9第九章機(jī)械振動(dòng)

1、第九章 機(jī)械振動(dòng)（一）簡(jiǎn)諧振動(dòng)（二）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（三）阻尼振動(dòng)（四）受迫振動(dòng)與共振目 錄1第九章 機(jī)械振動(dòng)（一）簡(jiǎn)諧振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng).振動(dòng)：描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量在某一數(shù)值附近往復(fù)變化.特征： 重復(fù)性、周期性； 對(duì)任意周期的運(yùn)動(dòng),可采用傅里葉展開(kāi)分析在數(shù)學(xué)上,一個(gè)周期為T(mén)的函數(shù)可被展開(kāi)為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)的疊加傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：其中 而 被稱為基頻簡(jiǎn)諧振動(dòng):不能進(jìn)一步分解,是最根本的、成分單純的振動(dòng)2理想模型輕彈簧、振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)；小球的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為彈 性力作用下的直線運(yùn)動(dòng).由牛頓定律：彈簧振子的運(yùn)動(dòng)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式令第九章 機(jī)械振動(dòng)3方程的解為：簡(jiǎn)

2、諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程速度表達(dá)式：加速度表達(dá)式：第九章 機(jī)械振動(dòng)4二. 描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量振幅A：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值周期T：完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間頻率 ：角頻率 ：第九章 機(jī)械振動(dòng)5相位：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量初相：決定初始時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量設(shè) 初始條件決定振幅和初相位相位比時(shí)間更直接更清晰地反映振子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài).第九章 機(jī)械振動(dòng)6例題9.1 設(shè)想地球內(nèi)有一光滑隧道,如下圖。證明質(zhì)點(diǎn)m 在此隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),并求其振動(dòng)周期.證明：質(zhì)點(diǎn)m受力分析oyrR第九章 機(jī)械振動(dòng)建立oy坐標(biāo)系7思考：巴黎與倫敦兩城市直線距離為300Km?，F(xiàn)用一條直的地下鐵道將其連接,兩

3、城市間的火車僅在重力作用下運(yùn)行,試求火車的最大速度以及從倫敦出發(fā)到達(dá)巴黎所需時(shí)間（地球的半徑為6400Km,g=9.8m/s2,忽略摩擦力）。 滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程,故為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其周期：即第九章 機(jī)械振動(dòng)8三、常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)（1）豎直懸掛的彈簧振子選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)平衡時(shí)位移x時(shí)故物體仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng)x第九章 機(jī)械振動(dòng)9（2）單擺重力形成的力矩,在角度很小時(shí)有根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律說(shuō)明：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng),故第九章 機(jī)械振動(dòng)又有10（3）復(fù)擺:一可繞水平固定軸擺動(dòng)的剛體類似單擺寫(xiě)出方程為：OC結(jié)論：一維保守力在穩(wěn)定平衡位置附近一定是準(zhǔn)彈性力,即其中稱為等值單擺長(zhǎng)第九章 機(jī)械振動(dòng)111. 旋轉(zhuǎn)矢量圖示

4、法x0t+0Opt=0M說(shuō)明:旋轉(zhuǎn)矢量法是研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一種直觀方法;不能把M的運(yùn)動(dòng)誤認(rèn)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示法 模 振幅A作坐標(biāo)軸ox ,自原點(diǎn)作一矢量與x 軸的夾角 相位角速度 角頻率初始與x 軸的夾角 初相第九章 機(jī)械振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量 簡(jiǎn)諧振動(dòng)12P點(diǎn)坐標(biāo)、速度和加速度都作簡(jiǎn)諧振動(dòng) 矢端M在x 軸投影的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：P點(diǎn)的坐標(biāo)即M點(diǎn)位矢在x 軸上的投影速度即M點(diǎn)速率在x 軸上的投影加速度即M點(diǎn)向心加速度在x 軸上的投影0t+0Opt=0M第九章 機(jī)械振動(dòng)13例題9.2 一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng), 振幅為0.24m, 周期為2s, 當(dāng)t=0時(shí)x0=0.12m, 且向x 軸正方向運(yùn)動(dòng). 試求:

