第六章　靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體與電介質(zhì)

1、第六章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體與電介質(zhì)6 1將一個(gè)帶正電的帶電體A 從遠(yuǎn)處移到一個(gè)不帶電的導(dǎo)體B 附近，則導(dǎo)體B 的電勢(shì)將（）（A） 升高（B） 降低（C） 不會(huì)發(fā)生變化（D） 無(wú)法確定分析與解不帶電的導(dǎo)體B 相對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)。由于帶正電的帶電體A 移到不帶電的導(dǎo)體B 附近時(shí)，在導(dǎo)體B 的近端感應(yīng)負(fù)電荷；在遠(yuǎn)端感應(yīng)正電荷，不帶電導(dǎo)體的電勢(shì)將高于無(wú)窮遠(yuǎn)處，因而正確答案為（A）。6 2將一帶負(fù)電的物體M靠近一不帶電的導(dǎo)體N，在N 的左端感應(yīng)出正電荷，右端感應(yīng)出負(fù)電荷。若將導(dǎo)體N 的左端接地（如圖所示），則（）（A） N上的負(fù)電荷入地（B）N上的正電荷入地（C） N上的所有電荷入地 （D）N上所有的感應(yīng)電

2、荷入地分析與解導(dǎo)體N 接地表明導(dǎo)體N 為零電勢(shì)，即與無(wú)窮遠(yuǎn)處等電勢(shì)，這與導(dǎo)體N在哪一端接地?zé)o關(guān)。因而正確答案為（ A ）。6 3如圖所示將一個(gè)電量為q 的點(diǎn)電荷放在一個(gè)半徑為R 的不帶電的導(dǎo)體球附近，點(diǎn)電荷距導(dǎo)體球球心為d，參見(jiàn)附圖。設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)，則在導(dǎo)體球球心O 點(diǎn)有（）（A） （B）（C） （D）分析與解達(dá)到靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)處處各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為零。點(diǎn)電荷q 在導(dǎo)體球表面感應(yīng)等量異號(hào)的感應(yīng)電荷q，導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷q在球心O點(diǎn)激發(fā)的電勢(shì)為零，O 點(diǎn)的電勢(shì)等于點(diǎn)電荷q 在該處激發(fā)的電勢(shì)。因而正確答案為（ A ）。6 4根據(jù)電介質(zhì)中的高斯定理，在電介質(zhì)中電位移矢量沿任意一個(gè)閉合曲面的積分等

3、于這個(gè)曲面所包圍自由電荷的代數(shù)和。下列推論正確的是( )（A） 若電位移矢量沿任意一個(gè)閉合曲面的積分等于零，曲面內(nèi)一定沒(méi)有自由電荷（B） 若電位移矢量沿任意一個(gè)閉合曲面的積分等于零，曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和一定等于零（C） 若電位移矢量沿任意一個(gè)閉合曲面的積分不等于零，曲面內(nèi)一定有極化電荷（D） 介質(zhì)中的高斯定律表明電位移矢量?jī)H僅與自由電荷的分布有關(guān)（E） 介質(zhì)中的電位移矢量與自由電荷和極化電荷的分布有關(guān)分析與解電位移矢量沿任意一個(gè)閉合曲面的通量積分等于零，表明曲面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和等于零；由于電介質(zhì)會(huì)改變自由電荷的空間分布，介質(zhì)中的電位移矢量與自由電荷與位移電荷的分布有關(guān)。因而正確答案為（E）。6

4、 5對(duì)于各向同性的均勻電介質(zhì)，下列概念正確的是（）（A） 電介質(zhì)充滿整個(gè)電場(chǎng)并且自由電荷的分布不發(fā)生變化時(shí)，電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度一定等于沒(méi)有電介質(zhì)時(shí)該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的1/倍（B） 電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度一定等于沒(méi)有介質(zhì)時(shí)該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的1/倍（C） 在電介質(zhì)充滿整個(gè)電場(chǎng)時(shí)，電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度一定等于沒(méi)有電介質(zhì)時(shí)該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的1/倍（D） 電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度一定等于沒(méi)有介質(zhì)時(shí)該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的倍分析與解電介質(zhì)中的電場(chǎng)由自由電荷激發(fā)的電場(chǎng)與極化電荷激發(fā)的電場(chǎng)迭加而成，由于極化電荷可能會(huì)改變電場(chǎng)中導(dǎo)體表面自由電荷的分布，由電介質(zhì)中的高斯定理，僅當(dāng)電介質(zhì)充滿整個(gè)電場(chǎng)并且自由電荷的分布不發(fā)生變化時(shí)，在電介質(zhì)中任意高斯面

