離散傅里葉變換PPT通用通用課件

1、離散傅里葉變換傅里葉變換和Z變換是數(shù)字信號處理中常用的重要數(shù)學(xué)變換。對于有限長序列，還有一種更為重要的數(shù)學(xué)變換，即本章要討論的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更為重要，是因?yàn)槠鋵?shí)質(zhì)是有限長序列傅里葉變換的有限點(diǎn)離散采樣，從而實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，使數(shù)字信號處理可以在頻域采用數(shù)值運(yùn)算的方法進(jìn)行，這樣就大大增加了數(shù)字信號處理的靈活性。更重要的是，DFT有多種快速算法，統(tǒng)稱為快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)，從而使信號的實(shí)時(shí)處理和設(shè)備的簡化得以實(shí)現(xiàn)。因此，時(shí)域離散系統(tǒng)的研究與應(yīng)用在許多方面取代了傳統(tǒng)的連續(xù)時(shí)

2、間系統(tǒng)。所以說，DFT不僅在理論上有重要意義，而且在各種信號的處理中亦起著核心作用。 本章主要討論DFT的定義、物理意義、基本性質(zhì)以及頻域采樣和DFT的應(yīng)用舉例等內(nèi)容。3.1 離散傅里葉變換的定義及物理意義3.1.1 DFT的定義 設(shè)x(n)是一個(gè)長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為(3.1.1)X(k)的離散傅里葉逆變換(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)為式中，N稱為DFT變換區(qū)間長度，NM。通常稱(3.1.1)式和(3.1.2)式為離散傅里葉變換對。為了敘述簡潔，常常用DFTx(n)N和IDFTX(k)N分別表示N點(diǎn)離

3、散傅里葉變換和N點(diǎn)離散傅里葉逆變換。下面證明IDFTX(k)的唯一性。(3.1.2) 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有由于所以，在變換區(qū)間上滿足下式：IDFTX(k)N=x(n) 0nN-1由此可見，(3.1.2)式定義的離散傅里葉逆變換是唯一的。【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)DFT。解設(shè)變換區(qū)間N=4，則 設(shè)變換區(qū)間N=8，則 由此例可見，x(n)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)間長度N的取值有關(guān)。對DFT與Z變換和傅里葉變換的關(guān)系及DFT的物理意義進(jìn)行討論后，上述問題就會(huì)得到解釋。 3.1.2 DFT與傅里葉變換和Z變換的關(guān)系 設(shè)序列x(n)的長度為

4、M，其Z變換和N(NM)點(diǎn)DFT分別為比較上面二式可得關(guān)系式 (3.1.3)或 (3.1.4) (3.1.3)式表明序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣。(3.1.4)式則說明X(k)為x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間0, 2上的N點(diǎn)等間隔采樣。這就是DFT的物理意義。由此可見，DFT的變換區(qū)間長度N不同，表示對X(ej)在區(qū)間0, 2上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同，所以DFT的變換結(jié)果不同。上例中， x(n)=R4(n)，DFT變換區(qū)間長度N分別取8、16時(shí)，X(ej)和X(k)的幅頻特性曲線圖如圖3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4點(diǎn)DFT為

5、X(k)=DFTx(n)4=4(k)，這一特殊的結(jié)果在下面將得到進(jìn)一步解釋。圖3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性關(guān)系 3.1.3 DFT的隱含周期性 前面定義的DFT變換對中，x(n)與X(k)均為有限長序列，但由于的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的X(k)隱含周期性，且周期均為N。對任意整數(shù)m，總有所以(3.1.1)式中，X(k)滿足： 實(shí)際上，任何周期為N的周期序列都可以看做長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)則是 的一個(gè)周期，即上述關(guān)系如圖3.1.2（a）和（b）所示。一般稱周期序列中從n=0到N1的第一個(gè)周期為的主值區(qū)間，而主值區(qū)間上的序列稱

6、為的主值序列。因此x(n)與的上述關(guān)系可敘述為：是x(n)的周期延拓序列，x(n)是的主值序列。(3.1.5)(3.1.6)為了以后敘述簡潔，當(dāng)N大于等于序列x(n)的長度時(shí)，將(3.1.5)式用如下形式表示： (3.1.7)式中x(n) N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，(n)N表示模N對n求余，即如果n=MN+n1 0n1N1, M為整數(shù)則(n)N=n1 例如，, 則有所得結(jié)果符合圖3.1.2(a)和(b)所示的周期延拓規(guī)律。 圖3.1.2 x(n)及其周期延拓序列應(yīng)當(dāng)說明，若x(n)實(shí)際長度為M，延拓周期為N，則當(dāng)NM時(shí)，(3.1.5)式仍表示以N為周期的周期序列，但(3.1.6)

7、和 (3.1.7)式僅對NM時(shí)成立。圖3.1.2(a)中x(n)實(shí)際長度M=6，當(dāng)延拓周期N=4時(shí)，如圖3.1.2(c)所示。 如果x(n)的長度為M，且，NM，則可寫出的離散傅里葉級數(shù)表示式(3.1.8)(3.1.9)式中即X(k)為的主值序列。將(3.1.8)和(3.1.9)式與DFT的定義(3.1.1)和(3.1.2)式相比較可知，有限長序列x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x(n)N的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值序列，即。后面要討論的頻域采樣理論將會(huì)加深對這一關(guān)系的理解。我們知道，周期延拓序列頻譜完全由其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)確定，因此，X(k)實(shí)質(zhì)上是x(n)的

8、周期延拓序列x(n) N的頻譜特性，這就是N點(diǎn)DFT的第二種物理解釋（物理意義）。(3.1.10)現(xiàn)在解釋DFTR4(n)4=4(k)。根據(jù)DFT第二種物理解釋可知，DFTR4(n)4表示R4(n)以4為周期的周期延拓序列R4(n)4的頻譜特性，因?yàn)镽4(n)4是一個(gè)直流序列，只有直流成分（即零頻率成分）。 3.1.4 用MATLAB計(jì)算序列的DFTMATLAB提供了用快速傅里葉變換算法FFT(算法見第4章介紹)計(jì)算DFT的函數(shù)fft，其調(diào)用格式如下: Xk = fft (xn, N)；調(diào)用參數(shù)xn為被變換的時(shí)域序列向量，N是DFT變換區(qū)間長度，當(dāng)N大于xn的長度時(shí)，fft函數(shù)自動(dòng)在xn后面補(bǔ)

