高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊階段檢測試卷1

1、試卷第 =page 5 5頁，共 =sectionpages 5 5頁試卷第 =page 4 4頁，共 =sectionpages 5 5頁高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊階段檢測試卷2第I卷（選擇題）一、單選題1如圖，在圓錐中，是上的動點，是的直徑，是的兩個三等分點，記二面角，的平面角分別為，若，則的最大值是（ ）ABCD2在平面直線坐標(biāo)系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設(shè)點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（ ）對任意三點A、B、C，都有已知點P(3,1)和直線則到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；定點動點滿足則點P的軌跡與直線

2、(為常數(shù))有且僅有2個公共點其中真命題的個數(shù)是（ ）A4B3C2D13已知二次函數(shù)交軸于兩點(不重合)，交軸于點. 圓過三點.下列說法正確的是 圓心在直線上； 的取值范圍是； 圓半徑的最小值為； 存在定點，使得圓恒過點.ABCD4已知直線：與橢圓：至多有一個公共點，則的取值范圍是（ ）ABCD5已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為ABCD6的最小值為（ ）A5BC6D二、多選題7已知梯形，是線段上的動點；將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項中正確的是（ ）A不論何時，與都不可能垂直B

3、存在某個位置，使得平面C直線與平面所成角存在最大值D四面體的外接球的表面積的最小值為8已知雙曲線，為雙曲線上一點，過點的切線為，雙曲線的左右焦點，到直線的距離分別為，則（ ）AB直線與雙曲線漸近線的交點為，則，四點共圓C該雙曲線的共軛雙曲線的方程為D過的弦長為5的直線有且只有1條第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題9正方體的棱長為，平面，平面，則正方體在平面內(nèi)的正投影面積為_10已知函數(shù)，若集合，則實數(shù)的取值范圍為_.11已知，分別為雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為，設(shè)四邊形的周長為，面積為，且滿足，則該雙曲線的離心率為_.12已知

4、點和圓上兩個不同的點，滿足，是弦的中點，給出下列四個結(jié)論：的最小值是4；點的軌跡是一個圓；若點，點，則存在點，使得；面積的最大值是其中所有正確結(jié)論的序號是_四、解答題13阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作圓錐曲線一書中阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點與兩定點，的距離之比，是一個常數(shù)，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過右焦點斜率為的直線與橢圓相交于，（點在軸上方），點，是橢圓上異于，的兩點，平分，平分求的取值范圍；將點、

5、看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若外接圓的面積為，求直線的方程14已知橢圓：，過橢圓左頂點的直線交拋物線于，兩點，且，經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點，且.(1)證明：直線過定點.(2)求四邊形的面積最大值及的值.15已知橢圓的離心率，其左，右集點為，過點的直線與橢圓交于兩點的周長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過右焦點的直線互相垂直，且分別交橢圓于和四點，求的最小值16已知中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓的其中一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，并且橢圓的左頂點到左焦點的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）一條直線與橢圓C分別交于A，B兩點，且，試問點O到直線AB的距離是否為定值，并證明你的結(jié)論.答案第

6、 = page 25 25頁，共 = sectionpages 25 25頁答案第 = page 24 24頁，共 = sectionpages 25 25頁參考答案1B【分析】設(shè)底面圓的半徑為,以所在直線為軸,以垂直于所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo).利用法向量求得二面角與夾角的余弦值.結(jié)合即可求得的取值范圍,即可得的最大值.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為,以所在直線為軸,以垂直于所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:則由可得,是的兩個三等分點則 所以設(shè)平面的法向量為 則,代入可得化簡可得令,解得所以平面的法向量為由圖可知, 二面角的平面角為銳

7、二面角,所以二面角的平面角滿足設(shè)二面角的法向量為則代入可得化簡可得令,解得所以平面的法向量為 由圖可知, 二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿足由二面角的范圍可知結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知即化簡可得,且所以所以的最大值是故選:B【點睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用,根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量,即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡較為復(fù)雜,屬于難題.2A【分析】討論，三點共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；設(shè)點是直線上一點，且，可得，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；討論在坐

