第42頁(yè)/共106頁(yè)Step 6. 解的存在唯一性以上由分離變量法和疊加原理得到的定解問(wèn)題(1)的級(jí)數(shù)解(2)僅是一個(gè)形式解，因用(2)中級(jí)數(shù)表示的u(x,t)要有意義，必須(2)中的級(jí)數(shù)收斂且關(guān)于 x,t 均二次可微。如果對(duì)初值函數(shù) 和 加上適當(dāng)?shù)墓饣詶l件，可以證明這個(gè)形式的解的確是一個(gè)古典解：( ) x( ) x定理2.(古典解存在定理)若函數(shù)且滿足相容性條件： 則定解問(wèn)題(1)存在古典解，且可由級(jí)數(shù)(2)給出，其中系數(shù)由(3)確定。32( )0, , ( )0, xClxCl(0)( )(0)( )(0)( )

33、 0,lll第43頁(yè)/共106頁(yè)定理3.(唯一性定理)若u(x,t)是問(wèn)題(1)的古典解，則它是唯一的。注1. 下面用分離變量法求解各種定解問(wèn)題時(shí)，除非特別說(shuō)明，一般是求形式解，不再列出古典解存在的有關(guān)條件。例2. 求定解問(wèn)題2, 0,0,( ,0) sin, ( ,0) 0,0,(0, )(, ) 0,0.ttxxtua ux l txu xu xx llutu l tt 解：這個(gè)問(wèn)題的級(jí)數(shù)解形式已由(2)給出1( , )cossinsin,nnnn atn atn xu x tablll第44頁(yè)/共106頁(yè)01,1,2sinsin0.0,1,lnnnxn xadxbnlll所以 與上一章行

34、波法得到的結(jié)果一致。( , ) cossin,atxu xtll(2) 兩端自由的有界桿的自由縱振動(dòng)例3. 考慮長(zhǎng)為l 的兩端自由的均勻細(xì)桿，由初始位移 和初始速度 引起的自由縱振動(dòng)問(wèn)題2, 0,0,( ,0)( ), ( ,0)( ),0,(0, )(, ) 0,0.ttxxtxxuaux l tu xx u xxx lutu l tt 解：與例1不同的是，這里的邊界條件是第二類的。( ) x( ) x第45頁(yè)/共106頁(yè)令u(x,t)=X(x)T(t)，代入泛定方程得2( )( ).( )( )T tX xaT tX x上式左端僅是t的函數(shù)，右端僅是 x 的函數(shù)，要使等號(hào)對(duì)所有0 x0成立

35、，兩端必為常數(shù)，記作2( )( ).( )( )T tX xaT tX x于是2( )( ) 0,0,T taT tt( )( ) 0,0.X xX xx l 結(jié)合邊界條件,得特征值問(wèn)題( )( ) 0, 0,(0)( ) 0.X xX xx lXX l第46頁(yè)/共106頁(yè)其特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為20,( )cos,0,1,2, .nnnnn xX xAnll對(duì)于每一個(gè) 求解,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn其通解為00, 0,( )cossin,1,2,nnnCDtnT tn atn atCDnll( ):nT T t其中 都是任意常數(shù)。,(0,1,2, )nnC D n

36、因此得到滿足定解問(wèn)題中的泛定方程和邊界條件的變量分離形式的特解第47頁(yè)/共106頁(yè)( , )( ) ( )nnnu x tX xT t000() , 0,cossincos,1,2,nnnCDt Ann atn atn xCDAnlll利用疊加原理，設(shè)所求的形式解為001( , )cossincosnnnn atn atn xu x tabtablll其中系數(shù)由初始條件確定，即0101( )( ,0)cos( )( ,0)cosnntnnn xxu xaaln an xxu xbbll第48頁(yè)/共106頁(yè)從而得00000012( ) ,( )cos,1,2, .12( ) ,( )cos,ll

