函數(shù)——從教材到學(xué)案

1、 案例1-1：函數(shù)概念的學(xué)習(xí)形態(tài)（教材：北師大版義務(wù)教育新課程標(biāo)準(zhǔn)教材九年級上冊）解讀教材1、堆木材中的函數(shù)-列表法 完成178頁中的“做一做”：先填表后回答問題。瓶子或罐頭盒等圓柱形的物體，常常如下圖所示的那樣堆放，隨著層數(shù)的增加，物體的總數(shù)是如何變化的？（1）填寫下表：層數(shù)n12345n物體總數(shù)y1=11+2=31+2+3=6(2)在本題中有兩個(gè)量在變化，它們是層數(shù)n和物體總數(shù)y，而且y是隨著n的變化而變化的。當(dāng)n的值給定時(shí)，y的值也就隨著唯一確定了，比如，當(dāng)n=4時(shí)，y= (3)其實(shí)，用表格中的最后一欄的式子也能算出每一種層數(shù)下的物體總數(shù)。比如，n=100時(shí)，y= 。點(diǎn)評：（1）教材中共

2、給出了三個(gè)關(guān)于函數(shù)概念的背景素材，學(xué)案將第二個(gè)素材放到了第一位，其理由是素材背景是學(xué)生熟悉的，函數(shù)的表達(dá)方式為列表法，也是學(xué)生熟悉的；由表中的數(shù)據(jù)通過規(guī)律得到函數(shù)的關(guān)系式，也是學(xué)生們在初一時(shí)就學(xué)過的，從而達(dá)到知識(shí)材料經(jīng)驗(yàn)化的效果。（2）完整地給出函數(shù)概念在本實(shí)例中的具體表述，使學(xué)生輕松地經(jīng)歷“個(gè)別的看”的體驗(yàn)過程，同時(shí)，學(xué)生也可以熟悉函數(shù)定義的語言特點(diǎn)與表達(dá)方式。2、剎車中的函數(shù)-關(guān)系式法在平整的路面上，某型號(hào)汽車緊急剎車后仍將滑行s米，現(xiàn)知道公式為，其中v表示剎車前汽車的速度（單位：千米/時(shí)）。（1）填寫下表：速度v5060100剎車距離 （2）在本題中有兩個(gè)量在變化，它們是 和 ，而且 是

3、隨著 的變化而變化的。當(dāng)v的值給定時(shí)，s的值也就隨著唯一確定了，比如，當(dāng)時(shí)， 。點(diǎn)評：用完全相似的方式對教材中的第三個(gè)素材進(jìn)行處理，但在函數(shù)概念的具體表述中，學(xué)生要填的空由一個(gè)增加到五個(gè)。讓學(xué)生在思考中，經(jīng)歷“重復(fù)的看”的過程。3、游樂場里的函數(shù)-圖象法想一想，如果你坐在摩天輪上，隨著時(shí)間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？下圖反映了旋轉(zhuǎn)時(shí)間t（分）與摩天輪上一點(diǎn)的高度h（米）之間的關(guān)系。（1）填表：t（分）012345h(米)（2）其實(shí)，本題肯定也能寫出一個(gè)用含t的代數(shù)式來表示h，只是較復(fù)雜，高中會(huì)學(xué)到的。（3）在本題中有兩個(gè)量在變化，它們是 和 ，而且 是隨著 的變化而變化的。當(dāng) 的值給

4、定時(shí)， 的值也就隨著唯一確定了，比如，當(dāng)時(shí)， 。點(diǎn)評：（1）教材上的第一個(gè)素材被放到最后來處理，其理由為：摩天輪的背景與函數(shù)圖象相結(jié)合是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。（2）在函數(shù)概念的具體表述中要填的空增加到了七個(gè)，使學(xué)生在背景的變化中再次經(jīng)歷函數(shù)概念的“重復(fù)的看”的過程。（3）通過上述三個(gè)操作過程，學(xué)生不難形成關(guān)于函數(shù)概念的一致性的直觀體驗(yàn)。4、綜合與想象前面三個(gè)實(shí)例的共同特征是：（1）每個(gè)問題中都有 個(gè)變量；（2）其中的一個(gè)變量（因變量）一定隨著另一個(gè)變量（自變量）的變化而 ；（3）當(dāng)自變量確定后，因變量隨著 。你寫出一個(gè)類似的實(shí)例，并用上述三個(gè)特征加以解釋。點(diǎn)評：通過這一學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，將外部操作中所

5、獲得的一致性體驗(yàn)內(nèi)化到學(xué)生的大腦之中，即，通過想象，在大腦內(nèi)部進(jìn)行一致性的操作，從而形成關(guān)于函數(shù)概念的心理表象。5、歸納與概括通過以上四個(gè)實(shí)例的學(xué)習(xí)，我們得出函數(shù)的概念為：一般地，在 中，有 個(gè)變量x與y，如果給定一個(gè)x的值，相應(yīng)的就確定了 ，那么我們稱 是 的函數(shù)，其中 是自變量， 是因變量。例如，在中，存在兩個(gè)變量是 和 ，給定x=3，相應(yīng)就確定了唯一的y值為 。所以，y是關(guān)于x的函數(shù)，x叫 量。前面的三個(gè)實(shí)例題還讓我們感受到，函數(shù)的表示方法共有三種：（1）表格法；（2）解析式，如第1題中的y=，第2題中的，第3題中的解析式高中會(huì)學(xué)到；（3）圖象法（也就是坐標(biāo)圖）。 點(diǎn)評：通過前面的“個(gè)別

