標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)

1、1一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算三、一般正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布第七節(jié)第二章四、正態(tài)分布的概率計(jì)算2正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，一定服從或近似服從正態(tài)分布許多分布所不具備的 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布近似分布以下情形加以說明： 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一， 大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以證明， 如果一個隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響,但其中任何一個因素都不起決定性作用， 則該隨機(jī)指標(biāo) 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)， 這些性質(zhì)是其它這可以由3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 xexx2221下面我們介紹一種最重

2、要的正態(tài)分布定義定義若連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 記為) 1 , 0( NX標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特別重要的它的密度函數(shù)經(jīng)常被使用，所以用專門的符號)(x來表示。分布。一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)x0)(x4密度函數(shù)的驗(yàn)證密度函數(shù)的驗(yàn)證 是其密度函數(shù)，上的正態(tài)分布，設(shè)xNX) 1 , 0( 0 xx對，；任意的有222xedx12122dxex則有（2） 根據(jù)反常積分的運(yùn)算有可以推出 xexx2221確是密度函數(shù)由此可知， x5 xexx2221若隨機(jī)變量則密度函數(shù)的性質(zhì)為：) 1 , 0( NXx0)(x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)的

3、性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)，X的密度函數(shù)為 內(nèi)處處連續(xù)；在xx. 1 軸對稱；為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于yx. 2 有最大值：時，當(dāng)xx0. 3 399. 0210 ;1. 4有拐點(diǎn)時，曲線當(dāng)xx。軸為曲線的水平漸近線x. 5 x的圖像稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)（高斯）曲線。6 xexx2221隨機(jī)變量) 1 , 0( NX由由于于,ba由圖像可知，陰影面積為概率值。badxxbXaP)()(對同一長度的區(qū)間，若這區(qū)間越靠近x0)(xab, 0 x其對應(yīng)的曲邊梯形面積越大。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布規(guī)律時“中間多，兩頭少”.7二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函 xexx2221分布函數(shù)為分布

4、函數(shù)為 xdtedttxxtx2221)(x 1、分布函數(shù)、分布函數(shù)x0)(xx)(x8 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，2 2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表dtexxt2221)(表中給的是x 0時, (x)的值.可以解決標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算.)(xXPx0)(xx)(x9x0)(xx-xxXxPxXP)()(xx1)(2x1( )x ()1( )xx 221()2uxxedu 22112uxedu 2212uxedu令,tudtdu 則()( )xxt dt 如果0,x 由公式得2212txedt10例例1 1011212XNPXPX 設(shè)隨變，試：；機(jī)量求 1221PX 0.9

5、7720.84131359. 0 1221PX 1120.9772 10.8413 0.8185解解 14. 1424. 13XPXP 24. 13XP24. 124. 11 1075. 08925. 01 14. 14XP114. 127458. 018729. 0211由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明，X 的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間內(nèi)，當(dāng)XN(0,1)時，3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 6826. 01121XP 9544. 01222XP 9974. 01323XP超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.12三、一般三、一般正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)0 x)(xp作正態(tài)(高斯）曲

6、線.所確定的曲線叫如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為( )p x2( ,)XN 22()21( ),2xp xex （其中,0 為參數(shù)）則隨機(jī)變量X服從參數(shù)為, 的正態(tài)分布，記為13一般正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)一般正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)數(shù)對于正態(tài)分布的密度函對稱，曲線關(guān)于直線xxp (x)0hh，有這表明：對于任意的0hhXPXhP我們有：由高等數(shù)學(xué)中的知識， xexpx2222114 取到最大值時，當(dāng)xpxxp (x)0hh 處有拐點(diǎn)；在曲線xxpy 的值就越小越遠(yuǎn)，離xpx的區(qū)間，這表明，對于同樣長度越遠(yuǎn)時，當(dāng)區(qū)間離 21p越小落在該區(qū)間中的概率就隨機(jī)變量X 軸為漸近線以曲線Oxxpy

7、 (4)15稱為位置參數(shù)。位置參數(shù)。 軸平行移動，的圖形沿則xxp不改變其形狀 所確定圖形的位置完全由參數(shù)因此xpy (5) 若固定，而改變的值，16決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和稱為形狀參數(shù)形狀參數(shù)。 圖形越陡，越小時，可知，當(dāng)xpy 21p 的最大值為由于xp越大時，反之，當(dāng)落在因而X附近的概率越大；的取值越分散這表明X 的圖形xpy 越平坦，當(dāng)和不同時，惟一確定，是不同的正態(tài)分布.(6) 若 固定，而改變的值，17),(2NX時的6826. 0)|(|XP9544. 0)2|(|XP9974. 0)3|(|XP3,3可以認(rèn)為， X的取值幾乎全部集中在的區(qū)間內(nèi)。 這在統(tǒng)

