多孔介質流體動力學

1、多孔介質流體力學多孔介質流體力學安全學院雷文杰多孔介質流體力學應用范圍o 流體通過多孔介質的流動是多種工程及學科的分支，例如，地下水水文學、采油工程學、土坡學、土力學及化學工程學等等經常遇到的一個課題。地下水水文工作者所研究的含水層以及采油工程師所研究的儲油層部用于多孔介質的范疇。下面對含水層、儲油層及存在于它們之中的流體做一簡要說明。巖石孔隙的幾種類型地下水的分布潛水層、含水層o 潛水層：含有潛水面（浸潤線、存在水壓力為零的面）、毛細管帶、中間帶和土壤水帶。o 含水層：含水層內部水壓力大于零。o 大多數含水層由非固結或部分固結的砂礫石組成。石灰?guī)r地層為主要含水層。o 火成巖可以構成含水層，玄

2、武巖是較好的含水層。以巖脈、巖床和巖頸等形式出現的許多淺層浸入巖，不透水，可以作為地下水流的阻隔邊界。含水層o 結晶巖和變質巖屬于相對不透水層，出露地表時，由于破碎和分化，滲透性能增大。o 粘土及粘土與粗粒物質的混合物，孔隙率高，但由于孔隙小，為相對不透水層。含水層的類型含水層的性質o導水：水力傳導系數表示在水力梯度作用下含水層傳導地下水的能力。導水系數T：在基本水平的滲流中，水力梯度為一個單位時，通過含水層厚度的單寬流量，計算方法為含水層的平均水力傳導系數與含水層厚度之間的關系。/Kkkg 粘度運動粘度01;( )bTKb KK z dzb含水層的性質o貯水系數含水層的貯水系數表示存貯在含水

3、層中的水量變化和相應的測壓面(或無壓含水層的潛水面)高度變化之間的關系。o給水給水度是農田徘水和地下水水文學研究非飽和流動中經常使用的另一個概念。它定義為當潛水位下降一個單位時，從潛水面延至地面的單位水平面積的土拄中所排出的水量。o持水潛水位下降比由于抵抗重力作用而保持在土體中的對應水量稱為持水率。wUSA 1yryrccnSS儲油層o 儲油層或儲氣層是一種在其孔隙中除含水以外至少還合有一種液相或氣相碳氫化合物石油或天然氣)的多孔地層。石油儲層特征o 絕大多數可采油層是由砂巖、石灰?guī)r和白云巖地層組成的。但實踐表明，其它類型的巖石有時也能構成可采油層。o 在儲油層內部，重力使比重較小的流體處于儲

4、泊構造的較高部位而毛細力則總是使?jié)駶櫫黧w向含有非濕潤流體的空隙中上升，其結果是抵消重力對流體分離的作用。一般說來，水相對于油和氣是濕潤流體，而油相對于氣是濕潤流體。多孔介質定義o 多孔介質占據一部分空間。多相中至少有一項不是固體，可以是氣相或液相。固體是骨架。在多孔介質范圍內沒有骨架的那部分空間叫做空隙空間或孔隙空間。o 多孔介質所占據的范圍內，固體相應遍及多孔介質。每個單元體內必須存在固體顆粒。多孔介質的一個基本特點是固體骨架的比面較大，這決定流體在多孔介質的性狀；多孔介質的另一個特點是構成孔隙空間的空隙比較狹窄。o 構成孔隙空間的某些孔洞必須連通。有效連通的孔隙空間為有效孔隙空間，不連通的

5、孔隙可以視為固體骨架部分。o 定義多孔介質另一方法就是要求有效孔隙空間內的任意兩點可以用完全位于其中的曲線連接起來。而且，除特殊情形外，任意兩點都可以用很多曲線連接起來，其中任何兩條曲線之間都有一個最大距離。多孔介質定義多孔介質的連續(xù)介質方法o 分子水平與微觀水平 把流體處理為連續(xù)介質的基礎乃是質點的概念。一個質點是包含在一個小體積中的許 多分子的集合體。質點要比單個分子的平均自由程大得多，但和所考慮的流體的范圍相比 又足夠小。這樣，通過在質點中所包含的分子上取流體和流動的平均性質就能得到一些有意義的數值，即描寫整體流體性質的數值；然后把這些數值與質點的某種質心聯系起來 。這樣一來，在流體所占

6、區(qū)域里的每一點上都存在著一個具有一定動力和 運動性質的質點。 孔隙率面孔隙率和線孔隙率00()()()()()() /()()( )lim()lim()j ijj ijAjivjijivjiAjAjiAAAAjinAAAnPnA 流速與比流量總流量Vj流速比流量00()vjjjvjAQV dA0000000 ()000 ()0 ()1()()11()()()1()vjvjvjjjjvjjjAvjjvjAjjjvjAjjvjvjAQqV dAAAAV dAnVAAVV dAA流體的性質和多孔骨架的性質o 流體的密度o pT曲線的終點C稱為體系的臨界點。對于單組分體系，臨界點定義為流體的兩相(即液

7、體和氣體或蒸氣)尚能共存的最大壓力和溫度。o虛線圍成的區(qū)域是兩相共存區(qū)。虛線圍成的區(qū)域是兩相共存區(qū)。實線表示等溫線。始沸點及露點實線表示等溫線。始沸點及露點的定義。的定義。o對于單組分體系，始沸點定義為對于單組分體系，始沸點定義為這樣一種狀么：在此狀態(tài)下物質這樣一種狀么：在此狀態(tài)下物質完全處于液相，但在溫度固定的完全處于液相，但在溫度固定的條件下，壓力的任何微小下降或條件下，壓力的任何微小下降或體積的任何微小增加都會產生蒸體積的任何微小增加都會產生蒸氣相，或者類似地，在壓力和體氣相，或者類似地，在壓力和體積固定的條件下，溫度的任何微積固定的條件下，溫度的任何微小上升即產生蒸氣相。小上升即產生蒸