9、零。函數(shù)返回xn的N點(diǎn)DFT變換結(jié)果向量Xk。當(dāng)N小于xn的長度時(shí)，fft函數(shù)計(jì)算xn的前面N個(gè)元素構(gòu)成的N長序列的N點(diǎn)DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函數(shù)計(jì)算IDFT，其調(diào)用格式與fft函數(shù)相同，可參考help文件?！纠?.1.2】 設(shè)x(n)=R4(n)，X(ej)=FTx(n)。分別計(jì)算X(ej)在頻率區(qū)間0，2上的16點(diǎn)和32點(diǎn)等間隔采樣，并繪制X(ej)采樣的幅頻特性圖和相頻特性圖。解 由DFT與傅里葉變換的關(guān)系知道，X(ej)在頻率區(qū)間0，2上的16點(diǎn)和32點(diǎn)等間隔采樣，分別是x(n)的16點(diǎn)和32點(diǎn)DFT。調(diào)用fft函數(shù)求解本例的程序ep312.m如下:% 例3.1.2程序

10、ep312.m% DFT的MATLB計(jì)算xn=1 1 1 1; %輸入時(shí)域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn, 16); %計(jì)算xn的16點(diǎn)DFTXk32=fft(xn, 32); %計(jì)算xn的32點(diǎn)DFT%以下為繪圖部分（省略，程序集中有）程序運(yùn)行結(jié)果如圖3.1.3所示。圖3.1.3 程序ep312.m 運(yùn)行結(jié)果 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.2.1 線性性質(zhì)如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)有限長序列，長度分別為N1和N2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中，a、b為常數(shù)，取N=maxN1, N2, 則y(n)的N點(diǎn)DFT為Y(k)=DFTy(n)N=aX1(k)+

11、bX2(k) 0kN1 (3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。 3.2.2 循環(huán)移位性質(zhì)1序列的循環(huán)移位 設(shè)x(n)為有限長序列，長度為M，MN，則x(n)的循環(huán)移位定義為y(n)=x(n+m) NRN(n) (3.2.2)(3.2.2)式表明，將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到，再將左移m得到，最后取的主值序列則得到有限長序列x(n)的循環(huán)移位序列y(n)。 M=6, N=8, m=2時(shí)，x(n)及其循環(huán)移位過程如圖3.2.1所示。顯然，y(n)是長度為N的有限長序列。觀察圖3.2.1可見，循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是將x(n)左移m位，而移出主值區(qū)(0nN

12、-1)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)?！把h(huán)移位”就是由此得名的。由循環(huán)移位的定義可知，對同一序列x(n)和相同的位移m，當(dāng)延拓周期N不同時(shí)，y(n)=x(n+m)NRn(n)則不同。請讀者畫出N = M=6，m=2時(shí)，x(n)的循環(huán)移位序列y(n)波形圖。圖3.2.1 x(n)及其循環(huán)移位過程2 時(shí)域循環(huán)移位定理 設(shè)x(n)是長度為M(MN)的有限長序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即則(3.2.3)其中證明令n+m=n，則有由于上式中求和項(xiàng)以N為周期，因此對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)，則得3 頻域循環(huán)移位定理如果X(k)=DFTx(n)N 0kN-1 Y(k

13、)=X(k+l)NRN(k)則(3.2.4)(3.2.4)式的證明方法與時(shí)域循環(huán)移位定理類似，直接對Y(k)=X(k+l)NRN(k)進(jìn)行IDFT即得證。3.2.3 循環(huán)卷積定理 時(shí)域循環(huán)卷積定理是DFT中最重要的定理，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。已知系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，計(jì)算系統(tǒng)的輸出，以及FIR濾波器用FFT實(shí)現(xiàn)等，都是基于該定理的。下面首先介紹循環(huán)卷積的概念和計(jì)算循環(huán)卷積的方法，然后介紹循環(huán)卷積定理。1 兩個(gè)有限長序列的循環(huán)卷積設(shè)序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為（3.2.5）式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，LmaxN，M。上式顯然與第1章介紹的

14、線性卷積不同，為了區(qū)別線性卷積，用 表示循環(huán)卷積，用表示L點(diǎn)循環(huán)卷積，即yc(n)=h(n) x(n)。觀察(3.2.5)式，x(nm)L是以L為周期的周期信號，n和m的變化區(qū)間均是0, L-1，因此直接計(jì)算該式比較麻煩。計(jì)算機(jī)中采用矩陣相乘或快速傅里葉變換(FFT)的方法計(jì)算循環(huán)卷積。下面介紹用矩陣計(jì)算循環(huán)卷積的公式。 當(dāng)n = 0, 1, 2, , L1時(shí)，由x(n)形成的序列為: x(0), x(1), , x(L1)。令n=0, m=0, 1, , L1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成x(n)的循環(huán)倒相序列為與序列x(n)進(jìn)行對比，相當(dāng)于將第一個(gè)序列值x(0)不動(dòng)，將后面的序列

15、反轉(zhuǎn)180再放在 x(0) 的后面。這樣形成的序列稱為x(n)的循環(huán)倒相序列。令n = 1, m = 0, 1, , L-1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成的序列為觀察上式等號右端序列，它相當(dāng)于x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移一位，即向右移1位，移出區(qū)間0, L1的序列值再從左邊移進(jìn)。再令n = 2, m = 0, 1, , L-1，此時(shí)得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。依次類推，當(dāng)n和m均從0變化到L-1時(shí)，得到一個(gè)關(guān)于x(nm)L的矩陣如下： （3.2.6） 上面矩陣稱為x(n)的L點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣”，其特點(diǎn)是:（1） 第1行是序列x(0), x(1), , x(L1)的循環(huán)

16、倒相序列。注意，如果x(n)的長度ML，則需要在x(n)末尾補(bǔ)LM個(gè)零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3） 矩陣的各主對角線上的序列值均相等。有了上面介紹的循環(huán)卷積矩陣，就可以寫出式(3.2.5)的矩陣形式如下:（3.2.7） 按照上式，可以在計(jì)算機(jī)上用矩陣相乘的方法計(jì)算兩個(gè)序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。上式中如果h(n)的長度NL，則需要在h(n)末尾補(bǔ)L-N個(gè)零。【例3.2.1】 計(jì)算下面給出的兩個(gè)長度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。 解 按照式（3.2.21）寫出h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩

