[工學(xué)]4-1根跡法

1、1第四章第四章 根軌跡法根軌跡法主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 1）根軌跡的概念）根軌跡的概念 2）繪制根軌跡的基本條件）繪制根軌跡的基本條件 3）根軌跡的繪制規(guī)則）根軌跡的繪制規(guī)則(180度根軌跡度根軌跡) 4) 廣義根軌跡廣義根軌跡(0度、參變量根軌跡度、參變量根軌跡)24.1.1. 4.1.1. 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳函。只要求解反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳函。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)的響應(yīng)就迎刃而解。但是出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)的響應(yīng)就迎刃而解。但是對于對于3階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個可變

2、參數(shù)時，求根更困難了。個可變參數(shù)時，求根更困難了。 1948年，伊凡思年，伊凡思(W. R. Evans) 提出了一種確定系提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法根軌跡法。在已知開環(huán)零根軌跡法。在已知開環(huán)零極點分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時確定閉環(huán)極點極點分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時確定閉環(huán)極點的一種簡單的圖解方法。的一種簡單的圖解方法。要想了解根軌跡，先看一個具體的實例：要想了解根軌跡，先看一個具體的實例：3式中，式中，K為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。 Kg = 2K 稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。開環(huán)根軌跡增益。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞

3、函數(shù)為：KssKs222)(2 )2()2(2)15 . 0( ssKssKssKsGg 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析0 K ，閉環(huán)特征根，閉環(huán)特征根在在s平面上的移動路徑及其特征。平面上的移動路徑及其特征。 Ks(0.5s+1)+R(s)C(s) 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： s2 + 2s + 2K = 0用解析法求得系統(tǒng)的兩個閉環(huán)特征根為：用解析法求得系統(tǒng)的兩個閉環(huán)特征根為：Ks2112, 1 (1) K= 0: s1 = 0, s2 = 2, 是根跡的起點，用是根跡的起點，用“ ”表示。表示。 2 j 0

4、1(2) 0 K 0.5：1212, 1 KjsK= 0K= 0K=0.5KK56二階系統(tǒng)有兩個特征根，它的軌跡有兩條分支。因此：二階系統(tǒng)有兩個特征根，它的軌跡有兩條分支。因此： （1）n階系統(tǒng)有階系統(tǒng)有n條分支條分支 ； （2）每條分支的起點）每條分支的起點(K= 0)位于開環(huán)極點處；位于開環(huán)極點處； （3）各分支的終點）各分支的終點(K)或為開環(huán)零點處或為無限或為開環(huán)零點處或為無限遠處點；遠處點； （4）( 1，j0)點有重根，稱為分離點。點有重根，稱為分離點。根軌跡的定義：根軌跡的定義： 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0連續(xù)變化連續(xù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在時

5、，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s 平面上移動的軌跡，就稱作系平面上移動的軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。一般取開環(huán)傳遞系數(shù)作為可變參數(shù)。統(tǒng)根軌跡。一般取開環(huán)傳遞系數(shù)作為可變參數(shù)。71. 1. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 當(dāng)當(dāng)K從從0 時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入s右半平面，因此，二階系統(tǒng)對所有的右半平面，因此，二階系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。值都是穩(wěn)定的。4.1.2 根軌跡與系統(tǒng)性能根軌跡與系統(tǒng)性能 2 j 0 1K= 0K= 0K=0.5KK8 如果高階系統(tǒng)的根如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進入軌跡有可能進入s 右半右半平面，此時根跡與虛軸平面，此時根跡與虛軸交點處的交點處的K 值，就是臨值，

6、就是臨界開環(huán)增益。界開環(huán)增益。2.2.穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)屬于開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)屬于1 型系型系統(tǒng)，因而根軌跡上的統(tǒng)，因而根軌跡上的K 值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。如。如果給定系統(tǒng)果給定系統(tǒng)ess 的要求，則由根跡圖可以確定閉環(huán)極點的要求，則由根跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。位置的容許范圍。當(dāng)當(dāng)K Kg* 時，系統(tǒng)穩(wěn)定。時，系統(tǒng)穩(wěn)定。 0j Kg Kg Kg Kg*93. 3. 動態(tài)性能動態(tài)性能 由圖可見，當(dāng)由圖可見，當(dāng)0 K 0.5時，閉環(huán)極點為時，閉環(huán)極點為一對共軛復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)為一對共軛復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)

