振動(dòng)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1振動(dòng)振動(dòng)(zhndng)第一頁(yè)，共38頁(yè)。xxFmox為物體離開(l ki) 平衡位置的位移力與位移(wiy)成正比而反向。kxF 合力：0dd222xtxmk2令振動(dòng)(zhndng)的微分方程 簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程：22dtxdmF 因kx積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(tAx其解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程 第2頁(yè)/共38頁(yè)第二頁(yè)，共38頁(yè)。tx圖tv圖ta 圖TAA2A2AxvatttAAoooT0作圖，取)2cos(tA)cos(2tAT)cos(tAx)sin(tAdtdxv)cos(2tAdtdva第3頁(yè)/共38頁(yè)第三頁(yè)，共38頁(yè)。)cos(tAx 4.1.2 描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)(zhndng)的

2、基本物理量 kmT2彈簧振子周期 周期(zhuq)21T 頻率T22圓頻率)(cosTtA周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)(wl xngzh)有關(guān)注意tx 圖AAxT2TtomaxxA 振幅2T第4頁(yè)/共38頁(yè)第四頁(yè)，共38頁(yè)。1） 存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;),(vxt202）相位在 內(nèi)變化，在此區(qū)間質(zhì)點(diǎn)無(wú)相同的 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； 相位(xingwi) ：3）初相位 描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). ) 0( t) (2nn相差 為整數(shù) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同.（周期性）20( 取 或 )是決定(judng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)狀態(tài)的物理量 習(xí)慣上常將大于，小于2的初相表示為負(fù)值， ttx圖AAx 2 ovvv t第5頁(yè)

3、/共38頁(yè)第五頁(yè)，共38頁(yè)。22020vxA00tanxv常數(shù) 和 由初始條件確定A000vv xxt初始條件cos0Ax sin0Av 對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定(judng)，振幅和初相由初始條件決定(judng).)sin(tAv)cos(tAx第6頁(yè)/共38頁(yè)第六頁(yè)，共38頁(yè)。 以 為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)在 軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).xAoxoA0 xx )cos(tAxt0tt第7頁(yè)/共38頁(yè)第七頁(yè)，共38頁(yè)。 旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)在 軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).xA)cos(tAx第8頁(yè)/共38頁(yè)第八頁(yè)，共38頁(yè)。用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 圖tx第9頁(yè)/共38頁(yè)第九頁(yè)

4、，共38頁(yè)。例1 有小球與輕彈簧相聯(lián)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，表達(dá)式用余弦函數(shù)表示，若t0時(shí)，小球狀態(tài)x0A，過(guò)平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)；過(guò)x0.5A向負(fù)向運(yùn)動(dòng)；過(guò) 處向正向運(yùn)動(dòng)，求初相位.2Ax 1. 旋轉(zhuǎn)矢量(shling)法確定第10頁(yè)/共38頁(yè)第十頁(yè)，共38頁(yè)。AAx2AtoabxAA02.相位差：表示(biosh)兩個(gè)相位之差 . 1）對(duì)同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間.)()(12tt12tttaA3 TTt6123v2AbA第11頁(yè)/共38頁(yè)第十一頁(yè)，共38頁(yè)。stsmasmvmX 65/ 02. 1/ 19. 0 104. 03(20 第12頁(yè)/共38頁(yè)第十二頁(yè)，共38頁(yè)。0

5、 xto同步 3. 對(duì)于兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們(t men)間步調(diào)上的差異.（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它超前落后txo反相第13頁(yè)/共38頁(yè)第十三頁(yè)，共38頁(yè)。2)2tcos(A2Y1012)(1011tCOSAY第14頁(yè)/共38頁(yè)第十四頁(yè)，共38頁(yè)。例4 如圖4.5(a)所示，一輕彈簧在60 N的拉力下伸長(zhǎng)30 cm?，F(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體(wt)懸掛在該彈簧的下端并使之靜止，再把物體(wt)向下拉10 cm，然后由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)。求 (1) 物體(wt)的振動(dòng)方程； (2) 物體(wt)在平衡位置上方5

6、 cm時(shí)彈簧對(duì)物體(wt)的拉力； (3) 物體(wt)從第一次越過(guò)平衡位置時(shí)刻起，到它運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方5 cm處所需要的最短時(shí)間。第15頁(yè)/共38頁(yè)第十五頁(yè)，共38頁(yè)。-解(1)選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸向下(xin xi)為正方向 在任意(rny)位置x處 220)(dtxdmxlkmg0l平衡位置處彈簧伸長(zhǎng)量 00 klmg22dtxdmkx mk設(shè)222d0dxxt得0l判斷(pndun)是否簡(jiǎn)諧振動(dòng)？ 第16頁(yè)/共38頁(yè)第十六頁(yè)，共38頁(yè)。cos()xAt確定(qudng)方程中的常數(shù): 2003 . 060lfkNm1 07. 7mkrads1 由t = 0時(shí)，(m)，1 .