17、陣形式為h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為h(n)和x(n)及其4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。請讀者計(jì)算驗(yàn)證本例的8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果等于h(n)與x(n)的線性卷積結(jié)果。后面將證明，當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于y(n) = h(n)*x(n)的長度時(shí)，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。 圖3.2.2 序列及其循環(huán)卷積波形2. 環(huán)卷積定理 有限長序列x1(n)和x2(n)的長度分別為N1和N2，N= maxN1, N2， x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)循環(huán)卷積為則x(n)的N點(diǎn)DFT為其中N （3.2.9）（3.2.8）證明 直接對(3.2.8)式兩邊

18、進(jìn)行DFT，則有令n-m=n，則有因?yàn)樯鲜街惺且訬為周期的，所以對其在任一個(gè)周期上求和的結(jié)果不變。因此由于，因此即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 作為習(xí)題請讀者證明以下頻域循環(huán)卷積定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，則(3.2.10a) N 或(3.2.10b)式中相對頻域循環(huán)卷積定理，稱(3.2.9)式為時(shí)域循環(huán)卷積定理。 N 3.2.4 復(fù)共軛序列的DFT 設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列，長度為N，X(k)=DFTx(n)N，則且X(N)=X(0)。 證明 根據(jù)DFT的唯一性，只要證明(3.2.11)式右邊等于左邊即可。(3.2.11)又由X(k)的隱含周期性，有X(N)=X(0)用同樣

19、的方法可以證明 (3.2.12)3.2.5 DFT的共軛對稱性1 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列為了區(qū)別于傅里葉變換中所定義的共軛對稱（或共軛反對稱）序列，下面用xep(n)和xop(n)分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列，則二者滿足如下關(guān)系式：(3.2.13a)(3.2.13b)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，將上式中的n換成N/2n，可得到：上式更清楚地說明了有限長序列共軛對稱序列是關(guān)于n=N/2點(diǎn)對稱。容易證明，如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對稱分量和奇對稱分量一樣，任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和，即 (3.2.14) 將上式中的n換成N-n，并取復(fù)共軛，再

20、將(3.2.13a)式和(3.2.13b)式代入，得到：(3.2.15)(3.2.14)式分別加減(3.2.15)式，可得(3.2.16a)(3.2.16b)2 DFT的共軛對稱性 (1) 如果將x(n)表示為x(n)=xr(n)+jxi(n) (3.2.17)其中那么，由(3.2.11)式和(3.2.16a)式可得(3.2.18) 由(3.2.11)式和(3.2.16b)式可得 (3.2.19)由DFT的線性性質(zhì)即可得 (3.2.20)其中，Xop(k)=DFTxr(n)是X(k)的共軛對稱分量，Xop(k)=DFTjxi(n)是X(k)的共軛反對稱分量。 (2) 如果將x(n)表示為(3.

21、2.21) 其中，是x(n)的共軛對稱分量， 是x(n)的共軛反對稱分量, 那么，由(3.2.12)式可得因此 (3.2.22)其中 綜上所述，可總結(jié)出DFT的共軛對稱性質(zhì)：如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實(shí)部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j。另外，請讀者根據(jù)上述共軛對稱性證明有限長實(shí)序列DFT的共軛對稱性（見本章習(xí)題題7）。 設(shè)x(n)是長度為N的實(shí)序列，且X(k)=DFTx(n)N，則X(k)滿足如下對稱性： (1) X(k)共軛對稱，即X(k)=X*(N-

22、k) k=0, 1, , N-1 (3.2.23) (2) 如果x(n)是偶對稱序列，即x(n)=x(N-n)，則X(k)實(shí)偶對稱，即X(k)=X(N-k) (3.2.24) (3) 如果是奇對稱序列，即x(n)=-x(N-n)，則X(k)純虛奇對稱，即X(k)=-X(N-k) (3.2.25)實(shí)際中經(jīng)常需要對實(shí)序列進(jìn)行DFT，利用上述對稱性質(zhì)，可減少DFT的運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。例如，計(jì)算實(shí)序列的N點(diǎn)DFT時(shí)，當(dāng)N=偶數(shù)時(shí)，只需計(jì)算X(k)的前面N/2+1點(diǎn)，而N = 奇數(shù)時(shí)，只需計(jì)算X(k)的前面(N+1)/2點(diǎn)，其他點(diǎn)按照(3.2.23)式即可求得。例如， X(N-1)=X*(1), X

23、(N-2)=X*(2), 這樣可以減少近一半運(yùn)算量?！纠?.2.2】 利用DFT的共軛對稱性，設(shè)計(jì)一種高效算法，通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，就可以計(jì)算出兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。解構(gòu)造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，對x(n)進(jìn)行DFT，得到：由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT：3.3 頻 率 域 采 樣 時(shí)域采樣定理告訴我們，在一定條件下，可以由時(shí)域離散采樣信號恢復(fù)原來的連續(xù)信號。那么能不能也由頻域離散采樣恢復(fù)原來的信號（或原連續(xù)頻率函數(shù)）？其條件是什么？內(nèi)插公式又是什么

24、形式？本節(jié)就上述問題進(jìn)行討論。 設(shè)任意序列x(n)的Z變換為且X(z)的收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點(diǎn), 得到：顯然，(3.3.1)式表示在區(qū)間0, 2上對x(n)的傅里葉變換X(ej)的N點(diǎn)等間隔采樣。將X(k)看做長度為N的有限長序列xN(n)的DFT，即下面推導(dǎo)序列xN(n)與原序列x(n)之間的關(guān)系，并導(dǎo)出頻域采樣定理。 (3.3.1) 由DFT與DFS的關(guān)系可知，X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值序列，即將 (3.3.1) 式代入上式得式中-=-=-=-=-=mNknmkNNkmknNkmNWNmx

25、WWmxNnx10)(101)()(1)(因此所以(3.3.3)(3.3.2)式(3.3.3)說明，X(z)在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣X(k)的N點(diǎn)IDFT是原序列x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列。綜上所述，可以總結(jié)出頻域采樣定理： 如果序列x(n)的長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)NM時(shí)，才有xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。滿足頻域采樣定理時(shí)，頻域采樣序列X(k)的N點(diǎn)IDFT是原序列x(n)，所以必然可以由X(k)恢復(fù)X(z)和X(ej)。下面推導(dǎo)用頻域采樣X(k)表示X(z)和X(ej)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。設(shè)

