拉氏變換詳解PPT通用課件

1、2.常用函數(shù)的拉氏變換(1)例1.求階躍函數(shù)f(t)=A1(t)的拉氏變換。單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的拉氏變換為 。 (2)例2.求單位脈沖函數(shù)f(t)=(t)的拉氏變換。數(shù)學(xué)知識回顧1 （3）例3.求指數(shù)函數(shù)f(t)= 的拉氏變換幾個重要的拉氏變換f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)23.拉氏變換的基本性質(zhì) (1)線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。 (2)微分性質(zhì) 若 ，則有f(0)為原函數(shù)f(t) 在t=0時的初始值。3 證：根據(jù)拉氏變換的定義有 原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的

2、拉氏變換4(3)積分性質(zhì) 若 則 式中 為積分 當(dāng)t=0時的值。證：設(shè) 則有 由上述微分定理，有5即：同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有 即原函數(shù) f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以 。 6（4）終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。證：由微分定理，有等式兩邊對s趨向于0取極限7注：若 時f(t)極限 不存在，則不能用終值定理。如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。(5)初值定理：證明方法同上。只是要將 取極限。(6)位移定理：a.實域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延遲 ，則其象函數(shù)應(yīng)乘以8b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的

3、自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以 即：(7)時間比例尺定理 原函數(shù)在時間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即： 證：9(8)卷積定理 兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積。即證明：10 11二.拉氏反變換 1. 定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運算稱為拉氏反變換。記為 。由F(s)可按下式求出 式中C是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的實部。 直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。 12 若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分

4、式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求 的逆變換。解：13例3.142. 拉式反變換部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s) 有不同極點,這時,F(s) 總能展開成如下簡單的部分分式之和151617（2）情況2:F(s)有共軛極點例2：求解微分方程18（3）情況3:F(s)有重極點,假若F(s)有L重極點 ,而其余極點均不相同。那么19202122如果不記公式,可用以下方法求解也可得解。233、線性定常微分方程的求解【例26 P25】下圖中，若已知L=1H, C=1F, r=1,U0(0)=0.1V, i(0)=0.1A, ui(t)=1V.試求電路突然接通電源時電容電壓的變化規(guī)律。rL

5、Cur(t)uc(t)i(t)24解：已求得微分方程為拉氏變換得25代入得根據(jù)初值定理、終值定理26三.傳遞函數(shù) 1.定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。 設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是27 c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中S的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。28 因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)，即 ,若mn,我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。是傳遞函數(shù)的極點。的根是函數(shù)的零點，的根，稱為傳遞是0)()2,1(0)()

6、2,1()()()()()()()(210210=-=sNnipssMmizspspspsazszszsbsNsMsGiinmLLLL292.性質(zhì) (1)傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng)。 (2)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。） (3)只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映。 (4)如果存在零極點對消情況，傳遞函數(shù)就不能正確反映系統(tǒng)的動態(tài)特性了。 (5)只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。 30例1：RC電路如圖

7、所示依據(jù)：基爾霍夫定律 消去中間變量 ，則微分方程為：31可用方框圖表示例2.雙T網(wǎng)絡(luò)對上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得：32解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組：方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：3334方法二：雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)，即：35傳遞函數(shù)的基本概念 例例2-9 P31求電樞控制式直流電動機(jī)的傳遞函數(shù)。解已知電樞控制式直流電動機(jī)的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令 ，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：令 ，得轉(zhuǎn)速對負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：36372.4典型環(huán)節(jié)的特性 控制系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)組成的，為了研究控制系統(tǒng)的特性，有必要首先研究

8、其各個組成部分的特性，即研究各個環(huán)節(jié)的特性。 不同物理性質(zhì)，不同結(jié)構(gòu)用途的環(huán)節(jié)可以表現(xiàn)出相同的動態(tài)特性，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，所以這里按數(shù)學(xué)模型對環(huán)節(jié)進(jìn)行分類。38 1、比例環(huán)節(jié)（1）微分方程 c (t) = K r (t) K 為常數(shù) 任意時刻，輸出與輸入成比例。（2）傳遞函數(shù) K為常數(shù) （3）動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（4）動態(tài)特性 r (t) = 1(t) c (t) = K 1(t)輸出不失真，不延遲，成比例地表現(xiàn)輸入信號的變化。（迅速、準(zhǔn)確地表現(xiàn)輸入信號的變化）39（5）舉例：a、工作于線性狀態(tài)的電子放大器，其慣性很小可以近似地看成一個比例環(huán)節(jié)。b、測速發(fā)電機(jī)空載時，它的輸出電壓與輸入轉(zhuǎn)速成正比例關(guān)

9、系。帶負(fù)載時，略去其電樞反應(yīng)和電刷與換相器的接觸電壓，仍近似地把它視為一個比例環(huán)節(jié)。402-4 結(jié)構(gòu)圖一.結(jié)構(gòu)圖的概念和組成1.概念 我們可以用結(jié)構(gòu)圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向。在引入傳遞函數(shù)后，可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標(biāo)在結(jié)構(gòu)圖的方塊里，并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示。這時Y(s)=G(s)X(s)的關(guān)系可以在結(jié)構(gòu)圖中體現(xiàn)出來。定義：表示變量之間數(shù)學(xué)關(guān)系的方塊圖稱為函數(shù)結(jié)構(gòu)圖或方塊圖。X(t)Y(t)電位器例：結(jié)構(gòu)： 結(jié)構(gòu)圖： 微分方程：y(t)=kx(t) 若已知系統(tǒng)的組成和各部分的傳遞函數(shù)，則可以畫出各個部分的結(jié)構(gòu)圖并連成整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。X(s)G(s)=KY(s)41 (3)比較點： 綜