5、S 有即E E/，因而正確答案為（A）。6 6不帶電的導(dǎo)體球A 含有兩個(gè)球形空腔，兩空腔中心分別有一點(diǎn)電荷qb 、qc ，導(dǎo)體球外距導(dǎo)體球較遠(yuǎn)的r 處還有一個(gè)點(diǎn)電荷qd （如圖所示）。試求點(diǎn)電荷qb 、qc 、qd 各受多大的電場(chǎng)力。分析與解根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡時(shí)電荷分布的規(guī)律，空腔內(nèi)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線終止于空腔內(nèi)表面感應(yīng)電荷；導(dǎo)體球A 外表面的感應(yīng)電荷近似均勻分布，因而近似可看作均勻帶電球?qū)c(diǎn)電荷qd 的作用力。點(diǎn)電荷qd 與導(dǎo)體球A 外表面感應(yīng)電荷在球形空腔內(nèi)激發(fā)的電場(chǎng)為零，點(diǎn)電荷qb 、qc處于球形空腔的中心，空腔內(nèi)表面感應(yīng)電荷均勻分布，點(diǎn)電荷qb 、qc受到的作用力為零.6 7一真空二極管，其

6、主要構(gòu)件是一個(gè)半徑R 5.0104m 的圓柱形陰極和一個(gè)套在陰極外，半徑R 4.5103m 的同軸圓筒形陽(yáng)極陽(yáng)極電勢(shì)比陰極電勢(shì)高300V，陰極與陽(yáng)極的長(zhǎng)度均為L(zhǎng) 2.510m假設(shè)電子從陰極射出時(shí)的速度為零求：（） 該電子到達(dá)陽(yáng)極時(shí)所具有的動(dòng)能和速率；（）電子剛從陽(yáng)極射出時(shí)所受的力分析（1） 由于半徑RL，因此可將電極視作無(wú)限長(zhǎng)圓柱面，陰極和陽(yáng)極之間的電場(chǎng)具有軸對(duì)稱(chēng)性從陰極射出的電子在電場(chǎng)力作用下從靜止開(kāi)始加速，電子所獲得的動(dòng)能等于電場(chǎng)力所作的功，也即等于電子勢(shì)能的減少由此，可求得電子到達(dá)陽(yáng)極時(shí)的動(dòng)能和速率（2） 計(jì)算陽(yáng)極表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度，由F qE 求出電子在陰極表面所受的電場(chǎng)力解（1） 電

7、子到達(dá)陽(yáng)極時(shí)，勢(shì)能的減少量為由于電子的初始速度為零，故因此電子到達(dá)陽(yáng)極的速率為（2） 兩極間的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩極間的電勢(shì)差負(fù)號(hào)表示陽(yáng)極電勢(shì)高于陰極電勢(shì)陰極表面電場(chǎng)強(qiáng)度電子在陰極表面受力這個(gè)力盡管很小，但作用在質(zhì)量為.1 103kg 的電子上，電子獲得的加速度可達(dá)重力加速度的5 105 倍6 8一導(dǎo)體球半徑為R ，外罩一半徑為R2 的同心薄導(dǎo)體球殼，外球殼所帶總電荷為Q，而內(nèi)球的電勢(shì)為V 求此系統(tǒng)的電勢(shì)和電場(chǎng)的分布分析根據(jù)，若，內(nèi)球電勢(shì)等于外球殼的電勢(shì)，則外球殼內(nèi)必定為等勢(shì)體，電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，內(nèi)球不帶電若，內(nèi)球電勢(shì)不等于外球殼電勢(shì)，則外球殼內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度不為零，內(nèi)球帶電一般情況下，假設(shè)內(nèi)導(dǎo)體球帶電q，

8、導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)電荷的分布如圖所示依照電荷的這一分布，利用高斯定理可求得電場(chǎng)分布并由或電勢(shì)疊加求出電勢(shì)的分布最后將電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)用已知量V0、Q、R、R2表示解根據(jù)靜電平衡時(shí)電荷的分布，可知電場(chǎng)分布呈球?qū)ΨQ(chēng)取同心球面為高斯面，由高斯定理，根據(jù)不同半徑的高斯面內(nèi)的電荷分布，解得各區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)分布為r R時(shí)， RrR2 時(shí)， rR2 時(shí)， 方法1：由電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的積分關(guān)系，可得各相應(yīng)區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布r R時(shí)，RrR2 時(shí)，rR2 時(shí)，方法2：也可以從球面電勢(shì)的疊加求電勢(shì)的分布在導(dǎo)體球內(nèi)（r R）在導(dǎo)體球和球殼之間（RrR2 ）在球殼外（rR2）#再由題意，得代入電場(chǎng)、電勢(shì)的各個(gè)表達(dá)式中，分別得