37、nllnn xaxdxaxdxlllnn xbxdxbxdxln al(3) 邊界固定的矩形膜的自由振動(dòng)*例4. 考慮長(zhǎng)為a,寬為b的邊界固定的的矩形膜，由初始位移 和初始速度 引起的自由縱振動(dòng)問(wèn)題2(), 0,0,0,( , ,0)( , ), ( , ,0)( , ),0,0,(0, , )( , , ) 0, 0,0,( ,0, )( , , ) 0, 0,0.ttxxyytuc uux ay btu x yx y u x yx yx ay buy tu a y ty btu xtu x btx at ( , )x y( , )x y第49頁(yè)/共106頁(yè)解：使用兩次分離變量法。令u(x,

38、y,t)=U(x,y)T(t),代入泛定方程，得2( ),( )( , )T tUcT tU x y其中 為分離常數(shù)， 于是,xxyyU UU 2( )( ) 0,0, (4)T tcT tt( , ) 0,0,0. (5)UU x yx ay b 在設(shè)U(x,y)=X(x)Y(y),代入(5),得(0, , )(0) ( ) ( ) 0, ( , , )( ) ( ) ( ) 0,uy tXY yT tu a y tX aY yT t結(jié)合邊界條件,( )( ).( )( )X xY yX xY y 第50頁(yè)/共106頁(yè)( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 得特征值問(wèn)題其

39、特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為20,( )sin,1,2, .mmmmm xX xAmaa類似地，得特征值問(wèn)題( )( ) 0, 0(0). 0,(YYYYy bbyy 其特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為20,( )sin,1,2, .nnnnn yY yBnbb第51頁(yè)/共106頁(yè)從而，得到滿足(5)及齊次邊界條件的解( , )( ) ( )sinsin.mnmnmnm xn yUx yX xY yA Bab以 代入(4)(記 )，求解,mn mnmn( ):mnT Tt222222( )( ) 0, ,1,2,mnmnmnT tcT tmnab其通解為22222222( )cossin,mnmnmnmn

40、mnTtCctDctabab其中 都是任意常數(shù)。,( ,0,1,2, )mnmnCD mn因此( , , )( ) ( )( )mnmnmnux y tX xY yT t第52頁(yè)/共106頁(yè)22222222sinsincossinmnmnmnm xn ymnmnA BCctDctababab滿足初值問(wèn)題的泛定方程和邊界條件。利用疊加原理，設(shè)所求的形式解為2222222211( , , )cossinsinsin,mnmnnmmnmnm xn yu x y tactbctababab其中系數(shù)由初始條件確定，即11222211( , )( , ,0)sinsin,( , )( , ,0)sinsi

41、n,mnnmtmnnmm xn yx yu x yaabmnm xn yx yu x ybcabab第53頁(yè)/共106頁(yè)從而得002200224( , )sinsin,4( , )sinsin,abmnabmnm xn yax ydxdyababm xn ybx ydxdyabmnabcab (4) 邊界固定的立方體中波的傳播問(wèn)題*例5. 考慮三維波動(dòng)問(wèn)題2(), 0,0,0,0,( , , ,0)( , , ), ( , , ,0)( , , ),0,0,0,(0, , , )( , , , ) 0, 0,0,0,( ,0, , )( , , , ) 0, 0,0,0,( , ,0, )(

42、, , ,ttxxyyzztuc uuux ay bz d tu x y zx y z u x y zx y zx ay bz duy z tu a y z ty bz d tu xz tu x b z tx az d tu x ytu x y d ) 0, 0,0,0.tx ay bt 第54頁(yè)/共106頁(yè)解. 類似地，可求得形式解111( , , , )cossinsinsinsin,lmnlmnlmnl xm yn zu x y z tact bctabd其中 系數(shù)0000008( , , )sinsinsin,8( , , )sinsinsin.abdlmnabdlmnl xm yn