7、，單位階躍響應(yīng)欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。為阻尼振蕩過程。K p% ，但但是是 ts不會顯著變化。不會顯著變化。332sntk104.1.3 4.1.3 根軌跡方程根軌跡方程 研究下圖所示負反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。研究下圖所示負反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)+H(s)該系統(tǒng)的特征方程為該系統(tǒng)的特征方程為: D(s) = 1 + G(s)H(s) = 0或或 G(s)H(s) = 1上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。11 njjmiiggpszsKsNsM

8、KsHsG11)()()()()()(系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成如下形式寫成如下形式式中，式中，Kg為系統(tǒng)的根跡增益，為系統(tǒng)的根跡增益， zi 為系統(tǒng)的開環(huán)零點，為系統(tǒng)的開環(huán)零點，pj為系統(tǒng)的開環(huán)極點。此時稱為常規(guī)（為系統(tǒng)的開環(huán)極點。此時稱為常規(guī)（180 ）根軌跡，）根軌跡，根軌跡方程又可寫為：根軌跡方程又可寫為：gnjjmiiKpszs1)()(11 12根軌跡的相角方程：根軌跡的相角方程： )12()()(11 kpszsnjjmii式中，式中，k=0，1，2，（全部整數(shù)）。（全部整數(shù)）。 根據(jù)這兩個條件，可完全確定根據(jù)這兩個條件，可完全確定s平面上根軌跡及根

9、平面上根軌跡及根軌跡上對應(yīng)的軌跡上對應(yīng)的Kg值。值。是確定是確定s平面上根軌跡的平面上根軌跡的充要條件充要條件，這就是說，繪制根軌跡時，只需要使用相，這就是說，繪制根軌跡時，只需要使用相角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點的角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點的Kg值時，才使值時，才使用幅值條件。用幅值條件。gnjjmiiKpszs111 根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程：13 下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和相角條件繪下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和相角條件繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖。制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖。已知開環(huán)零極點分布如圖示。已知開環(huán)零極點分布如圖示。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2

10、 3 在在s平面找一點平面找一點s1 ，畫出各開環(huán)零、極點到畫出各開環(huán)零、極點到s1點的向量。點的向量。 檢驗檢驗s1是否滿足相角條件：是否滿足相角條件： (s1 z1) (s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3) = 1 1 2 3 = (2k+1) ？ 如果如果s1點滿足相角條件，則是根軌跡上的一點。點滿足相角條件，則是根軌跡上的一點。尋找尋找14在在s 平面內(nèi)滿足相角條件的所有平面內(nèi)滿足相角條件的所有s1 點，將這些點連成光點，將這些點連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡?；€，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。 在在19481948年，伊凡思提出了用圖解法繪制根跡的一些年，伊凡思提出了用圖

11、解法繪制根跡的一些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根跡，在概略基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根跡，在概略根跡的基礎(chǔ)上，必要時可用相角條件使其精確化，從而根跡的基礎(chǔ)上，必要時可用相角條件使其精確化，從而使整個根跡的繪制過程大為簡化。使整個根跡的繪制過程大為簡化。113sj -131 1例：已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布如例：已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布如圖所示：圖所示：1 1、判斷、判斷 是否是根軌跡上的點？是否是根軌跡上的點？2 2、求使閉環(huán)極點為、求使閉環(huán)極點為-2 -2的的KgKg的值，并求另的值，并求另一閉環(huán)極一閉環(huán)極 點？點？154.2.1 4.2.1 繪制繪制180180