26、序列x(n)長度為M，在頻域0, 2上等間隔采樣N點(diǎn)，NM，則有因?yàn)闈M足頻域采樣定理，所以式中將上式代入X(z)的表示式中，得到:(3.3.4a) 式中，因此 (3.3.4b)令 (3.3.5)則(3.3.6) 式(3.3.6)稱為用X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式，k(z)稱為內(nèi)插函數(shù)。將z=ej代入(3.3.4a)式，并進(jìn)行化簡，可得 (3.3.7)(3.3.8) 在數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)中，我們將會(huì)看到，頻域采樣理論及有關(guān)公式可提供一種有用的濾波器結(jié)構(gòu)和濾波器設(shè)計(jì)途徑，(3.3.7)式有助于分析FIR濾波器頻率采樣設(shè)計(jì)法的逼近性能。【例3.3.1】 長度為26的三角形序列x(n)如圖3.3

27、.1(a)所示。編寫MATLAB程序驗(yàn)證頻域采樣理論。解 解題思想： 先計(jì)算x(n)的32點(diǎn)DFT，得到其頻譜函數(shù)X(ej)在頻率區(qū)間0,2 上等間隔32點(diǎn)采樣X32(k)，再對X32(k)隔點(diǎn)抽取，得到X(ej)在頻率區(qū)間0,2上等間隔16點(diǎn)采樣X16(k)。最后分別對X16(k)和X32(k)求IDFT, 得到：繪制x16(n)和x32(n)波形圖驗(yàn)證頻域采樣理論。MATLAB求解程序ep331.m如下：%數(shù)字信號處理(第三版）第3章例3.3.1程序ep331.% 頻域采樣理論驗(yàn)證M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2; xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=x

28、a, xb; %產(chǎn)生M長三角波序列x(n)Xk=fft(xn, 512); %512點(diǎn)FFTx(n)X32k=fft(xn, 32); %32點(diǎn)FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點(diǎn)IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔點(diǎn)抽取X32k得到X16(k)x16n=ifft(X16k, N/2); %16點(diǎn)IFFTX16(k)得到x16(n)以下繪圖部分省略。程序運(yùn)行結(jié)果如圖3.3.1所示。圖3.3.1(a)和(b)分別為X(ej)和x(n)的波形；圖3.3.1(c)和(d)分別為X(ej)的16點(diǎn)采樣|X16(k)|和x16(n)=IDFTX

29、16(k)16波形圖；圖3.3.1(e)和(f)分別為X(ej)的32點(diǎn)采樣|X32(k)|和x32(n)=IDFTX32(k)32波形圖；由于實(shí)序列的DFT滿足共軛對稱性，因此頻域圖僅畫出0，上的幅頻特性波形。本例中x(n)的長度M=26。從圖中可以看出，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N=16M時(shí)，無時(shí)域混疊失真，x32(n)=IDFTX32(k)=x(n)。圖3.3.1 頻域采樣定理驗(yàn)證3.4 DFT的應(yīng)用舉例3.4.1 用DFT計(jì)算線性卷積用DFT計(jì)算循環(huán)卷積很簡單。設(shè)h(n)和x(n)的長度分別為N和M, 其L點(diǎn)循環(huán)卷積為且L 則由DFT的時(shí)域循環(huán)卷積定理有由此可見，循環(huán)卷積既可以在時(shí)域直接計(jì)算，也可以按

30、照圖3.4.1所示的計(jì)算框圖在頻域計(jì)算。由于DFT有快速算法，當(dāng)L很大時(shí)，在頻域計(jì)算循環(huán)卷積的速度快得多，因而常用DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。圖3.4.1 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積的原理框圖在實(shí)際應(yīng)用中，為了分析時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)或者對序列進(jìn)行濾波處理等，需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積。與計(jì)算循環(huán)卷積一樣，為了提高運(yùn)算速度，也希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。而DFT只能直接用來計(jì)算循環(huán)卷積，因此，下面先導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件，最后得出用圖3.4.1線性卷積的條件。假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分別是N和M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示

31、如下：其中所以(3.4.1)(3.4.2)L 對照(3.4.1)式可以看出，上式中即 (3.4.3)(3.4.3)式說明，yc(n)等于yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。我們知道，yl(n)長度為NM1，因此只有當(dāng)循環(huán)卷積長度LNM1時(shí)，yl(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓時(shí)才無時(shí)域混疊現(xiàn)象。此時(shí)取其主值序列顯然滿足yc(n)=yl(n)。由此證明了循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是LNM1。圖3.4.2中畫出了h(n)、x(n)、h(n)*x(n)以及L分別取6、8、10時(shí)h(n) L x(n)的波形。由于h(n)長度N=4，x(n)長度M=5，NM1=8，因此只有L8時(shí)，h(n) L x

32、(n)波形才與h(n)*x(n)相同。 圖3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積波形圖綜上所述，取LNM1，則可按照如圖3.4.1所示的計(jì)算框圖用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)來實(shí)現(xiàn)，故常稱其為快速卷積。實(shí)際上，經(jīng)常遇到兩個(gè)序列的長度相差很大的情況，例如MN。若仍選取LNM1，以L為循環(huán)卷積區(qū)間，并用上述快速卷積法計(jì)算線性卷積，則要求對短序列補(bǔ)很多零點(diǎn)，而且長序列必須全部輸入后才能進(jìn)行快速計(jì)算。因此要求存儲容量大，運(yùn)算時(shí)間長，并使處理延時(shí)很大，不能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理。況且在某些應(yīng)用場合，序列長度不定或者認(rèn)為是無限長，如電話系統(tǒng)中的語音信號和地震檢測信號等。顯然，在