9、r R時(shí)，；RrR2 時(shí)，；rR2 時(shí)，；6 9在一半徑為R 6.0 cm 的金屬球A 外面套有一個(gè)同心的金屬球殼B已知球殼B 的內(nèi)、外半徑分別為R28.0 cm，R3 10.0 cm設(shè)球A 帶有總電荷QA 3.0 10C，球殼B 帶有總電荷QB 2.010C求：（）球殼B 內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A 和球殼B 的電勢(shì)；（2） 將球殼B 接地然后斷開(kāi)，再把金屬球A 接地，求金屬球A 和球殼B 內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A 和球殼B 的電勢(shì)分析（） 根據(jù)靜電感應(yīng)和靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面電荷分布的規(guī)律，電荷QA均勻分布在球A 表面，球殼B 內(nèi)表面帶電荷QA ，外表面帶電荷QB QA ，電荷在導(dǎo)體

10、表面均勻分布圖（），由帶電球面電勢(shì)的疊加可求得球A 和球殼B 的電勢(shì)（2） 導(dǎo)體接地，表明導(dǎo)體與大地等電勢(shì)（大地電勢(shì)通常取為零）球殼B 接地后，外表面的電荷與從大地流入的負(fù)電荷中和，球殼內(nèi)表面帶電QA 圖（）斷開(kāi)球殼B 的接地后，再將球A 接地，此時(shí)球A 的電勢(shì)為零電勢(shì)的變化必將引起電荷的重新分布，以保持導(dǎo)體的靜電平衡不失一般性可設(shè)此時(shí)球A 帶電qA ，根據(jù)靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上電荷的分布規(guī)律，可知球殼B 內(nèi)表面感應(yīng)qA，外表面帶電qA QA 圖（c）此時(shí)球A 的電勢(shì)可表示為由VA 0 可解出球A 所帶的電荷qA ，再由帶電球面電勢(shì)的疊加，可求出球A 和球殼B 的電勢(shì)解（） 由分析可知，球A 的外表

11、面帶電3.0 10C，球殼B 內(nèi)表面帶電3.0 10C，外表面帶電5.0 10C由電勢(shì)的疊加，球A 和球殼B 的電勢(shì)分別為（2） 將球殼B 接地后斷開(kāi)，再把球A 接地，設(shè)球A 帶電qA ，球A 和球殼B的電勢(shì)為解得即球A 外表面帶電2.12 10C，由分析可推得球殼B 內(nèi)表面帶電2.12 10C，外表面帶電-0.9 10C另外球A 和球殼B 的電勢(shì)分別為導(dǎo)體的接地使各導(dǎo)體的電勢(shì)分布發(fā)生變化，打破了原有的靜電平衡，導(dǎo)體表面的電荷將重新分布，以建立新的靜電平衡6 10兩塊帶電量分別為Q 、Q2 的導(dǎo)體平板平行相對(duì)放置（如圖所示），假設(shè)導(dǎo)體平板面積為S，兩塊導(dǎo)體平板間距為d，并且S d試證明（） 相

12、向的兩面電荷面密度大小相等符號(hào)相反；（2） 相背的兩面電荷面密度大小相等符號(hào)相同分析導(dǎo)體平板間距d S，忽略邊緣效應(yīng)，導(dǎo)體板近似可以當(dāng)作無(wú)限大帶電平板處理。取如圖（）所示的圓柱面為高斯面，高斯面的側(cè)面與電場(chǎng)強(qiáng)度E 平行，電場(chǎng)強(qiáng)度通量為零；高斯面的兩個(gè)端面在導(dǎo)體內(nèi)部，因?qū)w內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，因而電場(chǎng)強(qiáng)度通量也為零，由高斯定理得 上式表明處于靜電平衡的平行導(dǎo)體板，相對(duì)兩個(gè)面帶等量異號(hào)電荷再利用疊加原理，導(dǎo)體板上四個(gè)帶電面在導(dǎo)體內(nèi)任意一點(diǎn)激發(fā)的合電場(chǎng)強(qiáng)度必須為零，因而平行導(dǎo)體板外側(cè)兩個(gè)面帶等量同號(hào)電荷證明（） 設(shè)兩塊導(dǎo)體平板表面的電荷面密度分別為、2、3、4 ，取如圖（）所示的圓柱面為高斯面，高斯面由

