矢量分析與場論天津大學流體力學基礎實用教案

1、2矢端曲線(qxin)為了能用圖形來直觀地表示矢性因數(shù)A)的變化狀態(tài)(zhungti)，把A的的起點取在坐標原點這樣，當 t 變化時，矢量A(t)的終點就描繪出一條曲線)；這條曲線叫矢性函數(shù)A的的矢端曲線，亦叫做矢性函數(shù)A(t)的圖形當我們(w men)把A(t)的起點取在坐標原點O，A(t)實際上就成為其終點M的矢徑矢徑有這樣一個特點，就是它的三個坐標 正好對應地等于它的終點M的三個坐標x ,y, z此式就是曲線L以t為參數(shù)的參數(shù)方程和矢量方程是一一對應的例如：已知圓柱螺旋線的參數(shù)方程為其矢量方程為其矢量方程為第1頁/共285頁第一頁，共285頁。3矢性函數(shù)(hnsh)的極限和連續(xù)性矢性函數(shù)

2、就有類似于數(shù)性圖數(shù)中的一些極限(jxin)運算的法則第2頁/共285頁第二頁，共285頁。 (2) 矢性函數(shù)連續(xù)性的定義：若矢性函數(shù) A(t)在點 t。的某個(mu )鄰域內(nèi)有定義， 而且有則稱A(t)在tt。處連續(xù)。 若矢性函數(shù)(hnsh)A在某個區(qū)間內(nèi)的每一點處都連續(xù)，則稱它在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)第3頁/共285頁第三頁，共285頁。 第二節(jié) 矢性函數(shù)的微分法1 矢性函數(shù)的導數(shù) 矢性函數(shù)A(t)(矢量的起點相同)，當數(shù)性變量從t變到 t十t時( t十t0) ，對應(duyng)的矢量分別為 與叫做矢性函數(shù)(hnsh)A(6)的增量，記作A，據(jù)此，我們就可給出矢性函數(shù)的導數(shù)(do sh)定義定義：矢

3、性函數(shù)A(t)在點t處的增量A與對應的 t之比如圖(15)，則第4頁/共285頁第四頁，共285頁。此式把求矢性函數(shù)(hnsh)的導矢，歸結為求三個數(shù)性函數(shù)(hnsh)的導數(shù) 例如(lr)：圓柱螺旋線的矢量方程為 則其導矢 第5頁/共285頁第五頁，共285頁。第6頁/共285頁第六頁，共285頁。3矢性函數(shù)(hnsh)的微分設有矢性函數(shù)AA(t)，我們把dAA(t)dt (dtt)稱為(chn wi)矢性因數(shù)A(t) 在t處的微分第7頁/共285頁第七頁，共285頁。這說明(shumng)，矢徑函數(shù)對(其矢端曲線)的弧長S的導數(shù) 為一單位矢量第8頁/共285頁第八頁，共285頁。 設矢性函數(shù)

4、AA(t)，BB(t)及數(shù)性函數(shù)(t)在t的某個范圍內(nèi)可導，則下列公式(gngsh)在該范圍內(nèi)成立4 矢性函數(shù)的導數(shù)(do sh)公式第9頁/共285頁第九頁，共285頁。定長矢量A(t)與其導矢互相(h xing)垂直特別對于單位矢量A。A。(t)有第10頁/共285頁第十頁，共285頁。第三節(jié) 矢性函數(shù)(hnsh)的積分 1 矢性函數(shù)的不定積分 定義(dngy)：若B(t)A(t)，則稱B(t)為A(t)的一個原函數(shù)A(t)的原函數(shù)的全體，叫做A(t)的不定積分，記作 dttA )( 由于矢性函數(shù)的不定積分和數(shù)性函數(shù)的不定積分在形式上完全類似，因此，數(shù)性函數(shù)不定積分的基本(jbn)性質(zhì)對矢

5、性因數(shù)來說仍然成立。第11頁/共285頁第十一頁，共285頁。 矢性函數(shù)(hnsh)的定積分矢性函數(shù)的定積分(jfn)概念也和數(shù)性困數(shù)的完全類似因此，也相應地具有數(shù)性函數(shù)定積分(jfn)的基本性質(zhì)。第12頁/共285頁第十二頁，共285頁。 在許多科學、技術問題中，常常要考察某種物理量（溫度；密度、電位、力、速度等等)在空間的分布和變化規(guī)律為了揭示和探索這些(zhxi)規(guī)率，數(shù)學上就引進了場的概念第二章 場 論 第一節(jié) 場1 場的概念 如果在全部空間或部分空間里的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，就說在這空間里確定了該物理量的場如果這物理量是數(shù)量(shling)就稱這個場為數(shù)量(shl