8、標(biāo)軸上和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷【詳解】解：對任意三點、，若它們共線，設(shè)，、，如右圖，結(jié)合三角形的相似可得，為，或，則，；若，或，對調(diào)，可得，；若，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，；則對任意的三點，都有，；故正確；設(shè)點是直線上一點，且，可得，由，解得，即有，當(dāng)時，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無最值，綜上可得，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為故正確；由題意，到原點的“切比雪夫距離” 等于的點設(shè)為，則，若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則正確；定點、，動點滿足，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；若在第一象限內(nèi)，滿足

9、，即為，為射線，由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個公共點故正確；綜上可得，真命題的個數(shù)為4個，故選:.【點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題3D【分析】根據(jù)圓的的性質(zhì)得圓心橫坐標(biāo)為1；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)與軸有兩個焦點可得的取值范圍；假設(shè)圓方程為，用待定系數(shù)法求解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍求圓半徑的取值范圍，再根據(jù)圓方程的判斷是否過定點.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，因為對稱軸為線段的中垂線，所以圓心在直線上，故正確；因為二次函數(shù)與軸有兩點不同交點，所以，即，故錯誤；不妨設(shè)

10、在的左邊，則， 設(shè)圓方程為 ，則 ，解得， ，因為，所以即，故錯誤；由上得圓方程為，即，恒過點，故正確.故選D.【點睛】本題考查直線與圓的應(yīng)用，關(guān)鍵在于結(jié)合圖形用待定系數(shù)法求圓方程，曲線方程恒過定點問題要分離方程參數(shù)求解.4D【分析】由直線：與橢圓：至多有一個公共點，即聯(lián)立方程，化簡整理得，即可理解為雙曲線外部的點（可行域），轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的題，然后化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍.【詳解】聯(lián)立方程，化簡整理得：因為直線：與橢圓：至多有一個公共點，所以，即，即點滿足雙曲線外部的點，即可行域，如圖所示，為x軸，k為y軸，將變形為，平移直線，由圖可知，當(dāng)直線與雙曲線相切時為臨界

11、條件.聯(lián)立，化簡整理得：由題知，解得若可行域是雙曲線右支外部的點，即臨界條件切線需要往上平移，即；若可行域是雙曲線左支外部的點，即臨界條件切線需要往下平移，即；綜上可知，的取值范圍是故選：D.【點睛】本題考查直線與橢圓交點個數(shù)問題，考查用雙曲線外部點作可行域，求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于難題.5B【詳解】過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，|PA|=m|PB|， |PA|=m|PN| ，設(shè)PA的傾斜角為，則，當(dāng)m取得最大值時，最小，此時直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx1，代入x2=4y，可得x2

12、=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1， P（2，1），雙曲線的實軸長為PAPB=2（1）， 雙曲線的離心率為故選B點睛：本題的關(guān)鍵是探究m的最大值，先利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化得到，m取得最大值時，最小，此時直線PA與拋物線相切，得到=0，得到k的值.轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)很重要的一個數(shù)學(xué)思想，在解題過程中要注意靈活運用.6C【分析】設(shè)，對要求的式子進行變形，看作拋物線的右半部分上一點P與的距離加上P到拋物線焦點的距離之和的最小值，根據(jù)拋物線性質(zhì)進行求解.【詳解】設(shè)，則，則曲線為拋物線的右半部分拋物線的焦點為，設(shè)點到準(zhǔn)線l：的距離為d，點P為拋物線的右半部分上一點，設(shè)P到準(zhǔn)線l：

13、的距離為，則故選：C【點睛】本題難點在于要對題干中的代數(shù)式進行轉(zhuǎn)化為拋物線的相關(guān)知識點進行求解距離的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合思想和拋物線的性質(zhì)進行求解.7AD【分析】利用反證法可判斷AB選項的正誤；分別取、的中點、，連接、，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷C選項的正誤；設(shè)四面體的外接球心為，求出四面體外接球半徑的最小值，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，在梯形中，且，則，因為，由余弦定理可得，若，且，平面，平面，事實上，矛盾，故不論何時，與都不可能垂直，A選項正確；對于B選項，若平面，平面，則，所以，而，即，則、無法構(gòu)成三角形，不合乎題意，B選項

