效用理論與保險學習教案

1、會計學1效用理論效用理論(lln)與保險與保險第一頁，共49頁。厭惡(ynw)風險第2頁/共49頁第二頁，共49頁。第3頁/共49頁第三頁，共49頁。1.2 期望效用期望效用(xioyng)模型模型 假設一個個體面臨損失額為假設一個個體面臨損失額為B ，發(fā)生概率，發(fā)生概率0.01 的風險，他可以將損失進行投保，并愿意的風險，他可以將損失進行投保，并愿意(yun y)為這份保單支付保費為這份保單支付保費P，B 和和P之間有何種關系之間有何種關系？第4頁/共49頁第四頁，共49頁。第5頁/共49頁第五頁，共49頁。第6頁/共49頁第六頁，共49頁。第7頁/共49頁第七頁，共49頁。 為比較X 和Y

2、，效用函數(shù)與其線性變換是等價的，即無論選擇哪個效用函數(shù)會得出相同(xin tn)的決策。 當且僅當當且僅當)(xubxau)(與與是等價的是等價的。第8頁/共49頁第八頁，共49頁。第9頁/共49頁第九頁，共49頁。第10頁/共49頁第十頁，共49頁。第11頁/共49頁第十一頁，共49頁。當當 b = 1 b = 1 時 ， 他 選 擇時 ， 他 選 擇(xunz)A(xunz)A；當當 b = 4 b = 4 時 ， 他 選 擇時 ， 他 選 擇(xunz)B(xunz)B；當當b =2 b =2 時，兩者等價時，兩者等價這既不是這既不是(b shi)凸函數(shù)也不是凸函數(shù)也不是(b shi)凹

3、函數(shù)。凹函數(shù)。第12頁/共49頁第十二頁，共49頁。第13頁/共49頁第十三頁，共49頁。定理不等式） 如果是一個(y )凸函數(shù)，Y 是一個(y )隨機變量，則其中等號成立(chngl)當且僅當在Y 的支撐集上是線性的或Var (Y)=0，由此不等式可以得到，對于一個凹的效用函數(shù)，有第14頁/共49頁第十四頁，共49頁。被保險人被保險人(bi bo xin rn)方面：方面：第15頁/共49頁第十五頁，共49頁。第16頁/共49頁第十六頁，共49頁。保險人方面保險人方面(fngmin)：第17頁/共49頁第十七頁，共49頁。第18頁/共49頁第十八頁，共49頁。買賣買賣(mi mai)成功！成

4、功！第19頁/共49頁第十九頁，共49頁。第20頁/共49頁第二十頁，共49頁。第21頁/共49頁第二十一頁，共49頁。在后面式子的兩邊同時取期望在后面式子的兩邊同時取期望(qwng)，得到，得到第22頁/共49頁第二十二頁，共49頁。因此，風險因此，風險(fngxin)X 的最大保費近似的最大保費近似為為于是于是(ysh)風險風險X 的最大保費近似為的最大保費近似為第23頁/共49頁第二十三頁，共49頁。注意到注意到 用替換時，并沒有改變用替換時，并沒有改變從（從（1.18) ，我們可以看到風險厭惡系數(shù)真正反，我們可以看到風險厭惡系數(shù)真正反映了風險厭惡的程度：對風險厭惡程度越高，準備映了風險

5、厭惡的程度：對風險厭惡程度越高，準備支付的保費也越大支付的保費也越大 u x au xb r w第24頁/共49頁第二十四頁，共49頁。.效用函數(shù)族第25頁/共49頁第二十五頁，共49頁。-例例1.3.1（指數(shù)保費）（指數(shù)保費） 假設一保險人使用參假設一保險人使用參數(shù)為數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，對于風險的指數(shù)效用函數(shù)，對于風險X ，最小，最小保費保費 應為多少？應為多少？Pa第26頁/共49頁第二十六頁，共49頁。把 代入均衡(jnhng)方程（1.11）得其中(qzhng) 是X 的矩母函數(shù)第27頁/共49頁第二十七頁，共49頁。假設損失假設損失X 服從服從 分布，其中分布，其中 表示參數(shù)為表示