6、ing)場，若是矢量就稱這個場為矢量場，例如溫度場、密度場、電位場等為數(shù)量(shling)場，而力場、速度場等為矢量場 2數(shù)量場的等值面 由數(shù)量場的定義可知，分布在數(shù)量場中各點處的數(shù)量u是場中之點M的單值函數(shù)uu(M)，當取定了oxyz坐標系以后，成為(chngwi)點M的坐標(x,y,z)的函數(shù) 一個數(shù)量場，可以用一個函數(shù)來表示第13頁/共285頁第十三頁，共285頁。在數(shù)量場中，為了宣觀地研究物理量M在場中的分布(fnb)狀況，需要考察場中有相同物理量的點，也就是使u(M)取相同數(shù)的點值的各點。 這個(zh ge)方程，一般在幾伺上表示一曲而，這個(zh ge)曲面，稱為數(shù)員場的等值面例如

7、溫度場中的等值面，就是由溫度相同的點所組成的等溫面；電位場中的等值面，就是由電位相同的點須組成的等位面。 若在(12)式中給常數(shù)c一系列不同的數(shù)值，就得到(d do)一系列不同的等值面，參看圖(21)，這族等值面充滿整個數(shù)量場所在的空間，而且互不相交通過數(shù)量場的每一點存一個等值面；一個點只在第14頁/共285頁第十四頁，共285頁。比如地形圖上的等高線，地面氣象圖上的等壓線等等，就是平面數(shù)量場中等值線的例子 數(shù)量場的等值面或等位線，以直觀地幫助(bngzh)我們了解物理量在場中的分布狀況第15頁/共285頁第十五頁，共285頁。第16頁/共285頁第十六頁，共285頁。第17頁/共285頁第十

8、七頁，共285頁。第18頁/共285頁第十八頁，共285頁。第19頁/共285頁第十九頁，共285頁。第20頁/共285頁第二十頁，共285頁。第21頁/共285頁第二十一頁，共285頁。第22頁/共285頁第二十二頁，共285頁。第23頁/共285頁第二十三頁，共285頁。 2梯度 方向?qū)?shù)給我們解決了函數(shù)u(M)在給定點處沿某個(mu )方加的變化率問題然而從場中給定點出發(fā)，有無窮多個方向函數(shù)u(M )，沿其中的哪個方向其變化率最大，最大的變化率又是多少呢?方向(fngxing)導數(shù)的公式中：第24頁/共285頁第二十四頁，共285頁。 (1)梯度的定義：若在數(shù)量場u(M)中的一點M處，存

9、在矢量G，其方向為函數(shù)u(M)在該點處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數(shù)值則稱矢量G為函數(shù)u(M)在該點處的銻度，記作gradM，即 gradMG 梯度的這個定義是與坐標系無關(wgun)的，它是由數(shù)量場中數(shù)量u(M)的分布所決定的它在直角坐標系中的表示式為第25頁/共285頁第二十五頁，共285頁。(2) 梯度的性質(zhì)：從(27)式我們可以得到梯度的 兩個重要性質(zhì)： 1) 方向(fngxing)導效等于梯度在該方向(fngxing)的投影，即有： 2) 數(shù)量場中每一點處的梯度，垂直于過該點的等值面，且 指向函數(shù)(hnsh)u(M)增大的方向因梯度具有上述性質(zhì)，它是數(shù)量場中的一個重

10、要概念如果我們把數(shù)量場中每一點的梯度與場中之點一一對應起來(q li)，就得到一個矢量場，稱為由此數(shù)量場產(chǎn)生的梯度場 (3) 哈米爾頓(Hamllton)算子為了方便，我們引入一個矢段微分算子 叫做哈米爾頓算子記號是一個微分運算符號，但同時又要當作矢量看待其運算規(guī)則是：第26頁/共285頁第二十六頁，共285頁。第27頁/共285頁第二十七頁，共285頁。第28頁/共285頁第二十八頁，共285頁。第29頁/共285頁第二十九頁，共285頁。第30頁/共285頁第三十頁，共285頁。第三節(jié) 矢量(shling)場的通量及散度 具有連續(xù)轉動切線的曲線，稱為光滑曲線； 具有連續(xù)轉動法線的曲面，稱為

11、光滑曲面 為了簡便起見，我們把由有限多段不相交的光滑曲線連成的曲線，叫做簡單曲線；而由有限多塊不相交的光滑曲面連成的曲面叫做簡單曲面 假定(jidng)：以后所講到的曲線都是簡單曲線；所講到的曲瓦也都是簡單曲面 另外，為了區(qū)分曲面的兩側，取其中的一面作為曲面的正側，并規(guī)定曲面的法矢M是指向正側的；如果曲面是封閉的，則取其外側為正側這種取定正側的曲面，叫做有向曲面 1通量 先看一個例子，設有流速場V(M)，其中流體是不可壓縮的(即流體之密度是不變的)，為了簡便，假定其密度為1，設S為場中一有向曲面，計算在單位時間內(nèi)流體從正側穿過(chun u)S的流星Q第31頁/共285頁第三十一頁，共285頁