43、zax y zdxdydzabdabdl xm yn zbx y zdxdydzabdabd 2222222,lmnabd第55頁(yè)/共106頁(yè)3.2 熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題(1) 一維情形例6. 考慮長(zhǎng)為l 的均勻細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題2, 0,0,( ,0)( ),0,(6)(0, ) 0, (, )(, ) 0,0.txxxuaux l tu xxx lutu l thu l tt 解. 這是一個(gè)熱傳導(dǎo)方程的第三初邊值問(wèn)題。設(shè)u(x,t)=X(x)T(t),代入泛定方程，得2( )( ).( )( )T tX xaT tX x第56頁(yè)/共106頁(yè)于是2( )( ) 0,0, (7)T taT t

44、t( )( ) 0,0.X xX xx l 結(jié)合邊界條件,得特征值問(wèn)題(0)( )( )( ) 00, 0,.XX lhX lX xX xx l其特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為20,( )sin,1,2, .nnnnnX xBx nll其中 是方程 的第n個(gè)正根。ntanhl由定理可知，特征函數(shù)系 是正交的。sinnxl對(duì)于每一個(gè) 求解,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn( ):nT T t第57頁(yè)/共106頁(yè)其通解為2( ),1,2,na tnnT tAen因此 滿足(6)中的泛定方程和邊界條件。2( , )( ) ( )sin,1,2,na tnnnnnnu x tX xT tA

45、Bex nl利用疊加原理，設(shè)所求的形式解為211( , )( , )sin,na tnnnnnu x tu x tCexl其中系數(shù)由初始條件確定，即1( )( ,0)sin,nnnxu xCxl用 乘以上式兩端并利用正交性，得sinnxl020( )sin.sinlnnlnxxdxlCxdxl第58頁(yè)/共106頁(yè)(2) 二維情形例7.考慮長(zhǎng)為a,寬為b,邊界恒為零度的矩形板中的熱傳導(dǎo)問(wèn)題2(), 0,0,0,( , ,0)( , ),0,0,(0, , ) 0, ( , , ) 0, 0,0( ,0, ) 0, ( , , ) 0, 0,0.txxyyuc uux ay btu x yx yx

46、 ay buy tu a y ty btu xtu x btx at 解. 設(shè)u(x,y,t)=U(x,y)T(t),代入泛定方程，得2( ).( )( , )T tUcT tU x y于是2( )( )0,0, (8)T tc T tt( , ) 0,0,0. (9)UU x yx ay b 第59頁(yè)/共106頁(yè)同例4的求解，得到滿足(9)及齊次邊界條件的解( , )( ) ( )sinsin, ,1,2,mnmnm nm xn yUx yX xY yA Bmnab及其所對(duì)應(yīng)的22222,1,2, .mnmnmnab以 代入(8),得其通解為2( ),1,2, .mnc tmnmnTtC e

47、mn因此2( , , )( ) ( )( )sinsinmnc tmnmnmnmnmnm xn yux y tX xY yT tA BC eabmn滿足泛定方程和邊界條件(m,n=1,2,).第60頁(yè)/共106頁(yè)利用疊加原理，設(shè)所求的形式解為11( , , )( , , )mnnmu x y tux y t其中系數(shù)由初始條件確定，即11( , )( , ,0)sinsin,mnnmm xn yx yu x yaab22222211sinsin,mnc tabmnmnm xn ya eab從而得004( , )sinsin.abmnm xn yax ydxdyabab 第61頁(yè)/共106頁(yè)例8.