5、 1) 振動(dòng)方程; 2) 從x=0.12m, 且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài), 回到平衡位置所需的時(shí)間.當(dāng)t =0時(shí), x0=0.12m, v00 為確定初相, 畫(huà)出t=0時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量的位置由題知解:1) 設(shè)振動(dòng)方程為Opxt=0M第九章 機(jī)械振動(dòng)提示:用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法求解14振動(dòng)方程為:由圖得到2) 從x = -0.12m, 且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài), 回到平衡位置所需的時(shí)間xDOpM第九章 機(jī)械振動(dòng)152. x-t 曲線圖示法 簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可用x-t 的振動(dòng)曲線表示,如以下圖所示,圖上已將振幅、周期、和初相標(biāo)出.x x TtAP1P1P2P0O第九章 機(jī)械振動(dòng)P2x16第九章 機(jī)械振動(dòng)x(v) O

6、t x(a) O t 17解：設(shè)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式又當(dāng)t = 1s時(shí),t(s)O2-2x(m)1由圖可見(jiàn)，A=2m，當(dāng)t = 0時(shí)有：例題9.3 已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振動(dòng)曲線如圖,試 根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫(xiě)出振動(dòng)表達(dá)式。第九章 機(jī)械振動(dòng)18解得：第九章 機(jī)械振動(dòng)3. 復(fù)數(shù)法利用三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系,簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可用復(fù)數(shù)描述：注：上式有意義的是實(shí)數(shù)局部（或虛數(shù)局部）。其中 是復(fù)數(shù)，稱為復(fù)振幅。19五、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量設(shè)在某一時(shí)刻,振子速度為v則系統(tǒng)的動(dòng)能：該t 時(shí)刻物體的位移為,則系統(tǒng)的勢(shì)能：系統(tǒng)的總能量：諧振動(dòng)的總能量與振幅的平方成正比,其值由初始條件決定第九章 機(jī)械振動(dòng)20能量平均值第九章 機(jī)械振動(dòng)EP(1/

7、2)E21（二）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 合成結(jié)果仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 合振動(dòng)與分振動(dòng)在同一方向, 且有相同頻率一、同方向同頻率諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：A2A1x0Ax2x1x任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可看成假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。第九章 機(jī)械振動(dòng)22討 論：1) 相位差同相同相, 合振幅最大2) 相位差反相反相, 合振幅最小當(dāng)A1=A2時(shí), 質(zhì)點(diǎn)靜止3) 一般情況（相位差任意）相位差在同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成中起決定性作用第九章 機(jī)械振動(dòng)23二、兩個(gè)同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了角頻率分別為 的兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)設(shè)兩振動(dòng)的振幅相同，初相為j合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：第九章 機(jī)械振動(dòng)24討論: 兩頻率都較大

8、, 而頻率差很小的情況表明: 一個(gè)高頻振動(dòng)受一個(gè)低頻振動(dòng)的調(diào)制合振動(dòng)頻率合振動(dòng)振幅xtx2tx1t注意：周期應(yīng)有|2p(v1-v2)/2|T=p決定第九章 機(jī)械振動(dòng)25合振幅出現(xiàn)時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象拍現(xiàn)象振幅變化的周期為：拍頻：拍現(xiàn)象的應(yīng)用： 用標(biāo)準(zhǔn)音叉振動(dòng)校準(zhǔn)樂(lè)器 測(cè)定超聲波 測(cè)定無(wú)線電頻率 調(diào)制高頻振蕩的振幅和頻率等上述結(jié)果也可用旋轉(zhuǎn)矢量合成法描述 若 ，如圖， 以 的角速度旋轉(zhuǎn)，則 相對(duì) 以 的角速度旋轉(zhuǎn)，則合矢量 的變化角頻率為 .注：這里A1 = A2 第九章 機(jī)械振動(dòng)26三、兩個(gè)相互垂直的同頻率諧振動(dòng)的合成消去參數(shù)t，得軌跡方程運(yùn)動(dòng)軌跡橢圓方程，形狀決定于分振動(dòng)的振幅和相位差.合運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)

9、諧振動(dòng)，角頻率與初相不變，振幅為討論：1) 軌跡：兩個(gè)分振動(dòng)同相合振動(dòng)坐標(biāo)的參量方程第九章 機(jī)械振動(dòng)272) 軌跡：合運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角頻率與初相不變，振幅為兩個(gè)分振動(dòng)反相 y 比x 位相超前/2, 故橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的方向是順時(shí)針, 即右旋的.3) 軌跡：第九章 機(jī)械振動(dòng)284) 軌跡： y 比x 位相滯后/2, 故橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的方向是逆時(shí)針, 即左旋的. 當(dāng)A1=A2時(shí), 正橢圓軌道將變?yōu)閳A軌道, 即質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng).第九章 機(jī)械振動(dòng)29四、兩個(gè)相互垂直的不同頻率諧振動(dòng)的合成 可看作兩頻率相等而2-1隨緩慢變化, 合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁(yè)圖依次循環(huán)地緩慢變化.1. 兩分振動(dòng)頻率相差很小第九章 機(jī)械振動(dòng)

