_ 微積分極限法導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo)過程中的邏輯問題以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)該具有的本來面貌

1、 極限法微積分求導(dǎo)中的邏輯問題及無矛盾解決方案簡述 沈衛(wèi)國摘要：簡略地陳述并論證了微積分求導(dǎo)中的邏輯問題以及解決方案。是前期系列文章的一個(gè)小結(jié)。指出并論證了，極限法微積分（第二代微積分、數(shù)學(xué)分析）并未徹底解決貝克萊悖論問題，只不過將其隱蔽于一些繁復(fù)的概念之中了。文中重申了導(dǎo)數(shù)的新定義，并在此基礎(chǔ)上詮釋了整個(gè)求導(dǎo)過程的實(shí)質(zhì)。這是一個(gè)干凈利落、絕不拖泥帶水的回歸本初的詮釋或解決方案，有利于教學(xué)，并一定應(yīng)該可以為一些后續(xù)疑難問題的解決提供新的思路。關(guān)鍵詞：微積分；導(dǎo)數(shù)；瞬時(shí)速度；極限；可達(dá)極限；不可達(dá)極限；數(shù)學(xué)分析；第一代微積分；第二代微積分；極限法微積分；函數(shù)值；貝克萊悖論；新導(dǎo)數(shù)定義 極限法微積

2、分求導(dǎo)中的邏輯問題，我在歷次文章中闡述的非常充分了，這里再簡略地強(qiáng)調(diào)一次。仍舊以最簡單的二次曲線函數(shù)為例說明之。 二次曲線函數(shù)y = x2的增量比值函數(shù)最終求得為（過程從略，見教科書） y/x = （2x + x）x/x .（1） 如果（1式）中的自變量x 0， 對(duì)（1式）的等式右邊部分約分，消去分母上的x后（其實(shí)是消去了x/x或令其為1/1），得到 K （x，x）= （2x + x） .（2） 通常認(rèn)為，可以結(jié)合上述兩式來討論：（1式）在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值，等式左邊為0/0，等式右邊消去了分母上的x后就是（2式），其在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值為2x，于是有0/0 = 2x，這就是眾所周知的“貝

3、克萊悖論”。 對(duì)這一點(diǎn)，自從貝克萊主教明確提出來后（其實(shí)牛頓、萊布尼茲自己也很清楚，但沒有提出有說服力的解決方案），數(shù)學(xué)界都是公認(rèn)的，否則也沒有必要再提出“第二代微積分”（極限法微積分、標(biāo)準(zhǔn)分析）了。 為了消除這個(gè)矛盾（被稱為“悖論”）極限法微積分（標(biāo)準(zhǔn)分析、第二代微積分）的經(jīng)典做法是：由于在x 0 時(shí)（1式）的等式右邊與（2式）相等，也就是消分母與不消分母的數(shù)值一樣（由于（1式）中有x/x），即有 （2x + x）x/x = 2x + x （x 0 時(shí)） .（3）于是就不再去求（1式）x = 0點(diǎn)的函數(shù)值了，而是改求（2式）即（2x + x）在x = 0點(diǎn)的極限值。得到非0/0型的極限值為2

4、x。這就是極限法微積分求導(dǎo)所告訴我們的，也是幾乎所有微積分教科書中所寫的。但是，在邏輯上，我們必須明確提出：1、既然在x 0 時(shí)，（3式）等式兩邊相等，完全一樣，那么，我們憑什么只能對(duì)其等式的左邊也就是（1式）的等式的右邊約分消去分母上的自變量 x再去求這個(gè)x = 0點(diǎn)的極限值？不消這個(gè)分母不行嗎？不是消不消分母上的自變量 x 在x 0 時(shí)都一樣嗎？憑什么非消不可呢？有“只要是比式就一點(diǎn)要約分消去分母成為非比式”的數(shù)學(xué)規(guī)定嗎？當(dāng)然沒有。我們說，消去分母上的自變量x，僅僅是求出x = 0點(diǎn)的非0/0型的極限2x的必要條件，可并不是求在x = 0點(diǎn)的極限的必要條件！如果是，提出證明了嗎？誰又能說（

5、1式）即（3式）的左邊在x = 0點(diǎn)的極限就一定不是0/0，也就是與其函數(shù)值一樣也無意義呢？誰能保證在x = 0點(diǎn)的極限值只能是有意義的呢？證明了嗎？真的要去證明，不是還得先消去分母上的自變量x ？要證明的恰恰就是“消分母上的自變量x 不影響求其在x = 0點(diǎn)的極限值”，卻用“先消去分母上的自變量x ”來證明，這不是循環(huán)論證又是什么？而如果一旦對(duì)（1式）的等號(hào)右邊（即（3式）的等號(hào)左邊）直接求其在x = 0點(diǎn)極限值，我們立刻就只能得到與其在該點(diǎn)的函數(shù)值一樣的0/0。而在極限法微積分求導(dǎo)的定義中，我們明明白白求的就是（1式）的x = 0點(diǎn)極限值，而不是（2式）的x = 0點(diǎn)極限值。因此我們要么承

