應(yīng)用隨機(jī)過程(第三章)

1、第三章 Poisson過程3.1 Poisson過程 定義3.1.1 隨機(jī)過程 稱為計數(shù)過程，如果 表示從0到t時刻某一特定事件A發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個特點：（1） 且取值為整數(shù)；（2） 時， 且 表示 時間內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)。 0, ttNts 0tN tN tNsN sNtNts,定義. 計數(shù)過程稱為參數(shù)為的Poisson過程，如果：（1） ；（2）過程有獨立增量；（3）在任一長度為t的時間區(qū)間中事件發(fā)生的次數(shù)服從均值為t的Poisson分布，即對一切 ，有： 0, ttN 00 N0, 0ts , 2 , 1 , 0,!nensNstNPntnPoisson的特性平穩(wěn)增量性。由 ，知

2、是單位時間內(nèi)發(fā)和事件的平均次數(shù)。稱為Poisson近程的強(qiáng)度或速率。例3.1.1 售票處乘客以10人小時的平均速率到達(dá)，則9：00 10：00最多有5名乘客的概率？10：00 11：00沒有人的概率？ ttNE例3.1.2 保險公司接到的索賠次數(shù) 設(shè)保險公司每次的賠付都是1，每月平均接到的索賠要求是4次，則一年中它要付出的金額平均是多少？ !124124012nnenNNP 48124012 NNEPoisson過程的等價定義 設(shè) 是一個計數(shù)過程，它滿足：(1) N(0)=0；(2) 過程有平穩(wěn)獨立增量；(3) 存在0，當(dāng)h0時有：(4) 當(dāng)h0時有： 0, ttN hohtNhtNP1 ho

3、tNhtNP2定理3.1.1 滿足上述條件(1) (4) 的計數(shù)過程 是Poisson過程。 反過來Poisson過程一定滿足這四個條件。 0, ttN例3.1.3 事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為的poisson過 程 ，如果每次事件發(fā)生時以概率p能夠被記錄下來，并以M（t）表示到時刻t被記錄下來的事件總數(shù)，則 是一個強(qiáng)度為p的Poisson過程。 0, ttN 0, ttM mntNPmntNmtMPmtMPn00!1ntnmtnmmnmeppCnm0!1nnmtppttnme!0!1!mptptnntpmptteenm例3.1.4 設(shè)每條蠶產(chǎn)卵數(shù)服從poisson分布，強(qiáng)度為，而每個卵變成成蟲的概

4、率為p，且每個卵是否變成成蟲彼此間沒有關(guān)系，求在時間0，t內(nèi)每條蠶養(yǎng)活k條小蠶的概率。ptkptek!例3.1.5 天空中的星體數(shù)服從Poisson分布，其參數(shù)為V，V為被觀測區(qū)域的體積。若每個星球上有生命存在的概率為p，則在體積為V的宇宙空間中有生命存在的星球數(shù)服從強(qiáng)度為pV的Poisson 分布。與Poisson過程相聯(lián)系 若干分布0123 tN0T1T2T3Tt1X2X3X與 的分布 表示第n次事件發(fā)生的時間； 規(guī)定 ， 表示第n次與第n-1次事件發(fā)生的時間間隔， 定理3.2.1 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且相互獨立。 nT, 2 , 1n00TnX, 2 , 1nnXnT, 2 , 1nX

5、n 01tNtX tetNPtXP01tetXP11 sXsNtsNPsXtXP1120 0sNtsNPte定理3.2.1 服從參數(shù)為n和的分布。證明： , 2 , 1nTnniinXT1Xi獨立且服從相同的指數(shù)分布指數(shù)分布分n=1的分布，且具有可加性。定理得證。證明2 tTntNn ntNPtTPnnjjttje!對上式兩端對t求導(dǎo)，可得Tn 的密度函數(shù)為： !1!1jtnjtnjjttnjjeetf!11nttne tnnetn1定義3.2.1 計數(shù)過程 是參數(shù)為的Poisson過程，如果每次事件發(fā)生的時間間隔X1，X2， ， 相互獨立，且服從同一參數(shù)為的指數(shù)分布。 0, ttN例3.2.

