第65講 空間角及其計(jì)算

1、1.理解和掌握異面直線所成的角、直理解和掌握異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念線與平面所成的角、二面角的概念.2.掌握求空間角的基本方法及空間角掌握求空間角的基本方法及空間角向平面角的轉(zhuǎn)化技巧向平面角的轉(zhuǎn)化技巧.3.培養(yǎng)依據(jù)不同問題情境選擇傳統(tǒng)的培養(yǎng)依據(jù)不同問題情境選擇傳統(tǒng)的構(gòu)造法或向量法計(jì)算空間角的思維習(xí)慣構(gòu)造法或向量法計(jì)算空間角的思維習(xí)慣.4.培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想合思想,提高學(xué)生的空間想象能力提高學(xué)生的空間想象能力.1.在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中,E1、F1分別是分別是棱棱A1B1、C1D1上的點(diǎn)上的點(diǎn),且且B

2、1E1=D1F1= ,則則BE1與與DF1所成角的余弦值為所成角的余弦值為( )114ABBA. B.C. D.81715173212 在在A1B1上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)G,并使并使A1G= ,連接連接AG,再在再在AB上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)H，連接，連接GH.則則AGH為異面直線為異面直線BE1與與DF1所成的角所成的角.不妨設(shè)不妨設(shè)A1B1=4，則則AG=GH= = .所以在所以在AGH中，中，cosAGH= = = .114AB1517241 172222AGGHAHAG GH171742 1717 2.在一個(gè)銳二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，它到在一個(gè)銳二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，它到棱的距離等于到另一個(gè)面的

3、距離的棱的距離等于到另一個(gè)面的距離的2倍，倍，則二面角的度數(shù)為則二面角的度數(shù)為 .30 如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)C作平面作平面的垂線，垂的垂線，垂足為足為D，過，過D作作DE垂直垂直AB于于E，連接，連接CE.由三垂線定理得由三垂線定理得CED為為-AB-的平面角的平面角.由題意可知由題意可知CED=30.3.已知正四棱錐已知正四棱錐S-ABCD中，中，SA=AB=a,則則側(cè)棱與底面所成角的大小為側(cè)棱與底面所成角的大小為 .45 如圖，由如圖，由S作作SO平面平面ABCD,則則O是正方形是正方形ABCD的中心，的中心，AO是是SA在平面在平面ABCD上的射影，上的射影，所以所以SAO為側(cè)棱與底面所

4、成的角為側(cè)棱與底面所成的角.又在又在ABO中，易得中，易得AO= a,所以所以SAO=45.224.如圖，已知如圖，已知AB為平面為平面的一條的一條斜線斜線,B為斜足，為斜足，AO，O為為垂 足垂 足 , B C 為為 內(nèi) 的 一 條 直內(nèi) 的 一 條 直線線,ABC=60,OBC=45,則斜線則斜線AB和平面和平面所成的角所成的角為為 .45 由斜線和平面所成的角的定義可由斜線和平面所成的角的定義可知知,ABO為斜線為斜線AB和平面和平面所成的角所成的角.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏osABO= = = ,所以所以ABO=45.22coscosABCOBC cos60cos45 一、異面直線所成的角一、異

5、面直線所成的角 1.異面直線所成的角異面直線所成的角:在空間中任取一點(diǎn)在空間中任取一點(diǎn)O,過過O點(diǎn)分別作兩異面直線的點(diǎn)分別作兩異面直線的 線所成線所成的的 叫做兩條異面直線所成的角叫做兩條異面直線所成的角. 2.異面直線所成的角的范圍是異面直線所成的角的范圍是 ,當(dāng)當(dāng)= 時(shí)時(shí),這兩條異面直線垂直這兩條異面直線垂直.平行平行銳角或直角銳角或直角(0, 22 二、直線與平面所成的角二、直線與平面所成的角 1.直線和平面所成的角：直線和平面所成的角： (1)如果直線平行平面或在平面內(nèi)，則它如果直線平行平面或在平面內(nèi)，則它和平面所成的角的大小為和平面所成的角的大小為 . (2)如果直線垂直于平面，則它