33、要求實(shí)時(shí)處理時(shí)，直接套用上述方法是不行的。解決這個(gè)問題的方法是將長序列分段計(jì)算，這種分段處理方法有重疊相加法和重疊保留法兩種。下面只介紹重疊相加法，重疊保留法作為本章習(xí)題題21，留給讀者討論。設(shè)序列h(n)長度為N，x(n)為無限長序列。將x(n)等長分段，每段長度取M，則（3.4.4a）于是，h(n)與x(n)的線性卷積可表示為（3.4.4b）式中(3.4.4b)式說明，計(jì)算h(n)與x(n)的線性卷積時(shí)，可先計(jì)算分段線性卷積yk(n)=h(n)*xk(n)，然后把分段卷積結(jié)果疊加起來即可，如圖3.4.3所示。每一分段卷積yk(n)的長度為NM1，因此相鄰分段卷積yk(n)與yk1(n)有N

34、1個(gè)點(diǎn)重疊，必須把重疊部分的yk(n)與yk1(n)相加，才能得到正確的卷積序列y(n)。顯然, 可用圖3.4.1所示的快速卷積法計(jì)算分段卷積yk(n)， 其中L=NM1。由圖3.4.3可以看出，當(dāng)?shù)诙€(gè)分段卷積y1(n)計(jì)算完后，疊加重疊點(diǎn)便可得輸出序列y(n)的前2M個(gè)值；同樣道理，分段卷積yi(n)計(jì)算完后，就可得到y(tǒng)(n)第i段的M個(gè)序列值。因此，這種方法不要求大的存儲容量，且運(yùn)算量和延時(shí)也大大減少，最大延時(shí)TDmax=2MTs+To，Ts是系統(tǒng)采樣間隔，To是計(jì)算1個(gè)分段卷積所需時(shí)間，一般要求ToMTs。這樣，就實(shí)現(xiàn)了邊輸入邊計(jì)算邊輸出，如果計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度快，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理。圖3

35、.4.3 用重疊相加法計(jì)算 線性卷積時(shí)域關(guān)系示意圖 用DFT計(jì)算分段卷積yk(n)的方法如下：(1) i=0；L=NM1；計(jì)算并保存H(k)=DFTh(n)L; (2) 讀入xk(n)=x(n)RM(nkM)，構(gòu)造變換區(qū)間0，L1上的序列，實(shí)際中就是將xi(n)的M個(gè)值存放在長度為M的數(shù)組中, 并計(jì)算(3) ；(4) ，n = 0,1,2,L1； (5) 計(jì)算： (6) i =i1，返回(2)。應(yīng)當(dāng)說明，一般x(n)是因果序列，假設(shè)初始條件y1(n)=0。MATLAB信號處理工具箱中提供了一個(gè)函數(shù)fftfilt，該函數(shù)用重疊相加法實(shí)現(xiàn)線性卷積的計(jì)算。調(diào)用格式為：y=fftfilt(h, x，M

36、)。式中, h是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)向量；x是輸入序列向量；y是系統(tǒng)的輸出序列向量（h與x的卷積結(jié)果）；M是由用戶選擇的輸入序列x的分段長度，缺省M時(shí)，默認(rèn)輸入序列x的分段長度M=512?！纠?.4.1】 假設(shè)h(n)=R5(n)，x(n)=cos(n/10)+cos(2n/5)u(n)，用重疊相加法計(jì)算y(n)=h(n)*x(n)，并畫出h(n)、x(n)和y(n)的波形。解 h(n)的長度為N=5, 對x(n)進(jìn)行分段，每段長度為M=10。計(jì)算h(n)和x(n)的線性卷積的MATLAB程序如下：%例3.4.1 重疊相加法的MATLAB實(shí)現(xiàn)程序：ep341.m Lx=41; N=5; M=10;

37、 %Lx為信號序列x(n)長度 hn=ones(1, N); hn1=hn zeros(1, Lx-N); %產(chǎn)生h(n)，其后補(bǔ)零是為了繪圖好看 n=0:L-1; xn=cos(pi*n/10)+cos(2*pi*n/5); %產(chǎn)生x(n)的Lx個(gè)樣值 yn=fftfilt(hn, xn, M); %調(diào)用fftfilt用重疊相加法計(jì)算卷積 %= %以下為繪圖部分, 省略 運(yùn)行程序畫出h(n)、x(n)和y(n)的波形如圖3.4.4所示。請讀者從理論上證明y(n)的穩(wěn)態(tài)波形是單一頻率的正弦波。運(yùn)行繪圖程序fig345.m可以得到用重疊相加法求解本例題的xk(n), yk(n)和y(n)=y0(

38、n)+y1(n)+y2(n)+y3(n), 如圖3.4.5所示。 圖3.4.4 例3.4.1的求解程序運(yùn)行結(jié)果圖3.4.5 重疊相加法時(shí)域波形3.4.2 用DFT對信號進(jìn)行譜分析 1 用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析 工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到連續(xù)信號xa(t)，其頻譜函數(shù)Xa(j)也是連續(xù)函數(shù)。為了利用DFT對xa(t)進(jìn)行頻譜分析，先對xa(t)進(jìn)行時(shí)域采樣，得到x(n)=xa(nT)，再對x(n)進(jìn)行DFT，得到的X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ej)在頻率區(qū)間0，2上的N點(diǎn)等間隔采樣。這里x(n)和X(k)均為有限長序列。然而，由傅里葉變換理論知道，若信號持續(xù)時(shí)間有限長，則其頻譜無限寬；若信

39、號的頻譜有限寬，則其持續(xù)時(shí)間必然為無限長。所以嚴(yán)格地講，持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號是不存在的。因此，按采樣定理采樣時(shí)，上述兩種情況下的采樣序列x(n)=xa(nT)均應(yīng)為無限長，不滿足DFT的變換條件。實(shí)際上對頻譜很寬的信號，為防止時(shí)域采樣后產(chǎn)生頻譜混疊失真，可用預(yù)濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使連續(xù)信號的帶寬小于折疊頻率。對于持續(xù)時(shí)間很長的信號，采樣點(diǎn)數(shù)太多, 以致無法存儲和計(jì)算，只好截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT。由上述可見，用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)。實(shí)際上從工程角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時(shí)間信號是允許的。因此，在下

40、面分析中，假設(shè)xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長帶限信號。 設(shè)連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時(shí)間為Tp，最高頻率為fc，如圖3.4.6(a)所示。xa(t)的傅里葉變換為 對xa(t)以采樣間隔T(2fc)-1(即fs=1/T2fc)采樣得 x(n)=xa(nT)。設(shè)共采樣N點(diǎn)，并對Xa(jf )作零階近似(t=nT, dt=T) 得 顯然， Xa( jf )仍是 f 的連續(xù)周期函數(shù)，x(n)和X( jf )如圖3.4.5(b)所示。 對 X(jf )在區(qū)間0, Fs上等間隔采樣N點(diǎn)， 采樣間隔為F， 如圖3.4.5(c)所示。 參數(shù)Fs 、 Tp、 N和F滿足如下關(guān)系式： 由于NT=Tp， 所

