彈性力學(xué)接觸問題學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1彈性力學(xué)接觸問題彈性力學(xué)接觸問題第一頁，編輯于星期二：二點 三十七分。 根據(jù)半空間體在邊界上受法向分布力中有關(guān)知識，可導(dǎo)出兩彈性體之間的接觸壓力以及由此所引起的應(yīng)力和變形，下面我們先對兩彈性球體進行討論。 設(shè)兩個球體半徑分別為R1和R2,如圖。一.兩球體的接觸問題 設(shè)開始時兩球體不受壓力作用，它僅接觸于一點O，那么此時，在兩球體表面上取距公共法線距離為r的M1和M2兩點，與O點的切平面之間的距離z1和z2.第1頁/共22頁第二頁，編輯于星期二：二點 三十七分。則由幾何關(guān)系有：(R1z1)2+r2=R12 (R2z2)2+r2=R22得1212 Rrz2222 Rrz（a）當(dāng)M1,M2離

2、O點很近時，則z1R1, z2R2，上面兩式可化為：11212zRrz22222zRrz第2頁/共22頁第三頁，編輯于星期二：二點 三十七分。而M1、M2兩點之間的距離為：22121212212)2121(rRRRRRRrzz 當(dāng)兩球體沿接觸點的公共法線用力F 相壓時，在接觸點的附近，將產(chǎn)生局部變形而形成一個圓形的接觸面。由于接觸面邊界的半徑總是遠小于R1、R2，所以可以采用關(guān)于半無限體的結(jié)果來討論這種局部變形。第3頁/共22頁第四頁，編輯于星期二：二點 三十七分。 現(xiàn)分別用w1和w2表示M1點沿z1方向的位移及M2點沿z2方向的位移（即相外的相對移動）；(w1+w2)=z1+z2 設(shè)為圓心O

3、1、O2因壓縮而相互接近的距離，如果M1與O1、M2與O2之間無相對移動則M1與M2、之間接近的距離也為； 于是M1點和M2點之間的距離減少為(w1+w2)，如果點M1、M2由于局部變形而成為接觸面內(nèi)的同一點M，則由幾何關(guān)系有：第4頁/共22頁第五頁，編輯于星期二：二點 三十七分。將式（a）代入，得w1+w2=r2 (b)其中，21212RRRR（c） 根據(jù)對稱性接觸面一定是以接觸點O為中心的圓?，F(xiàn)以圖中的圓表示接觸面，而M點表示下面的球體在接觸面上的一點（即變形以前的點M1），則按照彈性半空間受垂直壓力q的解答，該點的位移為：dd11211sqEw第5頁/共22頁第六頁，編輯于星期二：二點

4、三十七分。 其中1及E1為下面球體的彈性常數(shù)，而積分應(yīng)包括整個接觸面。對于上面的球體，也可以寫出相似的表達式，于是：dd)(2121sqkkww （d）其中12111Ek22221Ek并由（d）式及(c)式得221dd)(rsqkk（e）第6頁/共22頁第七頁，編輯于星期二：二點 三十七分。 到此，把問題歸結(jié)為去尋求未知函數(shù)q（即要找出壓力的分布規(guī)律），使式（e）得到滿足。 根據(jù)Hertz的假設(shè)，如果在接觸面的邊界上作半圓球面，而用它在各個點的高度代表壓力q各該點處的大小。 例如弦mn上一點壓力的大小，可用過mn所作半圓的高度h來代表。第7頁/共22頁第八頁，編輯于星期二：二點 三十七分。 接

5、觸圓內(nèi)任一點的壓力，應(yīng)等于半球面在該點的高度h和k=q0/a的乘積。由此，不難從圖可以看出， 令q0表示接觸圓中心O的壓力，則根據(jù)上述假定，應(yīng)有 q0=ka 由此得： k= q0/ak這個常數(shù)因子表示壓力分布的比例尺。A為弦mn上的半圓（用虛線表示）面的面積，即)sin(2222raAAaqshaqsq00dd第8頁/共22頁第九頁，編輯于星期二：二點 三十七分。Aaqsq0d由于)sin(2222raA代入后再代入式（e）202222021d)sin(22)(rraaqkk222021)2(4)(rraaqkk積分后得：，d221dd)(rsqkk有第9頁/共22頁第十頁，編輯于星期二：二點