12、。 為此，在S上取一曲面元素dS, 同時又以dS表示其面積，M為dS上任一點，出于dS甚小，可以將其上每一點處的速度矢量V與法矢n都近似地看作不變，見都與M點處的V與n相同,這樣，流體穿過dS的流量(liling)dQ，就近似地等于以dS為底面積，而以Vn為高的柱體體積 .第32頁/共285頁第三十二頁，共285頁。第33頁/共285頁第三十三頁，共285頁。第34頁/共285頁第三十四頁，共285頁。第35頁/共285頁第三十五頁，共285頁。第36頁/共285頁第三十六頁，共285頁。 一般應理解為：在單位時間(shjin)內(nèi)流體向正側穿過曲面S的正流量與負流量的代數(shù)和所以，當Q0時，就表

13、示向正側穿邊S的流量多于沿相反方向穿過S的流量；同理，當Q0或Q0，則表示向正側穿過好的流量少于或等于沿相反方向穿過S的流量。 如果好為一封閉曲面，則流量 表示從內(nèi)穿出S的正流量與從外穿入S的負流量的代數(shù)和從而當Q0時，就表示流出多于流入，此時在S內(nèi)必有產(chǎn)生流體的泉源。當然，也可能還有排泄流體的漏洞，但所產(chǎn)生的流體必定多于排泄的流體因此，在Q0時，不論S內(nèi)有無漏洞，我們總說S內(nèi)有正源；同理，當Q0時，我們就說S內(nèi)有負源 依此在一般的矢量場A(M)中，對于穿出封閉(fngb)曲面S的通量，我們也視其為正或為負而說S內(nèi)有正源或負源至于其源的實際意義為何，應視具體的物理場而定第37頁/共285頁第三

14、十七頁，共285頁。第38頁/共285頁第三十八頁，共285頁。2散度 由上述可知，在矢量場A(M)中，對于穿出閉曲面S的通量，我們可以視其為正或為負得知S內(nèi)有正源或負源但僅此還不能了解源在S內(nèi)的分布情況以及源的強弱程度等問題(wnt)為此,我們引入矢量場的散度概念第39頁/共285頁第三十九頁，共285頁。 由此定義(dngy)可見散度divA為一數(shù)量，表示場內(nèi)一點處的通量對體積的變化率，也就是在該點處對一個單位體積來說所穿出之通量，稱為該點處源的強度因此，當divA之值不為零時，其符號為正或為負，就順次表示在該點處有散發(fā)通量之正源或有吸收通量的負源，其絕對值IdivAI就相應地提示征該點處

15、散發(fā)通量或吸收通量的強度；當div A之值為零時，就表示在該點處無源由此，稱div=0的場為無源場(2) 散度在直角坐標泵中的表示式 散度的定義(dngy)是與坐標系無關的其在直角坐標系中的表示式為：第40頁/共285頁第四十頁，共285頁。第41頁/共285頁第四十一頁，共285頁。第42頁/共285頁第四十二頁，共285頁。第43頁/共285頁第四十三頁，共285頁。第44頁/共285頁第四十四頁，共285頁。第45頁/共285頁第四十五頁，共285頁。第46頁/共285頁第四十六頁，共285頁。第47頁/共285頁第四十七頁，共285頁。第48頁/共285頁第四十八頁，共285頁。第49

16、頁/共285頁第四十九頁，共285頁。第50頁/共285頁第五十頁，共285頁。第51頁/共285頁第五十一頁，共285頁。第52頁/共285頁第五十二頁，共285頁。第53頁/共285頁第五十三頁，共285頁。 2旋度 從上面我們看到，環(huán)量面密度是一個和方向有關的概念，正如數(shù)量場中的方向?qū)?shù)與方向有關一樣然而在數(shù)量場中，我們提出了一個梯度矢量(shling)，在給定點處，它的方向表出了最大方向?qū)?shù)的方向，其模即為最大方向?qū)?shù)的數(shù)值，而且它在任一方向上的投影，就給出該方向上的方向?qū)?shù)。 希望也能找到這樣一種矢量(shling)，它與環(huán)量面密度的關系，正如梯度與方向?qū)?shù)之間的關系一樣。 為此，我

17、來看環(huán)量面密度的計算公式(412)容易看出，它和方向?qū)?shù)計算公式(22)很類似若把其中三個數(shù)第54頁/共285頁第五十四頁，共285頁。 上式表明，在給定點處，R在任一方向n上的投影，就結出該方向上的環(huán)量面密度。從而(cng r)可知，R的方向為環(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值這說明矢量R完全符合我們所希望找到的那種矢量，我們把它叫做矢量場A的旋度。定義如下：1 旋度的定義(dngy)：若在矢量場A中的一點M處存在這樣的一個矢量R，矢量場A在點M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大。這個最大的數(shù)值，正好就是IRI，則稱矢量R為矢量場A在點M處的旋度，記做rotA，即簡言之，旋度矢量在