14、錯誤；對于C選項，分別取、的中點、，連接、，則，則，為的中點，則，故平面，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、，設(shè)三棱錐的球心為，由可得，解得，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，四面體的外接球的表面積的最小值為，D選項正確.對于C選項，設(shè)，易知平面的一個法向量為，而，即當(dāng)時，無最大值，進而可知直線與平面所成角無最大值，C選項錯誤.故選：AD.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球

15、，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.8AB【分析】對于A中，求得切線的方程，結(jié)合點到直線的距離公式，可判定A正確對于B中，聯(lián)立方程組，分別求得坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式，可判定B正確，根據(jù)共軛雙曲線的定義，可判定C錯誤；結(jié)合實軸長和通經(jīng)，可判定D錯誤.【詳解】由題意，雙曲線的焦點坐標(biāo)為，對于A中，由雙曲線的性質(zhì)，可得切線的方程為，即， 則，所以A正確對于B中，聯(lián)立方程組，可得，又由，可得，則，四點

16、共圓，B正確.對于C中，雙曲線的共軛雙曲線為，所以C錯誤對于D中，由雙曲線，可得，則，可得，且通經(jīng)長，所以過的弦長為5的直線有3條，所以D錯誤.故選：AB.【點睛】方法點撥：聯(lián)立方程組，求得點，結(jié)合斜率公式和傾斜角的定義，判定得到四點共面是解答的關(guān)鍵.9【分析】由題設(shè)知：面面，且正方體在平面內(nèi)的正投影面積為菱形面積與、在平面上的投影面積之和，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求、與面的夾角余弦值，進而求它們在面上的投影面積，即可求正方體在平面內(nèi)的正投影面積.【詳解】平面，平面，知：面面.正方體在平面內(nèi)的正投影面積為如上圖所示的菱形面積與、在平面上的投影面積之和，又正方體的棱長為，則，可構(gòu)造如下圖示

17、，空間直角坐標(biāo)系：，則有，若面的一個法向量為，則，可得，而面面，它們的一個法向量為，即面與面、面夾角余弦值為.同理，面面，它們的一個法向量為，即面與面、面夾角余弦值為.、的面積均為，正方體在平面內(nèi)的正投影的面積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合正投影的定義可知正方體在平面內(nèi)的正投影面積為如上圖所示的菱形面積與、在平面上的投影面積之和，應(yīng)用向量法求各面與面的夾角，進而求投影面積.10【分析】設(shè)，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡可得，利用線段差的幾何意義可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，設(shè)， 則，如圖，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且在之間時等號成立，又，故的最大值為.因為集合，故，故.故

18、答案為：.【點睛】本題考慮無理函數(shù)的最值，對于無理函數(shù)的最值問題，首選方法是利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，其次可利用幾何意義來求最值，本題屬于難題.11【分析】本題首先可根據(jù)題意繪出圖像并設(shè)出點坐標(biāo)為，然后通過圓與雙曲線的對稱性得出，再根據(jù)“點即在圓上，也在雙曲線上”聯(lián)立方程組得出，然后根據(jù)圖像以及可得和，接下來利用雙曲線定義得出以及，最后根據(jù)并通過化簡求值即可得出結(jié)果【詳解】如圖所示，根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)，由圓與雙曲線的對稱性可知，點與點關(guān)于原點對稱，所以，因為圓是以為直徑，所以圓的半徑為，因為點在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯(lián)立化簡可得，整理得，所以，因為，所以，因為，所以，因為，聯(lián)立可