8、氣相。o對于單組分體系，露點定義為這對于單組分體系，露點定義為這樣的狀態(tài)：即在此狀態(tài)下物質完樣的狀態(tài)：即在此狀態(tài)下物質完全處于蒸氣相，但當溫度不變時，全處于蒸氣相，但當溫度不變時，壓力的任何微小增加或體積的任壓力的任何微小增加或體積的任何微小減小均產生液相；或者類何微小減小均產生液相；或者類似地，在固定壓力和體積的情況似地，在固定壓力和體積的情況下，溫度的任何微小下降即產生下，溫度的任何微小下降即產生液相。液相。流體的性質和多孔骨架的性質流體的性質和多孔骨架的性質o 流體混合物 流體的性質和多孔骨架的性質流體的性質和多孔骨架的性質式中w為總重量，wi為混合物中第j種組分的重量，xi為第x種組分

9、的克分子數，Mi足同一種組分的分子量?；旌衔镏幸环N組分的體積(Ui)等于該組分的重量與其在常溫常壓下比容(vi)的乘積。所以，混合物的總體積(U)和重率分別為流體的粘滯性o粘滯性：阻止流體變形的性質牛頓流體、牛頓粘滯定律牛頓粘滯定律：表示穿過y為常數的任一平面的x-動量流，即分子沿+y方向穿過該平面所攜帶的動量o牛頓流體：服從牛頓粘滯定律的流體即為牛頓流體。o所有氣體及最簡單的液體都是牛頓流體。/yxuy為流體的動力粘度/yxuy為流體的動力粘度非牛頓流體o 不服從牛頓粘滯定律的流體，即變化。o Bingham塑性流體。切應力與切應變之間為直線關系，但是切應變?yōu)榱銜r有屈服應力，即切應力必須超過

10、屈服應力才發(fā)生流動。o 假塑性流體：切應力與切應變之間斜率逐漸減小，即隨切應變增加而減小。o 漲流性流體：粘滯度隨切應變增加而增加。非牛頓流體o觸變性流體。視鉆度取決于剪切的時間和切變率。當流體自靜止狀態(tài)受剪時，從分子觀點看它受到了破壞，但隨著時間的增加，其結構格逐漸改善。倘若使其繼續(xù)靜止，流體就會慢慢集結起來，井最終恢復其原始稠度。o流變性流體。在這種流體小，分子結構由剪切形成，其性狀與觸變性流體相反。壓力和溫度對動力粘度的影響o 流體的粘度隨壓力和溫度而變化。對于絕大多數流體，溫度對粘度的影響十分明顯。但是在沒有達到很高的壓力之前，壓力對粘度的影響卻很小。對于溫度為兩倍臨界溫度的氣體，當壓

11、力沒有達到臨界壓力的數量級時，粘度隨溫度的變化十分微小。在溫度不變的條什下，液體的粘度通常隨壓力的增大而增大。但水不遵循這條規(guī)則，當溫度不變時，其粘度隨壓力的增大而減小。在大部分實際應用中，壓力對液體粘度的影響可以忽略不計。流體的壓縮系數o 壓縮系數：當物質承受的法向應力或法向張力變化時其體積（和密度）變化的度量。o 等溫條件下，壓縮系數定義：PP(/)/T(/)/PT 為常數壓力為常數，膨脹系數的定義為：流體的膨脹系數o忽略溶質濃度的變化，流體密度依賴于壓力和溫度，等溫條件下壓縮系數的定義：PP(/)/T(/)/PT 為常數壓力為常數，膨脹系數的定義為：多孔介質的統(tǒng)計方法o 粒徑分布 粒徑的

12、測量及其分布，測量方法有篩分法、重計分析法，前者適用粒徑大于0.06mm，后者適用于小顆粒。o 有效粒徑（Hazen粒徑，d10） 按重量計土中小于某一粒徑者占土壤總量10的那種顆粒直徑。o 有效粒徑系數（Cu） Cu=d60/d10o 級配系數（Cg） Cg=（d30）2/d60d10多孔介質的統(tǒng)計方法基本土質分類的土壤三角形孔徑分布o 粒徑不可確定，孔徑分布非常重要。o 表示“孔隙大小”的一種方法是把多孔介質孔隙空間內一點處的孔隙直徑定義為包含該點且完全位于其中的最大圓球的直徑。這樣，如果考慮孔隙空間每一點的孔隙直徑，則孔隙分布可以通過確定因數來定義：o 孔隙直徑包含該點且完全位于其中的最

13、大圓球的直徑；D（ ）為分布函數，Uv為孔隙體積，U為注入的非濕潤流體的體積。多孔介質的統(tǒng)計方法o 一般說來，至少對于非固結物質，確定一給定試樣的粒徑分布要比確定其孔徑分布容易。因此已經提出了幾種根據粒徑分布求孔徑分布的方法。這些方法大都是基于顆粒的排列方式或對固結多孔介質的切片進行統(tǒng)計分析。o 其他分析方法：在引進多孔介質的線性隨機函數的基礎上?？紫堵?、有效孔隙率o 孔隙率是多孔介質一種宏觀性質。o 總孔隙率（絕對孔隙率）為所有孔隙的占的比例o 有效孔隙率ne定義為介質中相互連通的孔隙(即有效孔隙)的體積(Uv)與介質總體積之比，（Uv）ne為無效體積，即互不連通孔隙的體積?？紫侗龋╡）o

14、孔隙的體積與固體的體積之比。o 細小顆粒的數量對孔隙率有明顯影響。固結物質的孔隙率主要取決于膠結程度，而非固結物質的孔隙率則依賴于顆粒的形狀、粒徑分布和顆粒的排列方式。,111,11UvneenUsneeUvUb UsUbee孔隙率、結構和排列o 粒徑分布對最終的孔隙率有明顯地影響，因為小顆?？梢哉紦箢w粒之間的孔隙，從而使孔隙率減小。所以，當其它參數相同時，分選差的沉積物的孔隙率明顯地小于分選好的沉積物的孔隙率。o 影響孔隙率的其它因素是壓縮、固結和膠結?？紫堵士紫堵实臏y試方法o 測量固體骨架的體積并由求孔隙體積o 水銀注入法o 觀測比重瓶裝滿水銀時以及裝滿水銀和試驗樣品置換的水銀的體積o

