離散傅里葉變換pptPPT通用課件

1、第三章 DFT離散傅里葉變換一.DFT是重要的變換 1.分析有限長序列的有用工具。 2.在信號處理的理論上有重要意義。 3.在運算方法上起核心作用，譜分析、 卷積、相關(guān)都可以通DFT在計算機上 實現(xiàn)。引言 傅氏變換的幾種可能形式一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換0t0時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對稱性: 時域連續(xù)，則頻域非周期。 反之亦然。二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù)0t-0時域信號頻域信號連續(xù)的周期的非周期的離散的*時域周期為Tp, 頻域譜線間隔為2/Tp三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換 -序列的傅氏變換x(nT)T-T0T2Tt0-時域信號頻域信號離散

2、的非周期的周期的連續(xù)的四.離散時間、離散頻率的傅氏變換-DFTx(nT)=x(n)t0T2T1 2 N n0 0 1 2 3kNT 由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的 3-1 周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入對上式進行抽樣，得： 導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的復(fù)數(shù)傅氏級數(shù)開始的： 因 是離散的，所以 應(yīng)是周期的。，代入而且，其周期為 ，因此 應(yīng)是N點的周期序列。 又由于 所以求和可以在一個周期內(nèi)進行，即 這就是說，當在k=0,1,., N-1求和與在k=N,.,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。二.

3、 的k次諧波系數(shù) 的求法 1.預(yù)備知識 同樣，當 時，p也為任意整數(shù)，則所以亦即 的表達式 將式 的兩端乘 ，然后從 n=0到N-1求和，則：的DFS 通常將定標因子1/N移到 表示式中。即：3.離散傅氏級數(shù)的習慣表示法 通常用符號 代入，則：正變換：反變換：4. 的周期性與用Z變換的求法周期性： 的一個周期內(nèi)序列記作 ,而且 =, 0n N-10 , 其他n對 作Z變換，用Z變換求 ： 可見， 是Z變換 在單位圓上抽樣，抽樣點在單位圓上的N個等分點上，且第一個抽樣點為k=0。如果 ，則有1234567(N-1)k=0其中，a,b為任意常數(shù)。 3-1-2DFS的性質(zhì)一.線性如果則有二.序列的移

4、位 則有：如果證明：令i=m+n,則 n=i-m。n=0 時，i=m; n=N-1時，i=N-1+m所以 * 和 都是以N為周期的周期函數(shù)。三.調(diào)制特性 如果 則有 證明： 時域乘以虛指數(shù)( )的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。四.周期卷積和 1.如果 則：證明從略。 2.兩個周期序列的周期卷積過程 （1）畫出 和 的圖形； （2）將 翻摺,得到 可計算出：m計算區(qū)mm 0 1 2 3 （3）將 右移一位、得到可計算出：m計算區(qū)mm 0 1 2 3 m（4）將 再右移一位、得到 可計算出：（5）以此類推， n1344計算區(qū)313.頻域卷積定理 如果 ，則證明從略。 3-2 DFT-有限長序列的離

5、散頻域表示一.預(yù)備知識 1.余數(shù)運算表達式 如果 ， m為整數(shù)；則有： 此運算符表示n被N除，商為mN，余數(shù) 。 例如： (1) (2) 先取模值，后進行函數(shù)運算;而 視作將周期延拓。2.二.有限長序列x(n)和周期序列 的關(guān)系 =, 0nN-10 , 其他n 周期序列 是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列 的主值序列。如：N-1nx(n)0.n0N-1定義從n=0 到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列 與有限長序列X(k)的關(guān)系 同樣， 周期序列 是有限長序列X(k)的周期延拓。 而有限長序列X(k)是周期序列 的主值序列。四.從DFS到DFT 從上

6、式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進行。 因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義:, 0kN-1, 0nN-1或者：練習題參考答案 實際選擇 解 3-2-2 DFT的性質(zhì)一.線性性1.兩序列都是N點時 如果 則有：2. 和 的長度N1和N2不等時， 選擇 為變換長度,短者進進行補零達到N點。二.序列的圓周移位1.定義一個有限長序列 的圓周移位定義為這里包括三層意思：先將 進行周期延拓再進行移位最后取主值序列：n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圓周位移的含義 由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一