13、側(cè)面S和兩個(gè)端面S2、S3構(gòu)成，由分析可知得 相向的兩面電荷面密度大小相等符號(hào)相反（2） 由電場(chǎng)的疊加原理，取水平向右為參考正方向，導(dǎo)體內(nèi)P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 相背的兩面電荷面密度大小相等符號(hào)相同6 11將帶電量為Q 的導(dǎo)體板A 從遠(yuǎn)處移至不帶電的導(dǎo)體板B 附近，如圖（）所示，兩導(dǎo)體板幾何形狀完全相同，面積均為S，移近后兩導(dǎo)體板距離為d（）（） 忽略邊緣效應(yīng)求兩導(dǎo)體板間的電勢(shì)差；（2） 若將B 接地，結(jié)果又將如何？分析由習(xí)題6 0 可知，導(dǎo)體板達(dá)到靜電平衡時(shí)，相對(duì)兩個(gè)面帶等量異號(hào)電荷；相背兩個(gè)面帶等量同號(hào)電荷再由電荷守恒可以求出導(dǎo)體各表面的電荷分布，進(jìn)一步求出電場(chǎng)分布和導(dǎo)體間的電勢(shì)差導(dǎo)體板B 接

14、地后電勢(shì)為零，B 的外側(cè)表面不帶電，根據(jù)導(dǎo)體板相背兩個(gè)面帶等量同號(hào)電荷可知，A 的外側(cè)表面也不再帶電，由電荷守恒可以求出導(dǎo)體各表面的電荷分布，進(jìn)一步求出電場(chǎng)分布和導(dǎo)體間的電勢(shì)差解（） 如圖（）所示，依照題意和導(dǎo)體板達(dá)到靜電平衡時(shí)的電荷分布規(guī)律可得解得兩導(dǎo)體板間電場(chǎng)強(qiáng)度為；方向?yàn)锳 指向B兩導(dǎo)體板間的電勢(shì)差為 （2） 如圖（c）所示，導(dǎo)體板B 接地后電勢(shì)為零兩導(dǎo)體板間電場(chǎng)強(qiáng)度為；方向?yàn)锳 指向B兩導(dǎo)體板間的電勢(shì)差為 6 12如圖所示球形金屬腔帶電量為Q 0，內(nèi)半徑為，外半徑為b，腔內(nèi)距球心O 為r 處有一點(diǎn)電荷q，求球心的電勢(shì)分析導(dǎo)體球達(dá)到靜電平衡時(shí)，內(nèi)表面感應(yīng)電荷q，外表面感應(yīng)電荷q；內(nèi)表面感

15、應(yīng)電荷不均勻分布，外表面感應(yīng)電荷均勻分布球心O 點(diǎn)的電勢(shì)由點(diǎn)電荷q、導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷共同決定在帶電面上任意取一電荷元，電荷元在球心產(chǎn)生的電勢(shì)由于R 為常量，因而無(wú)論球面電荷如何分布，半徑為R的帶電球面在球心產(chǎn)生的電勢(shì)為由電勢(shì)的疊加可以求得球心的電勢(shì)解導(dǎo)體球內(nèi)表面感應(yīng)電荷q，外表面感應(yīng)電荷q；依照分析，球心的電勢(shì)為6 13在真空中，將半徑為R 的金屬球接地，與球心O 相距為r（r R）處放置一點(diǎn)電荷q，不計(jì)接地導(dǎo)線上電荷的影響求金屬球表面上的感應(yīng)電荷總量分析金屬球?yàn)榈葎?shì)體，金屬球上任一點(diǎn)的電勢(shì)V 等于點(diǎn)電荷q 和金屬球表面感應(yīng)電荷q在球心激發(fā)的電勢(shì)之和在球面上任意取一電荷元q，電荷元可以視為點(diǎn)

16、電荷，金屬球表面的感應(yīng)電荷在點(diǎn)O 激發(fā)的電勢(shì)為點(diǎn)O 總電勢(shì)為而接地金屬球的電勢(shì)V0 0，由此可解出感應(yīng)電荷q解金屬球接地，其球心的電勢(shì)感應(yīng)電荷總量6 14地球和電離層可當(dāng)作球形電容器，它們之間相距約為100 km，試估算地球電離層系統(tǒng)的電容設(shè)地球與電離層之間為真空解由于地球半徑R1 6.37106 m；電離層半徑R2 1.00105 m R1 6.47 106 m，根據(jù)球形電容器的電容公式，可得6 15兩線輸電線，其導(dǎo)線半徑為3.26 mm，兩線中心相距0.50 m，導(dǎo)線位于地面上空很高處，因而大地影響可以忽略求輸電線單位長(zhǎng)度的電容解由教材第六章6 4 節(jié)例3 可知兩輸電線的電勢(shì)差因此，輸電線