6、認(rèn)極限法微積分在x = 0點(diǎn)極限值（導(dǎo)數(shù)值）就是與其函數(shù)值一樣的無意義的0/0，要么我們承認(rèn)實(shí)際可以求出兩個(gè)互相矛盾的極限值，一個(gè)是有意義的2x，一個(gè)是無意義的0/0。而我們又無法證明只有有意義的2x才是必然要得到的（見前文）。所以無論這兩點(diǎn)中的哪個(gè)，都只能說明我們以往的極限求導(dǎo)法有問題。其中的貝克萊悖論并沒有被消除，只不過被有意無意地掩蓋了。2、設(shè)有（2式）的非比式函數(shù)2x + x，其在x = 0點(diǎn)的極限值與函數(shù)值都是2x。在所有的x 0 點(diǎn)，同樣有（3式）的關(guān)系，即（2式）與（1式）相等。按照極限法微積分求導(dǎo)的同樣的邏輯，只要滿足x 0 的條件，（3式）就成立，則我們按極限法微積分求導(dǎo)的邏

7、輯，沒有理由拒絕我們?cè)冢?式）上乘以一個(gè)x/x ，使得（2式）成為（1式）的等號(hào)的右邊，即（3式）的等號(hào)的左邊，即（2x + x）x/x ，對(duì)這個(gè)比式函數(shù)求x 0的極限，當(dāng)然只能是0/0，與其函數(shù)值一樣。如此，我們能反過來說非比式的函數(shù)2x + x在x = 0點(diǎn)的極限值不是2x而是0/0嗎？同時(shí)更有甚者，其在該點(diǎn)的函數(shù)值也不是2x，而是0/0了嗎？當(dāng)然不是。但其依據(jù)的邏輯，與前節(jié)是完全一樣的。除非數(shù)學(xué)中有硬性的規(guī)定（或公理），只要是比式，一律要約分消去分母。如此才可以避免這種情況出現(xiàn)。但如此一來，第一代微積分（牛頓、萊布尼茲的）的在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值也不會(huì)是通常公認(rèn)的無意義的0/0了。如此，

8、牛頓、萊布尼茲的第一代微積分就足夠了，還需要極限法微積分的第二代微積分嗎？實(shí)際上前面的第二節(jié)已經(jīng)寫了，如果數(shù)學(xué)中硬性的規(guī)定：只要是一個(gè)比式，就必須消去分母，使之變成一個(gè)非比式，如6/4必須寫成1.5，（2x + x）x/x 必須寫成2x + x等等。那么，（1式）的在的x = 0點(diǎn)的函數(shù)值不是也應(yīng)該等于（2式）在的x = 0點(diǎn)的函數(shù)值也就是2x了嗎？如果真的如此，我們還需要所謂的第二代微積分（極限法微積分、標(biāo)準(zhǔn)分析）嗎？第一代的牛頓、萊布尼茲微積分不就足夠了？因此，這是不能立的，說不通的。 根據(jù)以上三點(diǎn)可以看出，只有在證明了“分母上有自變量x的一個(gè)比式函數(shù)雖然在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值是無意義的0

9、/0，但卻必須有在該點(diǎn)的有意義的非0/0型的不可達(dá)極限值（函數(shù)值與極限值不一致的極限）”之后，才可以通過約分消去比式分母上的自變量x 求出這個(gè)在x = 0點(diǎn)的非0/0型的不可達(dá)極限值。比如最簡單的比式函數(shù)x/x，其在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值顯然只能是無意義的0/0，我們只有在充分地證明了該比式函數(shù)在x = 0點(diǎn)的不可達(dá)極限值是非0/0型的1而不是無意義的0/0，才可以被允許通過約分消去該比式分母上的那個(gè)x 而得到不可達(dá)極限值1。但前面的那個(gè)證明怎么做？不是還得先約分消去分母上的自變量x才可能證明在x = 0點(diǎn)的不可達(dá)極限值不是無意義的0/0嗎？如此一來，不是循環(huán)論證？總之，不能僅僅根據(jù)把一個(gè)分母上