18、數(shù)值和方向上表示了最大的環(huán)量面密度施度的上述定義，是與坐標系無關(wgun)的上面(413)式中的矢量R是它在直角坐標系個的表示式就是說，在直角坐標系中有:第55頁/共285頁第五十五頁，共285頁。第56頁/共285頁第五十六頁，共285頁。第57頁/共285頁第五十七頁，共285頁。第58頁/共285頁第五十八頁，共285頁。第59頁/共285頁第五十九頁，共285頁。第60頁/共285頁第六十頁，共285頁。第61頁/共285頁第六十一頁，共285頁。第62頁/共285頁第六十二頁，共285頁。第63頁/共285頁第六十三頁，共285頁。第64頁/共285頁第六十四頁，共285頁。第65

19、頁/共285頁第六十五頁，共285頁。 2) 平面調(diào)和場我們先介紹平行平面場的概念： 如果某個矢量(shling)場具有這樣的幾何特點，就是場中所有的矢量(shling)都平行于某一平面，而且在垂直于 的任意直線的所有點上，場中矢量(shling)的大小和方向都相同，則稱這種矢量(shling)場為平行平面場，通常把平行平面場簡稱為平面場現(xiàn)在來看平面調(diào)和場，平面調(diào)和場是指既無源又無旋的平面矢量(shling)場和空間調(diào)和場的概念完全類似，但它比起空間調(diào)和場來說，具有某些特殊性質(zhì)：第66頁/共285頁第六十六頁，共285頁。第67頁/共285頁第六十七頁，共285頁。 這兩個方程即是二維拉普拉斯

20、方程由此可知：函數(shù)u與v均為滿足二維拉普拉斯方程的調(diào)和函數(shù)。又因二者由(521)式聯(lián)系著，并稱其為共軛調(diào)和函數(shù)，（5.21)式為共軛調(diào)和條件(tiojin)應用達個條件(tiojin)，就可以從u與v中的一個求出另一個來，第68頁/共285頁第六十八頁，共285頁。第69頁/共285頁第六十九頁，共285頁。第70頁/共285頁第七十頁，共285頁。第71頁/共285頁第七十一頁，共285頁。第72頁/共285頁第七十二頁，共285頁。二、復數(shù)(fsh)表示法 1 復平面 一個(y )復數(shù)zx十iy由一對有序?qū)崝?shù)(x，y) 確定，所以在平面上取直角坐標系XOY，就可以用坐標為(x，y)的點表示

21、復數(shù)zx+iy(于是復數(shù)就與平面上的點一一對應。實數(shù)與x抽上的點一一對應，X軸稱為實軸； 純虛數(shù)iy與y軸上的點一一對應，y稱為虛軸。第73頁/共285頁第七十三頁，共285頁。第74頁/共285頁第七十四頁，共285頁。第75頁/共285頁第七十五頁，共285頁。第76頁/共285頁第七十六頁，共285頁。第77頁/共285頁第七十七頁，共285頁。第78頁/共285頁第七十八頁，共285頁。第79頁/共285頁第七十九頁，共285頁。第80頁/共285頁第八十頁，共285頁。第81頁/共285頁第八十一頁，共285頁。第82頁/共285頁第八十二頁，共285頁。第83頁/共285頁第八十三

22、頁，共285頁。第84頁/共285頁第八十四頁，共285頁。第85頁/共285頁第八十五頁，共285頁。第86頁/共285頁第八十六頁，共285頁。第87頁/共285頁第八十七頁，共285頁。第88頁/共285頁第八十八頁，共285頁。第89頁/共285頁第八十九頁，共285頁。第90頁/共285頁第九十頁，共285頁。第91頁/共285頁第九十一頁，共285頁。第92頁/共285頁第九十二頁，共285頁。4 平面(pngmin)點集和區(qū)域一、點集攝念 按照其一法則在全體復數(shù)內(nèi)選取有限個或無限個復數(shù)組成(z chn)一個復數(shù)集t，這個集合中的復數(shù)在復平面上對應的點就組成(z chn)一個點集，

23、即點集是內(nèi)復平面上有限個或無限個點組成(z chn)的整合第93頁/共285頁第九十三頁，共285頁。第94頁/共285頁第九十四頁，共285頁。第95頁/共285頁第九十五頁，共285頁。第96頁/共285頁第九十六頁，共285頁。975 復變函數(shù)(hnsh)的定義稱為為函數(shù)值對應的與上的定義義wzzEfivuwzEffiyxzE ),( , , , , . 復復變變數(shù)數(shù)簡簡稱稱復復變變函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)復復變變數(shù)數(shù)是是那那末末稱稱之之對對應應與與就就有有一一個個或或幾幾個個復復數(shù)數(shù)的的每每一一個個復復數(shù)數(shù)中中對對于于集集合合按按這這個個法法則則存存在在確確定定的的法法則則如如果果有有一一

24、個個的的集集合合是是一一個個復復數(shù)數(shù)設設 1.復變函數(shù)復變函數(shù)(hnsh)的的定義定義:).( zfw 記作記作第97頁/共285頁第九十七頁，共285頁。982.單單(多多)值函數(shù)值函數(shù)(hnsh)的定義的定義:. )( , 是單值的是單值的我們稱函數(shù)我們稱函數(shù)那末那末的值的值的一個值對應著一個的一個值對應著一個如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我們稱函數(shù)那末我們稱函數(shù)的值的值兩個以上兩個以上的一個值對應著兩個或的一個值對應著兩個或如果如果zfwz3.定義集合定義集合(jh)和函數(shù)值集合和函數(shù)值集合(jh): ; )( )( 定定義義域域的的定定義義集集合合稱稱為為集集合合z