15、觀測樣品浸入流體時的失重o 壓縮室o 測量孔隙體積的WashburnBunting孔隙計法o 氣體膨脹法o 統(tǒng)計方法第三章 壓力與測壓水頭 在本章中，我們主要討論壓力、應力和測壓水頭等概念。討論首先要涉及到流體連續(xù)介質。多孔介質表征體元上的宏觀平均值是通過平均其孔隙空間由流體的點值得到的，而這種平均值又被賦予了表征體元的質心。 在流體連續(xù)介質的研究中，我們應當區(qū)分體力和面力。一點處的應力o 體力能在沒有任何直接接觸的條件下達到介質并作用于介質的整個體積，例如重力和離心力。o 面力包括周圍的物體通過直接接觸而作用于介質邊界面的各種力。作用在流體任一體積上的外力是產生內應力（單位面積上的力）的條件

16、。一點處的應力o 為了研究面力，考察物體界面上圍繞P點的一個微小有限部分 。如圖示：把P點的法向應力 和切應力 定義如下：o Annns0limnnnnAFdFAdA0limssnsAFdFAdA一點處的應力o 在下文中，將采用Z軸鉛直向上的笛卡爾右手坐標系 。為了區(qū)別各種應力，采用雙下表格式。雙下標的第一個下標代表應力所在平面的法線方向，第二個下標代表應力本身的方向。例如， 表示作用方向與 方向平行而作用面的外法線方向與 方向平行的切應力的值。xyzyxxy一點處的應力o 如圖示， 是法向應力， 是切應力。,xxyyzz,xyyxzxxzzyyz一點處的應力考慮靜止流體或流體作均勻運動時的情

17、況。因為流體不能承受切應力，故靜止流體一定完全不存在切應力。在均勻流體中，速度處處相等，因此根據牛頓粘滯定律，所有的切應力都必須等于零。如果假設體力僅為重力，則可以對一個微小的棱柱形的流體單元按 三個方向實行力的平衡，然后逐步使該單元的尺寸縮小到零，得到此公式說明，對于靜止的流體或均勻運動的流體，一點處的應力與方向無關，因而它是一個標量。, ,x y zxxyyzznn一點處的應力在運動的粘滯流體中，要確定以給定點的應力，常采用圖3.1.3所示的微小流體四面體。 222nnxxnxxynxnyxznxnzyynyyznynzyxnynxzznzzxnznxzynzny 一點處的應力o 因為在圖

18、3.1.3中，平面ABC的傾角是任意的，所以可以利用正交參照平面上的九個分量求出所有平面上的應力。這意味著上式可以看成是把 坐標系中一點的九個應力分量變換為其他任一個坐標系中的應力分量的一個表達式。能夠以此種方式變換的物理量叫做二秩張量。因此，一點上的應力是二秩張量。xyz一點處的應力o 習慣上把應力張量 的九個分量寫成如下形式： 這些應力分量中具有相同下標的分量代表法向應力，而下標不相同的分量代表切向應力。xxxyxzyxyyyzzxzyzz一點處的應力o 在一般流體中，應力張量是對稱的，即：o 二秩張量的一個特點是，對角線上分量的和 與坐標軸定向無關。就這里所考慮的應力張量而言，張量的三分

19、之一通常稱為體應力：ijji112233()1=()3xxyyzz一點處的應力o 對于非粘滯性流體，一點上的所有法向應力都是相等的。因而，其中每一個法向應力都等于體應力。而且，對于此種流體，體應力的負值就等于熱動力壓力：o 應力張量 總能寫成一個和式： 式中 是Kronrcker符號 ， 叫粘滯應力張量。因此，三個法向應力的平均值可表示為：- =pijijijPijijijpP1122331;()3p P PPPP 一點處的應力o 上述所做的討論僅適用于流體連續(xù)介質。在流體充滿多孔介質的孔隙空間的情況下，上述各個量（如壓力和應力）都必須在多孔介質的表征體元上進行平均，因為只有這種平均量才是可測

20、量的。因此，平均壓力 定義為：P00()1()vvvUPpdUU流體靜壓力的分布o 對于靜止的流體連續(xù)介質或重力場中的均勻流動，壓力的變化滿足:o 在均質流體中，對于高度為 和 的兩點，如果 ，則流體靜壓力分布方程為：-;pz0ppxy 1z2z210zzd 2112()pzconstpzz或p流體靜壓力的分布o 圖3.2.1表示潛水位（其上壓力為零）以下均質流體的靜壓力分布。流體靜壓力的分布o 在單組分可壓縮流體中，密度（ ）隨壓力和溫度變化。對于等溫條件下的理想氣體來說， ， 為一常數，則有 ，=gCpC11pzpzdpCdzp 11111()()gpInC zzzzpp1111exp()

21、ppzzp測壓水頭o 商 叫做壓力水頭。它代表單位重量流體的壓力能，或單位重量不可壓縮流體克服其流動方向的壓力差所做的凈功，又稱為流動功。對于等溫條件下的可壓縮流體，壓力水頭定義為：p0( )ppdpgp測壓水頭o 壓力水頭和高程水頭之和成為測壓水頭：o 流體內每一點的 或作為飽和多孔介質區(qū)域里每一點的平均 都是用管子里流體的高程來表示的。測量時，為避免管中的毛細作用，管子的直徑應當足夠大，但又不能擾動流體的流動。這樣的管子叫做測壓管。（圖3.2.2） =zp 測壓水頭o 在靜止的流體中，測壓水頭處處相同。如果有潛水面存在，潛水面的高程即代表測壓水頭。在運動的流體中，測壓水頭是作為空間和時間的