6、1 設(shè)從早上8：00開始有無窮人排隊，只有一名服務(wù)員，且每人接受服務(wù)的時間是獨立的并服從均值為20min的指數(shù)分布，則到中午12:00為止平均有多少人已經(jīng)離去？已有9人接受服務(wù)的概率是多少？ 過程的是強(qiáng)度為PoissontN3 12!1204enNNPnn 12!9129904eNNP例3.2.2 假定某天文臺觀測到的流星流是一個Poisson過程，以往資料統(tǒng)計，平均每小時觀察到3顆流星，試求上午8：00 12：00期間，該天文臺沒有觀測到流星的概率？ 過程的是強(qiáng)度為PoissontN3 4304PNN 1212!0120004eeNNP事件發(fā)生時刻的條件分布 11tNsTP考慮n=1的情形，

7、對于st有： 11;1tNPtNsTP 1A,(AtNPtssP沒有發(fā)生內(nèi)之前，發(fā)生在時刻 101tNPsNtNPSNPtststeesets定理3.2.3 在已知N(t)=n的條件下，事件發(fā)生的n 個時刻T1，T2，,Tn的聯(lián)合密度函數(shù)為nntnttttttfn21!210,例3.2.3 乘客按強(qiáng)度為的Poisson過程來火車站，火車在t 時刻啟程，計算(0，t內(nèi)到達(dá)的乘客等車時間總和的數(shù)學(xué)期望。 解：即要求計算 其中Ti是第i個乘客的到達(dá)時間。 tNiiTtE1 由于N(t)為一隨機(jī)變量，取條件期望 tNiintNTtE1 niintNTtE1 221ntntntntNTEntnii 21

8、1ntUEntNTEniinii tNiiTtE1 tNiitNTtEE1 02nntNPnt 02nntNPnt 222ttNEt例3.2.4 事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為的poisson過 程 ，如果每次事件發(fā)生時以概率p能夠被記錄下來，并以M（t）表示到時刻t被記錄下來的事件總數(shù)，則 是一個強(qiáng)度為p的Poisson過程。現(xiàn)在設(shè)A在時刻s時，被記錄到的概率為p(s) 那么 還是Poisson過程嗎？ 0, ttN 0, ttM 0, ttM M(t) 已不是一個Poisson過程，它仍具有獨立增量性，不在具有平穩(wěn)增量性。 mtMP kmtNPkmtNmtMPk0 kmtNmtMPkmppmkm1

9、內(nèi)發(fā)生且被記錄事件在, 0tPp dssPt0時刻發(fā)生且被記錄事件在 ttdssPtdssPt0011 kmtNPkmtNmtMPk0tkmkmkekmtppmkm!10tkmkmkekmtppkmkm!1!0kkktmtkpempt!1!0ptmemtp!Poisson過程的推廣非齊Poisson過程定義3.3.1 計數(shù)過程 稱作強(qiáng)度函數(shù)為 的非齊Poisson過程，如果：(1)(2) 具有獨立增量 0, ttN 00tt 00 N 0, ttN(3)(4) hotNhtNP2 hohttNhtNP1定義3.3.2 計數(shù)過程 稱為強(qiáng)度函數(shù)為 的非齊次Poisson過程，若： （1） （2）

10、具有獨立增量； 0, ttN 0, 0tt 00 N 0, ttN（3）對任意實數(shù)為具有參數(shù)的Poisson分布。稱為非齊Poisson過程的均值函數(shù)（累積強(qiáng)度函數(shù)） tNstNst, 0, 0 duutmstmstt tduutm0定理3.3.1 設(shè) 為強(qiáng)度函數(shù)為 的非齊次Poisson過程，對任意 令：則 是一個強(qiáng)度為1的Poisson過程。 0, ttN t0t tmNtN1 tN例3.3.1 設(shè)某設(shè)備的使用年限為10年，在前5年內(nèi)它平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年維修一次。試求它在使用期內(nèi)只維修過1次的概率？ 解： 10550215 . 21ttt 100501055 . 45

