2022屆甘肅省重點(diǎn)高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長為ABCD2已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接與y軸交于點(diǎn)M，若

2、（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為（ ）ABCD3已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD4下列函數(shù)中既關(guān)于直線對稱，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是( )A.BCD5若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，均存在以，為邊長的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD6如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（ ）ABCD7復(fù)數(shù)的模為（ ）AB1C2D8已知向量，則與的夾角為（ ）ABCD9在等差數(shù)列中，若為前項(xiàng)和，則的值是（ ）A156B124C136D18010拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2m-y21-m=10m1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線C1,C2的交

3、點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上，F(xiàn)PQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線C2的離心率為（ ）A2+1B22+3C210-3D210+311設(shè)是虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（ ）A充要條件B必要不充分條件C既不充分也不必要條件D充分不必要條件12函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖所示，在直角梯形中，、分別是、上的點(diǎn)，且（如圖）.將四邊形沿折起，連接、（如圖）.在折起的過程中，則下列表述： 平面；四點(diǎn)、可能共面；若，則平面平面；平面與平面可能垂直.其中正確的是_.14在的展開式中，的系數(shù)為_用數(shù)字作答15如圖

4、，在正四棱柱中，P是側(cè)棱上一點(diǎn)，且.設(shè)三棱錐的體積為，正四棱柱的體積為V，則的值為_.16已知實(shí)數(shù)，且由的最大值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，證明：.18（12分）已知函數(shù)，的最大值為求實(shí)數(shù)b的值；當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，令，是否存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?？若存在，求?shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由19（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20（12分）改革開放年，我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需

5、要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人，進(jìn)行問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).求的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再從人中隨機(jī)選取人對未來一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中21（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線

6、平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點(diǎn)？若有，請求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若沒有，請說明理由22（10分）設(shè)函數(shù)其中()若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的值;()已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)時(shí)，.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】雙曲線的漸近線方程為，由題可知設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長為，故選B2C【解析】利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程?！驹斀狻吭O(shè)，由，與相似，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選

7、：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。3C【解析】將函數(shù)解析式化簡，并求得，根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域；由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系，即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，則，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則只需，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.4C【解析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的特點(diǎn)，利用排除法，即可得出答案.【詳解】A中，當(dāng)時(shí)，所以不關(guān)于直線對稱，則錯(cuò)誤；B中，所以在區(qū)間

8、上為減函數(shù)，則錯(cuò)誤；D中，而，則，所以不關(guān)于直線對稱，則錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.5D【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)椋栽谏线f減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，均存在以，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當(dāng)、時(shí)，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.6B【解析】連接、，即可得到，

9、再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：連接、，是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)， ，且，所以四邊形為棱形，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7D【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解【詳解】解：，復(fù)數(shù)的模為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題8B【解析】由已知向量的坐標(biāo)，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，設(shè)與的夾角為，由于向量夾角范圍為：，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.9A【解析】因?yàn)?，可得，根?jù)等差數(shù)列

10、前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10A【解析】先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)F(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點(diǎn)Q(-1,y) FPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即PF=PQ，結(jié)合P點(diǎn)在拋物線上，所以PQ拋物線的準(zhǔn)線，從而PFx軸，所以P1,2，2a=PF-PF=22-2 即a=2-1.故雙曲線的離心率為e=12-1=2

11、+1.故選A【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11D【解析】結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設(shè)，此時(shí)復(fù)數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12D【解析】由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點(diǎn)可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，又圖象過點(diǎn)，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的

12、單調(diào)遞增區(qū)間為故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，可判斷命題的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題的正誤；連接，證明出，結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題的正誤；假設(shè)平面與平面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題，連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)、，連接、，如下圖所示：則且，四邊形是矩形，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，即，平面，平面，平面，命題正確；對

13、于命題，平面，平面，平面，若四點(diǎn)、共面，則這四點(diǎn)可確定平面，則，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，但四邊形為梯形且、為兩腰，與相交，矛盾.所以，命題錯(cuò)誤；對于命題，連接、，設(shè)，則，在中，則為等腰直角三角形，且，且，由余弦定理得，又，平面，平面，、為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以，平面，平面，平面平面，命題正確；對于命題，假設(shè)平面與平面垂直，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又，平面，平面，.，平面，平面，.，顯然與不垂直，命題錯(cuò)誤.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.141【解析】利用二項(xiàng)

14、展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令，求出展開式中的系數(shù)【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為 令得的系數(shù)為 故答案為1【點(diǎn)睛】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具15【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長，高，再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)正四棱柱的底面邊長，高，則，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查柱體、錐體的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得，又實(shí)數(shù)，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當(dāng)過點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)取最小值，可得所以的最大值是【點(diǎn)睛】本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及

15、斜率問題，對要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡，然后求出最值問題，本題有一定難度。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1) (2)見證明【解析】（1） 利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對值求解；（2） 利用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，不等式可化為.當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，得，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解，含有絕對值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.18 (1) ;(2) 時(shí)，在單調(diào)增；時(shí), 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時(shí),同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用

16、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)， 取得極大值，也是最大值，由，可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：(1) 由題意得，令，解得，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)， 取得極大值，也是最大值，所以，解得. （2）的定義域?yàn)? 即,則，故在單調(diào)增若,而,故,則當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增若,即,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（3）由（1）知， 所以，令，則對恒成立

17、，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 所以恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根， 即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，令， ，則，設(shè)， ，則對恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 故恒成立，所以，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個(gè)不相等的實(shí)根.綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值，屬于難題.求函數(shù)極值、最值的步驟：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求導(dǎo)數(shù) ；(3) 解方程 求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4) 列表檢查 在 的

18、根 左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么 在 處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么 在 處取極小值. （5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.19（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可知，結(jié)合可得，進(jìn)而可證明，即，即可由線面垂直的判定定理證明平面；（2）結(jié)合（1）可證明兩兩互相垂直.即以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)，連接，如下圖所示：側(cè)面為菱形，且為及的中點(diǎn)， 又，則為直

19、角三角形，又，即，而為平面內(nèi)的兩條相交直線，平面.(2)平面，平面，即，從而兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長度，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，為等邊三角形， ，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，設(shè)平面的法向量為，則.同理可取，由圖示可知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值，注意建系時(shí)先證明三條兩兩垂直的直線，屬于中檔題.20，概率為；列聯(lián)表詳見解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；.【解析】根據(jù)頻率和為列方程求得的值，計(jì)算得分在分以上的頻率即可；根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算的值，對照臨界值得出結(jié)論；用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.【詳解】解： 解得. 所以，該