22、函數面變化的。圖3.2.2表示水平承壓含水層中的壓力水頭、高程水頭和測壓水頭。第四章 多孔介質中流體輸運的基本方程o 在本章中，我們將導出多孔介質中流體輸運的基本方程。這是一些偏微分方程，它們描述流動區(qū)域內一點處的流體參數、介質參數和流動參數之間的關系。在推導方程時，我們把流體和多孔骨架都看成是連續(xù)介質，并且認為每一種都充滿著整個空間。速度的定義o 流體連續(xù)介質中任意一點的速度向量 可以寫成推定極限的形式，即質點沿其路徑的位移向量 與相應的時間間隔 之比，當后者趨于零時的極限：Vst0limtsVt質點的定義o 流體質點定義為包含在一定體積中的分子集合體。流體質點的尺寸應當比單個分子的平均自由

23、程大得多，但又必須足夠小，以至于用它來確定密度時能夠得到一個有意義的點值。只有這樣，才能把這個值和質點的質心聯系起來。o 流體的各個分子都處于連續(xù)不斷的自然運動中。如果標記出一群最初靠攏在一起的分子，那么在一定的時間間隔后，這些分子也會擴散開，圍繞最初那群分子的質心占據一個較大的體積。在此情況下，被標記的分子的通量受分子擴散的控制。這意味著在一定的時間間隔后必須對同一質心定義一個“新的質點”，且使它與最初的質點具有相同的分子數目，即相同的質量。按照這種方法能得到一個質點的連續(xù)路徑。均質的單組分流體非均質的多組分流體o 討論由N種化學組分混合而成的流體體系中的某一 組分。在多組分流體體系占據的空

24、間中取一體積 ，假定 和 分別是這體積內 組分和流體體系的瞬時質量。把 組分的質量密度 定義為流體單位體積內 組分的質量： 式中 為流體體系的密度。dUdmdm=dmdU111()()NNNdmdUdmdUdm dU非均質的多組分流體o 組分的質量百分數定義為單位質量的流體體系中所包含的 組分的質量：o 組分在一點P的速度 就是 內 組分的各個分子的統(tǒng)計平均速度，即各個分子的速度之和除以分子個數。此時，質量平均速度定義為：=1=1N，VdU1111()()NNNNVVVV非均質的多組分流體o 多組分體系的體積平均速度 定義為： 式中 是部分比容，定義為：則有：V()Vu V uuUm 11()

25、()1NNUmdmdUu 擴散速度與擴散通量o 組分的質量質點相對于體積平均速度 和質量平均速度 的擴散速度 和 分別為： ，o 組分相對于質量平均速度和體積平均速度的擴散通量 和 分別為：VVVVVVVVVVJJ1(),0NJVVVJ()JVVVEuler觀點與Lagrange觀點o Euler觀點是研究某個確定的參考標架下流場中任一固定空間點在一定時間內各個物理量 的情況。著眼于空間的各個固定點，從而了解流體在整個空間里的運動情況。o Lagrange觀點是研究任一流體質的各個物理量 隨時間的變化情況。著眼于流場中各個流體質點的歷史，從而進一步了解整個流體的運動情況。iqiq實質導數o 流

26、體確定質點的物理量 對于時間的變化率稱為該物理量的物質導數或實質導數，記為 。o 設質點位置的變化用參數方程 來表示，質點的速度用下式表示：則有：BDBDt(, )iixxt(, )|()iconstiGixttDx DtV()()()GxGyGzDBBBBBVVVDttxyz實質導數o 采用向量符號，上式可寫成：o 第一項 稱為局部導數，在非穩(wěn)定流中，它表示在空間的固定點上 隨時間的變化率；第二項稱為對流導數，它表示所考慮的質點從一個地方對流到 數值不同的另一個地方所造成的 的變化。()GGDBBBVgradBVBDtttBtBBB普通的守恒原理o 研究對象：多組分流體，并按照連續(xù)介質方法，

27、假定每種組分本身都是充滿整個空間的連續(xù)介質。o 考察流體的某種外延量 （如質量），設它具有一定的初始數量，在 時刻被包含在由曲面S所包圍的一部分空間體積U內（圖4.2.1）。Gt23120()() ()() limttttDGGGGGDtt=2231000() () () () lim limlimtttttttttGGGGttt普通的守恒原理o 則有：o 在U內不存在源和匯的情況下， 的變化只能由通過曲面S的凈流量的變化而引起，因此：o 如果因內部作用（如化學作用），所論外延量在U內每單位體積以 的速度不斷產生，則有：()( )GUSDGg dUg V dSDttG()( )0GUSg dU

28、g V dStI()()()GUSUg dUg VdSI dUt普通的守恒原理o 對上式中的曲面積分應用高斯定理，得到：因為體積U是任意的，所以有：即為 組分一種性質的普遍的守恒原理。()()0GUgdiv g VIdUt()Ggdiv g VIt一種組分的質量守恒方程o 對于多組分流體體系的 組分來說，將 和 帶入普通的守恒方程，得到質量守恒方程： 式中 是在流體體系的單位體積中由于化學反應而產生的 組分的質量速度。gGVV()tdivVI I流體體系的質量守恒o 將多組分流體體系的 組分的質量守恒方程對所有 組分求和，得到流體體系的質量守恒方程：o 對于不可壓縮的均質流體，即質量密度不變的

29、流體，有：()0tdivV =0divV一種組分的線性動量守恒o 把 （每單位體積混合物中 組分的動量）， 和 帶入普通的守恒方程，得到： 式中 是動量密度 產生的速率， 是 組分的動量在流動區(qū)域里傳播的速度， 是雙積：gVmIIGmVV()()mmVtdivV VI mIVmVmV V, ,1,2,3mimjXiXjV VV VI Ii j流體體系的線性動量守恒o 把 ， 和 （ 是作用在 組分質點上的、每單位質量 組分的外力）帶入普通的守恒方程，得到：令 ，則有：()()()mVtdivV VF gVGmVV動量質點的速度()IFF()mmmJV VV VV()()()mVdivV Vdi

