李雅普諾夫穩(wěn)定性PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性RBRxRSRxRttrrR)(, 0)0(, 0, 0 xxRrBttBrR)(, 0)0(, 0, 0 xx0R0r0tr)0(xRt)(x0 x第1頁/共66頁圖2-1 穩(wěn)定性概念例2.1 范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性對(duì)于范德堡方程0) 1(2xxxx 2211221)1 (xxxxxx轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程描述很容易證明該系統(tǒng)在原點(diǎn)處有一個(gè)平衡點(diǎn)。 并且是不穩(wěn)定的。第2頁/共66頁從任何一個(gè)非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個(gè)極限環(huán)。這意味著如果選擇穩(wěn)定性定義中的 為足夠小，使得半徑為 的圓完全落入極限環(huán)的封閉曲線內(nèi)，那么在靠近原點(diǎn)處開始的系統(tǒng)軌線最終將

2、越出這個(gè)圓,因此原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。RR第3頁/共66頁0rr)0(xt0)(tx第4頁/共66頁定義：如果存在兩個(gè)嚴(yán)格正數(shù) 和 ，使得圍繞原點(diǎn)的某個(gè)球內(nèi) ， 那么稱平衡點(diǎn)0是指數(shù)穩(wěn)定的。 也就是說，一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量以快于指數(shù)函數(shù)的速度收斂于原點(diǎn)，通常稱正數(shù) 為指數(shù)收斂速度。 指數(shù)收斂性的定義在任何時(shí)候都為狀態(tài)提供明顯的邊界。 把正常數(shù) 寫成后 ，不難看到，經(jīng)過時(shí)間 后，狀態(tài)向量的幅值減小到原值的 ，與線性系統(tǒng)中的時(shí)間常數(shù)相似。 rBtett)0()(,xx0e)/1 (0)%(351 e第5頁/共66頁xxx)sin1 (2)(sin1 exp)0()(02tdxxtxtextx)0

3、()(1)0(,2xxx 10 x)1/(1tx)0(te第6頁/共66頁)(xfx )(xf)(.xfxxfx0 xtohA0 xfx0 xxfAxxA0) 0(f第7頁/共66頁u),(uxfx ),(.)0,()0,(uxfuufxxfxu0 xu0 xtohuxxBA 21112221221sin) 1(cosxxxxxxxxxx0 xxx1101線性化結(jié)果：第8頁/共66頁定理定理：（李雅普諾夫線性化方法） 1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴(yán)格穩(wěn)定的（即如果 的所有特征值都嚴(yán)格在左半復(fù)平面內(nèi)），那么平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的（對(duì)實(shí)際的非線性系統(tǒng)）； 2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即如果 的所有特

4、征值至少有一個(gè)嚴(yán)格在右半復(fù)平面內(nèi)），那么平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的（對(duì)實(shí)際的非線性系統(tǒng)）； 3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即如果 的所有特征值都在左半復(fù)平面內(nèi)，但至少有一個(gè)在 軸上），那么不能從線性近似中得出任何結(jié)論（其平衡點(diǎn)對(duì)于非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，漸近穩(wěn)定的，或者是不穩(wěn)定的）。 AAAj第9頁/共66頁5bxaxxaxx 0a0a0a5bxx 第10頁/共66頁例：證明下面單擺的平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。式中 為單擺長度， 為單擺質(zhì)量， 為鉸鏈的摩擦系數(shù)， 是重力常數(shù)。(系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是什么？) 在 的鄰域內(nèi)設(shè) ，那么系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化結(jié)果是 因此，該線性近似是不穩(wěn)定的；近而該非線性系統(tǒng)在平

5、衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。. .)(. .)(cossinsintohtoh02RgMRb )0,(0sin2MgRbMR RMbg第11頁/共66頁第12頁/共66頁0310 xkxkxxbxm 4120203102412121)(21)(xkxkxmdxxkxkxmVxx第13頁/共66頁建立了能量與穩(wěn)定性的關(guān)系。穩(wěn)定性與機(jī)械能的變化有關(guān)李雅普諾夫直接法建立在把上述概念推廣到更復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)上。 一、正定函數(shù)和李雅普諾夫函數(shù) 定義：定義：一個(gè)標(biāo)量連續(xù)函數(shù) ，如果 ，而且在一個(gè)球 內(nèi) 那么稱函數(shù) 為局部正定的。)(xV0)(0V0RB0)(x0 xV)(xV3310)()()(xbxxbxxxkxk