10、有自變量x的比式函數(shù)通過約分消去分母上的自變量后得到的一個(gè)非比式，然后在這個(gè)非比式下求出了一個(gè)非0/0型的x = 0點(diǎn)的可達(dá)極限值，就認(rèn)定此非比式的可達(dá)極限值就是原先分母上有自變量x的在x = 0點(diǎn)的不可達(dá)極限值。從另一個(gè)角度看，在x 0的定義域內(nèi)都相同，但在x = 0點(diǎn)不同的兩個(gè)函數(shù)（如，一個(gè)函數(shù)值是無意義的0/0（該函數(shù)為x/x），一個(gè)是1（函數(shù)就是1），就說這兩個(gè)函數(shù)（x/x和1）在定義域外的x = 0點(diǎn)具有相同的極限值。都是1而非無意義的0/0，這個(gè)結(jié)論，要不要事先證明一下？對(duì)于比式函數(shù)x/x而言，其極限值1是消分母后求得的，而不消分母求得的極限值與其函數(shù)值一樣，肯定是無意義的0/0，

11、而在x 0的定義域內(nèi)，不消分母的x/x與消了分母的1不是一樣的嗎？既然一樣，二者求出的在定義域外的x = 0點(diǎn)極限值是否應(yīng)該一樣？按理說當(dāng)然一樣。同一個(gè)東西，如何求出了不同的數(shù)值？但是，如果不消去分母上的x，從x/x直接求出的x = 0點(diǎn)的不可達(dá)極限值明顯是無意義的0/0（與其在該點(diǎn)的函數(shù)值是一致的！），而約分消去了分母上的自變量x后的1，其在x = 0點(diǎn)的極限值卻明明是非0/0型的“1”。而且是可達(dá)極限，也就是無論函數(shù)值還是極限值都是這個(gè)“1”。除非偏說這個(gè)極限1就是x/x在x = 0點(diǎn)的極限值，它才是不可達(dá)極限。但是即使如此，約分消分母與不約分消分母求出的，也是其中的一個(gè)不可達(dá)極限為無意義

12、的0/0，一個(gè)為有意義的1，也明顯不行。此外，傳統(tǒng)上我們是知道x/x在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值為無意義的0/0的。而通常認(rèn)為事先并不知道其在x = 0點(diǎn)的極限值（如此，才需要去“求”它。盡管事后看來此點(diǎn)非常地“造作”）?，F(xiàn)在我們可以反過來看，假設(shè)我們事先并不知道x/x在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值為無意義的0/0，而只是知道通過約分消去分母上的x后我們可以得到非0/0型的極限值1，我們能就此認(rèn)定x/x在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值為非0/0型的“1”嗎？當(dāng)然不行。于是，既然由函數(shù)1得到x = 0點(diǎn)的極限值1否定不了函數(shù)x/x在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值為無意義的0/0，那么顯然，反過來，由函數(shù)x/x在x = 0點(diǎn)函數(shù)值

13、為無意義的0/0也得不出其在該點(diǎn)的極限值為有意義的“1”。因?yàn)轱@然，二者所依據(jù)的邏輯是一致的。總之，比式x/x與非比式1，在x 0的所有點(diǎn)數(shù)值相等。但應(yīng)到此為止，僅僅是數(shù)值相等。定義域內(nèi)的任何結(jié)論，不應(yīng)引申出任何關(guān)于定義域外結(jié)論。正像二者在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值并不相等（一個(gè)為無意義的0/0，一個(gè)為1）一樣，并沒有證據(jù)說在x = 0點(diǎn)二者可以有共同的極限值，特別是這個(gè)極限值還是有意義的、消去了比式x/x分母上的x后的1的可達(dá)極限。沒有證據(jù)僅僅在x = 0點(diǎn)之外的所有點(diǎn)二者數(shù)值相等就可以推出上述結(jié)論。理由前面三點(diǎn)已經(jīng)分析的很透徹了。因?yàn)槎邤?shù)值相等，僅僅是x 0定義域內(nèi)的事，定義域外的x = 0點(diǎn)

14、情況，無論是函數(shù)值還是極限值二者還數(shù)值相等這一點(diǎn)，都不能根據(jù)定義域內(nèi)二者相等直接推出。更何況二者的函數(shù)值在x = 0點(diǎn)公認(rèn)已經(jīng)是不一樣的了（一個(gè)為0/0，一個(gè)為1）。直觀上，都知道極限法微積分求導(dǎo)，求的就是一個(gè)增量比值函數(shù)的趨0極限值，其極限自然也應(yīng)該是個(gè)比式。但先消分母后使之變成了一個(gè)非比式，求出的趨0極限也是一個(gè)非比式（否則就是0/0），直觀上就不通：一個(gè)比式的趨0極限，卻只能是一個(gè)非比式。如果極限可以如此處理，函數(shù)值憑什么不能如此處理？憑什么函數(shù)值就必須是無意義的0/0而不是1呢？不通。此中的邏輯關(guān)系，讀者不妨仔細(xì)體會(huì)。4、退一步說，就算上面3點(diǎn)的所有理由都不存在，即就算（1式）在x =