41、以 (3.4.5) (3.4.6) 將f=kF和式(3.4.5)代入X( jf )中可得Xa( jf )的采樣0kN-1令 則 (3.4.8) (3.4.7)同理, 由可以推出圖3.4.6 用DFT分析連續(xù)信號譜的原理示意圖 (3.4.7)式說明，可以通過對連續(xù)信號采樣并進(jìn)行DFT再乘以T，近似得到模擬信號頻譜的周期延拓函數(shù)在第一個(gè)周期0, fs上的N點(diǎn)等間隔采樣 ，如圖3.4.6所示。對滿足假設(shè)的持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號，在滿足時(shí)域采樣定理時(shí)， 包含了模擬信號頻譜的全部信息（k=0, 1, 2, , N/2, 表示正頻率頻譜采樣; k=N/2+1，N/2+2，N1, 表示負(fù)頻率頻譜采樣）。所以

42、，上述分析方法不丟失信息，即可由X(k)恢復(fù)Xa(j)或xa(t)，但直接由分析結(jié)果X(k)看不到Xa(j)的全部頻譜特性，而只能看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)的譜線，這就是所謂的柵欄效應(yīng)。對實(shí)信號，其頻譜函數(shù)具有共軛對稱性，所以分析正頻率頻譜就足夠了。不存在頻譜混疊失真時(shí)，正頻率0, Fs/2頻譜采樣為 （3.4.12）值得注意，如果xa(t)持續(xù)時(shí)間無限長，上述分析中要進(jìn)行截?cái)嗵幚?，所以?huì)產(chǎn)生所謂的截?cái)嘈?yīng)，從而使譜分析產(chǎn)生誤差。本節(jié)最后將討論上述誤差問題產(chǎn)生的原因及改進(jìn)措施。 下面舉例說明截?cái)嘈?yīng)。理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(f)如圖3.4.7(a)、(b)所示（圖3.4

43、.7(a)中只畫出ha(t)所截取的一段）。圖中，現(xiàn)在用DFT來分析ha(t)的頻率響應(yīng)特性。由于ha(t)的持續(xù)時(shí)間為無窮長，因此要截取一段Tp，假設(shè)Tp=8 s，采樣間隔T=0.25 s(即采樣頻率Fs=4 Hz)，采用點(diǎn)數(shù)N=Tp/T=32；頻域采樣間隔F=1/Tp=0.125 Hz；由于ha(t)為實(shí)信號，因此僅取正頻率0, fs/2頻譜采樣：其中 Ha(kF)如圖3.4.7(c)中黑點(diǎn)所示。由圖可見，低頻部分近似理想低通頻響特性，而高頻誤差較大，且整個(gè)頻響都有波動(dòng)。這些誤差就是由于對ha(t)截?cái)嗨a(chǎn)生的，所以通常稱之為截?cái)嘈?yīng)。為減少這種截?cái)嗾`差，可適當(dāng)加長Tp，增加采樣點(diǎn)數(shù)N或用

44、窗函數(shù)處理后再進(jìn)行DFT。有關(guān)窗函數(shù)的內(nèi)容將在FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中詳細(xì)敘述。圖3.4.7 用DFT計(jì)算理想低通濾波器的頻響曲線在對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析時(shí)，主要關(guān)心兩個(gè)問題，這就是譜分析范圍和頻率分辨率。譜分析范圍為0, Fs/2，直接受采樣頻率Fs的限制。為了不產(chǎn)生頻率混疊失真，通常要求信號的最高頻率fcFs/2。頻率分辨率用頻率采樣間隔F描述，F(xiàn)表示譜分析中能夠分辨的兩個(gè)頻譜分量的最小間隔。顯然，F(xiàn)越小，譜分析就越接近Xa(jf)，所以F較小時(shí)，我們稱頻率分辨率較高。下面討論用DFT對連續(xù)信號譜分析的參數(shù)選擇原則。 在已知信號的最高頻率fc(即譜分析范圍)時(shí)，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速

45、率Fs滿足下式：(3.4.13)按照(3.4.11)式，譜分辨率F=Fs/N，如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高頻譜分辨率(減小F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會(huì)引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持Fs不變，為提高頻率分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，因?yàn)?，只有增加對信號的觀察時(shí)間Tp，才能增加N。Tp和N可以按照下面兩式進(jìn)行選擇： (3.4.14) (3.4.15) 【例 3.4.2】 對實(shí)信號進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時(shí)間Tp min，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率提高1倍，最少的采樣

46、點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少？解因此Tp min=0.1 s。因?yàn)橐驠s2fc，所以為使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整數(shù)冪，為此選用N =512點(diǎn)。為使頻率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：用快速算法FFT計(jì)算時(shí)，選用N=1024點(diǎn)。 上面分析了為提高譜分辨率，又保持譜分析范圍不變，必須增長記錄時(shí)間Tp，增加采樣點(diǎn)數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，這種提高譜分辨率的條件是必須滿足時(shí)域采樣定理，甚至采樣速率Fs取得更高。2 用DFT對序列進(jìn)行譜分析 我們知道單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換，即X(ej)是的連續(xù)周期函數(shù)。如果對序列x(n)進(jìn)行N點(diǎn)DFT得到X(k)，則X(k)是在區(qū)間0,2上對X

47、(ej)的N點(diǎn)等間隔采樣，頻譜分辨率就是采樣間隔2/N。因此序列的傅里葉變換可利用DFT(即FFT)來計(jì)算。對周期為N的周期序列，由(2.3.10)式知道，其頻譜函數(shù)為其中由于以N為周期，因而X(ej)也是以2為周期的離散譜，每個(gè)周期有N條譜線，第k條譜線位于=(2/N)k處，代表的k次諧波分量。而且，譜線的相對大小與成正比。由此可見，周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可用其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)表示。由DFT的隱含周期性知道，截取的主值序列，并進(jìn)行N點(diǎn)DFT，得到：所以可用X(k)表示的頻譜結(jié)構(gòu)。(3.4.16)如果截取長度M等于的整數(shù)個(gè)周期，即M=mN，m為正整數(shù)，即 令n=niN; i=0, 1, , m1