30、vJFt流體體系的線性動量守恒o 由上式可得：動量跟質量一樣也是同時以兩種方式被輸運的：一是由流體的總體運動所產生的通量 ，二是由分子運動所引起的擴散通量 。o 可以把動量守恒方程改寫為：()V V()mJ()()()()VdivV Vdiv pdivPFt()DVDtgradpdivPF 本構方程o 本構方程是反映物質宏觀性質的數學模型，又稱本構關系。通常本構關系采取的形式是通量和驅動力之間的關系式。本構方程的例子有：彈性固體中應力和應變之間的線性關系、熱能的通量是溫度梯度的線性函數等。o 本構方程規(guī)定的是理想連續(xù)介質的假設性狀，而理想連續(xù)介質就是自然界中一類特殊連續(xù)體的數學模型。得到本構方

31、程需要憑借實際經驗，或許還得用實驗數據予以驗證。建立本構方程應采用的若干原理1.相容性原理：任何本構方程都必須與質量、動量和能量平衡的一般原理相容。2.坐標不變性原理：本構方程須表示成在任何固定時刻、所有慣性坐標系中都成立的方程。3.適當配置原理：當把本構方程和包含有相同變量的平衡方程配置成相容的方程組時，對應于物理上有意義的初始和邊界條件此方程組應當能給出唯一的和穩(wěn)定的解。建立本構方程應采用的若干原理4.量綱不變性原理：任何本構方程在量綱上應當是統(tǒng)一的。5.物質客觀性原理：這是建立本構方程最重要的準則。一種材料的內在反應和觀測者無關，即所有觀測者觀測到的反應必須相同。6.物質不變性原理：若本

32、構方程關于物質坐標的某一變換群是不變的，則本構方程具有物質對稱性。7.共存性原理：出現在一個本構方程中的自變數也必須出現在其他的本構方程中。多孔介質模型o 在研究復雜系統(tǒng)中的現象時，最有效的工具之一是理想模型。理想模型方法，就是用某些假想的、能夠進行數學處理的、比較簡單的現象來代替實際上不可能進行數學處理的復雜現象。o 理想模型方法的研究過程通常有三步： 1.用簡化的理想模型代替復雜的系統(tǒng)；2.用現有的理論工具分析模型并導出描寫所研究現象的數學關系式；3.控制實驗。一種平均化方法o 對于多孔介質區(qū)域內的一點P而言， 在表征體元的空隙空間上的平均值 可表示為：o 空隙空間內一點的 值可表示為表征

33、體元的平均值與局部偏差之和：00()1()()PvPn Ug PgdUn Ugggggg。體積守恒方程o 流體體積的局部守恒方程：o 不可壓縮流體的體積守恒方程： 或o 對于均質介質，有：0iVs ()0jjjjVxVnnx()0jjnVx0jjVx溶液中一種組分的質量守恒方程o 溶液中一種組分的局部質量守恒方程： 式中：o 通過在多孔介質的表征體元上平均化而得到的 組分的質量守恒方程：()()ijiijiD TVt 2(),()()()iiijijijijVV ddTT ddsTdddd()tdiv DD TgradVgrad 質量守恒方程o 通過在一根管子的橫截面上進行平均而得出的流體的質

34、量守恒方程：o 通過在多孔介質的表征體元上進行平均而得到的不可壓縮非均質流體的質量守恒方程：()ijiijiD TVt()()ijijjiiitDD TxxVx 運動方程 o 多孔介質中非均質流體層流運動的平均方程： 其中()ijiijjkVBpzVgtnxx 22,()()ijijjiijijknBTddddTTdsdsdd運動方程o 對于局部慣性力相對于粘滯阻力能夠忽略不計的流動而言，有： 這樣的運動稱為蠕動，其特點是雷諾數小。雷諾數表示慣性力與粘滯阻力之比。()()()()iijjjiijjjVknpxg zxqkpxg zx 彎曲率o 彎曲率 是無量綱參數：它把孔隙空間一點上的一微小流

35、體體積所受的任一外驅動力的分量 變換成這力在該點流線方向上投影的分量 。 第一步：將給定的力投影到流線方向 第二步：求出投影的分量ijTiF()jFiiiFF dd()jiiiiiijjdddFFFTFddd彎曲率o 若設分量 和 統(tǒng)計無關，則有：o 是多孔介質的一個非隨機算子（參數），他把作用于多孔介質一個物理點上的外力的平均分量變換成這力沿流線方向投影的分量。iFijT(),jjiiiijijjiFT FFT TTijT彎曲率o 在 與 共線的特殊情況下，變換 只改變 的大小：o 在多孔介質中，上式能夠成立的方向叫做變換 的主方向。與主方向對應的 和 分別稱為變換的特征向量和特征值。如果在

36、一給定點上上式對于 的一切作用方向都成立，就說該點的多孔介質關于變換 是各向同性的。此時空間的每個方向都是主方向。()FFijTF(),13jjijkkijijFTFTTTijTFTFijT彎曲率和滲透率的關系o 系數 叫做介質的滲透率。它是介質的一種平均性質，表示多孔介質傳導流體的能力。o 如果假定管軸上一點的傳導率 和該點的流線方向之間不存在相關性，則 與 的主方向相同，即：其中 （量綱 ）是介質的平均傳導率。ijnBTkijT ijBTBijijBTBTB2L彎曲率和其他輸運系數o 對于均質流體（ ），有：o 對于靜止（ ）條件下均質流體的分子擴散：o 對于同樣的流體，每單位面積孔隙的平

37、均分子擴散通量：=常數()qkggradzpg 0VdJD grad dJD grad 采油工程學中的地層因數和電阻率指數o 地層因數 是（為一種電解溶液所飽和的）多孔介質的電阻率（ ）（即每邊為一個單位長度的均勻立方體對從其一面流入而從對面流出的一維電流的電阻）與同一種電解溶液的電阻率（ ）之比：o 設一外部尺寸相同的多孔巖石，假定固體部分不導電，則面積 中只有一部分面積 能通過電流，且電流流動的平均長度為 ，則有： F00FAeAeL01eeeLLTFAAAA采油工程學中的地層因數和電阻率指數o 如果空隙空間包含有不導電的碳氫化合物及水，則能夠使電流通過的橫截面面積 會更小，同時路徑的實際

