D_多元函數(shù)的極限連續(xù)性

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第五章 第二節(jié)第二節(jié)一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限與二、多元函數(shù)的極限與連續(xù)性連續(xù)性三、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng)定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式,2hrV ,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

2、返回 結(jié)束 定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,nDRDPPfu, )(或點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的值域值域 . .特別地特別地 , 當(dāng)當(dāng) n = 2 時(shí)時(shí), 有二元函數(shù)有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當(dāng)當(dāng) n = 3 時(shí)時(shí), 有三元函數(shù)有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射映射RDf :稱為定義稱為定義在在 D 上的上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作記作),(21nxxxfu目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xzy例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(22 yxyx圓域圓域說(shuō)明說(shuō)明:

3、 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面的圖形一般為空間曲面 .12),(Ryx三元函數(shù)三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為圖形為4R空間中的超曲面空間中的超曲面.單位閉球單位閉球xyzOO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 等值線等值線 ： 另一種表示函數(shù)另一種表示函數(shù)z z= =f f( (x x, ,y y) )的方法是利用的方法是利用xOyxOy面上的曲線族。面上的曲線族。當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)(x,y)在其中每一在其中每一條曲線

4、條曲線f(x,y)都取相同的值都取相同的值所謂的等值線所謂的等值線f f( (x x, ,y y）= =C C， 其中其中C C為常數(shù)。它表示為常數(shù)。它表示0( , )f x yC0C上變化時(shí)上變化時(shí). 函數(shù)函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 容 易 看 出 ， 等 值 線容 易 看 出 ， 等 值 線f(x,y)=C實(shí)際上就是曲實(shí)際上就是曲面面z=f(x,y)與平面與平面z=C 的交線在的交線在xOy平面上的平面上的投影。因此投影。因此,將等值線將等值線f(x,y)=C族中各曲線升族中各曲線升到相應(yīng)得高度到相應(yīng)得高度z=C處就處就不 難 想 象 出 曲 面不 難 想 象 出 曲 面z=f(x,

5、y)的圖像的圖像目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例 畫出函數(shù)畫出函數(shù)22yxz的的等值線，等值線， 并由此等值線并由此等值線解解: : 顯然等值線為顯然等值線為可知，可知， 此曲面僅位于此曲面僅位于xOy平面的上方，平面的上方， 與與xOy平面平面討論此曲面的形狀。討論此曲面的形狀。容易看出，當(dāng)容易看出，當(dāng)C0時(shí)，等值線時(shí)，等值線是以原點(diǎn)為中心的同心圓是以原點(diǎn)為中心的同心圓 ，C越越Cyx22小半徑越小小半徑越小; C=0時(shí)為原點(diǎn)時(shí)為原點(diǎn)O(0,0); C0, 使得12x x時(shí)， 恒有12| ( )( )|f xf x注：注：有界閉區(qū)域都是連通的緊集，故上述定理對(duì)有界閉區(qū)域都是連通的緊集，故上

6、述定理對(duì)有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)都成立。(一致連續(xù)性定理) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 APfPP)(lim0,0,0時(shí)，當(dāng)PP 00有APf)(2. 多元函數(shù)的