數(shù)值分析課后部分習題集答案解析

1、 PAGE19 / NUMPAGES19 習題一（P.14）1. 下列各近似值均有4個有效數(shù)字,試指出它們的絕對誤差和相對誤差限.解有4個有效數(shù)，即，由有效數(shù)字與絕對誤差的關系得絕對誤差限為，由有效數(shù)字與相對誤差的關系得相對誤差限為；有4個有效數(shù)，即，由有效數(shù)字與絕對誤差的關系得絕對誤差限為，由有效數(shù)字與相對誤差的關系得相對誤差限為；有4個有效數(shù)，即，由有效數(shù)字與絕對誤差的關系得絕對誤差限為，由有效數(shù)字與相對誤差的關系得相對誤差限為.2下列各近似值的絕對誤差限都是,試指出它們各有幾位有效數(shù)字.解，即由有效數(shù)字與絕對誤差的關系得，即 ，所以，；，即由有效數(shù)字與絕對誤差的關系得 ，即 ，所以，；，

2、即由有效數(shù)字與絕對誤差的關系得 ，即 ，所以，.4.設有近似數(shù)且都有3位有效數(shù)字，試計算，問有幾位有效數(shù)字.解方法一因都有3位有效數(shù)字，即，則，又 ，此時，從而得.方法一因都有3位有效數(shù)字，即，則，由有效數(shù)字與絕對誤差的關系得.5.序列有遞推公式若（三位有效數(shù)字），問計算的誤差有多大，這個計算公式穩(wěn)定嗎？解用表示的誤差，由，得，由遞推公式 ，知計算的誤差為，因為初始誤差在計算的過程中被逐漸的放大，這個計算公式不穩(wěn)定.習題2 ( P.84)3.證明 ，對所有的其中為Lagrange插值奇函數(shù).證明 令，則，從而 ，又 ，可得 ，從而 .4. 求出在和3處函數(shù)的插值多項式.解方法一 因為給出的節(jié)點

3、個數(shù)為4，而從而余項，于是 （n次插值多項式對次數(shù)小于或等于的多項式精確成立）.方法二 因為而 ，從而 .5. 設且，求證.證明 因，則，從而 ，由極值知識得 6. 證明 .證明由差分的定義或著 7. 證明 n階差商有下列性質(zhì)(a) 如果，則.(b) 如果，則.證明由差商的定義(a) 如果，則.(b) 如果，則8. 設，求，.解由P.35定理7的結(jié)論(2)，得7階差商 (的最高次方項的系數(shù))，8階差商 (8階以上的差商均等與0).9. 求一個次數(shù)不超過4次的多項式，使它滿足：，.解方法一 先求滿足插值條件，的二次插值多項式 (L-插值基函數(shù)或待定系數(shù)法)，設從而，再由插值條件，得所以 ，即 .

4、方法二 設，則 由插值條件，得解得 ，從而 .方法三 利用埃爾米特插值基函數(shù)方法構(gòu)造.10. 下述函數(shù)在上是3次樣條函數(shù)嗎？解因為 ，而 ，又是三次函數(shù)，所以函數(shù)在上是3次樣條函數(shù).補設f(x)=x4，試利用L-余項定理寫出以-1,0,1,2為插值節(jié)點的三次插值多項式.解因為 ，從而 習題3 ( P.159)1設為上具有權函數(shù)的正交多項式組且為首項系數(shù)為1的次的多項式，則于線性無關.解方法一因為為上具有權函數(shù)的正交多項式組,則其Gram行列式不等于零，采用反證法：若于線性相關，于是，存在不全為零使上式兩邊與作內(nèi)積得到由于不全為零，說明以上的齊次方程組有非零解故系數(shù)矩陣的行列式為零，即與假設矛盾

5、.方法二 因為為上具有權函數(shù)的正交多項式組,則其Gram行列式不等于零，由(P.95)定理2得于線性無關. 2選擇，使下述積分取得最小值解，令 ，得.令 ，得.3設試用求一次最佳平方逼近多項式.解取權函數(shù)為(為了計算簡便)，則, ，得法方程 ，解得，所以的一次最佳平方逼近多項式.8什么常數(shù)C能使得以下表達式最?。拷?，令 ，得.14用最小二乘法求解矛盾方程組.解方法一方程組可變形為 ，原問題轉(zhuǎn)化成在已知三組離散數(shù)據(jù)下求一次最小二乘逼近函數(shù)(x與y為一次函數(shù)的系數(shù)，t為自變量)，取基,求解法方程,即 ，得到矛盾方程組的解為.方法二 方程組可變形為 ，令，令 ， 得 ，解之得矛盾方程組的解為.習題4

6、7. 對列表函數(shù)求解一階微商用兩點公式(中點公式),得二階微商用三點公式(中點公式),首先用插值法求,由得一次插值函數(shù)從而 ,于是,8. 導出數(shù)值數(shù)分公式并給出余項級數(shù)展開的主部.解由二階微商的三點公式(中點公式),得,從而 將分別在處展開,得(1)(2)3+(3)3(4), 得,即余項主部為習 題 5 (P. 299)3. 設為對稱矩陣，且，經(jīng)高斯消去法一步后，A約化為，試證明亦是對稱矩陣.證明設，其中，則經(jīng)高斯消去法一步后，A約化為，因而，若為對稱矩陣，則為對稱矩陣，且，易知為對稱矩陣.13. 設 (1)計算；(2) 計算，及.解(1)計算,，其特征值為，又為對稱矩陣，則的特征值為，因此；

7、(2) ，所以，為對稱矩陣，其特征值為，則的特征值為，因此所以 15. 設，求證（1）；(2).證明(2)由（1），得， 則 ，從而 ，由算子X數(shù)的定義，得 .17. 設為非奇異陣，又設為上一向量X數(shù)，定義，求證：是上向量的一種X數(shù)（稱為向量的W一X數(shù)）.證明正定性，因為一向量，下證 ，若即，由向量X數(shù)的正定性得，為非奇異陣，所以；若，則，由向量X數(shù)的正定性得即.齊次性，任意實數(shù)有，由向量X數(shù)的齊次性，得； 三角不等式，任意實數(shù)，有，再由向量X數(shù)的三角不等式，得.習 題 6 (P.347)1.設有方程組(b)，考查用Jacobi迭代法,G-S迭代法解此方程組的收斂性.解 系數(shù)矩陣分裂如下,Jacobi迭代矩陣為，J的特征方程為，展開得 ，即，所以用Jacobi迭代法解此方程組是收斂的.G-S迭代矩陣為，G的特征方程為 ，展開得 ，即或，由迭代基本定理得用G-S迭代法解此方程組是不收斂的.4.設有方程組，其中為對稱正定陣，且有迭代公式 ()，試證明當時，上述迭代法收斂(其中的特征值滿足).證明為對稱正定陣，的特征值滿足，且，則又迭代公式可變形為 ()，從而迭代矩陣，迭代矩陣的特征值為，且滿