概率與過程課件：第一章 概率論的基礎(chǔ)知識 第五節(jié) 獨立性與第一章小結(jié)

1、袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球,令 Ak = “第k個人摸到紅球”，K=1,2若摸后不放回：若摸后放回：結(jié)論：若摸后放回, A1發(fā)生與否對A2不產(chǎn)生影響。1.5 事件的獨立性設(shè)A、B是兩事件，若 P(AB)P(A)P(B)則稱事件A與B相互獨立, 簡稱獨立。 若P(A) 0，上式等價于： P(B|A)P(B) 一、兩事件獨立 必然事件S與任意隨機事件A相互獨立； 不可能事件與任意隨機事件A相互獨立例1 、從一副52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨立？?定理：以下四種情形等價：(1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、

2、B相互獨立；(3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。證明:(1)(2) 因為事件A、B相互獨立,故P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)1-P(A)=P(B)P(A)故A與B相互獨立.二、多個事件的獨立定義2、若三個事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立； 若在此基礎(chǔ)上還滿足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件A、B、C相互獨立。例:從分別標(biāo)有1,2,3,4四個數(shù)字的4張卡片中隨機抽取一張

3、,以事件A表示“取到1或2號卡片”;事件B表示“取到1或3號卡片”;事件C表示“取到1或4號卡片”.則事件A,B,C兩兩獨立但不相互獨立.兩兩獨立未必相互獨立一般地，設(shè)A1，A2，An是n個事件，如果對任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)則稱n個事件A1，A2，An相互獨立。其中k=2等式成立時稱n個事件A1，A2，An兩兩獨立。因此共有個等式成立。推論1 若事件A1，A2，An, 相互獨立，則其中任意k (1kn)個事件也相互獨立.推論2 若事件A1，A2，An,相互獨立，則將這n個事件中任意

4、多個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立.思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨立，則例：電路由元件A與兩個并聯(lián)的元件B,C串聯(lián)而成，若A,B,C損壞與否是相互獨立的，且它們損壞的概率依次為.，.，.，則電路斷路的概率是多少？解：設(shè)A,B,C分別表元件A,B,C損壞。因A,B,C獨立，則三、事件獨立性的應(yīng)用1、簡化的加法公式 若事件A1，A2，An相互獨立, 則 思考題:一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事，哪一個有更多的機會遇到？答:1-（5/6)4= 0.518, 1-(35/36)24= 0.491作業(yè)4.7(1)可參照此例題練習(xí)：如圖，1、2

5、、3、4、5表示繼電器觸點,假設(shè)每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器觸點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。設(shè)A-L至R為通路,Ai-第i個繼電器通,i=1,2,52、在可靠性理論上的應(yīng)用(*)由全概率公式本節(jié)要求內(nèi)容1、兩個事件的獨立性；2、多個事件的獨立性。要求1、兩個事件獨立性的判定與應(yīng)用；2、簡化的加法公式的應(yīng)用3、多個事件獨立性的引用。第一章 小結(jié)本章由六個概念（隨機現(xiàn)象、樣本空間、隨機事件、概率、條件概率、獨立性）、兩個性質(zhì)（有限可加性和互補性）、四個公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個概型（古典概型）組成。另外還有兩個原理、兩個排列、兩個組合公式。思考題1、50只鉚釘隨機地取來用于10個部件上，其中有3個鉚釘為次品.若每個部件用3只鉚釘，問3個次品鉚釘恰好用于同一部件的概率是多少？解：設(shè)Ai表示事件“3個次品鉚釘全裝在了第i個部件上”，i=1,2, ,10。設(shè)A表示事件“3個次品鉚