6、xxmV x第14頁/共66頁1x2x)(xV)(xV第15頁/共66頁定義：定義：如果一個(gè)球域內(nèi) ，函數(shù) 為正定的且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且如果它沿著系統(tǒng)的任何軌跡線的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的，即 那么稱 為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。0RB)(xV)(xfx )(xV0)()(xfxxxxVVdtdVV第16頁/共66頁)(xV)(xV0RB)(xV)(xV)(xV)(xV0RB第17頁/共66頁例：局部穩(wěn)定性具有粘滯阻尼的單擺由下列方程描述判斷系統(tǒng)在原點(diǎn)的局部穩(wěn)定性?？疾煜铝袠?biāo)量函數(shù)：它的時(shí)間導(dǎo)數(shù) 可以得出原點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)的結(jié)論。不能得到關(guān)于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的結(jié)論，因?yàn)?僅僅半負(fù)定。0sin 02)co

7、s1 ()(2xV0sin2 V)(xV第18頁/共66頁)2(44)2(222122212221222111xxxxxxxxxxxx222121),(xxxxV)(xV)2)(2),(2221222121xxxxxxV)(xV2B22221 xx第19頁/共66頁0RB)(xVx)(xVx)(xV)(xV)(xVx)(xV第20頁/共66頁 徑向無界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值曲面） 對(duì)應(yīng)于封閉曲線。如果該曲線不是封閉的，即使?fàn)顟B(tài)保持穿過對(duì)應(yīng)于越來越小的 的等值曲線（面），狀態(tài)軌線仍可能從平衡點(diǎn)漂移。 例如，對(duì)于正定函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，曲線 是開曲線。 下圖說明狀態(tài)向“能量”越來

8、越低的曲線移動(dòng)時(shí)的發(fā)散現(xiàn)象。aVV)(xaV222121)1/(xxxV1aVaVV)(x第21頁/共66頁例：一階非線性系統(tǒng)式中， 是任何一個(gè)與它的標(biāo)量自變量 有相同符號(hào)的連續(xù)函數(shù)，即選李雅普諾夫函數(shù)為當(dāng) 時(shí) ， 趨向于無窮，它函數(shù)是徑向無界。它的導(dǎo)數(shù)是 是一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。0)(xcx cx0)(xxc0 x對(duì)于 2xV xV)(22xxcxxV0 x第22頁/共66頁例： 考慮系統(tǒng)狀態(tài)空間的原點(diǎn)是這個(gè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，設(shè) 是正定函數(shù) 沿任何系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)是)()(22212122221121xxxxxxxxxxV2221)(xxVxV222212211)(222)(xxxxxxVx它

9、是負(fù)定的。因此，原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。第23頁/共66頁3、注釋、注釋 對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)可以存在許多李雅普諾夫函數(shù)。例如，如果 是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，那么下面的 也是李雅普諾夫函數(shù)： 此處 是任意嚴(yán)格正常數(shù)， 是任何大于1的標(biāo)量。 與 的正定，負(fù)定和徑向無界的特性是一致的。注意：對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，特別選擇的李雅普諾夫函數(shù)可能比其它的李雅普諾夫函數(shù)產(chǎn)生更精確的結(jié)果。 對(duì)具有粘滯阻尼的單擺，選李雅普諾夫函數(shù))(xV)(1xV)()(1xxVV)(xV)(1xV22)(212)cos1 (2)(xV第24頁/共66頁它的導(dǎo)數(shù)為是局部負(fù)定的。雖然修正過的 沒有明顯的物理意義，但它卻能夠證明單擺的漸