7、00 x00v,得 22002vAx， = 0.10 m 00tanvx= 0振動(dòng)方程為 x = 0.10 cos(7.07t) m第17頁(yè)/共38頁(yè)第十七頁(yè)，共38頁(yè)。(2) 求物體在平衡位置上方(shn fn)5 cm時(shí)彈簧對(duì)物體的拉力 物體在平衡位置上方5 cm時(shí)， 假設(shè)物體受拉力f 向上，如圖 fmgma222.5m sax 得彈簧對(duì)物體的拉力 2 .29)5 . 28 . 9(4fN f 所得值為正，說(shuō)明與假設(shè)方向(fngxing)相同。第18頁(yè)/共38頁(yè)第十八頁(yè)，共38頁(yè)。(3) 求物體從第一次越過(guò)平衡位置時(shí)刻起，到它運(yùn)動(dòng)(yndng)到平衡位置上方5 cm處所需要的最短時(shí)間。根據(jù)

8、(gnj)此旋轉(zhuǎn)矢量圖得 26/12Ttt61212Tttt0.074 s 第19頁(yè)/共38頁(yè)第十九頁(yè)，共38頁(yè)。4.1.4 復(fù)擺復(fù)擺 質(zhì)量為m的任意形狀的物體，掛在無(wú)摩擦的水平軸O上。將它拉開一個(gè)微小的角度后釋放，物體將繞軸O自由擺動(dòng)。這樣(zhyng)的裝置叫復(fù)擺。 擺角小于5時(shí)： sin22ddmgltJ J是復(fù)擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量回復(fù)力矩mglM第20頁(yè)/共38頁(yè)第二十頁(yè)，共38頁(yè)。mglJ設(shè)222d0dt 22ddmgltJ 圓頻率(pnl)即復(fù)擺在擺角小于5時(shí)，做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 其振動(dòng)(zhndng)方程為)cos(tm當(dāng)2Jml時(shí)，即對(duì)應(yīng)單擺的情況 gl2lTg第21頁(yè)/共38頁(yè)第二十一頁(yè)，

9、共38頁(yè)。 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判斷（滿足其中(qzhng)一條即可）2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(jin xi yn dn)的動(dòng)力學(xué)描述1）物體受線性回復(fù)(huf)力作用3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述kxF0dd222xtx)cos(tAx（或物體受線性回復(fù)力矩作用 ）kM第22頁(yè)/共38頁(yè)第二十二頁(yè)，共38頁(yè)。4.1.5 簡(jiǎn)諧振動(dòng)(zhndng)的能量cos()xAt)sin(tAv 以彈簧(tnhung)振子為例，物體質(zhì)量m，勁度系數(shù)為k系統(tǒng)(xtng)的動(dòng)能為222211sin ()22kEmvmAt系統(tǒng)的勢(shì)能為22211cos ()22PEkxkAt系統(tǒng)的總能量為PkEEE222221sin ()21cos ()2

10、mAtkAtmk2212kA第23頁(yè)/共38頁(yè)第二十三頁(yè)，共38頁(yè)。 結(jié)論： 彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其總能量與振幅(zhnf)的平方成正比。 該結(jié)論對(duì)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)(zhndng)的其它系統(tǒng)也是成立的。能量隨時(shí)間(shjin)的變化關(guān)系能量隨位置的變化關(guān)系第24頁(yè)/共38頁(yè)第二十四頁(yè)，共38頁(yè)。4.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)(zhndng)的合成4.2.1 同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(zhndng)的合成111cos()xAt222cos()xAt合振動(dòng)(zhndng)的位移21xxx第25頁(yè)/共38頁(yè)第二十五頁(yè)，共38頁(yè)。3. 合振幅(zhnf) AAAAA)cos(2102021222111221122sins