11、 . 04 . 010dtdtduum 100501055 . 45 . 04 . 010dtdtduum 5 . 4! 15 . 411010eNNP復(fù)合Poisson過程 定義3.3.3：稱隨機(jī)過程 為復(fù)合Poisson過程，如果對于 ，它可表示為： 其中 是一個Poisson過程， 是一族獨立同分布的隨機(jī)變量，并且與 獨立。 0, ttX0t tNiiYtX1 0, ttN, 3 , 2 , 1,iYi 0, ttN例3.3.2 保險公司接到的索賠次數(shù)服從一個Poisson過程 ，每次的賠付金額Yi都相互獨立，且有相同的分布F，且每次的索賠額與與它發(fā)生的時間無關(guān)。則0，t內(nèi)保險公司賠付的

12、總額 就是一個復(fù)合Poisson 過程，其中： 0, ttN 0, ttX tNiiYtX1例3.3.3（顧客成批到達(dá)的排隊系統(tǒng)）設(shè)顧客到達(dá)某服務(wù)系統(tǒng)的時刻 形成一個強(qiáng)度為的Poisson 過程，在每個時刻 都可以同時有多名顧客到達(dá)。Yn表示時刻Sn到達(dá)的顧客人數(shù)，假設(shè)Yn n=1,2,3相互獨立，且與Sn也獨立，則在0 ，t時刻內(nèi)到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的總?cè)藬?shù)可用一復(fù)合Poisson過程來描述。,21SS, 2 , 1,nSn例3.3.4 設(shè)顧客按照參數(shù)為的Poisson過程進(jìn)入一個商店。又設(shè)每個顧客消費(fèi)金額形成一個獨立同分布隨機(jī)變量。以X(t)記到時刻t為止顧客在此商店的消費(fèi)總額，易見是一個復(fù)合Po

13、isson過程。 0, ttX定理3.3.2設(shè) 是一個復(fù)合Poisson過程，Poisson過程 的強(qiáng)度為，則：（1） 有獨立增量；（2） 若 ，則 0,1tYtXtNii 0,ttN tX2iYE 1YtEtXE 21YtEtXVar例3.3.5 保險公司索賠模型中，設(shè)索賠要求以每月平均兩次的速率的 Poisson過程到達(dá)保險公司。每次賠付服從均值為10000萬元的正態(tài)分布，則一年中保險公司的平均賠付額為多少？ 10000122121YtEXE例3.3.6 顧客以每分鐘6人的平均速率進(jìn)入商場，服從Poisson 過程。每位顧客買東西的概率為0.9，且 每位顧客是否買東西互不影響，也與進(jìn)入商場

14、的人數(shù)無關(guān)。求一天（12）小時在該商場買東西的顧客人數(shù)。12606t位顧客在商場未買東西第位顧客在商場買東西第iiYi01 以 表示在時間0，t內(nèi)到達(dá)商場的人數(shù)， 以 表示在時間0，t內(nèi)在商場買東西的人數(shù)， tN14320121NE tN2 9 . 0111tYEtNEtNii 若以Zi 表示第i位顧客在商場消費(fèi)金額，且 則 表示在時間0，t內(nèi)該商場的營業(yè)額。5 . 0 ,200 BZi tNiiZtN11322003720612NE條件Poisson 過程 定義3.3.4 設(shè)隨機(jī)變量0，在=的條件下，計數(shù)過程 是參數(shù)為的Poisson過程，則稱 為條件Poisson過程。 設(shè)的分布為G，則 0, ttN 0, ttN 0!dGe