6、的看”、“重復(fù)的看”與“想象的看”的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生自主的得出一般性的函數(shù)概念，可以說是水到渠成了，他們能夠“一般的看”函數(shù)了。挖掘教材 例：“給定一個(gè)x的值，相應(yīng)的就確定了唯一的y值”是什么意思？（1）下面這個(gè)表格是否表示y是x的函數(shù)？為什么？x2345y2345xy（2）下面這個(gè)圖象是否表示y是x的函數(shù)？為什么？ （3）等式是否表示y是x的函數(shù)？為什么？（4）上面三個(gè)問題，如果不是函數(shù)，分別如何改正，才能使得y是x的函數(shù)？點(diǎn)評：這個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)是讓學(xué)生在運(yùn)用函數(shù)概念的過程中，進(jìn)一步地理解與認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的本質(zhì)特征，也就是“認(rèn)識(shí)地看”。學(xué)案評析：上述案例雖然只呈現(xiàn)了學(xué)案的一部分（主體部分），但比較充

7、分地體現(xiàn)了學(xué)案的特點(diǎn)。（1）體現(xiàn)了學(xué)案的整合性、主體性、開放性與引導(dǎo)性等特點(diǎn)，特別是引導(dǎo)性，較好的發(fā)揮了學(xué)案“認(rèn)知地圖”的作用；（2）突出了學(xué)案構(gòu)成的目的要素、背景要素、知識(shí)要素、問題要素、活動(dòng)要素、思想要素與能力要素等；（3）通過經(jīng)驗(yàn)化、趣味化、生命化以及整體性的過程化，將教材內(nèi)容改造成為學(xué)生易于進(jìn)入、易于思考、易于探究、易于遐想的學(xué)習(xí)形態(tài)的知識(shí)，這一點(diǎn)在教學(xué)中得到了充分的驗(yàn)證。教學(xué)反饋：用此學(xué)案的教學(xué)是一次“獻(xiàn)課”式的觀摩教學(xué)活動(dòng)，授課班級的學(xué)生是第一次使用學(xué)案進(jìn)行上課，采用的“DJP教學(xué)”模式。課堂上可以說是精彩紛呈，學(xué)案中的內(nèi)容引起了學(xué)生極大興趣。眾所周知，函數(shù)是初、高中教學(xué)中一個(gè)難點(diǎn)

8、，許多學(xué)生高中畢業(yè)了都沒弄明白函數(shù)的本質(zhì)含義。在本節(jié)課上，學(xué)生始終保持高昂的熱情，不論是小組交流，還是對話性講解以及學(xué)習(xí)評價(jià)，他們都非常積極地參與到學(xué)習(xí)之中，主動(dòng)大方地展示各自獨(dú)特的生命活力。最讓聽課老師感動(dòng)的是“理解與認(rèn)識(shí)”這一學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中發(fā)生的一幕。對于第（1）小題，學(xué)生提出了各種各樣的修改方法，驚奇的是有一位學(xué)生竟提出了將所有的函數(shù)值都取為1（這樣函數(shù)就變成常函數(shù)）的想法，這一做法已超越了初中變量函數(shù)概念的范圍，把視角伸向了高中對應(yīng)函數(shù)概念的范圍。對于第（2）題，許多學(xué)生采取了簡單而有效的“抹”的辦法，即多余的圖像抹掉，并且提出了“抹下留上”或“抹上留下”的操作規(guī)則。修改后的函數(shù)圖像也是多

9、種多樣的，有的是半圓，有的是圓弧。面對學(xué)生的精彩表現(xiàn)，有一位聽課教師對學(xué)案在教學(xué)中所發(fā)揮的奇特作用，由衷地發(fā)出了“精妙”的贊嘆！從整個(gè)學(xué)習(xí)過程來講，學(xué)生通過個(gè)別的看、重復(fù)的看、想象的看、一般的看與認(rèn)識(shí)的看的認(rèn)知過程，從情境問題中，創(chuàng)造性的生成了函數(shù)概念的各種成分的知識(shí)。其中，事實(shí)性知識(shí)有自變量、因變量，函數(shù)有三種表示方式等；概念性知識(shí)有函數(shù)的定義、函數(shù)的本質(zhì)特征與圖像特征等；方法性知識(shí)有函數(shù)定義的應(yīng)用、將非函數(shù)的事例修改為函數(shù)以及歸納的思想方法等；價(jià)值性知識(shí)有函數(shù)在生活中大量存在、函數(shù)可以簡單而準(zhǔn)確地刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系以及所生成的函數(shù)意識(shí)等。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀察表數(shù)學(xué)概念教學(xué)龍泉驛區(qū)初中數(shù)學(xué)

10、中心組 同安中學(xué) 何清宇觀察者： 被觀察者： 時(shí)間 數(shù)學(xué)教學(xué)根本上就是“玩”概念。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心是概括，將凝聚在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察，分析各實(shí)例中的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。那種“一個(gè)定義、幾項(xiàng)注意，一個(gè)例題、幾道變式”的教學(xué)模式，是概念教學(xué)的一個(gè)誤區(qū)。若以解題教學(xué)代替概念教學(xué)，則嚴(yán)重偏離了概念教學(xué)的正軌，導(dǎo)致學(xué)生耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，但可能對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義卻知之甚少。觀察維度觀察點(diǎn)觀察內(nèi)容評價(jià)及建議概念教學(xué)1豐富的例證例證記錄例證1例證2例證3對例證的處理過程（問題串）記錄是否概括出例證的本質(zhì)特征，是什么？2屬性的提煉是否概括、提煉出例證的共同本質(zhì)屬性？是什么？3下定義學(xué)生能否用準(zhǔn)確的（文字/符號(hào)）語言表述概念？情況如何？4辨析概念是誰（師/生）舉出了反例、正例？是什么？生