11、intancoscosAAAAcos()xAt2. 初位相1. 合振動(dòng)(zhndng)仍是同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(zhndng) 第26頁(yè)/共38頁(yè)第二十六頁(yè)，共38頁(yè)。振幅(zhnf)最大 Amax=A1+A24.相位差對(duì)合振幅(zhnf)的影響（1）同相振動(dòng)(zhndng)21()2(0,1,2,)kk這時(shí)21cos()1第27頁(yè)/共38頁(yè)第二十七頁(yè)，共38頁(yè)。振幅(zhnf)最小 Amin= |A1 A2|（2）反相振動(dòng)(zhndng)（3）若位相差(xin ch) 1020為其它任意值時(shí)振幅A AminA Amax 21()(21)(0,1,2,)kk這時(shí)1)cos(12*4.2.2

12、同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成12 下面僅討論兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率和大，而兩頻率之差卻很小的情況。都比較第28頁(yè)/共38頁(yè)第二十八頁(yè)，共38頁(yè)。11cos2xAt22cos2xAt合振動(dòng)(zhndng)位移為21xxx21212cos2cos222xAtt第29頁(yè)/共38頁(yè)第二十九頁(yè)，共38頁(yè)。合振動(dòng)(zhndng)的振幅為 212cos22At 合振幅每變化一個(gè)周期稱為一拍，單位時(shí)間拍出現(xiàn)的次數(shù)(csh)稱為拍頻（指合振幅變化的頻率）。21拍頻： 對(duì)于兩個(gè)頻率相接近的振動(dòng)，若其中一個(gè)頻率為已知，則通過(guò)拍頻的測(cè)量就可以知道另一個(gè)待測(cè)振動(dòng)的頻率。這種方法常用于聲學(xué)、速度測(cè)量、無(wú)線電技術(shù)(jsh)和

13、衛(wèi)星跟蹤等領(lǐng)域。聲振動(dòng)、電磁振蕩和波動(dòng)中是經(jīng)常遇到的。應(yīng)用：第30頁(yè)/共38頁(yè)第三十頁(yè)，共38頁(yè)。*4.2.3 兩個(gè)(lin )互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成110cos()xAt220cos()yAt設(shè)222201020102212122cos()sin ()xyxyAAA A 這說(shuō)明：振動(dòng)方向互相垂直的同頻諧振的軌跡是一橢圓曲線，但曲線的形狀(xngzhun)則與兩分振動(dòng)的位相差有很大關(guān)系。第31頁(yè)/共38頁(yè)第三十一頁(yè)，共38頁(yè)。 = 0 = /4 = /2 = 3/4 = PQ利薩如圖形(txng) 諧振子的概念在近代物理，如量子力學(xué)、熱力學(xué)，凝聚態(tài)物理等各學(xué)科中都有重要(zhngyo)的應(yīng)用

14、。合成(hchng)1.exe合成2.exe第32頁(yè)/共38頁(yè)第三十二頁(yè)，共38頁(yè)。*4.3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)(shu p zhn dn) 共振*4.3.1 阻尼振動(dòng)(z n zhn dn)在物體運(yùn)動(dòng)速度不太大的情況下，粘滯(zhn zh)阻力為 dtdxvfr以彈簧振子為例，其運(yùn)動(dòng)微分方程為kxdtdxdtxdm22令02kmm2第33頁(yè)/共38頁(yè)第三十三頁(yè)，共38頁(yè)。d xdtdxdtx220220式中阻尼(zn)系數(shù) 0系統(tǒng)固有角頻率。欠阻尼 )1(0220令)cos(00teAxt即 ：阻尼振動(dòng)振幅按指數(shù)(zhsh)規(guī)律衰減。第34頁(yè)/共38頁(yè)第三十四頁(yè)，共38頁(yè)。臨界阻尼 )(220其用途之一, 用于靈敏儀器(yq)的回零裝置。其不是(b shi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，須無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間才能回零。過(guò)阻尼 )(202第35頁(yè)/共38頁(yè)第三十五頁(yè)，共38頁(yè)。*4.3.2 受迫振動(dòng)(shu p zhn dn) 共振維持(wich)等幅振動(dòng)，需在0cosFFt的策動(dòng)力(dngl)作用下以彈簧振子為例202cosd xdxmkxFptdtdt 其運(yùn)動(dòng)方程為經(jīng)過(guò)不太長(zhǎng)的時(shí)間，阻尼振動(dòng)的振幅0tA e衰減為零。即cos()xAt策動(dòng)力