25、fE.( , )( 值域）稱為函數(shù)值集合稱為函數(shù)值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有對應于對應于EfwzE()| , ( ) f EwzE f zw 第98頁/共285頁第九十八頁，共285頁。994. 復變函數(shù)(hnsh)與自變量之間的關系:例如例如(lr),(lr), , 2zw 函數(shù)函數(shù), ivuwiyxz 令令2)( iyxivu 則則,222xyiyx : 2數(shù)數(shù)對對應應于于兩兩個個二二元元實實變變函函于于是是函函數(shù)數(shù)zw ,22yxu .2xyv : )( 相當于兩個關系式相當于兩個關系式之間的關系之間的關系自變量自變量與與復變函數(shù)復變函數(shù)zfwzw ),(),(

26、yxvvyxuu . 的兩個二元實變函數(shù)的兩個二元實變函數(shù)和和它們確定了自變量為它們確定了自變量為yx( )( , )( , ),wf zu x yiv x y 若令若令z=rei ,則則 w=f(z)=u(r, )+i v(r, )222222222cossincos siniz rewzrrurvr 第99頁/共285頁第九十九頁，共285頁。第100頁/共285頁第一百頁，共285頁。101復變函數(shù)(hnsh)的幾何意義（1）. 引入引入:. , , , , 的的點點集集之之間間的的對對應應關關系系上上必必須須看看成成是是兩兩個個復復平平面面的的幾幾何何圖圖形形表表示示出出來來因因而而無

27、無法法用用同同一一平平面面內(nèi)內(nèi)之之間間的的對對應應關關系系和和由由于于它它反反映映了了兩兩對對變變量量對對于于復復變變函函數(shù)數(shù)yxvu第101頁/共285頁第一百零一頁，共285頁。102（2）復變函數(shù)的幾何）復變函數(shù)的幾何(j h)意意義義:).()( )( )( , , 或或變變換換的的映映射射函函數(shù)數(shù)值值集集合合平平面面上上的的一一個個點點集集變變到到定定義義集集合合平平面面上上的的一一個個點點集集是是把把在在幾幾何何上上就就可可以以看看作作那那末末函函數(shù)數(shù)值值的的平平面面上上的的點點表表示示函函數(shù)數(shù)而而用用另另一一個個平平面面的的值值平平面面上上的的點點表表示示自自變變量量如如果果用用

28、FwEzzfwwwzz 取兩張復平面，分別取兩張復平面，分別(fnbi)稱為稱為z平面和平面和w平平面面第102頁/共285頁第一百零二頁，共285頁。103. ),( , )( 的的原原象象稱稱為為而而映映象象的的象象稱稱為為那那末末中中的的點點映映射射成成被被映映射射中中的的點點如如果果wzzwwFzfwzE . )( 所所構構成成的的映映射射函函數(shù)數(shù)這這個個映映射射通通常常簡簡稱稱為為由由zfw xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C 第103頁/共285頁第一百零三頁，共285頁。104 . )1構構成成的的映映射射函函數(shù)數(shù)zw xyouvoiz3

29、21 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC (3). 兩個兩個(lin )特殊特殊的映射的映射:. ibawwibazz 的點的點平面上平面上映射成映射成平面上的點平面上的點將將第104頁/共285頁第一百零四頁，共285頁。105xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC . , 映射映射是關于實軸的一個對稱是關于實軸的一個對稱不難看出不難看出重疊在一起重疊在一起平面平面平面和平面和如果把如果把zwwz o1w 2w 1z 2z 且是全同圖形且是全同圖形(txng

30、).第105頁/共285頁第一百零五頁，共285頁。106 . )22構成的映射構成的映射函數(shù)函數(shù)zw . 1 ,43, 1 1,21, 321321 wiwwwzizizz平面上的點平面上的點映射成映射成平面上的點平面上的點顯然將顯然將xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z第106頁/共285頁第一百零六頁，共285頁。107 . 2構成的映射構成的映射函數(shù)函數(shù)zw 根據(jù)復數(shù)根據(jù)復數(shù)(fsh)的乘法公式可知的乘法公式可知, . 2的輻角增大一倍的輻角增大一倍將將映射映射zzw xyouvo 2 . 2 的角形域的角形域平面上與實軸交角為平面上與實軸交角為的角形域映射成的角形域映射成平面

31、上與實軸交角為平面上與實軸交角為將將 wz第107頁/共285頁第一百零七頁，共285頁。108 : 2數(shù)數(shù)對應于兩個二元實變函對應于兩個二元實變函函數(shù)函數(shù)zw .2,22xyvyxu ,2, 2122cxycyxxyz 曲線曲線標軸為漸近線的等軸雙標軸為漸近線的等軸雙和坐和坐線線平面上的兩族分別以直平面上的兩族分別以直它把它把(如下如下(rxi)頁圖頁圖)., 21cvcuw 平面上的兩族平行直線平面上的兩族平行直線分別映射成分別映射成第108頁/共285頁第一百零八頁，共285頁。109xyouvoW 將第一圖中兩塊陰影部分映射將第一圖中兩塊陰影部分映射(yngsh)成成第二圖中同一個長方