8、計(jì)學(xué)上稱為3準(zhǔn)則”3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則0 x)(xp18 設(shè)),(2NXX 的分布函數(shù)是xdtexFxt,21)(222)(四、正態(tài)分布的概率計(jì)算四、正態(tài)分布的概率計(jì)算19它的依據(jù)是下面的引理：正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.),(2NX1 , 0 NXY則 設(shè)引理引理任何一個一般的根據(jù)引理, 只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，20一般正態(tài)分布的計(jì)算一般正態(tài)分布的計(jì)算 函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布x 有故對任意的, ba )(xXPxF)(xxXPbXaP),(2NX設(shè)若)()()(abbXaP1 , 0 NX1 , 0

9、NXYab)(bYaP212915260XNPXP XP X設(shè)隨變，試 ； ； 機(jī)量求：51 XP)321()325( 311 131116293. 08413. 04706. 0解解例例3 332532321XP. 32),3, 2(2NX22；，試求：，設(shè)隨機(jī)變量0625192XPXPXPNX62162XPXP6261XP841XP)324()328(1 221 21221 0.97730.0455例例3 3解解010XPXP)320(13217486. 03223已知210,20.6808XNP Xd95. 010CXP求.,cd解解100.68082dP Xd 10P XC95. 01

10、22c975. 02c92. 396. 12cc例例4100.472d 10.94.d 1022XCP24例例5 5某地區(qū)18至22歲的男子身高為X ,從該地區(qū) 1、隨機(jī)地抽查一青年男子的身高，25 . 5,170 NX他身高超過168cm 的概率為多少。2、若抽查10個青年男子測其身高恰有k（0k 10)個人的身高高于168cm 的概率為多少？解解1681168XPXP5 . 5170168164. 0364. 01、2、 設(shè)該地區(qū)身高高于168cm的人數(shù)為X .pnBX,64. 010pn.10, 1 , 036. 064. 01010kCkXPkkk25 公共汽車車門的高度是按男子與車門

11、頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高XN (170,62),問車門高度應(yīng)如何確定? 解解: : 設(shè)車門高度為h cm,按設(shè)計(jì)要求或01. 0 hXP99. 0 hXP因?yàn)?XN(170,62),) 1 , 0(6170NX )6170(h0.99hXP(2.33)=0.99010.9933. 26170h18498.13170h即 設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01.故故查表得例例6 626例例7 7的概率不超過個月的月降水量都起連續(xù)的正態(tài)分布求從某月）（單位：，某地區(qū)的月降水量服從cmcm50104402440，則：該地區(qū)的月降水量設(shè)：NXX50PX

12、)44050(解解5 . 29938. 0cmP5010個月降水量都不超過連續(xù)所以，109938. 09396. 027 一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分布(100,152),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率.解解: : 設(shè)Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞損壞的元件數(shù),2514. 0)67. 0()1510090(故4195. 0)1 (03pYP則其中pBY, 390XPp例例8 828例例9設(shè)某工程隊(duì)完成某項(xiàng)工程所需時間為X (天)近似服從參數(shù)為225,100的正態(tài)分布。 獎金辦法規(guī)定：若在100天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎 1

13、0000元；若在100天至115天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎 1000元；若完成時間超過115天，則罰款 5000元。求該工程隊(duì)在完成這項(xiàng)工程時， 獎金額Y的分布列。解解 依題意25 ,100 NX1001000011510010001155000XXXY可見Y是X的函數(shù)， 且是離散型隨機(jī)變量。291155000XPYP51001151 0013. 09987. 01311151001000XPYP 051001154987. 010010000XPYP 5 . 00 則Y 的分布列5 . 04987. 00013. 01000010005000kpY25 ,100 NX30分位點(diǎn)。為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上則稱點(diǎn)滿足條件若設(shè)zzzNX PX , 10,),1,0(0.05z1.645,0 x)(xz1z1-z, .z 0.95 z1.645, 0.0052.57,z0.9952.57.z 查表可知31作業(yè)作業(yè)P142 16 17 18 19 2032正態(tài)分布正態(tài)分布在處理實(shí)際問題時常常遇到這樣一種隨機(jī)變量，對它進(jìn)行大量重復(fù)的觀察， 得到一組數(shù)據(jù)