17、單位長(zhǎng)度的電容代入數(shù)據(jù) 6 16電容式計(jì)算機(jī)鍵盤(pán)的每一個(gè)鍵下面連接一小塊金屬片，金屬片與底板上的另一塊金屬片間保持一定空氣間隙，構(gòu)成一小電容器（如圖）。當(dāng)按下按鍵時(shí)電容發(fā)生變化，通過(guò)與之相連的電子線路向計(jì)算機(jī)發(fā)出該鍵相應(yīng)的代碼信號(hào)。假設(shè)金屬片面積為50.0 mm2 ，兩金屬片之間的距離是0.600 mm。如果電路能檢測(cè)出的電容變化量是0.250 pF，試問(wèn)按鍵需要按下多大的距離才能給出必要的信號(hào)？分析按下按鍵時(shí)兩金屬片之間的距離變小，電容增大，由電容的變化量可以求得按鍵按下的最小距離：解按下按鍵時(shí)電容的變化量為按鍵按下的最小距離為6 17蓋革米勒管可用來(lái)測(cè)量電離輻射該管的基本結(jié)構(gòu)如圖所示，一半

18、徑為R1 的長(zhǎng)直導(dǎo)線作為一個(gè)電極，半徑為R2 的同軸圓柱筒為另一個(gè)電極它們之間充以相對(duì)電容率 1 的氣體當(dāng)電離粒子通過(guò)氣體時(shí)，能使其電離若兩極間有電勢(shì)差時(shí)，極間有電流，從而可測(cè)出電離粒子的數(shù)量如以E1 表示半徑為R1 的長(zhǎng)直導(dǎo)線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度（1） 求兩極間電勢(shì)差的關(guān)系式；（2） 若E1 2.0 106 V m 1 ，R1 0.30 mm，R2 20.0 mm，兩極間的電勢(shì)差為多少？分析兩極間的電場(chǎng)可以近似認(rèn)為是無(wú)限長(zhǎng)同軸帶電圓柱體間的電場(chǎng)，由于電荷在圓柱面上均勻分布，電場(chǎng)分布為軸對(duì)稱(chēng)由高斯定理不難求得兩極間的電場(chǎng)強(qiáng)度，并利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差的積分關(guān)系 求出兩極間的電勢(shì)差解（1） 由上述分析，

19、利用高斯定理可得，則兩極間的電場(chǎng)強(qiáng)度導(dǎo)線表面（r R1 ）的電場(chǎng)強(qiáng)度兩極間的電勢(shì)差（2） 當(dāng) ，R1 0.30 mm，R2 20.0 mm 時(shí)，6 18一片二氧化鈦晶片，其面積為1.0 cm2 ，厚度為0.10 mm把平行平板電容器的兩極板緊貼在晶片兩側(cè). 求：（1）電容器的電容；（2）當(dāng)在電容器的兩極間加上12 V電壓時(shí)，極板上的電荷為多少？ 此時(shí)自由電荷和極化電荷的面密度各為多少？ （3） 求電容器內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度解（1） 查表可知二氧化鈦的相對(duì)電容率r 173，故充滿此介質(zhì)的平板電容器的電容（2） 電容器加上U 12 V 的電壓時(shí)，極板上的電荷極板上自由電荷面密度為晶片表面極化電荷密度（3）

20、 晶片內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為6 19如圖所示，半徑R 0.10 m 的導(dǎo)體球帶有電荷Q 1.0 10C，導(dǎo)體外有兩層均勻介質(zhì)，一層介質(zhì)的r5.0，厚度d 0.10 m，另一層介質(zhì)為空氣，充滿其余空間求：（1） 離球心為r 5cm、15 cm、25 cm 處的D 和E；（2） 離球心為r 5 cm、15 cm、25 cm 處的V；（3） 極化電荷面密度分析帶電球上的自由電荷均勻分布在導(dǎo)體球表面，電介質(zhì)的極化電荷也均勻分布在介質(zhì)的球形界面上，因而介質(zhì)中的電場(chǎng)是球?qū)ΨQ(chēng)分布的任取同心球面為高斯面，電位移矢量D 的通量與自由電荷分布有關(guān)，因此，在高斯面上D 呈均勻?qū)ΨQ(chēng)分布，由高斯定理可得D（r）再由，可得E介質(zhì)