15、 0點(diǎn)的極限值確實(shí)就是非0/0型的有意義的極限值（比如二次函數(shù)下的2x，x/x下的“1”）,用不可達(dá)極限（函數(shù)值與極限值不同的極限）來“代替”原先函數(shù)值的做法也不成立。即使原先函數(shù)在x = 0點(diǎn)的函數(shù)值是無意義的0/0也罷。因?yàn)橥瑯右矝]有一條數(shù)學(xué)規(guī)定說，無論有沒有函數(shù)值或有意義的函數(shù)值（指非0/0型的），有意義的極限值在任何點(diǎn)都必須有。在這里就是都必須有非0/0型的有意義的極限值（比如二次曲線下的2x，x/x下的“1”）。顯然并沒有這樣的規(guī)定、公理或定理、推論。 同時(shí)（1式）的增量比值函數(shù)，在定義域x的任何點(diǎn)，其函數(shù)值都是0/0，這意味著這個(gè)函數(shù)根本就不存在?？墒沁@個(gè)點(diǎn)點(diǎn)為0/0所謂的“增量比

16、值函數(shù)”，卻點(diǎn)點(diǎn)都有其不可達(dá)極限值，也就是非0/0型的極限值（此例中是2x），這是十分荒唐的。不知道為什么這么多年居然沒有人把此點(diǎn)指出來。只是按導(dǎo)數(shù)的著名定義求出了一個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即增量比值函數(shù)的趨0不可達(dá)極限就完事大吉了，居然沒有人問一聲，不是在這個(gè)函數(shù)上，點(diǎn)點(diǎn)都如此嗎？每一個(gè)點(diǎn)的極限都是不可達(dá)極限，也就是每一個(gè)點(diǎn)的增量比值函數(shù)的函數(shù)值都是無意義的0/0，而只是有2x這樣的不可達(dá)極限值，這叫個(gè)什么函數(shù)？點(diǎn)點(diǎn)（任何一個(gè)點(diǎn)）其函數(shù)值都是無意義的0/0的函數(shù)，能有意義嗎？沒有意義，它的極限值能有意義？還有更邪乎的，就是按極限法微積分導(dǎo)數(shù)的定義，我們就把這個(gè)在增量比值函數(shù)的每一點(diǎn)都有的“不可達(dá)極限值（與

17、函數(shù)值不一樣的、這里是非0/0型的極限，比如二次函數(shù)下的2x等）函數(shù)”，又重新定義成為原先那個(gè)點(diǎn)點(diǎn)函數(shù)值都為無意義的0/0的增量比值函數(shù)的非0/0型的、有意義的函數(shù)值。于是原先點(diǎn)點(diǎn)無意義的（其函數(shù)值為0/0）作為增量比值函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，經(jīng)過如此的“偷梁換柱”的重新定義，搖身一變，居然脫胎換骨，又成了點(diǎn)點(diǎn)為有意義的2x的“導(dǎo)函數(shù)”了。極限法微積分的“神操作”，我看是把經(jīng)常自詡嚴(yán)格、嚴(yán)密無比的“數(shù)學(xué)工作者”自己也繞暈了吧。綜上，一個(gè)函數(shù)的數(shù)值就是其函數(shù)值，而不應(yīng)該是其不可達(dá)極限值。比如速度的數(shù)值，就是速度函數(shù)的函數(shù)值，而不是什么速度函數(shù)的與速度函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)完全不同的不可達(dá)極限值。我曾經(jīng)在前期文章中作過一

18、個(gè)比喻，一個(gè)人在0點(diǎn)鐘用劍刺死了一個(gè)人（對(duì)應(yīng)于增量比值函數(shù)在0點(diǎn)的函數(shù)值是無意義的0/0），結(jié)果法官的判決卻為：他的劍在到達(dá)被刺人的身體之前的時(shí)間，只是無限接近于0點(diǎn)而不到0點(diǎn)，于是在0點(diǎn)之前該人未死，并以0點(diǎn)未死為不可達(dá)極限（對(duì)應(yīng)于二次曲線在0點(diǎn)的不可達(dá)極限值2x）。因此就以這個(gè)不可達(dá)極限（未死，2x），去代替原先的該人”在0點(diǎn)死了”，判決那個(gè)殺人犯沒有刺死人、未犯罪。這樣干行嗎？這個(gè)比喻更為貼切的版本，是“.，由于劍到達(dá)被刺人身體之前，該人未死，于是加害人手里有劍等于無劍（對(duì)應(yīng)于原先有可產(chǎn)生問題的分母上的自變量x，在其為0前可以消去），于是手里既然無劍了（無分母了），自然在0點(diǎn)加害人的手無