6、和平面所如果直線垂直于平面，則它和平面所成的角的大小為成的角的大小為 . (3)如果直線是平面的斜線，則它和它在如果直線是平面的斜線，則它和它在平面內(nèi)的平面內(nèi)的 所成的所成的 角，稱之為直角，稱之為直線和平面所成的角線和平面所成的角. 2.直線和平面所成的角的范圍是直線和平面所成的角的范圍是 .02射影射影銳銳0, 2 三、二面角的平面角三、二面角的平面角 1.二面角的平面角：從一條直線出發(fā)的二面角的平面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)兩個(gè) 組成的圖形叫做二面角，以組成的圖形叫做二面角，以二面角的棱上二面角的棱上 一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作內(nèi)分別作 兩條射線兩條射線.這兩條射這兩

7、條射線所成的角叫做線所成的角叫做 .平面角平面角是是 角的二面角叫做直二面角角的二面角叫做直二面角. 2.二面角的范圍是二面角的范圍是 . 3.作二面角的平面角的常用方法有作二面角的平面角的常用方法有 . . 四、求空間角的基本方法四、求空間角的基本方法 1.構(gòu)造法（傳統(tǒng)法）；構(gòu)造法（傳統(tǒng)法）；2.空間向量法空間向量法.1111半平面半平面任意任意1212垂直于棱的垂直于棱的1313二面角的平面角二面角的平面角1414直直15150,定義定義法、線面垂直法、垂面法法、線面垂直法、垂面法例例1 如圖，直四棱柱如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCD為平行四邊形，其中為平行四邊

8、形，其中AB= ，BD=BC=1，AA1=2，E為為DC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn). (1)求異面直線求異面直線AD1與與BE所所 成角的正切值；成角的正切值； (2)當(dāng)當(dāng)DF為何值時(shí)為何值時(shí),EF與與BC1 所成的角為所成的角為90?2 依異面直線所成角的定義或推理尋依異面直線所成角的定義或推理尋找或平行移動(dòng)作出異面直線所成角對(duì)應(yīng)的找或平行移動(dòng)作出異面直線所成角對(duì)應(yīng)的平面角平面角. （方法一）（方法一）（1）連接連接EC1.在直四棱柱在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，AD1BC1，則則EBC1為異面直線為異面直線AD1與與BE所成的角所成的角.又底面又底面AB

9、CD側(cè)面?zhèn)让鍰CC1D1BD=BCE為為CD的中點(diǎn)的中點(diǎn) BE側(cè)面?zhèn)让鍰CC1D1 BEEC1.在在RtBEC1中，中，BE= = ，EC1= = ，所以所以tanEBC1= =3.BECD22BCEC22221CCCE3 221ECEB(2)當(dāng)當(dāng)DF= 時(shí)時(shí),EF與與BC1所成的角為所成的角為90.由（由（1）知，）知，BE側(cè)面?zhèn)让鍰CC1D1 BEEF.又又DE=EC= ，CC1=AA1=2.當(dāng)當(dāng)DF= 時(shí)，時(shí)，因?yàn)橐驗(yàn)?= = ， = = ，1422DFCE142214241DECC22224所以所以DEFCC1E，所以所以DEF+CEC1=90，所以所以FEC1=90，即，即FEEC1

10、.又又EBBC1=E，所以，所以EF平面平面BEC1，所，所以以EFBC1,即即EF與與BC1所成的角等于所成的角等于90.（方法二）（方法二）由由BC2+BD2=DC2可知可知BDBC，分，分別以別以BD、BC、BB1分別為分別為x軸、軸、y軸、軸、z軸建軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，立空間直角坐標(biāo)系，如圖， 則則B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), E( ， ,0).1212(1)因?yàn)橐驗(yàn)?=(0,1,2)， =( ， ,0),所以所以cos ， = = = ，1AD BE 12121AD BE 12252110