10、近穩(wěn)定性。注意：李雅普諾夫分析中的定理都是充分性定理。0)sin()(2xVV作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個(gè)平衡點(diǎn)，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)定性是否為漸近的以及是否為全局的。 543)5()2(sin) 1 (xxxxx第25頁/共66頁)(xV)(xV)(xV)(xfx f)(xV0llV)(xllx0)(xV第26頁/共66頁Rl0)(xVMRtl)(txM)2(44)2(222122212221222111xxxxxxxxxxxx222121),(xxxxV)2)(2),(2221222121xxxxxxV沿任何系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)是第27頁/共66頁對(duì)于 ，由 定義的區(qū)域 是有界的。集合 只是原點(diǎn)0，它

11、是一個(gè)不變集（因?yàn)樗且粋€(gè)平衡點(diǎn)）。局部不變集定理的所有條件都滿足，因而任何起始于這個(gè)圓內(nèi)的軌線都收斂于原點(diǎn)。這樣，根據(jù)不變集定理就明顯地確定了該系統(tǒng)的吸引范圍。1l1),(222121xxxxVlR第28頁/共66頁)102(3)102(22415231222417121xxxxxxxxxx1022241 xx)102)(124()102(2241221012241xxxxxxdtd31221xxxx第29頁/共66頁判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個(gè)侯選李雅普諾夫函數(shù) 它表示到極限環(huán)的距離的量度。可用不變集定理判斷收斂性。22241)102(xxV2224162101)102)(3(8xxxxV

12、V這樣 是嚴(yán)格負(fù)的。除了在1022241 xx0362101 xx情況下，0V集合 就是由它們的并集組成。假如取 ，原點(diǎn)不屬于 ，現(xiàn)在的集合 正是極限環(huán)。用不變集定理證明了極限環(huán)的漸進(jìn)穩(wěn)定性；同時(shí)意味著原點(diǎn)處的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。M100llM第30頁/共66頁)(xfx )(xV)(xV)(xV0)(xVR0 xllV)(xf第31頁/共66頁RMVRLVL)(xV第32頁/共66頁0)()(xcxbx bc0)0(, 0)(, 0bxbxx0)0(, 0)(, 0cxxcxxdyycxV02)(210)()()()()(xbxxxcxcxxbxxxcxxV 第33頁/共66頁0 x 0)(x

13、bx0 x 根據(jù)假設(shè)，僅當(dāng) 時(shí) 。 意味著)(xcx 只要 ，它就不等于0。系統(tǒng)不能在 之外的任何平衡值上停住。 0 x 中的最大不變集 只包含一個(gè)點(diǎn)，即 。應(yīng)用局部不變集定理表明原點(diǎn)是一個(gè)局部漸近穩(wěn)定點(diǎn)。 如果積分 當(dāng) 時(shí)徑向無界， 是徑向無界的。原點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。 RM)0, 0(xx0 xxdrrc0)(xV第34頁/共66頁第35頁/共66頁TMM TMM22TTMMMMMxxxxxxxMMMTTTT ,0 ,xxxMT第36頁/共66頁xx MTnnM0 0 ,xxxxMTM一個(gè)方陣為正定的必要條件是：它的對(duì)角元素是嚴(yán)格正的。一個(gè)對(duì)稱的方陣是正定的充分必要條件是：它的所有特征值都是嚴(yán)

14、格正的。一個(gè)正定矩陣總是可逆的。一個(gè)正定矩陣總可以被分解為UUMT第37頁/共66頁證明： （1） （2） （3） 同樣可以定義矩陣半正定，負(fù)定和半負(fù)定的概念。對(duì)于一個(gè)時(shí)變矩陣 ，如果 則稱 是一致正定的。 )(tMaItMa)( 0,t , 0)(tM2max2min)()(xMMxxxMTzzUxUxMxxTTTTIMIM)()(maxmin2xzzT第38頁/共66頁xxAxx PVTPxxxxxxQPPVTTTQPAPATQPP第39頁/共66頁QxxAPQ212112840 xxxx局漸進(jìn)穩(wěn)定。結(jié)論：這個(gè)線性系統(tǒng)全其解為：李雅普諾夫方程為：為：記取1,510011284012840,

