振動學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1振動振動(zhndng)第一頁，共38頁。xxFmox為物體離開(l ki) 平衡位置的位移力與位移(wiy)成正比而反向。kxF 合力：0dd222xtxmk2令振動(zhndng)的微分方程 簡諧振動方程：22dtxdmF 因kx積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(tAx其解為簡諧振動方程 第2頁/共38頁第二頁，共38頁。tx圖tv圖ta 圖TAA2A2AxvatttAAoooT0作圖，取)2cos(tA)cos(2tAT)cos(tAx)sin(tAdtdxv)cos(2tAdtdva第3頁/共38頁第三頁，共38頁。)cos(tAx 4.1.2 描述簡諧振動(zhndng)的

2、基本物理量 kmT2彈簧振子周期 周期(zhuq)21T 頻率T22圓頻率)(cosTtA周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)(wl xngzh)有關(guān)注意tx 圖AAxT2TtomaxxA 振幅2T第4頁/共38頁第四頁，共38頁。1） 存在一一對應(yīng)的關(guān)系;),(vxt202）相位在 內(nèi)變化，在此區(qū)間質(zhì)點無相同的 運動狀態(tài)； 相位(xingwi) ：3）初相位 描述質(zhì)點初始時刻的運動狀態(tài). ) 0( t) (2nn相差 為整數(shù) 質(zhì)點運動狀態(tài)全同.（周期性）20( 取 或 )是決定(judng)簡諧振動狀態(tài)的物理量 習(xí)慣上常將大于，小于2的初相表示為負(fù)值， ttx圖AAx 2 ovvv t第5頁

3、/共38頁第五頁，共38頁。22020vxA00tanxv常數(shù) 和 由初始條件確定A000vv xxt初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定(judng)，振幅和初相由初始條件決定(judng).)sin(tAv)cos(tAx第6頁/共38頁第六頁，共38頁。 以 為原點旋轉(zhuǎn)矢量 的端點在 軸上的投影點的運動為簡諧運動.xAoxoA0 xx )cos(tAxt0tt第7頁/共38頁第七頁，共38頁。 旋轉(zhuǎn)矢量 的端點在 軸上的投影點的運動為簡諧運動.xA)cos(tAx第8頁/共38頁第八頁，共38頁。用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的 圖tx第9頁/共38頁第九頁

4、，共38頁。例1 有小球與輕彈簧相聯(lián)作簡諧振動，表達式用余弦函數(shù)表示，若t0時，小球狀態(tài)x0A，過平衡位置向正向運動；過x0.5A向負(fù)向運動；過 處向正向運動，求初相位.2Ax 1. 旋轉(zhuǎn)矢量(shling)法確定第10頁/共38頁第十頁，共38頁。AAx2AtoabxAA02.相位差：表示(biosh)兩個相位之差 . 1）對同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間.)()(12tt12tttaA3 TTt6123v2AbA第11頁/共38頁第十一頁，共38頁。stsmasmvmX 65/ 02. 1/ 19. 0 104. 03(20 第12頁/共38頁第十二頁，共38頁。0

5、 xto同步 3. 對于兩個同頻率的簡諧運動，相位差表示它們(t men)間步調(diào)上的差異.（解決振動合成問題）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它超前落后txo反相第13頁/共38頁第十三頁，共38頁。2)2tcos(A2Y1012)(1011tCOSAY第14頁/共38頁第十四頁，共38頁。例4 如圖4.5(a)所示，一輕彈簧在60 N的拉力下伸長30 cm?，F(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體(wt)懸掛在該彈簧的下端并使之靜止，再把物體(wt)向下拉10 cm，然后由靜止釋放并開始計時。求 (1) 物體(wt)的振動方程； (2) 物體(wt)在平衡位置上方5

6、 cm時彈簧對物體(wt)的拉力； (3) 物體(wt)從第一次越過平衡位置時刻起，到它運動到平衡位置上方5 cm處所需要的最短時間。第15頁/共38頁第十五頁，共38頁。-解(1)選平衡位置為坐標(biāo)原點O，x軸向下(xin xi)為正方向 在任意(rny)位置x處 220)(dtxdmxlkmg0l平衡位置處彈簧伸長量 00 klmg22dtxdmkx mk設(shè)222d0dxxt得0l判斷(pndun)是否簡諧振動？ 第16頁/共38頁第十六頁，共38頁。cos()xAt確定(qudng)方程中的常數(shù): 2003 . 060lfkNm1 07. 7mkrads1 由t = 0時，(m)，1 .

7、00 x00v,得 22002vAx， = 0.10 m 00tanvx= 0振動方程為 x = 0.10 cos(7.07t) m第17頁/共38頁第十七頁，共38頁。(2) 求物體在平衡位置上方(shn fn)5 cm時彈簧對物體的拉力 物體在平衡位置上方5 cm時， 假設(shè)物體受拉力f 向上，如圖 fmgma222.5m sax 得彈簧對物體的拉力 2 .29)5 . 28 . 9(4fN f 所得值為正，說明與假設(shè)方向(fngxing)相同。第18頁/共38頁第十八頁，共38頁。(3) 求物體從第一次越過平衡位置時刻起，到它運動(yndng)到平衡位置上方5 cm處所需要的最短時間。根據(jù)

8、(gnj)此旋轉(zhuǎn)矢量圖得 26/12Ttt61212Tttt0.074 s 第19頁/共38頁第十九頁，共38頁。4.1.4 復(fù)擺復(fù)擺 質(zhì)量為m的任意形狀的物體，掛在無摩擦的水平軸O上。將它拉開一個微小的角度后釋放，物體將繞軸O自由擺動。這樣(zhyng)的裝置叫復(fù)擺。 擺角小于5時： sin22ddmgltJ J是復(fù)擺的轉(zhuǎn)動慣量回復(fù)力矩mglM第20頁/共38頁第二十頁，共38頁。mglJ設(shè)222d0dt 22ddmgltJ 圓頻率(pnl)即復(fù)擺在擺角小于5時，做簡諧振動。 其振動(zhndng)方程為)cos(tm當(dāng)2Jml時，即對應(yīng)單擺的情況 gl2lTg第21頁/共38頁第二十一頁，

