垂徑定理 (2)

1、義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)九年級(jí) 上冊(cè)人民教育出版社24.1.2 垂直于弦的直徑問(wèn)題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代勞動(dòng)人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4 m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2 m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋的半徑是多少？ 實(shí)踐探究用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸活動(dòng)一如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E（1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（

2、2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？?思考OABCDE活 動(dòng) 二 （1）圓是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸（2） 線段： AE=BE把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，弧AC、弧AD分別與弧BC、弧BD 重合?。夯C=弧BC，弧AD=弧BDOABCDE我們還可以得到結(jié)論：由此，我們得到下面的定理：即直徑CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧這個(gè)定理也叫垂徑定理，利用這個(gè)定理，你能平分一條弧嗎？AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=

3、弧BC（1）如何證明？探究：OABCDE已知：如圖，CD是O的直徑，AB為弦，且AE=BE.證明：連接OA，OB，則OA=OB AE=BE CDAB AD=BD,求證：CDAB，且AD=BD, AC =BC AC =BC垂徑定理推論 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 CDAB, CD是直徑， AE=BE AC =BC,AD =BD.OABCDE（2）“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例。 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。OABCD CD是直徑, CDAB, AM=BMAC=BC, AD=BD. 如果具備上面五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，

4、那么一定可以得到其他三個(gè)結(jié)論嗎？ 一條直線滿足:(1)過(guò)圓心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直徑）; (4)平分弦所對(duì)優(yōu)弧;(5)平分弦所對(duì)的劣弧.OABCDM推廣：課堂討論根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)：過(guò)圓心垂直于弦 平分弦 平分弦所對(duì)優(yōu)弧 平分弦所對(duì)劣?。?）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所 對(duì)的兩條弧。（3）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分 弦所對(duì)的另一條弧。只要具備上述五個(gè)條件中任兩個(gè),就可以推出其余三個(gè).(4)若 ，CD是直徑,則 、 、 .(1)若CDAB, CD是直徑, 則 、 、 .(2)若AM=MB

5、, CD是直徑, 則 、 、 .(3)若CDAB, AM=MB, 則 、 、 .1.如圖所示:練習(xí)OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直徑 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD 解得R27.9.ODABCR解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題：在RtOAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R7.2）2因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.9 m.OA2=AD2+OD2AB=37.4 m，CD=7.2 m，OD=OCCD=R7.2在圖中如圖，用弧AB表示主橋拱，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，半徑為R 經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線O

6、C，D為垂足，OC與弧AB相交于點(diǎn)C.根據(jù)前面的結(jié)論可知，D是弦AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高（m）,OABC 已知A、B、C是O上三點(diǎn)，且AB=AC，圓心O到BC的距離為3厘米，圓的半徑為5厘米，求AB長(zhǎng)。DD試一試OABC1.過(guò)o內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為10,最短弦長(zhǎng)為8,那么o的半徑是2.已知o的弦AB=6,直徑CD=10,且ABCD,那么C到AB的距離等于3.已知O的弦AB=4,圓心O到AB的中點(diǎn)C的距離為1,那么O的半徑為4.如圖,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分別為M,N,且OM=2,0N=3,則AB= ,AC= ,OA=BAMCON51或964Cm1如圖，在O中，弦AB的長(zhǎng)為8 cm，圓心O到弦AB的距離為3 cm，求O的半徑OABE練 習(xí)解：答：O的半徑為5 cm.活 動(dòng) 三在RtAOE中，2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證：四邊形ADOE是正方形OA