32、形第二圖中同一個長方形.第109頁/共285頁第一百零九頁，共285頁。110 : 的象的參數(shù)方程為的象的參數(shù)方程為直線直線 x ) (.2,22為參數(shù)為參數(shù)yyvyu : 得得消去參數(shù)消去參數(shù) y),(4222uv 以原點為焦點以原點為焦點,開口開口(ki ku)相左的拋物線相左的拋物線.(圖中紅色圖中紅色曲線曲線) : 的象為的象為同理直線同理直線 y),(4222uv 以原點為焦點以原點為焦點,開口開口(ki ku)相右的拋物線相右的拋物線.(圖中藍圖中藍色曲線色曲線)第110頁/共285頁第一百一十頁，共285頁。1116. 反函數(shù)的定義反函數(shù)的定義(dngy): .)( , )( ,

33、 )( 點點或或幾幾個個中中的的一一個個必必將將對對應應著著每每一一個個點點中中的的那那末末平平面面上上的的集集合合數(shù)數(shù)值值集集合合為為函函平平面面上上的的集集合合的的定定義義集集合合為為設設EwFEfFwEzzfw . )( , )( , )( ,)( 1的逆映射的逆映射為映射為映射也稱也稱的反函數(shù)的反函數(shù)它稱為函數(shù)它稱為函數(shù)函數(shù)函數(shù)或多值或多值上就確定了一個單值上就確定了一個單值于是在于是在zfwzfwwfzF 記作：第111頁/共285頁第一百一十一頁，共285頁。112根據(jù)根據(jù)(gnj)反函數(shù)的定義反函數(shù)的定義,Fw ),(wfw 當反函數(shù)當反函數(shù)(hnsh)為單值為單值函數(shù)函數(shù)(hn

34、sh)時時, .),(Ezzfz . . )() ( ,)( )( )( )( 是是一一一一對對應應的的合合與與集集也也可可稱稱集集合合是是一一一一對對應應的的射射映映那那末末稱稱函函數(shù)數(shù)都都是是單單值值的的逆逆映映射射與與它它的的反反函函數(shù)數(shù)映映射射如如果果函函數(shù)數(shù)FEzfwwzzfw 今后不再今后不再(b zi)區(qū)別函數(shù)與映射區(qū)別函數(shù)與映射.第112頁/共285頁第一百一十二頁，共285頁。113解解例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面點集在下求下列平面點集在在映射在映射wzw ;4 , 20 )1( r線段線段, , iiewrez 設設,2, 2 r則則,2 , 40 4

35、, 20 映射為映射為故線段故線段r還是還是(hi shi)線段線段.xyouvo 2zw第113頁/共285頁第一百一十三頁，共285頁。114例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面點集在下求下列平面點集在在映射在映射wzw ; 4 )2(22 yx雙曲線雙曲線, ivuwiyxz 令令ivu 則則,222xyiyx ,22yxu 解解, 4422 uyx . 軸的直線軸的直線平行于平行于vxyo 2zwuvo22 4第114頁/共285頁第一百一十四頁，共285頁。115例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面點集在下求下列平面點集在在映射在映射wzw 解解. 20 ,4

36、0 )3( r 扇形域扇形域, , iiewrez 設設,2, 2 r則則, 40,20 映射為映射為故扇形域故扇形域20 ,40 r 2zw仍是扇形仍是扇形(shn xn)域域.第115頁/共285頁第一百一十五頁，共285頁。116例例2 2解解 . 2 ,1 的象的象求圓周求圓周對于映射對于映射 zzzw, ivuwiyxz 令令zzw1 映射映射,22yxiyxiyxivu , 22yxxxu 于是于是,22yxyyv : 2 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為圓周圓周 z20,sin2cos2 yx第116頁/共285頁第一百一十六頁，共285頁。11720,sin23cos25 vu所以所以

37、(suy)象的參數(shù)方象的參數(shù)方程為程為 : 平面上的橢圓平面上的橢圓表示表示 w. 123252222 vu第117頁/共285頁第一百一十七頁，共285頁。1186 、復變函數(shù)(hnsh)的極限與連續(xù)1.函數(shù)函數(shù)(hnsh)極限的極限的定義定義:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時的極限時的極限趨向于趨向于當當為為那末稱那末稱有有時時使得當使得當相應地必有一正數(shù)相應地必有一正數(shù)對于任意給定的對于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設函數(shù)設函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAz

