八年級數學上冊全等三角形(常見輔助線)課件新人教版(1)優(yōu)秀精品(2015年10月16日用)

1、專題學習專題學習 幾何證明中如何添加幾何證明中如何添加輔助線？輔助線？.連結連結目的目的: :構造構造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形適用情況適用情況: :圖中已經圖中已經存在兩個點存在兩個點X X和和Y Y語言描述語言描述: :連結連結XYXY注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法.連結連結典例典例1: 1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD1. 1.連結連結ACAC構造全等三角形構造全等三角形2. 2.連結連結BDBD構造兩個等腰三角形構造兩個等腰三角形.連結

2、連結典例典例2: 2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點點M M是是CDCD的中點的中點. .ACBD連結連結ACAC、ADAD構造全等三角形構造全等三角形EM.連結連結典例典例3: 3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD的中點，求證：的中點，求證：AMBAMB ANCANCACBD連結連結ADAD構造全等三角形構造全等三角形NM.連結連結典例典例4: 4:如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=B

3、CAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的長的長. .ACBD連結連結BDBD構造全等三角形構造全等三角形O目的目的: :構造構造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等適用情況適用情況: :圖中已經圖中已經存在一個點存在一個點X X和和一條線一條線MNMN語言描述語言描述: :過點過點X X作作XYXYMNMN注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例1: 1:如圖如圖, ,ABCABC中中, C

4、=90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點求點D D到到ABAB的距離的距離. .ACD過點過點D D作作DEABDEAB構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例2: 2:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD過點過點D D作作DEABDEAB構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角

5、形且且距離相等距離相等BE 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,則則BEDBED的周長是多少的周長是多少? ?.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例3: 3:如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD過點過點E E作作EFBCEFBC構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結論你從本題中還能得到哪些結論? ?E.角平分線上點向兩邊作垂線段角

6、平分線上點向兩邊作垂線段典例典例4: 4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求證求證: PD=PE.: PD=PE.ACD過點過點P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結論你從本題中還能得到哪些結論? ?EPGO目的目的: :構造構造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等適用情況適用情況: :圖中已經存在圖中已經存在一條線段一條線段MNMN 和和垂直平分線上一個點垂直平分線上

7、一個點X X 語言描述語言描述: :連結連結X XM M和和X XN N注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法.垂直平分線上點向兩端連線段垂直平分線上點向兩端連線段目的目的: :構造構造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等適用情況適用情況: :圖中已經存在圖中已經存在一條線段一條線段MNMN 和和垂直平分線上一個點垂直平分線上一個點X X 語言描述語言描述: :連結連結X XM M和和X XN N注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法.中線延長一倍中線延長一倍1

8、.AD1.AD是是ABCABC的中線，的中線，.中線延長一倍中線延長一倍ABCDE)(21ACABAD求證：延長延長ADAD到點到點E E，使，使DE=ADDE=AD，連結連結CE.CE.如何利用三角形的中線來構造全等三角形？如何利用三角形的中線來構造全等三角形？復習：復習： 可以利用可以利用倍長中線法倍長中線法，即把中線，即把中線延長一倍，來構造全等三角形。延長一倍，來構造全等三角形。 如圖，若如圖，若AD為為ABC的中線，的中線， 必有結論必有結論：ABCDE12 延長延長AD到到E，使，使DE=AD，連結連結BE（也可連結也可連結CE）。）。ABD ECD，1=E，B=2，EC=AB，C

9、EAB。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。構造全等三角形。 如何利用三角形的角平分線來構如何利用三角形的角平分線來構造全等三角形？造全等三角形？問題：問題： 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BAC。方法一：方法一：ABCDE必有結論：必有結論：在在AB上截取上截取AE=AC，連結連結DE。ADE ADC。ED=CD，3 3* *2 21 1AED=C，ADE=ADC。方法二方法二：ABCDF延 長延 長 A C 到到 F ， 使， 使AF=AB，連結連結DF。必有結論：必有結論：ABD AFD。BD=FD，

10、如何利用三角形的角平分線來構如何利用三角形的角平分線來構造全等三角形？造全等三角形？問題：問題：3 3* *2 21 1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。構造全等三角形。B=F， ADB=ADF。 如何利用三角形的角平分線來構如何利用三角形的角平分線來構造全等三角形？造全等三角形？問題：問題：ABCDMN方法三方法三：作作DMAB于于 M，DNAC于于N。必有結論：必有結論：AMD AND。DM=DN，3 3* *2 21 1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平

11、分BAC。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。構造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。 （還可以用（還可以用“角平分線上的點到角的兩角平分線上的點到角的兩邊距離相等邊距離相等”來證來證DM=DN）證明證明：例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：求證：A+C=180A+C=180DABCE在在BC上上截取截取BE，使，使BE=AB，連結連結DE。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平