19、論到?jīng)]有到被害人（對(duì)應(yīng)于可達(dá)極限或不可達(dá)極限），都不致死，于是被害人沒死（對(duì)應(yīng)于把不可達(dá)極限值重新定義成新的函數(shù)值）。于是即使加害人手里確實(shí)有劍（對(duì)應(yīng)于增量比值函數(shù)的有分母x），也未達(dá)到被害人，因?yàn)楸缓θ嗽诩雍θ藷o劍時(shí)不會(huì)死”。讀者可以仔細(xì)對(duì)照極限法微積分求導(dǎo)的過程，檢驗(yàn)一下這個(gè)比喻是否貼切。 第一、第二代微積分如果都不行，什么行？怎么才行？實(shí)際它們都行或都可以行，因?yàn)楫吘顾鼈兤鸫a都實(shí)實(shí)在在地求出了正確、準(zhǔn)確的導(dǎo)數(shù)的數(shù)值，憑什么不行？在這一點(diǎn)上是無問題的。它們只是缺乏一個(gè)正確的理解、詮釋。具體的論述我前期文章中都有。解決的思路非常清晰。就是導(dǎo)數(shù)的定義要重置，導(dǎo)數(shù)的新定義為導(dǎo)數(shù)：曲線在其某點(diǎn)的切

20、線的斜率。注意，這里的是實(shí)實(shí)在在的、本原定義的切線斜率。這個(gè)定義看似不新，但此處的“切線斜率”，是實(shí)實(shí)在在的，就是切線上的任意兩個(gè)點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)差（非0增量）之比。這個(gè)比的分母不能為0（為非0宏觀量，當(dāng)然也不排斥“無窮小”）。根本沒有0/0的問題。傳統(tǒng)微積分（無論第一還是第二代）的導(dǎo)數(shù)，只是說導(dǎo)數(shù)的數(shù)值與其切線的斜率同值。甚至在極限法微積分中，導(dǎo)數(shù)還不能等于一個(gè)比式，只能是一個(gè)完整的、不可分離的“數(shù)”，因?yàn)轱@然，一但允許導(dǎo)數(shù)是個(gè)實(shí)實(shí)在在的比式，立刻又會(huì)有0/0這樣的問題出現(xiàn)。更何況極限法微積分的導(dǎo)數(shù)還是明確“消去分母上的自變量x，把比式變?yōu)榉潜仁健焙蟛徘蟪龅?。這在稍微嚴(yán)格一些的微積分教材中都有專

21、門的論述。與導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的最常見的物理對(duì)應(yīng)概念，是瞬時(shí)速度，其對(duì)應(yīng)的新定義為瞬時(shí)速度：假設(shè)受到外力在作變速或曲線運(yùn)動(dòng)的物體在某時(shí)刻（瞬時(shí)、時(shí)點(diǎn)、非0時(shí)段）所受外力突然取消，該物體所作勻速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)速度。即，受到外力在作變速或曲線運(yùn)動(dòng)的物體的瞬時(shí)速度，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，這個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)是一旦在某瞬間該物體所受的外力突然沒有了時(shí)該物體所應(yīng)該作的勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度。這實(shí)質(zhì)是速度的一個(gè)二級(jí)定義。即本質(zhì)上定義在勻速直線運(yùn)動(dòng)速度上的一個(gè)“次生”的定義。但無論如何，瞬時(shí)速度，本質(zhì)上就是一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度。但要附加以上條件罷了。這是其本質(zhì)。再對(duì)比傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)和瞬時(shí)速度的定義是怎樣的？是曲線或變速運(yùn)

22、動(dòng)的增量比值函數(shù)在某點(diǎn)的趨0不可達(dá)極限（因?yàn)槠浜瘮?shù)值此時(shí)為公認(rèn)的無意義的0/0）。該傳統(tǒng)定義很明確，導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)速度就是曲線或變速運(yùn)動(dòng)的某種自身所固有的性質(zhì)。只不過求出來一看，其數(shù)值（僅僅是數(shù)值！）與曲線的切線斜率一致罷了。但在傳統(tǒng)微積分那里，導(dǎo)數(shù)顯然并不是真正意義的曲線的切線斜率。因?yàn)槠鸫a切線作為一條實(shí)實(shí)在在的直線，其斜率就是實(shí)實(shí)在在的其上面的任何兩個(gè)距離非0的點(diǎn)的增量比值，注意，是個(gè)比式！而傳統(tǒng)微積分極限法求出的導(dǎo)數(shù)，是絕對(duì)不允許是一個(gè)比式的！因?yàn)槿绻牵褪俏阌怪靡傻?/0。更何況退一步說就算傳統(tǒng)極限法微積分求出的就也是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的切線的作為比式的斜率，那么，既然如此，為何不按筆者下面