12、根軌跡的基本法則根軌跡的基本法則 ：根軌：根軌跡起始于開環(huán)極點，跡起始于開環(huán)極點， 終止于開環(huán)零點。終止于開環(huán)零點。 證明：證明： njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(0)()(11 njmiigjzsKps1 + G(s)H(s) = 016 當(dāng)當(dāng) Kg= 0 時，有時，有 s = pj ( j =1, 2, , n) 上式說明上式說明Kg= 0時，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點。時，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點。 將特征方程改寫為：將特征方程改寫為： 當(dāng)當(dāng) Kg 時，有時，有 s = zi ( i =1, 2, , m) 所以根軌跡必終于開環(huán)零點。所以根軌

13、跡必終于開環(huán)零點。 在實際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中在實際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中 m n ，有，有m 條根軌跡終條根軌跡終點為開環(huán)零點處，有點為開環(huán)零點處，有n m條根軌跡的終點將在無窮遠處。條根軌跡的終點將在無窮遠處。 0)()(111 njmiijgzspsK17 如果把有限數(shù)值的零點稱為有限零點，而把無窮遠如果把有限數(shù)值的零點稱為有限零點，而把無窮遠處的零點稱為無限零點，那么根軌跡必終于開環(huán)零點。處的零點稱為無限零點，那么根軌跡必終于開環(huán)零點。 ：系統(tǒng)根軌跡的分：系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù)支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù) m 和有限極點數(shù)和有限極點數(shù) n 中的大者相中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的并且對稱于

14、實軸。等，根軌跡是連續(xù)的并且對稱于實軸。 證明：證明： 1 + G(s)H(s) = 0 mnsmiinjjsgszspsKlim)()(lim110)()(11 njmiigjzsKps18特征方程式的階數(shù)特征方程式的階數(shù) = maxn，m 特征根的個數(shù)特征根的個數(shù) = 方程的階數(shù)方程的階數(shù) = 根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù) = maxn，m 由于閉環(huán)特征方程中的某些系數(shù)是根跡增益的函由于閉環(huán)特征方程中的某些系數(shù)是根跡增益的函數(shù)，所以當(dāng)數(shù)，所以當(dāng)Kg 從從0 連續(xù)變化時，特征方程的某些系連續(xù)變化時，特征方程的某些系數(shù)也隨之而連續(xù)變化，因而特征方程根的變化也必然數(shù)也隨之而連續(xù)變化，因而特征方程

15、根的變化也必然是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。 因為閉環(huán)傳函為有理分式，所以閉環(huán)特征方程的因為閉環(huán)傳函為有理分式，所以閉環(huán)特征方程的根只有實根和復(fù)根兩種，實根本身位于實軸上，復(fù)根根只有實根和復(fù)根兩種，實根本身位于實軸上，復(fù)根必成對共軛出現(xiàn)，而根軌跡是根的集合，所以必然對必成對共軛出現(xiàn)，而根軌跡是根的集合，所以必然對稱于實軸。稱于實軸。 19 j 0K= 0K= 0KK 0j 0j Kg Kg Kg 20 0 j 0 j -1-2 j121 ：當(dāng)開環(huán)傳函中：當(dāng)開環(huán)傳函中m 0 91 4K 0 K 00 K 22.75當(dāng)當(dāng) K= 22.75時，時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)臨界

16、穩(wěn)定。 (70 2K)/7s2 + K = 0 s = j2.55 s4 + 7s3 +10s2 + 2Ks + K= 0 勞斯表勞斯表55 0 j -1-5-2j2.55 K=22.752(12 )( )(2)(5)KsG ssss 562(12 )( )(2)(5)KsG ssss 57 0 j -1-5-2j2.55 K=22.75 0 j -1 -4 -2 j1 當(dāng)當(dāng)H(s) =1+2s時（微分負反饋）時（微分負反饋）或系統(tǒng)串聯(lián)或系統(tǒng)串聯(lián)PD調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)器器，使系統(tǒng)由結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定變?yōu)闂l件穩(wěn)定的系統(tǒng)，改善，使系統(tǒng)由結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定變?yōu)闂l件穩(wěn)定的系統(tǒng)，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。58解：解：

