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文檔簡介
1、 對于隨機(jī)向量(X,Y),除了EX,EY,DX,DY以外,還知道X與Y之間的關(guān)系.下面引入?yún)f(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。第四節(jié) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義 稱數(shù)值E(X-EX)(Y-EY) 為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差。 一 協(xié)方差記作即Covariance 另一個常用的計(jì)算公式:協(xié)方差的性質(zhì): 其中a,b是常數(shù) 若X與Y相互獨(dú)立, 則 但, X與Y 未必相互獨(dú)立.(4) 若X與Y不相互獨(dú)立, 則 證:X與Y獨(dú)立,則D(X+Y)=DX+DY18. 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度 求 (1) (2) X與Y不獨(dú)立。解: 所以(2) 由于 ,所以 X與Y不獨(dú)立.求當(dāng)時, 有當(dāng)時,例2 設(shè)定義 稱數(shù)值相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差,二
2、 相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X與Y的記作XY, 或簡記作, 即: 定理 若X與Y相互獨(dú)立,則 即: X與Y相互獨(dú)立 X與Y不相關(guān)但, X與Y不相關(guān)不一定X與Y相互獨(dú)立。定義 若隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)=0, 則稱X與Y不相關(guān)。 例1 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律 YX -1 0 1 -1 0 0 1 驗(yàn)證: X與Y不相關(guān),但X與Y不獨(dú)立。證 由已知條件可以分別計(jì)算出X,Y的邊沿分布律:X-101PY-101P則有因Y與X的分布律相同, 故 即X與Y不相關(guān);即因此X與Y不相互獨(dú)立.另一方面例2 若X的概率密度f(x)為偶函數(shù),且E(X2)+, 試證|X|與X不相關(guān), 但|X|與X不相互獨(dú)立.xf(x)為
3、奇函數(shù), 故又知|x|x f(x)為奇函數(shù), 故可得Cov(|X|,X)=E(|X|X)- E(|X|)E(X)證從而有Cov(|X|,X)=E(|X|X)- E(|X|)E(X)=0因此, |X|與X不相關(guān).E(X2)0, 使 由于,則故|X|與X不相互獨(dú)立.|X|與X不相互獨(dú)立. (舉反例)f(x)為偶函數(shù), 證明定理 設(shè) =0 X與Y相互獨(dú)立 ;XY=0 X與Y不相關(guān).對服從二維正態(tài)分布的隨機(jī)變量(X,Y),X與Y獨(dú)立 X與Y不相關(guān)對一般隨機(jī)變量(X,Y),X與Y獨(dú)立 X與Y不相關(guān),反之不真。例 3 設(shè)隨機(jī)變量且(1) 當(dāng)=0時, 求Z的概率密度fZ(z)及D(XY);(2)當(dāng)時, 求及
4、.解: (1) 由=0知, X與Y相互獨(dú)立, Z=X-2Y+1并由得: 所以, Z=X-2Y+1服從正態(tài)分布,故ZN(-1,17), Z的概率密度為 由X與Y的獨(dú)立性, 知X2與Y2也獨(dú)立, 則 (2) 當(dāng)時, 求 (柯西施瓦茲不等式)設(shè)X,Y為任意隨機(jī)變量,則 (1) E(XY)2E(X2)E(Y2) (2) 等式成立存在常數(shù)t0 , 使P Y=t0X 1 等式 E(XY)2 = E(X2)E(Y2)成立存在常數(shù)t0 ,使u(t0)=E(t0XY)2=0 PY=t0X1證: (1) 記u(t)=E(tXY)2 0, t為任意實(shí)數(shù),=E(X2) t22E(XY)t+E(Y2) 0故 =2E(X
5、Y)24E(X2)E(Y2) 0柯西許瓦茲不等式成立。定理 對相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):其中a,b是常數(shù).越接近于1時, X與Y越接近線性關(guān)系。由此可知:相關(guān)系數(shù)刻劃了隨機(jī)變量X與Y之間線性關(guān)系的近似程度。時,X與Y之間以概率1成立線性關(guān)系。 |=1 存在常數(shù)t0 ,使 PYEY=t0(XEX)=1即 PY=t0X+EY-t0EX=1即 PY=aX+b=1證:(1) 由柯西施瓦茲不等式定理得:矩是一些數(shù)字特征的泛稱或總稱。在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,矩占有重要的地位。矩、協(xié)方差矩陣矩的概念前面討論的數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差等數(shù)字特征都是某種矩.在理論和實(shí)際中,這些數(shù)字特征還不夠用, 還需要更多的其它矩。
6、若 存在,稱它為X的k階原點(diǎn)矩;存在,定義 設(shè)X和Y是隨機(jī)變量,若顯然, X的數(shù)學(xué)期望EX=EX1就是一階原點(diǎn)矩,就是二階中心矩。方差稱它為X的k階中心矩。此外,定義: k階中心絕對矩(k+l )階原點(diǎn)混合矩(k+l )階中心混合矩 k階原點(diǎn)絕對矩若 稱為n維隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣定義 對于n維隨機(jī)向量則矩陣存在,顯然協(xié)方差矩陣是一個對稱矩陣.二維正態(tài)隨機(jī)變量(X1,X2)的概率密度為 若令 (X1,X2)的協(xié)方差矩陣為 則有于是(X1,X2)的概率密度可寫成推廣到n維正態(tài)隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)概率密度為其中 n維正態(tài)隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的定義.(在多元統(tǒng)計(jì)分析和隨機(jī)過程中要用到)一.單項(xiàng)選擇題1.則下列結(jié)論正確的是( )2.盒中有2個紅球3個白球,有放回取球20次,每次取一球,設(shè)X為取到紅球的次數(shù),Y為取到白球的次數(shù),則下列結(jié)論中錯誤的是( )設(shè):AA3.設(shè)r.v,(X,Y)N(0,1;1,1;0),則下列結(jié)論正確的是( )4.設(shè)X的概率密度為且EX=3/4,則下列各式中正確的是( )則PX+Y1= X的邊緣概率密度fX(x)=5.設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 且EX=2,EY=3,則E(X+Y)2=( )(A)51 (B)10 (C)25 (D)30二.填空題1.設(shè)r.v.(X,Y)的概率密度為1/4設(shè)r.v.X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則5
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