11、1010所以所以sin ， = ,所以所以tan ， =3，即即AD1與與BE所成的角的正切值為所成的角的正切值為3.(2)設(shè)設(shè)F(1,0,q)，則，則 =( ，- ,q).又又 =(0,1,2)，由由 = 0- 1+q2=0，得，得q= ，即即DF= 時(shí)，時(shí)，EFBC1.1AD BE 3 1010ADBE EF 12121BC EF 1BC 12121414 異面直線所成角的求法有傳統(tǒng)異面直線所成角的求法有傳統(tǒng)的構(gòu)造法和空間向量法兩種，解題可的構(gòu)造法和空間向量法兩種，解題可依據(jù)問題情境恰當(dāng)選用依據(jù)問題情境恰當(dāng)選用.例例2 如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，AB=4，AD=2，E為為CD

12、的中點(diǎn)，將的中點(diǎn)，將ADE沿沿AE折起，折起，使平面使平面ADE平面平面ABCE，得到幾何體，得到幾何體D-ABCE。 (1)求證：求證：BE平面平面ADE，并求，并求AB與平面與平面ADE所成的角的大小；所成的角的大??； (2)求求BD與平面與平面CDE所成角的正弦值所成角的正弦值. (1)在矩形在矩形ABCD中，連接中，連接BE，因?yàn)橐驗(yàn)锳B=2AD，E為為CD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以AD=DE，EAB=45，從而從而EBA=45，故，故AEEB.過過D作作DOAE于于O.因?yàn)槠矫嬉驗(yàn)槠矫鍭DE平面平面 ABCE，所以所以DO平面平面ABCE，所以，所以DOBE.又又AEDO=O，所以，所

13、以BE平面平面ADE.可知可知AE為為AB在平面在平面ADE上的射影，上的射影，從而從而BAE為為AB與平面與平面ADE所成的角所成的角,大大小為小為45.(2)由由(1)可知，可知，DO平面平面ABCE，BEAE，過過O作作OFBE，以，以O(shè)為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，OA、OF、OD分別為分別為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立空間直角坐軸建立空間直角坐標(biāo)系標(biāo)系,則則D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).2222設(shè)平面設(shè)平面CDE的法向量的法向量n=(x,y,z).又又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n =2 x- y+ z=0 z=-x n =

14、 x- y=0 y=x.取取x=1，得，得n=(1,1,-1).又又 =(- ,2 ,- )，cosn, = = .則則BD與平面與平面CDE所成角的正弦值為所成角的正弦值為 .2CD 2CE 22則則CD CE 22222，得，得DB 222DB 1 (2) 1 2 2( 1) (2)32 3 2323 本例的求解策略說明，若方本例的求解策略說明，若方便獲知直線在平面內(nèi)的射影，則可便獲知直線在平面內(nèi)的射影，則可用傳統(tǒng)的構(gòu)造法求直線與平面所成用傳統(tǒng)的構(gòu)造法求直線與平面所成的角；若找直線在平面內(nèi)的射影較的角；若找直線在平面內(nèi)的射影較難，則可用向量法求直線和平面所難，則可用向量法求直線和平面所成的

15、角成的角.例例3 如圖，在直四棱柱如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，AB=AD=2，DC=23,AA1=3,ADDC, ACBD,垂足為垂足為E. (1)求證：求證：BDA1C； (2)求二面角求二面角A1-BD-A 的大小的大小. （方法一）（方法一）(1)證明：在直四棱柱證明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因?yàn)橹校驗(yàn)锳A1平面平面ABCD，則，則AA1BD.因?yàn)橐驗(yàn)锽DAC，所以，所以BD平面平面AA1C，故故BDA1C.(2)連接連接A1E,與與(1)同理可證同理可證:BDA1E,BDAE,所以所以A1EA為二面角為二面角A1-BD-A的平面角的平面角.因?yàn)橐驗(yàn)锳