21、內(nèi)電勢(shì)的分布，可由電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系求得，或者由電勢(shì)疊加原理求得極化電荷分布在均勻介質(zhì)的表面，其極化電荷面密度解（1） 取半徑為r 的同心球面為高斯面，由有介質(zhì)的高斯定理，得 ，和的關(guān)系在 r R區(qū)域 ；在R r R d ；r R d ；方向均沿徑向朝外。將不同的r 值代入上述關(guān)系式，可得r 5 cm、15 cm 和25 cm 時(shí)的電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度的大小r1 5 cm，該點(diǎn)在導(dǎo)體球內(nèi)，則；r2 15 cm，該點(diǎn)在介質(zhì)層內(nèi)， 5.0，則；r3 25 cm，該點(diǎn)在空氣層內(nèi)，空氣中0 ，則；（2） 取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，由電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系得r3 25 cm，r2 15 cm，r1 5 c

22、m，（3） 均勻介質(zhì)的極化電荷分布在介質(zhì)界面上，因空氣的電容率 0 ，極化電荷可忽略故在介質(zhì)外表面；在介質(zhì)內(nèi)表面：介質(zhì)球殼內(nèi)、外表面的極化電荷面密度雖然不同，但是兩表面極化電荷的總量還是等量異號(hào)6 20人體的某些細(xì)胞壁兩側(cè)帶有等量的異號(hào)電荷。設(shè)某細(xì)胞壁厚為5.2 109 m，兩表面所帶面電荷密度為5.2 10 3 Cm2 ，內(nèi)表面為正電荷如果細(xì)胞壁物質(zhì)的相對(duì)電容率為6.0，求（1） 細(xì)胞壁內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2） 細(xì)胞壁兩表面間的電勢(shì)差解（1）細(xì)胞壁內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度；方向指向細(xì)胞外（2） 細(xì)胞壁兩表面間的電勢(shì)差6 21 一平板電容器，充電后極板上電荷面密度為0 4.510-5 C m-2現(xiàn)將兩極板與電

23、源斷開(kāi)，然后再把相對(duì)電容率為 2.0 的電介質(zhì)插入兩極板之間此時(shí)電介質(zhì)中的D、E 和P 各為多少？分析平板電容器極板上自由電荷均勻分布，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量都是常矢量充電后斷開(kāi)電源，在介質(zhì)插入前后，導(dǎo)體板上自由電荷保持不變?nèi)D所示的圓柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可求得電位移矢量D，再根據(jù)，可求得電場(chǎng)強(qiáng)度E 和電極化強(qiáng)度矢量P解由介質(zhì)中的高斯定理，選圓柱形高斯面得電位移矢量的大小介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和極化強(qiáng)度的大小分別為D、P、E方向相同，均由正極板指向負(fù)極板（圖中垂直向下）6 22在一半徑為R1 的長(zhǎng)直導(dǎo)線外，套有氯丁橡膠絕緣護(hù)套，護(hù)套外半徑為R2 ，相對(duì)電容率為 設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度上，導(dǎo)線的電

24、荷密度為試求介質(zhì)層內(nèi)的D、E 和P分析將長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線視作無(wú)限長(zhǎng)，自由電荷均勻分布在導(dǎo)線表面在絕緣介質(zhì)層的內(nèi)、外表面分別出現(xiàn)極化電荷，這些電荷在內(nèi)外表面呈均勻分布，所以電場(chǎng)是軸對(duì)稱(chēng)分布取同軸柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可得電位移矢量D 的分布在介質(zhì)中，可進(jìn)一步求得電場(chǎng)強(qiáng)度E 和電極化強(qiáng)度矢量P 的分布解由介質(zhì)中的高斯定理，有得在均勻各向同性介質(zhì)中6 23如圖所示，球形電極浮在相對(duì)電容率為r 3.0 的油槽中.球的一半浸沒(méi)在油中，另一半在空氣中.已知電極所帶凈電荷Q0 2.0 106 C.問(wèn)球的上、下部分各有多少電荷？分析由于導(dǎo)體球一半浸在油中，電荷在導(dǎo)體球上已不再是均勻分布，電場(chǎng)分布不再呈球