23、揭示的“新方法”簡單直觀地直接求這個(gè)導(dǎo)數(shù)呢？又何必頂著產(chǎn)生貝克萊悖論的風(fēng)險(xiǎn)去基于增量比值函數(shù)來求導(dǎo)數(shù)呢？此點(diǎn)，也足以印證二者是不同的。否則沒有道理。總之，任何人，只要認(rèn)可筆者的求導(dǎo)新方法，就只能在筆者的詮釋下（即新定義下）才能解釋的通，試圖還用傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)定義來解釋是不行的。根據(jù)這個(gè)新的導(dǎo)數(shù)定義，我們直接就可以消除在第一代微積分中非常明確的、在第二代微積分中非常隱蔽的貝克萊悖論。主要思路是緊緊抓住這兩代微積分求導(dǎo)中都要進(jìn)行的、但久被忽視的約分消去分母這一步。徹底搞清楚約分究竟是個(gè)怎么回事。 我們?cè)趯?duì)（1式）進(jìn)行約分后消去分母上的自變量（實(shí)際是消去x/x）后得到（2式）這個(gè)過程通常用（3式）表示。

24、但是，按約分的定義，它只是消去分子分母中共同的變量因子x/x，而不會(huì)改變其比式、分式的性質(zhì)。明確地說，約分之后，比式還是比式，分式還是分式，不能把分式的分母簡簡單單地就弄沒有了。如此，（3式）嚴(yán)格地說應(yīng)該為（2x + x）x/x =（2x + x ）1/1 （x 0 時(shí)） .（4）注意，此式不能認(rèn)為是筆者憑空杜撰或發(fā)明的，而是嚴(yán)格根據(jù)約分的定義得到的。至于以往為學(xué)界所忽視，那是另一回事。因此說是筆者所發(fā)現(xiàn)，比較恰如其分?？傊瑢?duì)（4式）等號(hào)的左邊進(jìn)行約分后，其比式的本質(zhì)必須被保留。這在無量綱問題的數(shù)學(xué)中不甚明顯，但在有量綱的物理中十分明顯：無論約分消分母后寫不寫成分式形式，作為一個(gè)分式的量綱不

25、變。不能約分后把一個(gè)比式“實(shí)質(zhì)性地”變成了非比式（量綱的比式性質(zhì)也變了）。除非這么做時(shí)對(duì)以后的運(yùn)算、使用等等毫無影響?；颍挥形覀兇_定去掉（4式）等號(hào)右邊分母上的那個(gè)“1”對(duì)下面的運(yùn)算、使用沒有任何影響時(shí)才可以去掉也就是“消去”這個(gè)分母上的“1”。但顯然，微積分求導(dǎo)這個(gè)涉及增量比值函數(shù)的“運(yùn)算”，不能消去分母。理由很簡單，這個(gè)運(yùn)算本身就涉及分母，憑什么先消去分母（把分母弄沒有了）直接把比式變成非比式再去運(yùn)算求一個(gè)關(guān)于比式的結(jié)果？那么，我們從揭示出的（4式）可以得到什么結(jié)論？我們可以很明顯地看出，（4式）等號(hào)的左邊，式中的三個(gè)x是相同的，它反映的是作為曲線的二次函數(shù)的增量比值函數(shù)。而（4式）等號(hào)

26、的右邊，原先的三個(gè)x，其中的兩個(gè)（x/x）變成了1/1，而另一個(gè)在分子上（2x + x ）中的x不是還在嗎？沒有被變成1或消去啊。這說明了什么，證明了什么？顯然，說明或證明了只要一經(jīng)過約分消分母上的自變量x（指牛頓、萊布尼茲以及柯西等的做法）也就是筆者的“分母變?yōu)?”這個(gè)步驟，就實(shí)際上不自覺地把（1式）或（4式）的等號(hào)左邊表示的曲線的增量比值函數(shù)變成了一個(gè)（4式）等號(hào)右邊的線性（直線）增量比值函數(shù)的表達(dá)式。既然原式也就是（4式）等號(hào)左邊的的比式中的三個(gè)x現(xiàn)在不是同一個(gè)變量了，那顯然嚴(yán)格而言就應(yīng)該用不同的符號(hào)來表示它們，即顯然可以把（4式）等號(hào)右邊的（2x + x ）1/1 一般性地表示成為（2

27、x + x ）g/g。即有（2x + x ）1/1 = （2x + x ）g/g （g 0 時(shí)） .（5）我們令（5式）的分子部分（2x + x ）g為h，則得到h/g = （2x + x ）g/g = k(x，x) g/g （g 0 時(shí)） .（6） 為嚴(yán)格起見，這里要多說幾句：這里的h、g ，并不是指的是另有一個(gè)有別于X、Y坐標(biāo)系的其它坐標(biāo)系的意思，而是僅僅表示在X、Y坐標(biāo)系中作為線性方程的割線上的兩個(gè)距離非0的點(diǎn)之距離差（增量）。它們并不屬于原先的那個(gè)二次曲線，因此與二次曲線上的二點(diǎn)距離之差（增量）的y、x相區(qū)別。過去筆者在文章中也以y1、x1來表示這種區(qū)別。這當(dāng)然也可以。但如此讀者可能會(huì)

