復(fù)變函數(shù)課件：留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用_第1頁
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1、 留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，又是應(yīng)用到回路積分的，因此要將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分。3 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用如圖，對(duì)于實(shí)積分 ，變量 x 定義在閉區(qū)間 a,b (線段 )，此區(qū)間應(yīng)是回路 的一部分。實(shí)積分 要變?yōu)榛芈贩e分，則實(shí)函數(shù)必須解析延拓到復(fù)平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中,而實(shí)積分成為回路積分的一部分：1. 形如 的積分, 其中R(cosq,sinq )為cosq與sinq 的有理函數(shù). 令 z =eiq ,則 dz=ieiq dq ,而 其中f (z)是z的有理函數(shù), 且在單位圓周|z|=1上分母不為零, 根據(jù)留數(shù)定理有 其中zk (k=1,2,.,n)為單位圓 |z|=1內(nèi)的 f

2、(z)的孤立奇點(diǎn).例1 計(jì)算 的值.令 z =eiq ,則 dz=ieiq dq ,而解所以原式例2 計(jì)算 的值.解：令取積分路線如圖所示, 其中CR是以原點(diǎn)為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在這積分路線內(nèi).z1z2z3yCR-RROx不失一般性, 設(shè)為一已約分式.此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.例 4當(dāng)被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù), 而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 并且R(x)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)時(shí), 積分是存在的. 3. 形如的積分 z1z2z3yCR-RROx如 2中處理一樣：此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.可以證明也可寫為例5 計(jì)算 的值.解 這里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在實(shí)軸

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