48、; n=0, 1, , N1，則（3.4.17）因?yàn)樗?3.4.18)由此可見，XM(k)也能表示的頻譜結(jié)構(gòu)，只是在k=im時(shí)，表示的i次諧波譜線，其幅度擴(kuò)大m倍。而其他k值時(shí)，XM(k)=0，當(dāng)然，X(i)與XM(im)對應(yīng)點(diǎn)頻率是相等的 。所以，只要截取的整數(shù)個(gè)周期進(jìn)行DFT，就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu)，達(dá)到譜分析的目的。如果的周期預(yù)先不知道，可先截取M點(diǎn)進(jìn)行DFT，即 再將截取長度擴(kuò)大1倍，截取比較XM(k)和X2M(k)，如果二者的主譜差別滿足分析誤差要求，則以XM(k)或X2M(k)近似表示的頻譜，否則，繼續(xù)將截取長度加倍，直至前后兩次分析所得主譜頻率差別滿足誤差要求。設(shè)最后截取長度為i

49、M，則XiM(k0)表示=2/(iM)k0點(diǎn)的譜線強(qiáng)度。在很多實(shí)際應(yīng)用中，并非整個(gè)單位圓上的頻譜都很有意義。例如，對于窄帶信號，往往只希望對信號所在的一段頻帶進(jìn)行譜分析，這時(shí)便希望采樣能密集地在這段頻帶內(nèi)進(jìn)行，而帶外部分可完全不予考慮。另外，有時(shí)希望采樣點(diǎn)不局限于單位圓上。例如，語音信號處理中，常常需要知道系統(tǒng)極點(diǎn)所對應(yīng)的頻率，如果極點(diǎn)位置離單位圓較遠(yuǎn)，則其單位圓上的頻譜就很平滑，如圖3.4.8(a)所示，這時(shí)很難從中識別出極點(diǎn)對應(yīng)的頻率。如果使采樣點(diǎn)軌跡沿一條接近這些極點(diǎn)的弧線或圓周進(jìn)行，則采樣結(jié)果將會(huì)在極點(diǎn)對應(yīng)的頻率上出現(xiàn)明顯的尖峰，如圖3.4.8(b)所示。這樣就能準(zhǔn)確地測定出極點(diǎn)頻率。

50、對均勻分布在以原點(diǎn)為圓心的任何圓上的N點(diǎn)頻率采樣，可用DFT(FFT)計(jì)算，而沿螺旋弧線采樣，則要用線性調(diào)頻Z變換(ChirpZ變換，簡稱CZT)計(jì)算。 )110e(2j-=NkrzkNk，L 圖3.4.8 單位圓與非單位圓譜分析示意圖例如，要求計(jì)算序列在半徑為r的圓上的頻譜，那么N個(gè)等間隔采樣點(diǎn)為，的頻譜分量為令，則上式說明，要計(jì)算x(n)在半徑為r的圓上的N點(diǎn)等間隔頻譜分量，可以先對x(n)乘以rn，再計(jì)算N點(diǎn)DFT(FFT)即可得到。若要求x(n)分布在該圓的有限角度內(nèi)的N點(diǎn)等間隔頻譜采樣，可以在尾部補(bǔ)MN個(gè)零，仍按(3.4.10)式用DFT分析整個(gè)圓上的M點(diǎn)等間隔頻譜，最后只取所需角度

51、內(nèi)的N點(diǎn)等間待間隔采樣即可。顯然，這種方法的計(jì)算量大，效率低。下面要介紹的ChirpZ變換可使這種譜分析的運(yùn)算量大大減少。(3.4.19) 3 ChirpZ變換 設(shè)序列x(n)長度為N，要求分析z平面上M點(diǎn)頻譜采樣值，設(shè)分析點(diǎn)zk為（3.4.20）式中A和W為復(fù)數(shù)，用極坐標(biāo)形式表示為(3.4.21) 式中，A0和W0為實(shí)數(shù)。當(dāng)k=0時(shí)，有 (3.4.22)由此可見，(3.4.20)式中，A決定譜分析起始點(diǎn)z0的位置，W0的值決定分析路徑的盤旋趨勢，0則表示兩個(gè)相鄰分析點(diǎn)之間的夾角。如果W01時(shí)，向內(nèi)盤旋, 如圖3.4.9所示。圖3.4.9 ChirpZ變換分析頻點(diǎn)分布將zk代入Z變換公式得到:

52、利用下面的關(guān)系式：得到：令 (3.4.23) (3.4.24)則 (3.4.25)(3.4.25)式說明，長度為N的序列x(n)的M點(diǎn)Chirp-Z變換可通過預(yù)乘得到y(tǒng)(n)，再計(jì)算y(n)與h(n)的卷積v(k)，最后乘以這三個(gè)步驟得到。計(jì)算方框圖如圖3.4.10所示。圖中，h(n)=, 看成一個(gè)數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)，輸出v(n)=y(n)*h(n)|n=k=V(k)。當(dāng)W0=1時(shí)， ，是一個(gè)頻率隨時(shí)間線性增長的復(fù)指數(shù)序列。在雷達(dá)系統(tǒng)中，這樣的信號稱作線性調(diào)頻信號，并用專用詞匯Chirp表示，因此對上述變換起名為線性調(diào)頻Z變換，簡稱Chirp-Z變換(CZT)。 圖3.4.10 Chirp

53、Z變換的計(jì)算框圖下面介紹用DFT(FFT)計(jì)算ChirpZ變換的原理和實(shí)現(xiàn)步驟。首先要確定線性卷積的區(qū)間。由于序列x(n)的長度為N(即0nN-1)，因此y(n)的長度也是N，如圖3.4.11(a)所示。然而是無限長序列，v(n)=y(n)*h(n)必然是無限長序列。而譜分析點(diǎn)數(shù)為M，即我們只對0kM1區(qū)間上的卷積結(jié)果感興趣，因此只要計(jì)算出V(k)=v(n)在區(qū)間0 M1上的M個(gè)值就可以了。根據(jù)上述要求，只要截取區(qū)間-(N-1)M-1上的h(n)就可以了。如圖3.4.11(b)所示，這時(shí)經(jīng)線性卷積所得v(n)長度為2NM2。由(3.4.3)式知，y(n) L h(n)是v(n)的周期延拓序列的