28、誤解，把y1、x1看成也是二次曲線上的另外兩個(gè)有別于y、x的點(diǎn)的間距（增量）。這當(dāng)然不是筆者本意。因此這里索性用全新的符號(hào)來表述其非曲線上點(diǎn)的初衷。當(dāng)然，這也需要說明坐標(biāo)系并沒有改變。而如果對(duì)y1、x1進(jìn)行了補(bǔ)充說明，當(dāng)然也是可以的。使用什么符號(hào)，只要定義清楚，這不是什么原則性的問題。由（6式）與（1式）的比較可以看出，（1式）表達(dá)的是一個(gè)二次曲線的增量比值方程，而（6式）表達(dá)的明顯是一個(gè)“一次的”線性（直線）的增量比值函數(shù)。其中的 k(x，x)=2x + x ，就是這個(gè)線性（直線）方程的系數(shù)，而直線方程的系數(shù)眾所周知，就是其斜率。當(dāng)然，這里的這個(gè)“直線”，就是該二次曲線的割線。當(dāng)其中的x（現(xiàn)

29、在只是處于分子上，作為分子的一部分而存在）等于0或趨于0時(shí)（作為不涉分母的連續(xù)函數(shù)的可達(dá)極限，其函數(shù)值就是其極限值），于是有h/g = （2x + 0）g/g = 2x = k （x，0） （g 0 時(shí)，x = 0 時(shí)） .（7）其中k（x，0）為切線的增量比值函數(shù)的系數(shù)，也就是斜率。這就是筆者所謂的“新導(dǎo)數(shù)定義”，與原基于（1式）的傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)定義比較后可以看出，當(dāng)曲線與直線（割線或切線）的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)差x = 0 時(shí)或x0時(shí)，g是始終不允許等于0的，它就是實(shí)實(shí)在在的曲線的切線上的間距非0的任意兩個(gè)點(diǎn)間的橫坐標(biāo)差，即“非0增量”。因此再也不會(huì)有分母為0不或?yàn)?的令人尷尬的“貝克萊悖論”了。當(dāng)

30、然，在導(dǎo)數(shù)的新定義也就是“真正意義的曲線的切線的傳統(tǒng)斜率”這個(gè)定義下，我們就完全不必拘泥于（7式）的求導(dǎo)法。我們可以不用線性增量比值函數(shù)了，就用線性增量函數(shù)求導(dǎo)即可。比如既然導(dǎo)數(shù)與g這個(gè)割線、切線上任意二點(diǎn)間的橫坐標(biāo)差毫無關(guān)系，那我們就完全可以直接對(duì)系數(shù)k也就是（2式）令其中的x = 0 來求導(dǎo)。最終得到K（x，0） = 2x + 0 = 2x .（8） 這就是切線方程的系數(shù)，也就是切線的斜率。而事實(shí)上，無論牛頓、萊布尼茲還是柯西的極限法，在操作意義上都是這么求導(dǎo)的。但由于其導(dǎo)數(shù)的定義問題，沒有徹底搞清他們求的究竟是什么，因此在對(duì)導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)過程的詮釋上出現(xiàn)問題，所以才有所謂的貝克萊悖論及其需要

31、澄清的問題。盡管他們都聲稱“導(dǎo)數(shù)就是切線斜率”或?qū)?shù)在數(shù)值上等于切線斜率。但按他們的求導(dǎo)法，導(dǎo)數(shù)的定義要求曲線上的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差x必須處于這個(gè)比式的分母上，當(dāng)分母上的x = 0（牛頓、萊布尼茲）或x 0（柯西等的極限法微積分）時(shí)才能得到這個(gè)所謂的、形式上的、非比式性質(zhì)的“切線的斜率”，因此這個(gè)“切線斜率”僅僅是數(shù)值上與真正的切線斜率等值。因?yàn)檎嬲淖鳛橹本€的切線的斜率是個(gè)本質(zhì)上的比式，起碼是可以作為比式或由比式而來的。但傳統(tǒng)極限法微積分的導(dǎo)數(shù)，根本就不允許是一個(gè)比式。理由很簡單：它就是為了回避比式最終成為無意義的0/0在消去了分母上的自變量x 后變比式為非比式之后所求出的，它怎么還可以繼續(xù)