10、合點，相加點 加號常省略，負(fù)號必須標(biāo)出 (4)引出點： 一條傳遞線上的信號處處相等 ，引出點的信號與原信號相等。G(s)X(s)Y(s)2. 組成 (1)方框：有輸入信號，輸出信號，傳遞線，方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)，一條傳遞線上的信號處處相同。 （2）信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標(biāo)注信號的時間函數(shù)或象函數(shù)42結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-11例1利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。解：不能把左圖簡單地看成兩個RC電路的串聯(lián),有負(fù)載效應(yīng)。根據(jù)電路定理，有以下式子：-二.結(jié)構(gòu)圖的繪制43繪圖：ui(s)為輸入，畫在最左邊。這個例子不是由微分方程組代數(shù)方程組

11、結(jié)構(gòu)圖，而是直接列寫s域中的代數(shù)方程，畫出了結(jié)構(gòu)圖。-44若重新選擇一組中間變量，會有什么結(jié)果呢？(剛才中間變量為i1,u1,i2，現(xiàn)在改為I,I1,I2)從右到左列方程：45 這個結(jié)構(gòu)與前一個不一樣，選擇不同的中間變量，結(jié)構(gòu)圖也不一樣，但是整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是不會變的。繪圖46三.結(jié)構(gòu)圖的等效變換（1）串聯(lián)G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)47(2)并聯(lián)G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)48(3)反饋這是個單回路的閉環(huán)形式，反饋可能是負(fù)，可能是正，我們用消去中間法來證明。R(s)C(s)C(s)G(s)H(

12、s)E(s)R(s)49以后我們均采用(s)表示閉環(huán)傳遞函數(shù)，負(fù)反饋時， (s)的分母為1回路傳遞函數(shù)，分子是前向通路傳遞函數(shù)。正反饋時， (s)的分母為1回路傳遞函數(shù)，分子為前向通路傳遞函數(shù)。單位負(fù)反饋時，50（4）信號引出點的移動： 引出點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號分支點的移動和互換51信號相加點和分支點的移動和互換 引出點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：注意： 相臨的信號相加點位置可以互換；見下例52信號相加點和分支點的移動和互換 同一信號的分支點位置可以互換：見下例 相加點和分支點在一般情況下，不能互換。常用的結(jié)構(gòu)圖等效變換見表2-1 所以，一般情況下，相加點向相加點移動，分支點向分支點移

13、動。53結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-11例2利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)?？偟慕Y(jié)構(gòu)圖如下：-54結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-11 為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：-55結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-11-56解：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：例3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù) 。-+相加點移動-+57-+結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-1258小結(jié)結(jié)構(gòu)圖的概念和繪制方法；結(jié)構(gòu)圖的等效變換（環(huán)節(jié)的合并和分支點、相加點的移動）；作業(yè)：2-2(b)，2-4(b)，2-8，2-9，2-11，2-17(e)592-5 信號流圖 信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)

14、學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。60一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。見下圖： 信號流圖的概念節(jié)點：節(jié)點表示變量。以小圓圈表示。支路：連接節(jié)點之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路增益。 支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變?yōu)榱硪环N信號。61上圖中， 兩者都具有關(guān)系: 。支路對節(jié)點 來說是輸出支路，對輸出節(jié)點y來說是輸入支路。 信號流圖的概念62信號流圖的術(shù)語幾個術(shù)語： 輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如： C 混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點

15、。如：E，P，Q 。混合節(jié)點相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進(jìn)信號的疊加。 前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳輸時，每個節(jié)點只通過一次的通路叫前向通路。 輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如： R，N。63 回路(閉通路)：起點和終點為同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱為回路。 互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。信號流圖的術(shù)語 通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。 回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增

16、益。64信號流圖的等效變換 串聯(lián)支路合并： 并聯(lián)支路的合并： 回路的消除：65 混合支路的清除： 自回路的消除：信號流圖的等效變換66信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的信號流圖的性質(zhì)67信號流圖的繪制信號流圖的繪制： 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖例2 已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后

17、畫出信號流圖如下圖所示。68信號流圖的繪制 按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對應(yīng)的代數(shù)方程為按方程可繪制信號流圖69梅遜公式的推導(dǎo)二、梅遜公式的推導(dǎo)如前例已知信號流圖如圖所示，所對應(yīng)的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程70于是可求得該方程組的系數(shù)行列式和 梅遜公式的推導(dǎo)71根據(jù)克萊姆法則得 于是傳遞函數(shù)為 分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系。從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。 梅遜

18、公式的推導(dǎo)72圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路和、和、和） 所有單獨回路增益之和為 兩兩互不接觸回路增益乘積之和為 而值恰好為 可見，傳遞函數(shù)的分母取決于信號流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。 梅遜公式的推導(dǎo)73 如果把中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR V1 V2 CP3=bg3=1梅遜公式的推導(dǎo)74故用信號流圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的術(shù)語，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為 梅遜公式的推導(dǎo)

19、傳遞函數(shù)的分子等于系數(shù)行列式除以R(s)。而 恰好為 前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR V1 V2 CP3=bg3=175梅遜公式 用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達(dá)式為：式中： 總傳輸（即總傳遞函數(shù)）； 從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù)； 第k個前向通道的總傳輸； 流圖特征式；其計算公式為：二、梅遜公式76（正負(fù)號間隔）式中： 流圖中所有不同回路的回路傳輸之和； 所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回 路傳輸乘積之和； 所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；第k個前向通道的特征式的余子式；其值為 中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分；梅遜公式77梅遜公式|例2-13a解：前向通道有一條； 有一個回路； 例2-13a求速度控制系統(tǒng)的總傳輸 。（不計擾動）78梅遜公式|例4解：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下：例4：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