19、得，因為為圓的直徑，所以,即，所以離心率【點睛】本題考查圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查雙曲線與圓的相關(guān)性質(zhì)，考查對雙曲線以及圓的定義的靈活應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及方程思想，考查了學(xué)生的計算能力，體現(xiàn)了綜合性，是難題12【分析】可以通過設(shè)出圓的參數(shù)方程，進行求解；設(shè)出，找到等量關(guān)系，建立方程，求出點的軌跡方程，即可說明；轉(zhuǎn)化為兩圓是否有交點，說明是否存在點；當(dāng)斜率分別為1和-1時，且點P，M在y軸左側(cè)，此時面積最大，求出最大值.【詳解】點在圓上，設(shè)，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為4，正確；設(shè)點，則由題意得：，則，整理得：，所以點的軌跡是一個圓，正確；為以為直徑的圓，圓心為，半徑為1，方程為：，

20、下面判斷此圓與點的軌跡方程是否有交點，由于，兩圓相離，故不存在點，使得，錯誤；當(dāng)斜率分別為1和-1時，且點P，M在y軸左側(cè)，此時為等腰直角三角形，面積最大，此時，正確.故答案為：【點睛】軌跡方程問題，一般處理思路，直接法，定義法，相關(guān)點法以及交軌法，要能結(jié)合題目特征選擇合適的方法進行求解.13（1）；（2）；【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2，利用定義整理得，再根據(jù)條件列式求得橢圓方程；方法3，利用定義進行整理，由為常數(shù)，求得系數(shù)，得到橢圓方程；（2）首先由面積比值求得，令，則，利用坐標(biāo)表示向量，求得，再求范圍；由阿波羅尼斯圓定義知，在以，為定點得阿波羅尼斯圓上，由幾何關(guān)

21、系列式得，求得，再根據(jù)，求得，即可計算直線方程.【詳解】（1）方法（1）特殊值法，令，且，解得，橢圓的方程為方法（2）設(shè)，由題意（常數(shù)），整理得：，故，又，解得：，橢圓的方程為方法（3）設(shè)，則由題意為常數(shù)，又，解得：，故橢圓的方程為（2）由，又，（或由角平分線定理得）令，則，設(shè)，則有，又直線的斜率，則，代入得：，即，由知，由阿波羅尼斯圓定義知，在以，為定點得阿波羅尼斯圓上，設(shè)該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，則有，即，解得：又，故，又，解得：，直線的方程為【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查軌跡問題，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及外接圓，新定義的綜合應(yīng)用，屬于難題，本題的關(guān)鍵是讀懂題意，并根據(jù)

22、幾何關(guān)系進行消參，轉(zhuǎn)化與化歸，是本題的關(guān)鍵也是難點.14(1)證明見解析；(2)四邊形的面積最大值為4，.【分析】(1)設(shè)，直線：，將與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知求出m與的關(guān)系，再由，求出直線的方程，即可證得；(2)由條件可得，進而得四邊形的面積，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出與m的函數(shù)關(guān)系，借助基本不等式即可得解.【詳解】(1)由知點A的坐標(biāo)為，且直線過點A與拋物線交于，兩點，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線：，由得，則，即，由知點為線段的靠近A的三等分點，即，則，此時，即點，又，則，因此直線的方程為：，即，顯然當(dāng)時，恒有，即直線經(jīng)過定點：，所以直線經(jīng)過定點；(2)由知，點B到直線的

23、距離是點A到直線距離的2 倍，則，即四邊形的面積，由(1)知，直線：，即，且，則點到直線的距離為：，設(shè)，由消去x得：，則，得，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，的面積取得最大值，而四邊形的面積，于是得四邊形的最大面積為4，此時，所以四邊形的面積最大值是4，此時.【點睛】結(jié)論點睛：直線l：y=kx+b上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離；直線l：x=my+t上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離.15（1）；（2）最小值為.【分析】（1）利用橢圓離心率，的周長為，求出，即可得到橢圓的方程.（2）分類討論直線的斜率存在與否，當(dāng)其中一條直線斜率為0.一條直線斜率不存在，可利用橢圓性質(zhì)求出；當(dāng)兩條直線斜率均存在，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求出，再利用二次函數(shù)的值域求法與不等式的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】（1）由橢圓的定義知，的周長為，由，即，得，故橢圓的方程為：（2）由（1）得，橢圓右焦點為，設(shè)，當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時， 直線，此時；直