9、共38頁。 簡諧運動的判斷（滿足其中(qzhng)一條即可）2）簡諧運動(jin xi yn dn)的動力學(xué)描述1）物體受線性回復(fù)(huf)力作用3）簡諧運動的運動學(xué)描述kxF0dd222xtx)cos(tAx（或物體受線性回復(fù)力矩作用 ）kM第22頁/共38頁第二十二頁，共38頁。4.1.5 簡諧振動(zhndng)的能量cos()xAt)sin(tAv 以彈簧(tnhung)振子為例，物體質(zhì)量m，勁度系數(shù)為k系統(tǒng)(xtng)的動能為222211sin ()22kEmvmAt系統(tǒng)的勢能為22211cos ()22PEkxkAt系統(tǒng)的總能量為PkEEE222221sin ()21cos ()2

10、mAtkAtmk2212kA第23頁/共38頁第二十三頁，共38頁。 結(jié)論： 彈簧振子做簡諧振動時，其總能量與振幅(zhnf)的平方成正比。 該結(jié)論對作簡諧振動(zhndng)的其它系統(tǒng)也是成立的。能量隨時間(shjin)的變化關(guān)系能量隨位置的變化關(guān)系第24頁/共38頁第二十四頁，共38頁。4.2 簡諧振動(zhndng)的合成4.2.1 同方向同頻率的簡諧振動(zhndng)的合成111cos()xAt222cos()xAt合振動(zhndng)的位移21xxx第25頁/共38頁第二十五頁，共38頁。3. 合振幅(zhnf) AAAAA)cos(2102021222111221122sins

11、intancoscosAAAAcos()xAt2. 初位相1. 合振動(zhndng)仍是同方向同頻率的簡諧振動(zhndng) 第26頁/共38頁第二十六頁，共38頁。振幅(zhnf)最大 Amax=A1+A24.相位差對合振幅(zhnf)的影響（1）同相振動(zhndng)21()2(0,1,2,)kk這時21cos()1第27頁/共38頁第二十七頁，共38頁。振幅(zhnf)最小 Amin= |A1 A2|（2）反相振動(zhndng)（3）若位相差(xin ch) 1020為其它任意值時振幅A AminA Amax 21()(21)(0,1,2,)kk這時1)cos(12*4.2.2

12、同方向不同頻率的簡諧振動的合成12 下面僅討論兩個簡諧振動的頻率和大，而兩頻率之差卻很小的情況。都比較第28頁/共38頁第二十八頁，共38頁。11cos2xAt22cos2xAt合振動(zhndng)位移為21xxx21212cos2cos222xAtt第29頁/共38頁第二十九頁，共38頁。合振動(zhndng)的振幅為 212cos22At 合振幅每變化一個周期稱為一拍，單位時間拍出現(xiàn)的次數(shù)(csh)稱為拍頻（指合振幅變化的頻率）。21拍頻： 對于兩個頻率相接近的振動，若其中一個頻率為已知，則通過拍頻的測量就可以知道另一個待測振動的頻率。這種方法常用于聲學(xué)、速度測量、無線電技術(shù)(jsh)和

13、衛(wèi)星跟蹤等領(lǐng)域。聲振動、電磁振蕩和波動中是經(jīng)常遇到的。應(yīng)用：第30頁/共38頁第三十頁，共38頁。*4.2.3 兩個(lin )互相垂直的簡諧振動的合成110cos()xAt220cos()yAt設(shè)222201020102212122cos()sin ()xyxyAAA A 這說明：振動方向互相垂直的同頻諧振的軌跡是一橢圓曲線，但曲線的形狀(xngzhun)則與兩分振動的位相差有很大關(guān)系。第31頁/共38頁第三十一頁，共38頁。 = 0 = /4 = /2 = 3/4 = PQ利薩如圖形(txng) 諧振子的概念在近代物理，如量子力學(xué)、熱力學(xué)，凝聚態(tài)物理等各學(xué)科中都有重要(zhngyo)的應(yīng)用

14、。合成(hchng)1.exe合成2.exe第32頁/共38頁第三十二頁，共38頁。*4.3 阻尼振動 受迫振動(shu p zhn dn) 共振*4.3.1 阻尼振動(z n zhn dn)在物體運動速度不太大的情況下，粘滯(zhn zh)阻力為 dtdxvfr以彈簧振子為例，其運動微分方程為kxdtdxdtxdm22令02kmm2第33頁/共38頁第三十三頁，共38頁。d xdtdxdtx220220式中阻尼(zn)系數(shù) 0系統(tǒng)固有角頻率。欠阻尼 )1(0220令)cos(00teAxt即 ：阻尼振動振幅按指數(shù)(zhsh)規(guī)律衰減。第34頁/共38頁第三十四頁，共38頁。臨界阻尼 )(220其用途之一, 用于靈敏儀器(yq)的回零裝置。其不是(b shi)往復(fù)運動，須無限長的時間才能回零。過阻尼 )(202第35頁/共38頁第三十五頁，共38頁。*4.3.2 受迫振動(shu p zhn dn) 共振維持(wich)等幅振動，需在0cosFFt的策動力(dngl)作用下以彈簧振子為例202cosd xdxmkxFptdtdt 其運動方程為經(jīng)過不太長的時間，阻尼振動的振幅0tA e衰減為零。即cos()xAt策動力