48、考慮定解問(wèn)題2(), 0,0,0,( , ,0)( , ),0,0,(0, , ) 0, ( , , ) 0, 0,0( ,0, ) 0, ( , , ) 0, 0,0.txxyyxxuc uux ay btu x yx yx ay buy tu a y ty btu xtu x btx at 解. 類似于例3和例7的求解，可得形式解其中22222201( , , )cossin,mnc tabmnmnm xn yu x y ta eab00002( , )sin,0,1,2,4( , )cossin, ,1,2,abmnabn yx ydxdymnabbam xn yx ydxdy mnab

49、ab 第62頁(yè)/共106頁(yè)例9. 考慮定解問(wèn)題2(), 0,0,0,0,( , , ,0)( , , ), ( , , ,0)( , , ),0,0,0,(0, , , )( , , , ) 0, 0,0,0,( ,0, , )( , , , ) 0, 0,0,0,( , ,0, )( , , ,txxyyzztuc uuux ay bz d tu x y zx y z u x y zx y zx ay bz duy z tu a y z ty bz d tu xz tu x b z tx az d tu x ytu x y d t ) 0, 0,0,0.x ay bt (3) 三維情形*解.

50、 類似于例5和例7的求解，可得形式解2222222111( , , , )sinsinsin,lmnctabdlmnlmnl xm yn zu x y z ta eabd0008( , , )sinsinsin.abdlmnl xm yn zax y zdxdydzabdabd 其中第63頁(yè)/共106頁(yè)3.3 Laplace方程邊值問(wèn)題(1) 矩形域的Dirichlet問(wèn)題*例1. 考慮長(zhǎng)為a,寬為b的矩形平板上的溫度分布的平衡狀態(tài)問(wèn)題0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyu uux ay bu xf x u x bg xx auyu

51、a yy b 解. 設(shè)u(x,y)=X(x)Y(y),代入泛定方程，得( )( ).( )( )X xY xX xY x其中f(x)是已知的連續(xù)函數(shù)且滿足相容性條件f(0)=f(a)=0.第64頁(yè)/共106頁(yè)于是( )( ) 0,0,X xX xx a ( )( ) 0,0.Y yY yy b 結(jié)合邊界條件u(0,y)=X(0)Y(y)=0及u(a,y)=X(a)Y(y)=0,得特征值問(wèn)題( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 其特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為2,( )sin,1,2, .nnnnn xX xCnaa方程 的通解為( )( ) 0nY yY y( ),1,2,n

52、yn yaannnY yAeBen第65頁(yè)/共106頁(yè)因此( , )( ) ( )sin,1,2,n yn yaannnnnnn xu x yX xY yAeBeCna滿足泛定方程和邊界條件.利用疊加原理，設(shè)所求的形式解為其中系數(shù)由初始條件確定，即11( )( ,0)()sin,( )( , )()sin,nnnn bn baannnn xf xu xaban xg xu x baebea1( , )sin,n yn yaannnn xu x yaebea第66頁(yè)/共106頁(yè)所以,.n bn baannnnnnn bn bn bn baaaagf ef egabeeee002( )sin:,2

53、( )sin:,annnn bn baaannnn xabf xdxfaan xaebeg xdxgaa解得從而()()1( , )sin,n b yny bn yn yaaaannn bn bnaaeefeegn xu x yaee第67頁(yè)/共106頁(yè)001()2( )sin( )sinsin.ssaann b yn yshshn xn xn xaaf xdxg xdxn bn baaaahhaa注1. 對(duì)于矩形域的一般Dirichlet問(wèn)題0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( ), ( , )( ),0,xxyyu uux ay bu xf x u x bg

54、 xx auyh x u a yk xy b 可利用疊加原理，將其分解為兩個(gè)類似于例1的定解問(wèn)題(即每個(gè)定解問(wèn)題僅有一個(gè)非齊次邊界條件)分別用類似于例1的方法再將兩個(gè)解疊加起來(lái)即可得原定解問(wèn)題的解。第68頁(yè)/共106頁(yè)(2) 矩形域的Neumann問(wèn)題例2. 考慮長(zhǎng)為a,寬為b的矩形平板的Neumenn問(wèn)題0, 0,0,( ,0)( ),( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyyyxxu uux ay bu xf x u x bg xx auyu a yy b 解. 設(shè)u(x,y)=X(x)Y(y),代入泛定方程，得其中f(x),g(x)是已知的連續(xù)函數(shù)且滿足相容性條件0