16、DDC，所以所以ADC=90.又又AD=2，DC=2 ,AA1= ,且且ACBD,可得可得AC=4.又又AD2=AEAC，所以，所以AE=1.又又AA1= ，所以，所以A1EA= = ，所以所以A1EA=60，即二面角即二面角A1-BD-A的大小為的大小為60.3331AAAE3(方法二方法二)在直四棱柱在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，ADDC，故建立空間直角坐標(biāo)系如圖，故建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2 ,0),A1(2,0, ).設(shè)設(shè)B(x,y,0).因?yàn)橐驗(yàn)锳B=2，ACBD，又又 =(-2,2 ,0), =(x,y,0), =(x-

17、2,y,0) (x-2)2+y2=4 x=3 -2x+2 y=0 y=3 x=0 y=0(舍舍),即即B(3, ,0).3AC33BD AB 得得3,解得解得或或3(1)因?yàn)橐驗(yàn)?=(3, ,0)， =(-2,2 ,- ),所以所以 =3(-2)+ 2 +0(-3)=0,所以所以 ，所以，所以DBA1C.(2)平面平面ABD的法向量為的法向量為 =(0,0, ),又又 =(2,0, )， =( ,1,0)，設(shè)平面設(shè)平面A1BD的法向量的法向量n=(x,y,z)， n =2x+ z=0 n = x+y=0，3DB 1AC331AC331AC1A A31DA 3BD 3則則1DA 3DB DB D

18、B 3取取x= ，得，得n=( ,-3,-2),cosn， = =- ,故故n， =120，從而二面角從而二面角A1-BD-A的大小為的大小為60.1AA3330( 3) 03( 2)34 121AA 如圖，在棱長(zhǎng)為如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，E是棱是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)F是是棱棱CD上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn). (1)試確定點(diǎn)試確定點(diǎn)F的位置，的位置， 使得使得D1E平面平面AB1F; (2)當(dāng)當(dāng)D1E平面平面AB1F時(shí)，時(shí)， 求二面角求二面角C1-EF-C的正切值的大小的正切值的大小. 欲使欲使D1E平面平面AB1F，只需，只需D1E垂垂直于平面直于平面A

19、B1F內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線AF和和AB1.而異面直線垂直的問題可利用線面垂而異面直線垂直的問題可利用線面垂直的定義來證明；直的定義來證明；(2)的解決關(guān)鍵是由二的解決關(guān)鍵是由二面角的定義，只需作出棱面角的定義，只需作出棱EF的垂面，計(jì)的垂面，計(jì)算平面角的大小即可算平面角的大小即可. (1)如圖，連接如圖，連接A1B、DE.因?yàn)橐驗(yàn)锳1BAB1,A1D1AB1,所以所以AB1平面平面A1BED1,所以所以AB1ED1.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镋為線段為線段BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，D1DAF,所 以所 以 F 為 線 段為 線 段 D C 的 中 點(diǎn) 時(shí) ， 有的 中 點(diǎn) 時(shí) ， 有DEAF,則則AF

20、平面平面D1DE,所以所以D1EAF，故，故D1E平面平面AB1F.(2)連接連接C1E、C1F、AC、EF,AC與與EF交于交于點(diǎn)點(diǎn)H,連接連接C1H.由（由（1）知，）知，ACEF.又又C1CEF,所以所以EF平面平面C1HC,所以所以C1HC就是二面角就是二面角C1-EF-C的平面角的平面角.易知在易知在RtC1HC中，中，C1C=1,CH= ,所以所以tanC1HC= =2 .241C CCH21.空間角包括：兩異面直線所成的空間角包括：兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角角、直線與平面所成的角、二面角.求求空間角首先要把它轉(zhuǎn)化為平面角，然空間角首先要把它轉(zhuǎn)化為平面角，然后再