38、長度會變得更大。因此一塊多孔介質六面體的電阻 為：o 電阻率指數 定義為：()eeAAtR0,eetteeLLLLRAA AAI0() ()teeeeIA ALL多孔介質理想模型o 模型一：孔隙通道的橫截面面積沿其長度方向變化，但總面積保持不變，則有：o 如果碳氫化合物充填了部分 孔隙空間，使水的飽和度變?yōu)?，則：21,()eeLLLFFTnLn T或S()eeAnS AILLS多孔介質理想模型o 模型二：該模型中的長度 大于 。考慮到實際的流動方向不同于 的方向，則有：o 當介質部分為不導電碳氫化合物飽和時，有：eLLL2()1eFLLnnT11,()eeeeeAAA L LnS AL LI

39、L LS多孔介質理想模型o 模型三：該模型將會在第九章中詳細討論。對于該模型我們有：2222()1,(),1eeeeFLLnnTAnSALLLIS第五章 均質流體的運動方程o 本章從1856年Darcy的實驗出發(fā)，在均質流體情況下得到流體通過多孔介質運動的基本方程。本章中的所有變數和參數僅對作為連續(xù)介質的多孔介質區(qū)域有意義。Darcy實驗定律o 1956年，Darcy研究了水在直立均勻砂柱中的流。根據實驗，得到：如果用 表示水力梯度，而把比流量 定義為與流動方向垂直的每單位橫截面積的流量 ，則：12()QKA hhL12( ()JhhLq()qQ AqKJ12()JhhLDarcy實驗定律o

40、右圖為將Darcy定律推廣到流體通過均質傾斜砂柱的流動情形。則有：上式表明，流動是從高測壓水頭向低測壓水頭，而不是從高壓力向低壓力。1212(),(),iiiQKALqKLKJzpo 上圖表示垂直向下流動的幾種情形： Darcy實驗定律12( ):app12( ):,( ):bpcpp常數。Darcy實驗定律o 如圖5.1.2所示，流體只能通過砂柱橫截面積 的一部分流動，其余部分為多孔介質固體骨架所占據。因為平均面孔隙率等于體孔隙率 ，所以通過砂柱的平均速度 應當是：o 在一種均質流體的流動中，孔隙空間的部分流體有時是不動的。此時可以定義一個關于通過介質流動的有效孔隙率 使得：AnVVQ nA

41、q n()enneVq nDarcy定律的推廣：各向同性介質o 實驗導出的、適用于均質不可壓縮流體的Darcy定律僅限于一維流動。對于三維流動，Darcy定律在形式上可推廣為：式中 為比流量向量， 是水力梯度。當流動發(fā)生在均質各向同性介質中時， 是一個不變的標量，因此上式可以寫為三個方程：qKJKgrad qJgrad K,xxyyzzqKJKx qKJKyqKJKzDarcy定律的推廣：各向異性介質o 如果某種性質與其在介質內部的位置無關，則介質關于該性質是均質的；反之則說介質是非均質的。如果某種性質與其在介質內部的方向無關，則介質關于該性質是各向同性的；如果在介質內部一點上介質的某種性質，

42、例如滲透性或導熱性隨方向變化，則在該點介質關于這種性質是各向異性的。本書中的各向同性或各向異性皆指滲透性而言。Darcy定律的推廣：各向異性介質o 因為Darcy定律表示為比流量分量和水力梯度分量之間的單一線性關系，因此通過寫出通量 分量和水力梯度 分量之間的最一般的線性關系就能將其推廣到各向異性介質： 式中 是笛卡爾坐標。( )q()Jgrad xxxxxyyxzzyyxxyyyyzzzzxxzyyzzzqK JK JK JqK JK JK JqK JK JK J, ,x y z偏離Darcy定律的情形：上限o 在通過管道的流動中，區(qū)分層流和紊流所采用的準則是雷諾數 ，它為一無量綱數，表示慣

43、性力與粘滯力之比。管道中層流和紊流之間的臨界雷諾數約為2100。對于多孔介質的流動，可以將雷諾數定義為： 式中 是多孔介質的某種長度尺寸； 是流體的運動粘度。(Re)Reqd vdv偏離Darcy定律的情形：上限o 就一切實際情況而論，只要根據平均粒徑計算的雷諾數不超過110之間的某個值，Darcy定律就是適用的。o 通過進一步同管流類比，可以把多孔介質中的流動表示為摩擦因數和雷諾數之間的關系。Fanning將摩擦因數定義為： 式中 為管子的水力半徑 。2222 ()()fgRJ VRLV R(4)do 如果將通過多孔介質流動的實驗結果繪成Fanning摩擦系數和雷諾數之間的關系，則得圖5.3

44、.1所示的一條曲線。偏離Darcy定律的情形：上限（a）層流區(qū)：這是低雷諾數時的流動情形。在此區(qū)內粘滯力起主要作用，線性Darcy定律成立。該區(qū)上限的雷諾數在110之間。（b）過渡區(qū)：在該區(qū)的下部，從粘滯力起主要作用的層流狀態(tài)逐漸變?yōu)閼T性力支配流動的另一種層流狀態(tài)。而在該區(qū)的上部流動則逐漸變?yōu)槲闪?。慣性力起主要作用的層流區(qū)一般稱為非線性層流區(qū)。（c）紊流區(qū)：當 很大時我們就觀測到紊流區(qū)。Re偏離Darcy定律的情形：下限o 某些作者就通過多孔介質的飽和流動可應用Darcy定律的下限問題作了討論。o Irmay指出，存在一個最小梯度或稱初始梯度 ，如果實際水力梯度小于 ，則沒有流動。引用最小梯度