7、主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把 排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于 在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列 : 。12345n=0N=6四.圓周卷積和1.時域卷積定理 設(shè) 和 均為長度為N的有限長序列，且 ，如果 ，則NN證明： 相當于將 作周期卷積和后，再取主值序列。將 周期延拓：則有：在主值區(qū)間 ，所以：N同樣可證：N2.時域圓周卷積過程N-10nN-10n0m0m0m0m0233211N-1nN最后結(jié)果：五.有限長序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積 的長度為 的長度為 它們線性卷積為 的非零區(qū)間

8、為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間. 例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2.用圓周卷積計算線性卷積 圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列. 的長度為 , 的長度為 ,先構(gòu)造長度均為L長的序列, 即將 補零點;然后再對它們進行周期延拓 ，即 所以得到周期卷積： 可見,周期卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L。由于 長度 ,所以周期L必須滿足: 又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列,所以圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列,即計算題有限長為 N 的兩序列求: 3.4 頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1

9、.兩種抽樣 時域抽樣: 對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復(fù)原信號。 頻域抽樣: 對一有限序列(時間有限序列)進行DFT所得X(k)就是序列傅氏變換的采樣。所以DFT就是頻域抽樣。2.由頻域抽樣恢復(fù)序列 一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為 由于x(n)絕對可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對X(z)在單位圓上N等份抽樣,就得到對 進行反變換,并令其為 ,則 可見,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是說,頻域抽樣造成時域周期延拓。1 , m=n+r

10、N , 0 , 其他m3.頻域抽樣不失真的條件 當x(n)不是有限長時，無法周期延拓； 當x(n)為長度M,只有NM時,才能不失真的恢復(fù)信號,即1.由X(k)恢復(fù)X(z) 序列x(n),（0nN-1）的Z變換為由于 ，所以二.由X(k)表達 X(z)與 的問題內(nèi)插公式上式就是由X(k)恢復(fù)X(z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。2.內(nèi)插函數(shù)的特性 將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式:。 令分子為零, 得 所以有N個零點。令分母為零,得 為 一階極點, Z=0為(N-1)階極點。但是極點 與一零點相消。這樣只有(N-1)個零點,抽樣點 稱作本抽樣點。因此說,內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點處不 為零,其他(N-1)個抽樣點

11、均為零。3.頻率響應(yīng) 單位圓上的Z變換即為頻響, 代入4.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性 可見, 既是 的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為 時, 時, ，所以 當N=5時, 的幅度特性 和相位特性 如下圖：其中，N=5 由于i與k均為整數(shù),所以i k 時 這就是說,內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點 上 , 而在其他抽樣點上 5. 與X(k)的關(guān)系 由于 的特性可知,在每個抽 樣點上其值為1, 故 就精確等于X(k)。即 而在抽樣點之間, 等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值疊加而得。 利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近一.用DFT計算連續(xù)時間信號的傅氏變換可能造成的誤差 1.混疊現(xiàn)象 為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足 其中, 為抽樣頻率;

12、為信號的最高頻率分量； 或者 其中,T為抽樣間隔。 2.頻譜泄漏 在實際應(yīng)用中，通常將所觀測的信號 限制在一定的時間間隔內(nèi),也就是說，在時域?qū)π盘栠M行截斷操作,或 稱作加時間窗,亦即用時間窗函數(shù)乘以信號,由卷積定理可知，時域相乘,頻域為卷積,這就造成拖尾現(xiàn)象,稱之為頻譜泄漏.0n0nn3.柵欄效應(yīng) 用DFT計算頻譜時，只是知道為頻率 的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個譜線之間 的情況就不知道,這相當通過一個柵欄觀察 景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。 補零點加大周期 ，可使F變小來提高 辨力，以減少柵欄效應(yīng)。二、DFT與連續(xù)時間信號傅氏變換間相對數(shù)值的確定 1.連續(xù)時間非周期信號傅氏變換對2. 連續(xù)時間周期信號傅氏