21、用代數(shù)的方法、三角的方法求解；后再用代數(shù)的方法、三角的方法求解；當(dāng)上述目標(biāo)實(shí)現(xiàn)較困難時(shí)，可考慮用當(dāng)上述目標(biāo)實(shí)現(xiàn)較困難時(shí)，可考慮用向量方法求解向量方法求解.2.構(gòu)造法求空間角的一般步驟是：構(gòu)造法求空間角的一般步驟是：一作（找），二證，三計(jì)算一作（找），二證，三計(jì)算.作（找）作（找）出所求的角是計(jì)算的基礎(chǔ)出所求的角是計(jì)算的基礎(chǔ).異面直線所異面直線所成的角一般通過作平行線來作出，而直成的角一般通過作平行線來作出，而直線與平面所成的角最關(guān)鍵是找一條與平線與平面所成的角最關(guān)鍵是找一條與平面垂直的垂線，二面角的平面角多采用面垂直的垂線，二面角的平面角多采用定義法或線面垂直法等方法來尋找定義法或線面垂直法等

22、方法來尋找.最最后，一般通過解三角形求出角的大小后，一般通過解三角形求出角的大小.學(xué)例1 如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為1的正方形，的正方形，MD平面平面ABCD，NB平面平面ABCD，且，且MD=NB=1，E為為BC的中點(diǎn)的中點(diǎn). (1)求異面直線求異面直線NE與與AM所成角的余弦值所成角的余弦值; (2)在線段在線段AN上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn) S，使得，使得ES平面平面AMN？ 若存在，求線段若存在，求線段AS的長(zhǎng)；的長(zhǎng)； 若不存在，請(qǐng)說明理由若不存在，請(qǐng)說明理由. (1)如圖，以如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系D-xyz.依題意依

23、題意,易得易得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(12,1,0).所以所以 =(- ,0,-1), =(-1,0,1).因?yàn)橐驗(yàn)閏os , = = =- ,所以異面直線所以異面直線NE與與AM所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .NE 12AM NE AM | |NE AMNEAM 12522 10101010(2)假設(shè)在線段假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)S,使得使得ES平面平面AMN.因?yàn)橐驗(yàn)?=(0,1,1),故可設(shè)故可設(shè) = =(0,).又又 =( ,-1,0),所以所以 = + =( ,-1,). =0 - +=

24、0 =0 (-1)+=0.故故= ,此時(shí)此時(shí) =(0, , ),| |= .經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS= 時(shí)，時(shí)，ES平面平面AMN.故線段故線段AN上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)S,使得使得ES平面平面AMN,此時(shí)此時(shí)AS= .EA ANAS AM 12ES EA AS 12由由ES平面平面AMN,得得,即即ES ES AN1212AS 1212AS 222222學(xué)例2 如圖，已知四棱錐如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD為菱形，為菱形，PA平面平面ABCD，ABC=60,E、F分別是分別是BC、PC的中點(diǎn)的中點(diǎn). （1）證明：證明：AEPD； （2）若若H為為PD上的動(dòng)點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)， EH

25、與平面與平面PAD所成最大角的正切值為所成最大角的正切值為 ，求二面角求二面角E-AF-C的余弦值的余弦值.62 （1）證明：由四邊形證明：由四邊形ABCD為菱形，為菱形，ABC=60，可得，可得ABC為正三角形為正三角形.因?yàn)橐驗(yàn)镋為為BC的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以AEBC，又又BCAD，因此，因此AEAD.因?yàn)橐驗(yàn)镻A平面平面ABCD，AE平面平面ABCD，所以所以PAAE.而而PA平面平面PAD,AD平面平面PAD,且且PAAD=A，所以所以AE平面平面PAD.又又PD平面平面PAD，所以，所以AEPD. (2)設(shè)設(shè)AB=2，H為為PD上任意一點(diǎn)，連接上任意一點(diǎn)，連接AH、EH.由由(1)知，知，AE平面平面PAD，則，則EHA為為EH與平面與平面PAD所成的角所成的角.在在RtEAH中，中，AE= ，所以當(dāng)所以當(dāng)AH最短時(shí)，最短時(shí)，EHA最大，最大，即當(dāng)即當(dāng)AHPD時(shí)，時(shí)，EHA最大最大.此時(shí)此時(shí)tanEHA= = = ,因此因此AH= .又又AD=2，所