15、221211222112112221121122211211pppppppppppppppPPIQ第40頁/共66頁二、克拉索夫斯基（二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法方法 克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有 形式的自治非線性系統(tǒng)的侯選Lyapunov函數(shù)的一種簡單形式，即 ，這種方法的基本思想很簡單，就是檢查這個(gè)具體選擇的函數(shù)是否確實(shí)能成為一個(gè)Lyapunov函數(shù)。 )(xfx ffTV )(xfx 定理：定理：對(duì)自治系統(tǒng) ，對(duì)平衡點(diǎn)原點(diǎn)，令 表示系統(tǒng)的雅可比矩陣，即)(xAxxfA)(第41頁/共66頁2226,1113TAAFxfATAAF)()()(xfxfx

16、TVx)(xV322122113xxxxxxx有：矩陣 是負(fù)定的。F第42頁/共66頁)(xfx )(xAPQ0 x QPAPAFT)(xffxPVT)(x)(xV第43頁/共66頁)(xVVxVdxxV0)(nxVxVV/,/1V)(xV), 2 , 1,( njixVxVijji第44頁/共66頁iiVixV /VnjjijixaV1ijaVijaV第45頁/共66頁VVVVnxnnnxxdxxxxVdxxxVdxxVxV021022120111),( )0 ,()0 , 0 ,()(212212211222xxxxxx第46頁/共66頁22212122121111xaxaVxaxaV12

17、2212112121221221111221xaxxaxaxaxaxaxxVxV0, 121122211aaaa2211,xVxVV)1 (22212221xxxxxVV第47頁/共66頁V0)1 (21xxV2102221220112xxxxdxxdxxV2221221222113, 3, 1xaxaaa3212221232xxxxV)3(262222121222221xxxxxxxVV第48頁/共66頁)(tW0)()(taWtWaateWtW)0()(第49頁/共66頁上述引理說明，如果 是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，滿足就能保證 指數(shù)收斂到零。應(yīng)用李雅普諾夫直接法進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，可以把 處理成 的

18、形式，可以推導(dǎo)出 的指數(shù)收斂性和收斂速度。進(jìn)而狀態(tài)的指數(shù)收斂速率也可以確定。W0)()(taWtWWV0)()(taWtWV第50頁/共66頁xx PVTxx QVTQPAPAT)(/ )(maxminPQQIQIPP)( ,)(minmaxVIPPQQTTxxxx)()()(maxmaxminVVxxA第51頁/共66頁tTeVP)0(xx2min)()(tPPTxxxtePVt)()0()(min2x2VV) 1(44) 1(222122212221222111xxxxxxxxxxxx第52頁/共66頁221),(xxxV) 1(2) 1)(222212221VVxxxxVVxxdtVVd

19、V2)1 (/ttaeaeV221)(x)0(1)0(VVa1)0()0(2Vx0ataetV2)()(tx1)0()0(2 Vx第53頁/共66頁0 xuxxx23 第一種方法：假設(shè)控制律的一種形式，然后找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來判斷所選定的控制律能否導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定。第二種方法：假設(shè)一個(gè)候選的李雅普諾夫函數(shù)，然后找到一個(gè)控制律以使得這個(gè)候選函數(shù)成為真正的李雅普諾夫函數(shù)。例：控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)把系統(tǒng)的狀態(tài)控制到原點(diǎn)選擇控制規(guī)律)()(21xuxuu第54頁/共66頁0)(, 00)(, 02213xuxxxxuxxx對(duì)于對(duì)于),(tuxfx xv對(duì)象控制器模型參考系統(tǒng)udx0)()(xcxbx 也就是

20、，即使在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)某些不確定性的情況下，局部穩(wěn)定的控制器。參照前面的例題：二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 的穩(wěn)定性分析。第55頁/共66頁vxxBAddxxedvuxfxexxeBtAAd),(0 ee eeePVT)(),(2)()(vuxfxeeeeBtAPMMPAPAVTTT第56頁/共66頁QQPAPAT,uM0euxxxtabxx10)(1021221)(tabvxxxxnddnndd2212210210第57頁/共66頁xxedeeePVT)(P0002211qqQMeqeqV2)()(22222111e)(2)()(222212222121uvxtaxxbpepeMnnn第58頁/共66頁vpepesignxaxxbunmnn222212122212)(2)()(maxtaam0)()()(222221