32、是一個(gè)比式？實(shí)際上它在傳統(tǒng)微積分（無論第一還是第二代微積分）中是一個(gè)完全定義在曲線本身上的屬性，并不是真正意義的切線斜率。否則為什么不按筆者給出的求導(dǎo)法直截了當(dāng)?shù)?、根本不需要極限（和無窮?。┑厝デ髮?dǎo)（見前面（8式）及下文）呢？給個(gè)解釋出來？既然在x 0 時(shí)，可以有（當(dāng)然不是必須?。﹛ = g，此時(shí)二次曲線的增量方程（注意，不是增量比值方程?。﹜ = （2x + x）x = k(x，x)x .（9）與其割線的一般意義的增量方程h= （2x + x ）g = k(x，x) g .（10）就完全一致，即有 y = h （x = g 0時(shí)） .（11）特別注意到（9式）與（10式）具有相同的 k(x，

33、x)，但這個(gè)k(x，x)為割線的系數(shù)，即斜率。這在（10式）中更為明顯?？梢姡?式）等號(hào)的右邊，就已經(jīng)寫成了經(jīng)典的線性方程的表達(dá)式，因?yàn)轱@然，一個(gè)曲線方程的兩點(diǎn)間的增量，與過這同樣兩個(gè)點(diǎn)（以這兩個(gè)點(diǎn)為交點(diǎn)）的曲線的割線的增量是一樣的。于是，我們完全可以在（9式）中令x = 0 （或等價(jià)地x 0 ），得到 0 = （2x + 0）0 = k(x，0)0 = 2x 0 = 0 .（12）但此時(shí)這個(gè)式子我們完全不必在意y、x已經(jīng)為0這個(gè)事件，因?yàn)槲覀兦蟮氖瞧渲械南禂?shù)k（x，0）= 2x，系數(shù)是線性方程的固有屬性，對(duì)應(yīng)于一條直線的斜率是其固有屬性。不會(huì)因?yàn)樵谠撝本€上的取點(diǎn)位置、數(shù)量的不同而不同。這是

34、早就被證明了的，根本就不需要重新從斜率的定義（是一個(gè)比式）來臨時(shí)求直線的斜率。一句話，只要直線方程有了，其系數(shù)就有了，其斜率也就有了。不必重新根據(jù)一個(gè)比式來現(xiàn)求。按此思路，從（12式）我們當(dāng)然可以得到系數(shù)（斜率）k，x可以為0，但系數(shù)（斜率）并不必須為0。事實(shí)上，絕大多數(shù)情況，它不為0，在這個(gè)二次曲線的切線的例子中，它就為2x，只有在x = 0時(shí)，才為0。 總之，只要導(dǎo)數(shù)的新定義定了，具體求導(dǎo)的方法很多，不是唯一不變的。最后不得不強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，很多人對(duì)可達(dá)極限的函數(shù)值與極限值一直有異議。他們囿于傳統(tǒng)微積分導(dǎo)數(shù)的定義，認(rèn)為只有極限值才可以求出導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值不行，或根本就沒有這個(gè)函數(shù)值。其實(shí)，他們的這

35、個(gè)疑義是基于（1式）的曲線的增量比值函數(shù)的。按傳統(tǒng)看法，即使消去分母上的自變量x后，剩下的分子的一部分（2x + x）中的x在x = 0點(diǎn)與（1式）一樣，也沒有函數(shù)值，因此只能有x 0，并以此作為極限法為必須的方法的依據(jù)，據(jù)此反對(duì)筆者提出的“不需要極限的微積分求導(dǎo)”依據(jù)。此種看法的錯(cuò)誤，從前面的分析可以一目了然，比如約分后分母的為1等等，因此再由（1式）求x 0根本就不行了。筆者的求法，是基于（9式）或（10式）的，此時(shí)當(dāng)然沒有x 0 的要求，因此曲線函數(shù)，曲線的增量函數(shù)都是處處連續(xù)、處處有值的，其極限值當(dāng)然與函數(shù)值一致。這個(gè)簡單的東西本來無需多言的，但在與人討論中發(fā)現(xiàn)，就是這么簡單的問題，有些人（甚至可能是“專業(yè)人士”）也搞不清。不得不多言幾句?？偹悸罚杭s分并不會(huì)改變?cè)隽勘戎岛瘮?shù)的比式性質(zhì) 通過約分消分母x后，不是分母x給弄沒有了，而是分母x為1了 分母上的自變量x變成了1，而分子中還有自變量x，且這個(gè)自變量x可以等于或趨于0，只能說明實(shí)質(zhì)上這個(gè)比式中出現(xiàn)的自變量并不是同一個(gè)自變量x 這說明只要一約分消分母x（實(shí)質(zhì)是分母x為1），就等于默認(rèn)這個(gè)比式表達(dá)的已經(jīng)不是“二次的”曲線函數(shù)的增量比值函數(shù)，而是曲線的割線或切線的增量比值函數(shù)了。因?yàn)榉匠桃呀?jīng)是一個(gè)“一次的”線性比值方程了 分母x既然是1了，也就再也沒有