55、 ( )( )0.af xg x dx( )( ) 0,0,X xX xx a ( )( ) 0,0.Y yY yy b 第69頁(yè)/共106頁(yè)結(jié)合邊界條件得特征值問(wèn)題( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 其特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為2,( )cos,0,1,2, .nnnnn xX xCnaa方程 的通解為( )( ) 0nY yY y00, 0,( ),1,2, .n yn ynaannAB ynY yAeBen因此000(), 0,( , )( ) ( )cos,1,2,n yn ynnnaannnC AB ynu x yX xY yn xAeBeCna 滿足泛定方程和

56、邊界條件。第70頁(yè)/共106頁(yè)利用疊加原理，設(shè)所求的形式解為其中系數(shù)由初始條件確定，即0101( )( ,0)()cos,( )( , )()cos,ynnnn bn baaynnnnn xf xu xbabaann xg xu x bbaebeaa001( , )cos,n yn yaannnn xu x yab yaebea所以00001( ) ,1( ) ,aabf x dxabg x dxa002()( )cos,2( )cos,annn bn baaannnn xabf xdxaaann xaebeg xdxaaa第71頁(yè)/共106頁(yè)解得由此可得 即Neumann問(wèn)題的解存在的必要條

57、件(相容性條件)成立。0 ( )( )0,af xg x dx002( )cos:,2( )cos:,annnn bn baaannnn xabf xdxfnan xaebeg xdxgna由,.n bn baannnnnnn bn bn bn baaaagf ef egabeeee從而第72頁(yè)/共106頁(yè)00001( )()2( )cos( )coscos,ssaaanyaf x dxan yn b ychchn xn xn xaag xdxf xdxn bn baaan hn haa0011( , )( ) cos,an yn bn yn baaaannnnn bn bnaau x yaf

58、 x dx yaegf eegf en xaee其中 為任意常數(shù)(即定解問(wèn)題的解相差一個(gè)常數(shù))。0a第73頁(yè)/共106頁(yè)注2. 一般地，Laplace方程的Neumann內(nèi)問(wèn)題0,.uinuf onn 有解的必要條件是0.f ds事實(shí)上，由Gauss公式，有0.uudxdsf dsn注3. 類似地，可求解問(wèn)題0, 0,0,( ,0) 0,( , ) 0,0,(0, )( ), ( , )( ),0,xxyyyyxxu uux ay bu xu x bx auyh x u a yk xy b 其中h(x),k(x)是已知的連續(xù)函數(shù)且滿足相容性條件0 ( )( )0.ah xk x dx第74頁(yè)/

59、共106頁(yè)(3) 矩形域的Dirichlet-Neumann混合問(wèn)題例3. 求解Dirichlet-Neumenn混合邊值問(wèn)題0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyxxu uux ay bu xf x u x bg xx auyu a yy b 解. 求解過(guò)程的前面部分同例2，可設(shè)形式解為其中f(x),g(x)是已知的連續(xù)函數(shù)。001( , )cos,n yn yaannnn xu x yab yaebea其中系數(shù)由初始條件確定，即第75頁(yè)/共106頁(yè)01001( )( ,0)()cos,( )( , )()cos.nnnn bn ba

60、annnn xf xu xaaban xg xu x babbaebea所以00000001( ) ,1( ) ,2( )cos:,2( )cos:.aaannnn bn baaannnaf xdxaabbg xdxan xabf xdxfaan xaebeg xdxgaa第76頁(yè)/共106頁(yè)解得 000011( ) , ( )( ) ,.aan bn baannnnnnn bn bn bn baaaaaf xdxbg xf x dxaabgf ef egabeeee從而0011( , )( ) ( )( ) cosaan yn bn yn baaaannnnn bn bnaayu x yf