17、s2 + 4s + a =(s + 2)2 + a 4 一對共軛復(fù)數(shù)根一對共軛復(fù)數(shù)根 a = 45 , 135 例例4-94-9 設(shè)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。2( ) 4(4)(4)KG sas sssa04242424ajaja 11110424245dddjadja 592242(2)0(4)4ddd ddda2(d + 2)2d2 + 4d + a = 0 d1 = 22,386488228442ada 討論討論：1）4 a 8 一個實數(shù)分離點，一對共軛復(fù)數(shù)一個實數(shù)分離點，一對共軛復(fù)數(shù)分離點。分離點。60 系統(tǒng)的閉環(huán)

18、特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s4 + 8s3 + (16 + a)s2 + 4as + K= 0 勞斯表勞斯表s4 1 16 + a Ks3 8 4as2 16 +0.5a Ks1 (2a2+64a 8K)/(16 +0.5a)s0 K令令s1的系數(shù)為零的系數(shù)為零(32) 42a aaKsj 61 0 j -1 -4 -2 j12( ) 4(4)(4)KG sas sssaa 8s2 + 4s + a =(s + 2)2 + a 4d1 = 22,32282dja (32) 42a aaKsj 62 0 j -1 -4 -2 j1a = 8s2 + 4s + a =(s + 2)2 + a

19、 4d1 = 2(32) 42a aaKsj 63 0 j -1 -4 -2 j14 a 8 s2 + 4s + a =(s + 2)2 + a 4d1 = 22,32282da (32) 42a aaKsj 642( ) 4(4)(4)KG sas sssaa=5652( ) 4(4)(4)KG sas sssaa=866a=202( ) 4(4)(4)KG sas sssa67a=22( ) 4(4)(4)KG sas sssa684.3.1 04.3.1 0 根軌跡的基本法則根軌跡的基本法則 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(gnjjmiiKpszs

20、1)()(11 此時的根軌跡稱為此時的根軌跡稱為0 根軌跡。根軌跡。此時研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為此時研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為 D(s) = 1 G(s)H(s) = 0或或廣義廣義69根軌跡的相角方程：根軌跡的相角方程： kpszsnjjmii2)()(11 gnjjmiiKpszs111 根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程： ：根軌跡：根軌跡起始于開環(huán)極點，起始于開環(huán)極點， 終止于開環(huán)零點。終止于開環(huán)零點。 ：系統(tǒng)根軌跡的分：系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù)支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù) m 和有限極點數(shù)和有限極點數(shù) n 中的大者相等，中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的并且對稱于實軸。

21、根軌跡是連續(xù)的并且對稱于實軸。70 * ：當(dāng)開環(huán)傳函中：當(dāng)開環(huán)傳函中m n 時，時，有有n m 條根軌跡分支沿著與實軸交角為條根軌跡分支沿著與實軸交角為 a ，交點為，交點為 a 的的一組漸近線趨于無窮遠處，且有：一組漸近線趨于無窮遠處，且有：mnzpmiinjja 11 mnka 2(k = 0,1, , n m 1) ：實軸上的某一區(qū)域，若其：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為，則該區(qū)域必是根，則該區(qū)域必是根軌跡。軌跡。71 ： nxjjjxmiixpppzpx, 11)()( 1,1()()xmnzxixjii xjzzzp1111(21)

22、mnijijddzdpkl分離點：分離角：72：若根軌跡與虛軸相交，：若根軌跡與虛軸相交，則交點上的坐標可按下述兩種方法求出：則交點上的坐標可按下述兩種方法求出： 方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s) = 0中，令中，令s = j，D(j) = 0的解即是交點坐標。的解即是交點坐標。 方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。：若開環(huán)傳函分母階次：若開環(huán)傳函分母階次n比分子比分子階次階次m高高2次或次或2次以上，即次以上，即n m 2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點之，則系統(tǒng)閉環(huán)極點之和等于其開環(huán)極點之和。和等于其開環(huán)極點之和。 1）根的分量之和是一個與）根的分量之和

23、是一個與Kg 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 2）各分支要保持總和平衡，走向左右對稱。）各分支要保持總和平衡，走向左右對稱。73 例例 4-10 設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。)4)(2() 1()(sssKsGg解解: 單位正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為單位正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為0)4)(2() 1()(1)(sssKsGsDg系統(tǒng)根軌跡需按系統(tǒng)根軌跡需按0根軌跡的繪制法則繪制。根軌跡的繪制法則繪制。1)4)(2() 1(sssKg即系統(tǒng)的根軌跡方程為即系統(tǒng)的根軌跡方程為74： 4， 2 1， 在在( ( 4， 2)