45、的概念，Darcy定律變?yōu)椋?000,(),qJJqKJ JJJJJJJ當時；當時；0J0J偏離Darcy定律的情形：下限o Swartzendruber曾對以前某些研究流體飽和多孔介質中非達西性狀的著作進行過評論，他根據實驗數據提出了如下一維流動方程：o 由上式知 在 處的斜率為零。 他把方程歸因于粘土和水相互作用所招致的非牛頓液體的粘滯性。000,0exp,qJJqB JCJJJ當時，當時q0J 滑流現象o 在以Darcy定律為基礎的層流理論中，我們曾假定，由于流體內切應力的存在，固體壁面上流體的速度等于零，但在氣流中情況與此相反，因為氣體的分子與固體壁面沒有密切接觸，氣體在固體壁面上可以

46、具有一定的非零速度。因此，當氣體分子的平均自由程接近通道的尺寸時，界面上的各個分子都將處于運動狀態(tài)，且貢獻一個附加通量。這種現象就叫做滑流現象。滑流現象o Klinkenberg利用一根玻璃毛細管作為模型導出如下的氣體滲透率公式：o 式中 是對氣體的滲透率； 是對液體或高密度氣體的滲透率； 是在測定 的平均壓力 下氣體分子的平均自由程； 是比例系數； 是Klinkenberg模型的毛細管半徑； 是氣體-固體系統(tǒng)的一個常數，依賴于氣體分子的平均自由程和多孔介質內通道開口的尺寸。(14)(1)gllkkcrkb pgklkgkp(1)c rb勢和偽勢o 通過觀測流場內各點的 （測壓水頭）值，我們可

47、以設想空間中存在著一些 等于常數的簡單曲面。為了證實這些曲面的存在，現考察這樣一個曲面方程： 上式表明這樣一個事實：即此曲面上的任何位移向量必定垂直于向量 。0graddsgrad勢和偽勢o 首先考慮以下述形式表示的曲面的方程： 式中 是某一向量場。在一定條件下上述方程是可積的。假設存在一個標量函數 ，使得： 于是將所考慮的曲面方程積分就得到 常數，并且通過改變常數的值可得一族這樣的曲面。0 xyzF dsF dxF dyF dz( , , )FF x y z( , , )GG x y z,xyzFa Gx Fa Gy Fa Gz( , , )G x y z 勢和偽勢o 假設上面所定義的函數

48、確實存在，考慮：o 如果向量 存在，那么從方程 可以看出，向量 在每一點都與 垂直。G()()()0 xzyyxzzyxFFyFzFFzFxFFxFyF curlF ()()()zyxzyxHFyFz IxFzFx IyFxFy IzcurlF 0F HHF勢和偽勢o 所以可以求出以積分形式 表示的法面方程。標量函數 叫做偽勢。在某些特殊條件下， 為常數且可使其等于-1，此時的標量函數 就叫做向量場 的勢函數，而曲面 則稱為等勢面。o 由此可見，與 垂直的曲面 的存在條件是 。反之，如果方程 成立，則垂直于 的曲面存在。( , , )G x y z 常數GaGFG 常數F( , , )G x

49、y z 常數0F curlF0F curlFF勢和偽勢o 鑒于上述討論，我們可以將 當作測壓水頭 ，并可以用數學術語偽勢來稱呼 。如果用水力傳導系數 代替 ，則 即為比流量 ，于是：o 對于均勻介質（ ），上述方程可寫為： 受其控制的流動叫做勢流。此時可以把 看作 ，并可以用數學術語偽勢來稱呼 。G( , , )KK x y zaFq( , , )qK x y z grad K 常數),qgrad KgradK （G無旋流動o 如果用比流量向量 寫出方程 ，則應寫為： 式中q0F curlF0q curlq=Ix()+Iy()+Iz()xxyzyxxzIIIcurlqV qxyzqqqqqqq

50、qqyzx z-zxy無旋流動o 向量 叫做旋度向量，滿足方程 的流動則稱為無旋流動。 o 對于無旋流場，由方程 得： 上式對流動區(qū)域內的一切點都成立。 值得注意：在二維流動中，等勢面族一定存在，介質盡管可能是非均質各向同性的，但流線卻處處與等勢面垂直。12Wcurlq0curlq 0curlq ,yyxxzzqqqqqqyzzxxy無旋流動o 無旋流動有時也稱為無環(huán)量流動。環(huán)流量 用給定時刻的切向速度分量關于任一封閉圍道 的線積分定義： 式中 的正方向相應于包圍面積 的圍線 的逆時針方向。如果 ，則 。C()( )CAq dscurlq dA IsAC0curlq =0無旋流動o 從 的事實

51、得出一個重要的結論：在 的流動區(qū)域里，從一固定點 到任意一點 ， 的線積分與連接這些點的路徑無關。o 無旋向量場 可用下述三個等價方程刻畫： 是一個標量點函數； ，對于任一閉曲線 不包括奇點； ，對于一切點。=0qgrad 0ppq dsq,( , , )qgradx y z ()0Cq dsC0curlq 各向同性介質的水力傳導系數o 在各向同性介質中，利用公式 可將水力傳導系數定義為單位水力梯度的比流量。水力傳導系數是一個表示多孔介質輸運流體能力的標量。所以它與流體及骨架的性質有關。相應的流體性質為密度 及粘度 或它們的組合形式運動粘度 ；而相應的骨架性質主要是粒徑（或孔徑）分布、顆粒（或

52、孔隙）、形狀、比表面、彎曲率及孔隙率。qKJ( )( )各向同性介質的水力傳導系數o 從Darcy定律的理論推導或量綱分析可以看出，水力傳導系數可表示為： 式中 叫多孔骨架的滲透率或內在滲透率，它僅與骨架性質有關； 表示流體性質的作用。利用上式可將Darcy定律寫成：Kkk g k ()() (),1,2,3iiiiqKxkgxkgpgzx i 各向同性介質的水力傳導系數o 由上式可得： 如果 ，則有 對于水平流動，有=常數() (),1,2,3iiqkpgzx i (),1,2,3iiqkpx i 各向同性介質的水力傳導系數o 確定滲透率一般有三類公式： 第一類公式是純經驗的。例如公 式 就