6、 三十七分。 要使此式對所有的r都成立，等號兩邊的常數(shù)項和r2的系數(shù)分別相等，于是有2)(0221aqkk4)(0221qkk 這樣，只要式（g）成立，Hertz所假定的接觸面上壓力分布是正確的。根據(jù)平衡條件，上述半球體的體積與的乘積應(yīng)等于總壓力F，即Faaq3032(g)222021)2(4)(rraaqkk第10頁/共22頁第十一頁，編輯于星期二：二點 三十七分。由此的最大壓力（h）它等于平均壓力F/a2的一倍半。將式（c）和式（h）代入式（g），求解a及即得：由此并可求得最大接觸壓力為；3221212120)(3)(42323RRkkFRRFaPq302/3aFq 31212121)(4

7、)(3RRRRkkFa3121212212216)()(9RRRRkkF第11頁/共22頁第十二頁，編輯于星期二：二點 三十七分。31212212)(23.1RRERRF31222122120)(388.0RRRRFEq312121)(11.1RRERFRa 在E1=E2=E及1= 2時，由上列各式得出工程實踐中廣泛采用的公式：第12頁/共22頁第十三頁，編輯于星期二：二點 三十七分。 在求出接觸面間的壓力之后，可利用按照彈性半空間受垂直壓力q的解答導(dǎo)出的公式計算出兩球體中的應(yīng)力。 最大壓應(yīng)力發(fā)生在接觸面中心，值為q0； a 處，其值為0.31 q0； 最大拉應(yīng)力發(fā)生在接觸面的邊界上，其值為0

8、.133 q0。第13頁/共22頁第十四頁，編輯于星期二：二點 三十七分。二.圓球與平面（或凹球面）的接觸 利用上面關(guān)于兩彈性球體接觸時的有關(guān)結(jié)論，可得如下公式： 當(dāng)圓球與平面接觸時，將以上結(jié)果中的R1=R0,R2則得：3122212101143FEERa3122222121011169FEER3122212120301116EEFRqF第14頁/共22頁第十五頁，編輯于星期二：二點 三十七分。30109. 1EFRa 3022231. 1REF32020388. 0RFEq 在E1=E2=E及1= 2時，F(xiàn)第15頁/共22頁第十六頁，編輯于星期二：二點 三十七分。 當(dāng)圓球與凹球面接觸時，將以

9、R1代替兩圓球接觸時公式中的R1，則可得：3122212112211143FEERRRRa3122222121211211169FEERRRR3122221212211230116FEERRRRqF第16頁/共22頁第十七頁，編輯于星期二：二點 三十七分。311221)(11.1RRERFRa在E1=E2=E及1= 2時，31212122)(23.1RRERRF31222121220)(383.0RRRRFEqF第17頁/共22頁第十八頁，編輯于星期二：二點 三十七分。三 例題 直徑為10mm的鋼球與 a)直徑為100mm的鋼球； b)鋼平面； c)半徑為50mm的凹球面相接觸，其間的壓緊力P

10、=10N，試球接觸圓的半徑a,兩球中心相對位移和最大接觸應(yīng)力q0 .(E=2.1105 N/mm2, ）。第18頁/共22頁第十九頁，編輯于星期二：二點 三十七分。解解:31212212)(23.1RRERRF31222122120)(388.0RRRRFEq312121)(11.1RRERFRaa)直徑為10mm的鋼球與直徑為100mm的鋼球；= 0.067 mm= 9.810-4 mm= 1080N/ mmF第19頁/共22頁第二十頁，編輯于星期二：二點 三十七分。30109. 1EFRa 3022231. 1REF32020388. 0RFEq = 0.069 mm= 9.510-4 mm= 1010N/ mm(b)直徑為10mm的鋼球與鋼平面；F第20頁/共22頁第二十一頁，編輯于星期