25、對(duì)稱(chēng)，因此，不能簡(jiǎn)單地由高斯定理求電場(chǎng)和電荷的分布我們可以將導(dǎo)體球理解為兩個(gè)分別懸浮在油和空氣中的半球形孤立電容器，靜電平衡時(shí)導(dǎo)體球上的電荷分布使導(dǎo)體成為等勢(shì)體，故可將導(dǎo)體球等效為兩個(gè)半球電容并聯(lián)，其相對(duì)無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)均為V，且 （1）另外導(dǎo)體球上的電荷總量保持不變，應(yīng)有 （2）因而可解得Q1 、Q2 解將導(dǎo)體球看作兩個(gè)分別懸浮在油和空氣中的半球形孤立電容器，上半球在空氣中，電容為下半球在油中，電容為由分析中式（1）和式（2）可解得由于導(dǎo)體球周?chē)糠謪^(qū)域充滿介質(zhì)，球上電荷均勻分布的狀態(tài)將改變可以證明，此時(shí)介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度與真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度也不再滿足的關(guān)系事實(shí)上，只有當(dāng)電介質(zhì)均勻充滿整個(gè)電場(chǎng)，并

26、且自由電荷分布不變時(shí)，才滿足 6 24有兩塊相距為0.50 的薄金屬板A、B 構(gòu)成的空氣平板電容器被屏蔽在一金屬盒 內(nèi)，金屬盒上、下兩壁與A、B 分別相距0.25 mm，金屬板面積為30 mm 40 mm。求（1） 被屏蔽后電容器的電容變?yōu)樵瓉?lái)的幾倍；（2） 若電容器的一個(gè)引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，問(wèn)此時(shí)的電容又為原來(lái)的幾倍？分析薄金屬板A、B 與金屬盒一起構(gòu)成三個(gè)電容器，其等效電路圖如圖（）所示，由于兩導(dǎo)體間距離較小，電容器可視為平板電容器，通過(guò)分析等效電路圖可以求得A、B 間的電容。解（1） 由等效電路圖可知由于電容器可以視作平板電容器，且，故 ，因此A、B 間的總電容（2） 若電容器的一

27、個(gè)引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，相當(dāng)于C2 （或者C3 ）極板短接，其電容為零，則總電容6 25在A 點(diǎn)和B 點(diǎn)之間有5 個(gè)電容器，其連接如圖所示（1） 求A、B 兩點(diǎn)之間的等效電容；（2） 若A、B 之間的電勢(shì)差為12 V，求UAC 、UCD 和UDB 解（1） 由電容器的串、并聯(lián)，有求得等效電容CAB 4 F（2） 由于，得6 26有一個(gè)空氣平板電容器，極板面積為S，間距為d現(xiàn)將該電容器接在端電壓為U 的電源上充電，當(dāng)（1） 充足電后；（2） 然后平行插入一塊面積相同、厚度為（ d）、相對(duì)電容率為 的電介質(zhì)板；（3） 將上述電介質(zhì)換為同樣大小的導(dǎo)體板分別求電容器的電容C，極板上的電荷Q 和極板

28、間的電場(chǎng)強(qiáng)度E分析電源對(duì)電容器充電，電容器極板間的電勢(shì)差等于電源端電壓U插入電介質(zhì)后，由于介質(zhì)界面出現(xiàn)極化電荷，極化電荷在介質(zhì)中激發(fā)的電場(chǎng)與原電容器極板上自由電荷激發(fā)的電場(chǎng)方向相反，介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)減弱由于極板間的距離d 不變，因而與電源相接的導(dǎo)體極板將會(huì)從電源獲得電荷，以維持電勢(shì)差不變，并有相類(lèi)似的原因，在平板電容器極板之間，若平行地插入一塊導(dǎo)體板，由于極板上的自由電荷和插入導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷在導(dǎo)體板內(nèi)激發(fā)的電場(chǎng)相互抵消，與電源相接的導(dǎo)體極板將會(huì)從電源獲得電荷，使間隙中的電場(chǎng)E 增強(qiáng)，以維持兩極板間的電勢(shì)差不變，并有綜上所述，接上電源的平板電容器，插入介質(zhì)或?qū)w后，極板上的自由電荷均會(huì)增加，而電