53、是根據右圖所示的 與平均粒 徑 的關系得出。 第二類公式是從Darcy定律的理 論推導得出的純理論公式。該公 式中的滲透率與孔隙率、彎曲率 及骨架主要通道的傳導率有關。1120 617 10kdkd各向同性介質的水力傳導系數o 第三類公式是半經驗公式。它通常是利用某種理想模型進行理論分析而導出的 與骨架不同參數的關系式。但是，對于每種具體的多孔介質或一類相似的多孔介質都必須用實驗確定數字系數。o 上述各種公式的普遍形式是 其中 是一個表示顆粒（或孔隙）形狀影響的無量綱參數； 叫做形狀因數； 叫做孔隙率因數； 是顆粒的有效粒徑。k212( )( )kf s fn ds1( )f s2( )fnd

54、各向同性介質的水力傳導系數o 通常，乘積 作為一個無量綱系數 出現在 和 的關系式中，于是有：o 當 在空間上變化，即 時，我們稱多孔介質是非均質介質或非均勻介質。如果在飽和流動區(qū)域的某點上 隨方向變化，我們說介質在該點是各向異性的。12( )( )f s fnCkd22,kCdKCdgk( , , )kk x y zk水力傳導系數的單位與例子o 實踐中所使用的水力傳導系數 的單位是各式各樣的。在美國，水文工作者通常使用兩種單位。一種是實驗室水力傳導系數單位或稱標準水力傳導系數單位，定義為：在 的水力梯度作用下，華氏 的水通過單位面積 的流量 即 的單位為 。另一種是野外水力傳導系數單位或稱含

55、水層水力傳導系數單位，定義為：在 的水力梯度()KL T量綱1英尺 英尺602（英尺 ）（加侖 日）K2加侖 日 英尺1英尺 英里水力傳導系數的單位與例子o 作用下，野外溫度下的水通過厚1英尺、寬1英里的一個含水層橫截面積的流量。這樣得到的野外水力傳導系數單位與實驗室水力傳導系數單位相同。上述單位之間的換算如下：o 在米制中，滲透率 的單位是 或 ；在英制單位中，單位是 。2-5-21=4 72 10=4 08 10美制加侖 日 英尺厘米 秒米 日2()kL量綱2厘米2米2英尺水力傳導系數的單位與例子o 采油工程師常用的滲透率單位是達西?？啥x為： 因此，如果完全充滿介質空隙空間的、粘度為1厘

56、泊的一種單相流體，在每厘米一個大氣壓力或與此相當的水力梯度作用下通過橫截面積為 的流量為 ，則我們說此介質的滲透率為1達西。321() 11=1厘米 秒 厘米厘泊達西大氣壓 厘米21厘米31厘米秒水力傳導系數的單位與例子o 在達西的定義式中， 。由達西換算成面積單位的公式是：-2-221=10=10厘泊泊達西秒 厘米621=1.0132 10個大氣壓達西 厘米-92-112-4-221=9.8697 10=1.062 10=9.613 10=1.4156 10達西厘米英尺厘米 秒 （對于攝氏20的水而言）美制加侖 分英尺（對于攝氏20的水而言）水力傳導系數的單位與例子o 下表列出了水力傳導系數

57、和滲透率的一些典型數值：各向異性介質的滲透率o 在各向異性介質的一般情況下，比流量 和梯度 的關系可寫為如下形式： 三維空間中的九個分量決定著水力傳導系數張量，通常寫成如下矩陣形式：123(,)qq q q123(,)J J JJgrad ( ,1,2,3)iijjqK JK Ji j或q111213212223313233KKKKKKKKKK各向異性介質的滲透率o 因為 是對稱張量 ，所以只有六個不同的分量。則方程可以寫成如下矩陣方程：o 混合分量 可解釋為這樣一個系數：它乘以水力梯度 的分量 即為 對 方向的比流量 的貢獻。而流量 則等于 所產生的比流量之和。K()ijjiKK即11112

58、1312212223233132333qKKKJqKKKJqKKKJ ijx xKJjxJJixixqixq123,xxxJJJ各向異性介質的滲透率現在了解一下二秩張量所具有的若干性質（a）如果已知張量 在坐標系 中的分量 ，則可利用坐標旋轉從坐標系 求出它在坐標系 中的分量 式中 是坐標軸 和 之間的方向余弦： 。事實上，要證明某個量是二秩張量，必須證明其分量變換服從上式。KixijkixpxpqK, , , ,1,2,3pqijpiqjKK a ai j p q mnamxnxcos(,)mnmnaIx Ix各向異性介質的滲透率（b）證明某個量是二秩張量的另一種方法是證明它服從如下的商定律

59、：即如果 是九個量，而 和 是向量（分別具有分量 和 ），滿足所有 與諸 完全無關的條件，且 ，則這些 就是二秩張量的分量。（c）如果 表示由二秩張量的九個分量 所組成的 階矩陣的行列式，那么當 時，可以利用下述公式來求 的逆張量或ijKBCiBiCiBijKiijjCK BijKdet KijK3 3det0K K各向異性介質的滲透率共軛張量 的分量：式中 的余子式就是從 中刪去第 行和第 列，并在此行列式之前冠以符號 所得到的行列式。設空間中存在著張量 及單位向量 ，它們的分量依次為 和 。如果伴隨向量 與1()WK1()detijijijKWKK的余子式ijKdet Kij( 1)ijK

60、IuijKiuijiK u各向異性介質的滲透率 平行，則單位向量 的方向稱為張量 的主方向。而且，對于對稱張量 的主方向 ，有關系式 或上述關系式代表由三個線性齊次方程構成的方程組，其中的未知數是單位向量的分量 。由于平凡解 與條件 不相容，故方IuIuKijKiu0ijijK uKu1,()0,0,ijijiijijKKuijiu0iu 1Iu Iu各向異性介質的滲透率程的系數行列式必為零。如果用典型元素表示此行列式，則 。展開得到一個關于 的三次方程：此方程稱為對稱張量 的特征方程。方程中的 是與坐標系無關的標量，稱為對稱張量 的基本不變量： 矩陣的主對角線元素之和 的跡； 這些元素的余子