38、fzzzz 或或記作記作注意注意(zh (zh y):y): . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中zz 一一.函數(shù)極限函數(shù)極限:第118頁/共285頁第一百一十八頁，共285頁。1192. 極限計算極限計算(j sun)的性質(zhì)的性質(zhì)定理定理(dngl)1.2.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設設證證 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根據(jù)極限根據(jù)極限(jxin)的定的定義義 , )()(0 00時時當當 iyxiyx

39、 ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.第119頁/共285頁第一百一十九頁，共285頁。120 , )()(0 2020時時或當或當 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020時時那么當那么當 yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有第120頁/共285頁第一百二十頁，共285頁。121 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0時時故當故當 zz

40、,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以證畢證畢說明說明(shumng). ),( ),( , ),(),()( 的的極極限限問問題題和和函函數(shù)數(shù)轉轉化化為為求求兩兩個個二二元元實實變變的的極極限限問問題題該該定定理理將將求求復復變變函函數(shù)數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 第121頁/共285頁第一百二十一頁，共285頁。122定理定理(dngl).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末設設與實變函數(shù)的極限性質(zhì)與實變函數(shù)的極限性

41、質(zhì)(xngzh)類似類似.惟一(wiy)性復合運算等第122頁/共285頁第一百二十二頁，共285頁。123例例3 3證證 (一一). 0 )Re()( 不不存存在在時時的的極極限限當當證證明明函函數(shù)數(shù) zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 則則, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趨于零時趨于零時沿直線沿直線當當kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 第123頁/共285頁第一百二十三頁，共285頁。124)1(lim220kxxx ,112k , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存

42、在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根據(jù)根據(jù)(gnj)定理一可定理一可知知, . )(lim0不存在不存在zfz證證 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 則則,cos 第124頁/共285頁第一百二十四頁，共285頁。125 , arg 趨于零時趨于零時沿不同的射線沿不同的射線當當 zz .)(趨于不同的值趨于不同的值zf , 0arg 趨于零時趨于零時沿正實軸沿正實軸例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趨于零時趨于零時沿沿 z, 0)(zf . )(lim 0不存在不存在故故zfz第125頁/共285頁第一百二十五頁，共285頁

43、。126例例4 4證證. 0 )0( )( 限不存在限不存在時的極時的極當當證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzzf,)(, ivuzfiyxz 令令,),( 2222yxyxyxu 則則,2),(22yxxyyxv , 趨于零時趨于零時沿直線沿直線當當kxyz 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk 第126頁/共285頁第一百二十六頁，共285頁。127 , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxvyyxx根據(jù)定理根據(jù)定理(dngl)一一可知可知, . )(lim0不存在不存在zfz第127頁/共285頁第一百二十七頁，

44、共285頁。128二、函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性1. 連續(xù)連續(xù)(linx)的的定義定義:000lim( ) Def1.17 , ( ) ( ). zzf zf zf zz 如如果果那那末末我我們們就就說說在在處處連連續(xù)續(xù) 連續(xù)(linx)的三要素:000( ) | 0 | ( )()|0 zE |f(z)|M （2） |f(z)|在E上有最值. 即： z1, z2E zE |f(z)|f(z2)| （3） f(z)在E上一致(yzh)連續(xù).即0, 0 當z1, z2E且|z1- z2| 有|f(z1)-f(z2)|第134頁/共285頁第一百三十四頁，共285頁。135復平面點集的幾個基本(jb

45、n)定理 定理(dngl)1.4 (Bolzano-Weierstrass)聚點定理(dngl) 每一個有界無窮點集,至少有一個聚點 定理(dngl)1.5(Conton閉集套定理(dngl) 設有無窮閉集列Fn, Fn Fn 定理(dngl)1.6(Heine-Borel定理(dngl)第135頁/共285頁第一百三十五頁，共285頁。136小結(xioji)與思考 2. 通過本課的學習通過本課的學習, 熟悉復變函數(shù)的極限、連熟悉復變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運算續(xù)性的運算(yn sun)法則與性質(zhì)法則與性質(zhì). 注意:復變函數(shù)極限的定義與一元實變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同(xin tn), 但

46、在實質(zhì)上有很大的差異, 它較之后者的要求苛刻得多. 1. 復變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個重點復變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個重點.注意：注意：復變函數(shù)與一元實變函數(shù)的定義完全一樣復變函數(shù)與一元實變函數(shù)的定義完全一樣,只要將后者定義中的只要將后者定義中的“實數(shù)實數(shù)”換為換為“復數(shù)復數(shù)”就行了就行了.第136頁/共285頁第一百三十六頁，共285頁。137思考題思考題“函數(shù)函數(shù)”、“映射映射(yngsh)”、“變換變換”等名詞有無等名詞有無區(qū)別？區(qū)別？?)( , )( 00有無關系有無關系徑徑選取的路選取的路所采取的方式所采取的方式趨于趨于此極限值與此極限值與時的極限存在時的極限存在當當設復