29、勢(shì)差保持不變解（1） 空氣平板電容器的電容充電后，極板上的電荷和極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為（2） 插入電介質(zhì)后，電容器的電容C1 為故有介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度空氣中電場(chǎng)強(qiáng)度（3） 插入導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡后，導(dǎo)體為等勢(shì)體，其電容和極板上的電荷分別為導(dǎo)體中電場(chǎng)強(qiáng)度 空氣中電場(chǎng)強(qiáng)度無(wú)論是插入介質(zhì)還是插入導(dǎo)體，由于電容器的導(dǎo)體極板與電源相連，在維持電勢(shì)差不變的同時(shí)都從電源獲得了電荷，自由電荷分布的變化同樣使得介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度不再等于E0/6 27為了實(shí)時(shí)檢測(cè)紡織品、紙張等材料的厚度（待測(cè)材料可視作相對(duì)電容率為 的電介質(zhì)），通常在生產(chǎn)流水線上設(shè)置如圖所示的傳感裝置，其中A，B為平板電容器的導(dǎo)體極板，d0 為兩極板間的距離

30、試說(shuō)明檢測(cè)原理，并推出直接測(cè)量量電容C 與間接測(cè)量量厚度d 之間的函數(shù)關(guān)系如果要檢測(cè)鋼板等金屬材料的厚度，結(jié)果又將如何？分析導(dǎo)體極板A、B 和待測(cè)物體構(gòu)成一有介質(zhì)的平板電容器，關(guān)于電容C與材料的厚度的關(guān)系，可參見(jiàn)題6 26 的分析解由分析可知，該裝置的電容為則介質(zhì)的厚度為如果待測(cè)材料是金屬導(dǎo)體，其等效電容為導(dǎo)體材料的厚度實(shí)時(shí)地測(cè)量A、B 間的電容量C，根據(jù)上述關(guān)系式就可以間接地測(cè)出材料的厚度通常智能化的儀表可以實(shí)時(shí)地顯示出待測(cè)材料的厚度6 28利用電容傳感器測(cè)量油料液面高度其原理如圖所示，導(dǎo)體圓管A與儲(chǔ)油罐B 相連，圓管的內(nèi)徑為D，管中心同軸插入一根外徑為d 的導(dǎo)體棒C，d、D 均遠(yuǎn)小于管長(zhǎng)L

31、 并且相互絕緣試證明：當(dāng)導(dǎo)體圓管與導(dǎo)體棒之間接以電壓為U 的電源時(shí)，圓管上的電荷與液面高度成正比（油料的相對(duì)電容率為 ）分析由于d、D L，導(dǎo)體A、C 構(gòu)成圓柱形電容器，可視為一個(gè)長(zhǎng)X（X 為液面高度）的介質(zhì)電容器C1 和一個(gè)長(zhǎng)L X 的空氣電容器C2 的并聯(lián)，它們的電容值均隨X 而改變因此其等效電容C C1 C2 也是X 的函數(shù)由于Q CU，在電壓一定時(shí)，電荷Q 僅隨C 而變化，求出Q 與液面高度X 的函數(shù)關(guān)系，即可得證證由分析知，導(dǎo)體A、C 構(gòu)成一組柱形電容器，它們的電容分別為其總電容其中；即導(dǎo)體管上所帶電荷Q 與液面高度X 成正比，油罐與電容器聯(lián)通兩液面等高，測(cè)出電荷Q 即可確定油罐的液

32、面高度6 29 有一電容為0.50 F 的平行平板電容器，兩極板間被厚度為0.01 mm的聚四氟乙烯薄膜所隔開(kāi)，（1） 求該電容器的額定電壓；（2） 求電容器存貯的最大能量分析通過(guò)查表可知聚四氟乙烯的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度Eb 1.9 107 Vm，電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度EEb ，由此可以求得電容器的最大電勢(shì)差和電容器存貯的最大能量解（1） 電容器兩極板間的電勢(shì)差（2） 電容器存貯的最大能量6 30半徑為0.10 cm 的長(zhǎng)直導(dǎo)線，外面套有內(nèi)半徑為1.0 cm 的共軸導(dǎo)體圓筒，導(dǎo)線與圓筒間為空氣略去邊緣效應(yīng)，求：（1） 導(dǎo)線表面最大電荷面密度；（2） 沿軸線單位長(zhǎng)度的最大電場(chǎng)能量分析如果設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線上單位長(zhǎng)度所帶電荷為，導(dǎo)線表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度查表可以得知空氣的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度Eb 3.0 106（Vm），只有當(dāng)空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度EEb 空氣才不會(huì)被擊穿，由于在導(dǎo)線表面附近電場(chǎng)強(qiáng)度最大，因而可以求出的極限值再求得電場(chǎng)能量密度，并通過(guò)同軸圓柱形體元內(nèi)電場(chǎng)能量的積分求得單位長(zhǎng)度的最大電場(chǎng)強(qiáng)度解（1） 導(dǎo)線表面