54、主值序列，延拓周期為L，即 圖3.4.11 Chirp-Z變換中hL(n)的形成而v(n)的非零區(qū)間為-(N-1)，N+M-2。為了用循環(huán)卷積代替線性卷積計(jì)算出v(n)在0 M-1區(qū)間上的M個(gè)序列值，以L為周期進(jìn)行周期延拓時(shí)，0,M-1區(qū)間上不能有混疊，所以循環(huán)卷積區(qū)間長度L應(yīng)大于或等于N+M-1。一般用快速卷積法(FFT算法)計(jì)算，故應(yīng)選擇L(N+M-1)，同時(shí)又滿足L=2m(m為自然數(shù))的最小值。若選擇L=N+M-1， 那么y(n)尾部應(yīng)補(bǔ)M-1個(gè)零，并將h(n)從-(N-1)到M-1所截取的一段序列以L為周期進(jìn)行周期延拓，取主值序列形成hL(n)，如圖3.4.11(c)所示。L 這時(shí)可以

55、用快速卷積法計(jì)算如上構(gòu)造的兩個(gè)序列y(n)和hL(n)的循環(huán)卷積。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)選擇 L=2mNM-1時(shí)，y(n)應(yīng)補(bǔ)L-N個(gè)零點(diǎn)，而h(n)應(yīng)從M-L到M-1區(qū)間上截取或按上述區(qū)間-N+1 M-1截取后在-N+1點(diǎn)前面補(bǔ)L-(N+M-1)個(gè)零點(diǎn)后，以L為周期進(jìn)行周期延拓。綜上所述，可歸納出具體計(jì)算步驟如下： (1) 形成hL(n)序列： (2) (3)(4) Y(k)=DFTy(n) 0kL-1 (5) 計(jì)算Y(k)Y(k)； (6) V(k)=IDFTY(m)H(m) 0kL-1 (7) 與標(biāo)準(zhǔn)DFT(FFT)算法相比較，ChirpZ變換有以下特點(diǎn)： (1) 輸入序列長度N和輸出序列長度不需

56、要相等，且二者均可為素?cái)?shù)。 (2) 分析頻率點(diǎn)zk的起始點(diǎn)z0及相鄰兩點(diǎn)的夾角是任意的(即頻率分辨率是任意的)，因此可從任意頻率上開始，對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行窄帶高分辨率的譜分析。 (3) 譜分析路徑可以是螺旋形的。 (4) 當(dāng) 時(shí)，zk均勻分布在單位圓上，此時(shí)ChirpCD*2Z變換就是序列的DFT。因此可以說，DFT是ChirpZ變換的特例。總之，ChirpZ變換用作譜分析時(shí)，具有靈活、適應(yīng)性強(qiáng)和運(yùn)算效率高等優(yōu)點(diǎn)。4 用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題 DFT(實(shí)際中用FFT計(jì)算)可用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進(jìn)行譜分析。在實(shí)際分析過程中，要對連續(xù)信號采樣和截?cái)?，有些非時(shí)限數(shù)據(jù)序列也要截?cái)?，由此可能引起分?/p>

57、誤差。下面分別對可能產(chǎn)生誤差的三種現(xiàn)象進(jìn)行討論。(1) 混疊現(xiàn)象。對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析時(shí)，首先要對其采樣，變成時(shí)域離散信號后才能用DFT(FFT)進(jìn)行譜分析。采樣速率Fs必須滿足采樣定理，否則會(huì)在=(對應(yīng)模擬頻率f=Fs/2)附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。這時(shí)用DFT分析的結(jié)果必然在f=Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論上必須滿足Fs2fc(fc為連續(xù)信號的最高頻率)。對Fs確定的情況，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率Fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。 (2) 柵欄效應(yīng)。我們知道，N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間0，2上對時(shí)域離散信號的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，而采樣點(diǎn)之間的頻譜函數(shù)是看不到的。

58、這就好像從N個(gè)柵欄縫隙中觀看信號的頻譜情況，僅得到N個(gè)縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。因此稱這種現(xiàn)象為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉(擋住)大的頻譜分量。為了把原來被“柵欄”擋住的頻譜分量檢測出來，對有限長序列，可以在原序列尾部補(bǔ)零；對無限長序列，可以增大截取長度及DFT變換區(qū)間長度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)和采樣點(diǎn)位置，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。對連續(xù)信號的譜分析，只要采樣速率Fs足夠高，且采樣點(diǎn)數(shù)滿足頻率分辨率要求(見(3.4.14)式)，就可以認(rèn)為DFT后所得離散譜的包絡(luò)近似代表原信號的頻譜。 (3) 截?cái)嘈?yīng)。實(shí)際中遇到的序列x(n)可能是無限長的，用DFT對其進(jìn)

59、行譜分析時(shí)，必須將其截短，形成有限長序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)稱為窗函數(shù)，長度為N。w(n)=RN(n), 稱為矩形窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有其中對矩形窗數(shù)w(n)=RN(n)，有幅度譜Wg()曲線如圖3.4.12所示(Wg()以2為周期，只畫低頻部分)。圖中，|2/N的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。 圖3.4.12 矩形窗的幅度譜例如，x(n)=cos(0n)，0=/4, 其頻譜為x(n)的頻譜X(ej)如圖3.4.13(a)所示。將x(n)截?cái)嗪?，y(n)=x(n)RN（n)的幅頻曲線如圖3.4.13(b)所示。 圖3.4.13 x(n)=cos(0n)加矩形

60、窗前、后的幅頻特性由上述可見，截?cái)嗪笮蛄械念l譜Y(ej)與原序列頻譜X(ej)必然有差別，這種差別對譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面： (1) 泄露。 由圖3.4.13(b)可知，原來序列x(n)的頻譜是離散譜線，經(jīng)截?cái)嗪?，使原來的離散譜線向附近展寬，通常稱這種展寬為泄露。顯然，泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低。從圖3.4.13可以看出，頻譜泄露程度與窗函數(shù)幅度譜的主瓣寬度直接相關(guān)，在第7章將證明，在所有的窗函數(shù)中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。(2) 譜間干擾。 在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾(簡稱譜間干擾)，特別是強(qiáng)信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或