47、變函數(shù)設復變函數(shù)zzzzzf第137頁/共285頁第一百三十七頁，共285頁。138思考題思考題1答案答案(d n) 在復變函數(shù)中在復變函數(shù)中, 對對“函數(shù)函數(shù)”、“映射映射”、“變換變換”等名詞的使用等名詞的使用, 沒有本質(zhì)上的區(qū)別沒有本質(zhì)上的區(qū)別(qbi). 只是只是函數(shù)一般是就數(shù)的對應而言函數(shù)一般是就數(shù)的對應而言, 而映射與變換一般而映射與變換一般是就點的對應而言的是就點的對應而言的.思考題思考題2答案答案(d n)沒有關系沒有關系. , 0zz以任何方式趨于以任何方式趨于極限值都是相同的極限值都是相同的.放映結束，按放映結束，按EscEsc退出退出. .第138頁/共285頁第一百三十

48、八頁，共285頁。第139頁/共285頁第一百三十九頁，共285頁。第140頁/共285頁第一百四十頁，共285頁。第141頁/共285頁第一百四十一頁，共285頁。第142頁/共285頁第一百四十二頁，共285頁。第143頁/共285頁第一百四十三頁，共285頁。第144頁/共285頁第一百四十四頁，共285頁。第145頁/共285頁第一百四十五頁，共285頁。第146頁/共285頁第一百四十六頁，共285頁。第147頁/共285頁第一百四十七頁，共285頁。第148頁/共285頁第一百四十八頁，共285頁。第149頁/共285頁第一百四十九頁，共285頁。第150頁/共285頁第一百五十頁

49、，共285頁。第151頁/共285頁第一百五十一頁，共285頁。第152頁/共285頁第一百五十二頁，共285頁。第153頁/共285頁第一百五十三頁，共285頁。第154頁/共285頁第一百五十四頁，共285頁。第155頁/共285頁第一百五十五頁，共285頁。第156頁/共285頁第一百五十六頁，共285頁。第157頁/共285頁第一百五十七頁，共285頁。第158頁/共285頁第一百五十八頁，共285頁。第159頁/共285頁第一百五十九頁，共285頁。第160頁/共285頁第一百六十頁，共285頁。第161頁/共285頁第一百六十一頁，共285頁。第162頁/共285頁第一百六十二頁，

50、共285頁。第163頁/共285頁第一百六十三頁，共285頁。第164頁/共285頁第一百六十四頁，共285頁。第165頁/共285頁第一百六十五頁，共285頁。第166頁/共285頁第一百六十六頁，共285頁。第167頁/共285頁第一百六十七頁，共285頁。第168頁/共285頁第一百六十八頁，共285頁。第169頁/共285頁第一百六十九頁，共285頁。第170頁/共285頁第一百七十頁，共285頁。第171頁/共285頁第一百七十一頁，共285頁。第172頁/共285頁第一百七十二頁，共285頁。第173頁/共285頁第一百七十三頁，共285頁。第174頁/共285頁第一百七十四頁，共

51、285頁。第175頁/共285頁第一百七十五頁，共285頁。第176頁/共285頁第一百七十六頁，共285頁。第177頁/共285頁第一百七十七頁，共285頁。第178頁/共285頁第一百七十八頁，共285頁。第179頁/共285頁第一百七十九頁，共285頁。第180頁/共285頁第一百八十頁，共285頁。第181頁/共285頁第一百八十一頁，共285頁。第182頁/共285頁第一百八十二頁，共285頁。第183頁/共285頁第一百八十三頁，共285頁。第184頁/共285頁第一百八十四頁，共285頁。第185頁/共285頁第一百八十五頁，共285頁。第186頁/共285頁第一百八十六頁，共2

52、85頁。第187頁/共285頁第一百八十七頁，共285頁。第188頁/共285頁第一百八十八頁，共285頁。第189頁/共285頁第一百八十九頁，共285頁。第190頁/共285頁第一百九十頁，共285頁。第191頁/共285頁第一百九十一頁，共285頁。第192頁/共285頁第一百九十二頁，共285頁。第193頁/共285頁第一百九十三頁，共285頁。第194頁/共285頁第一百九十四頁，共285頁。第195頁/共285頁第一百九十五頁，共285頁。第196頁/共285頁第一百九十六頁，共285頁。第197頁/共285頁第一百九十七頁，共285頁。第198頁/共285頁第一百九十八頁，共28

53、5頁。第199頁/共285頁第一百九十九頁，共285頁。第200頁/共285頁第二百頁，共285頁。第201頁/共285頁第二百零一頁，共285頁。第202頁/共285頁第二百零二頁，共285頁。第203頁/共285頁第二百零三頁，共285頁。第204頁/共285頁第二百零四頁，共285頁。第205頁/共285頁第二百零五頁，共285頁。第206頁/共285頁第二百零六頁，共285頁。第207頁/共285頁第二百零七頁，共285頁。第208頁/共285頁第二百零八頁，共285頁。第209頁/共285頁第二百零九頁，共285頁。第210頁/共285頁第二百一十頁，共285頁。第211頁/共285頁第二百一十一頁，共285頁。第212頁/共285頁第二百一十二頁，共285頁。第213頁/共285頁第二百一十三頁，共285頁。第214頁/共285頁第二百一十四頁，共285頁。第215頁