6、參數(shù)為 的指數(shù)分布令的指數(shù)分布令 0.01 ，則，則EX=100 ExpExp如果被保險人的效用函數(shù)是參數(shù)為如果被保險人的效用函數(shù)是參數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，的指數(shù)效用函數(shù)， 0.005a第28頁/共49頁第二十八頁，共49頁。 因此被保險人愿意在純保費因此被保險人愿意在純保費 之上之上附加相當數(shù)量的額外保費附加相當數(shù)量的額外保費E X138.6100第29頁/共49頁第二十九頁，共49頁。由例中近似(jn s)式(1.18)得顯然，近似表達式(1.22)隨 遞增(dzng)，如果X 是方差有限的非負隨機變量，則(1.20)所決定的保費也是遞增(dzng)的，具體證明如下。令由Jensen 不等

7、式知第30頁/共49頁第三十頁，共49頁。取 則 且第31頁/共49頁第三十一頁，共49頁。對任意(rny) 有第32頁/共49頁第三十二頁，共49頁。第33頁/共49頁第三十三頁，共49頁。由方程(fngchng)(1.10)發(fā)生損失X 之后的期望效用為以及支付保費P之后(zhhu)的效用為第34頁/共49頁第三十四頁，共49頁。近似(jn s)的最大保費：第35頁/共49頁第三十五頁，共49頁。例（不可保的風險(fngxin)） 某決策者使用風險(fngxin)厭惡系數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，他想對分布為 的風險(fngxin)進行投保，其中 表示參數(shù)為a, b的伽瑪分布確定 并證明 ，何時

8、此時說明了什么？P第36頁/共49頁第三十六頁，共49頁。因為 , 我們有 .因而 所以，計算出的保費大于純保費如果 ，則 ，這表明決策者愿意支付任何(rnh)有限的保費按照效用理論，如果風險厭惡系數(shù)為 .那么承保該風險的保險人對于任何(rnh)有限的保費P，都會遭受損失，因為 對于這些保險人來說，這種風險是不可保的P 第37頁/共49頁第三十七頁，共49頁。1.4 停止(tngzh)損失再保險的最優(yōu)性 再保險合同通常只承保保險人的一部分風險停止損失(再）保險承保損失超出指定(zhdng)免賠額的超額部分它的定義如下：如果發(fā)生的損失為X(我們假設 ) . 則理賠支付為第38頁/共49頁第三十八

9、頁，共49頁。對于停止(tngzh)損失保險合同，其純保費 稱為停止(tngzh)損失保費，記為在離散(lsn)情形， 為階梯函數(shù)，其在x 處的跳為 ；在連續(xù)情形， 有導函數(shù) 兩種情形下的停止損失保費都可由下式給出 第39頁/共49頁第三十九頁，共49頁。為什么？第40頁/共49頁第四十頁，共49頁。定理定理1.4.l （停止損失再保險的最優(yōu)性）用（停止損失再保險的最優(yōu)性）用 記當損失為記當損失為 時，某再保險合同約定的時，某再保險合同約定的理賠支付假設理賠支付假設 對于任意對于任意 成立成立,則則I X0X X 0I xx0 x 第41頁/共49頁第四十一頁，共49頁。證明(zhngmng) 因為(yn wi) ，所以只需證明第42頁/共49頁第四十二頁，共49頁。上式成立上式成立(chngl)的一個充分條件是的一個充分條件是 以概率以概率1 成立成立(chngl)當當 時，時， 顯然成立顯然成立(chngl)；當當 時時, 我們有我們有 ，有，有第43頁/共49頁第四十三頁，共49頁。第44頁/共49頁第四十四頁，共49頁。例（比例再保險的最優(yōu)性） 假設保險人收取保費 ,正尋求最有利的再保險 滿足(mnz) ，且自留風險的方差給定如下：第45頁/共49