24、和和( (1，) )存在分離點。存在分離點。 114121ddd312, 1d系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 s 2 + (6 Kg ) s + 8 Kg = 0令令s = j ，得，得( j )2 + (6 Kg ) ( j ) + 8 Kg = 0分別令實部和虛部為零，得分別令實部和虛部為零，得 2 + 8 Kg = 06 Kg = 0 = 1.414，Kg = 6 75 0 j -1-4 -2 j1 1 2.730.73)4)(2() 1()(sssKsGg當(dāng)當(dāng)Kg 6時，正反饋閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。時，正反饋閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果此系統(tǒng)為負反饋系統(tǒng)，則系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。如果此系統(tǒng)為負反

25、饋系統(tǒng)，則系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。764.3.2 4.3.2 參變量系統(tǒng)的根軌跡參變量系統(tǒng)的根軌跡 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s) = GH(s , A) A為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可表示為為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可表示為D(s)= 1 G(s)H(s) = 1 GH(s, A) = 0可整理為可整理為式中，式中，GH (s)為系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)。此時根軌跡為系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)。此時根軌跡可以化為常規(guī)根軌跡或可以化為常規(guī)根軌跡或0 根軌跡。根軌跡。)()(1)(1sQsPAsHG 77 例例4-114-11 已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

26、為已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制參數(shù)試繪制參數(shù)a從零變化到正無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。從零變化到正無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。)1()(25. 0)()(2 ssassHsG 解解: 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3 + s2 + 0.25s + 0.25a = 0兩邊同除以兩邊同除以s3 + s2 + 0.25s因式，得到如下因式，得到如下 系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為320.25100.25assssssasHG25. 025. 0)(23 把把a視為根跡增益，可繪制出視為根跡增益，可繪制出a 變化時系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。變化時系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。78 0

27、 j 0.5 1漸近線：漸近線：a= 1/3 a= /3，5/3，。根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點: a =1 s = j/2sssasHG25. 025. 0)(23 a j0.5 a = 1分離點：分離點： d1= 1/6 , d2= 1/2。a79(1)( )( )(1)(2)KTsG s H ss ss 例例4-124-12 已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中開環(huán)根跡增益其中開環(huán)根跡增益K可自行選定。試分析時間常數(shù)可自行選定。試分析時間常數(shù)T對對系統(tǒng)性能的影響。系統(tǒng)性能的影響。 解解: 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s (s +1 )

28、 (s + 2 ) + K (1 + T s) = 0或改寫為或改寫為s (s +1 ) (s + 2 ) + K + KT s = 0系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為11( )( )(1)(2)KTsG s H ss ssK等效開環(huán)極點為等效開環(huán)極點為s (s +1 ) (s + 2 ) + K = 0的根，也就是的根，也就是當(dāng)當(dāng)T = 0，以，以K為可變參數(shù)的閉環(huán)極點。為可變參數(shù)的閉環(huán)極點。80 0 j K=6 ( j1.414)K=20 (0.425 + j2.235)K=3 (-0.165+ j1.047)K=20-3.85-3 K=6K=3-2.672( )( )(1)(2)KG s H ss ss8111( )( )(1)(2)KTsG s H ss ssK 0 j K=6 (T=0)K=20 (T=0)K=3 (T=0)K=20-3.85K=6K=3-2.672-3漸近線：漸近線：有有2條漸近線條漸近線 a = 1.5 a = /2，3 /2。不論不論K為何值，根軌跡的為何值，根軌跡的漸近線都是一樣的。漸近線都是一樣的。82 1.基本要求基本要求 通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到：通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到： （1）掌握開環(huán)根軌跡增益）掌握開環(huán)根軌跡增益Kg變化時系統(tǒng)閉環(huán)變化時系統(tǒng)閉環(huán) 根軌跡根軌跡的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會