12、分線定義）角平分線定義）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）公共邊）ABD EBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定義），（平角定義），A3（已證）已證）A+ C180 （等量代換）等量代換）3 32 21 1* * A3（全等三角形的對應角相等）全等三角形的對應角相等） AD=CD（已知），已知），AD=DE（已證）已證）DE=DC（等量代換）等量代換）4=C（等邊對等角）等邊對等角）AD=DE（全等三角形的對應邊相等）全等三角形的對應邊相等）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABC

13、D中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：求證：A+C=180A+C=180DABCF延長延長BA到到F，使，使BF=BC，連結連結DF。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）角平分線定義）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）公共邊）BFD BCD（S.A.S）1243 FC（已證）已證）4=C（等量代換）等量代換）3 32 21 1* * FC（全等三角形的對應角相等）全等三角形的對應角相等） AD=CD（已知），已知），DF=DC（已證）已證）DF=A

14、D（等量代換）等量代換）4=F（等邊對等角）等邊對等角） 3+ 4180 （平角定義）（平角定義）A+ C180 （等量代換）等量代換）DF=DC（全等三角形的對應邊相等）全等三角形的對應邊相等）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延長線于的延長線于N。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）角平分線定義） DNBA，DMBC（已知）已知）N=DMB=9

15、0（垂直的定義）垂直的定義）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已證）已證） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）公共邊）NBD MBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的對應角相等）全等三角形的對應角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的對應邊相等）全等三角形的對應邊相等） DNBA，DMBC（已知）已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已證）已證） AD=CD（已知）已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義），（平角定義）， A3（已證）已證）A+ C180（等量代換）等量代換）證明證

16、明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延長線于的延長線于N。12N433 32 21 1* * BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知） DNBA，DMBC（已知）已知） ND=MD（角平分線上的點到這角平分線上的點到這 個角的兩邊距離相等）個角的兩邊距離相等） 4=C （全等三角形的對應角相等）全等三角形的對應角相等） DNBA，DMBC（已知）已知）NAD和和MCD是是Rt在在Rt

17、NAD和和RtMCD中中 ND=MD （已證）已證） AD=CD（已知）已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義）（平角定義） A3（已證）已證）A+ C180（等量代換）等量代換）練習練習1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：求證：C=2BC=2BABCDE122 21 1證明證明: :在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，連結連結DE。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）角平分線定義）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）

18、已知） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）公共邊）AED ACD（S.A.S）3B=4（等邊對等角）等邊對等角）4* * C3（全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）已知）EB=DC=ED（等量代換）等量代換） 3= B+4= 2B（三角形的一個外角等于三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）和它不相鄰的兩個內角和）C=2B（等量代換）等量代換）ED=CD（全等三角形的對應邊相等）全等三角形的對應邊相等）練習練習1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC

19、+CD，求證：求證：C=2BC=2BABCDF12證明證明: :延長延長AC到到F，使，使CF=CD，連結連結DF。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知）已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）等量代換） ACB= 2F（三角形三角形的一個外角等于和它不相的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）鄰的兩個內角和）ACB=2B（等量代換）等量代換）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已證）已證） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）公共邊）ABD AFD（S.A.S） FB（全等三

20、角形的對應角相等）全等三角形的對應角相等） CF=CD（已知）已知）B=3（等邊對等角）等邊對等角）練習練習2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點于點D D，交，交PQPQ于點于點C C。求證：求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長AEAE，交，交直線直線PQPQ于點于點F F。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234F5練習練習2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平

21、分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點于點D D，交，交PQPQ于點于點C C。求證：求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長BABA到點到點G G，使得使得AG=ADAG=AD，連結連結EGEG。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234G練習練習2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點于點D D，交，交PQPQ于點于點C C。求證：求

22、證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長BABA到點到點G G，使得使得AG=ADAG=AD，連結連結EGEG。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234G練習練習3 3 已知：如圖在已知：如圖在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AEBCAEBC， BDBD是是ABCABC的角平分線，的角平分線， GFBC GFBC ，求證：求證：AD=FCAD=FC。ABCDEH12證明證明: :過過D D作作DHBCDHBC，垂足為垂足為H H。GF* *3 30 0* * *.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段2. 2

23、.如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.延長延長BEBE和和CDCD交于點交于點F F構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形F 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結論你從本題中還能得到哪些結論? ?ACDBE1. 1.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,則則DBEDBE的周長是多少的周長是多少? ?.“.“周長問題周長問題”的轉化的轉化 借助借助“角平分線性質角平分線性質”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如圖如圖, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, ,E E在在ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周長的周長. .“.“周長問題周長問題”的轉化的轉化 借助借助“垂直平分線性質垂直平分線性質