10、30 合振動(dòng)軌道一般不是封閉曲線,但當(dāng)頻率有簡(jiǎn)單的整數(shù)比關(guān)系時(shí),是穩(wěn)定的封閉曲線,稱為利薩如圖形（如圖）。2. 兩振動(dòng)的頻率相差很大利薩如圖形的應(yīng)用利用利薩如圖形的形狀判斷二分振動(dòng)的頻率比,再由已知頻率測(cè)量未知頻率。工程上可以方便地測(cè)量未知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率和相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差。第九章 機(jī)械振動(dòng)31例9.4 有兩個(gè)振動(dòng)方向相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)方程分別為 ,1) 求它們的合振動(dòng)方程；問(wèn): 當(dāng)3為何值時(shí), x1+x3的振動(dòng)為最大值？當(dāng)3為何值時(shí), x1+x3的振動(dòng)為最小值？解：1) 兩個(gè)振動(dòng)方向相同, 頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后還是簡(jiǎn)諧振動(dòng), 合振動(dòng)方程為2) 另有一同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)第九章

11、 機(jī)械振動(dòng)32所求的振動(dòng)方程為2) 當(dāng) 時(shí)，相位相同。當(dāng) 時(shí)，相位相反。根據(jù)已知條件,t=0時(shí),合矢量應(yīng)在第二象限,故第九章 機(jī)械振動(dòng)33一、阻尼振動(dòng)定義：振幅隨時(shí)間而減小的振動(dòng)叫做阻尼振動(dòng)。（三） 阻尼振動(dòng)粘滯阻力牛頓方程二、 阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（固有角頻率）（阻尼因子）令OxkPxmv第九章 機(jī)械振動(dòng)34將形如 的解代入微分方程，得特征方程其特征根是 按阻尼度 大小的不同，微分方程有三種不同形式的解，代表了振動(dòng)物體的三種運(yùn)動(dòng)方式.得運(yùn)動(dòng)微分方程第九章 機(jī)械振動(dòng)351. 弱阻尼時(shí), 阻尼振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的方程解為阻尼振動(dòng)的角頻率:A0和0 決定于初始條件的積分常數(shù)xtO阻尼振動(dòng)曲線：第九章

12、機(jī)械振動(dòng)36弱阻尼曲線： 振幅隨時(shí)間t 作指數(shù)衰減 近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng) 阻尼振動(dòng)周期比系統(tǒng)的固有周期長(zhǎng)阻尼振子的能量與品質(zhì)因數(shù)阻尼振子的總能量：機(jī)械能不再守恒即損失的能量用于克服粘滯阻力做功第九章 機(jī)械振動(dòng)37 即是物體不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的極限。系統(tǒng)從周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉侵芷谡駝?dòng),稱為臨界阻尼。 2. 臨界阻尼時(shí)，特征方程只有一個(gè)重根，微分方程的解為臨界阻尼特點(diǎn)：不再振動(dòng),但趨于平衡最快 品質(zhì)因數(shù)：用來(lái)描述阻尼項(xiàng)的大小t時(shí)刻阻尼振子的能量與經(jīng)一周期后損失的能量之比的倍,用Q表示,即這里第九章 機(jī)械振動(dòng)38 這種過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)方式是非周期運(yùn)動(dòng),振動(dòng)從開(kāi)始最大位移緩慢回到平衡位置, 不再做往復(fù)運(yùn)動(dòng). 時(shí),阻尼較大,特

13、征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,這時(shí)方程的解為xtO弱阻尼臨界阻尼過(guò)阻尼3. 過(guò)阻尼問(wèn)題：怎樣使靈敏電流計(jì)的指針盡快穩(wěn)定以得到讀數(shù)？第九章 機(jī)械振動(dòng)391. 定義：系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動(dòng) 一、 受迫振動(dòng)強(qiáng)迫力:阻尼力:恢復(fù)力:xmFf-kx2. 受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（四）受迫振動(dòng) 共振第九章 機(jī)械振動(dòng)40微分方程的通解為 -簡(jiǎn)諧振動(dòng),穩(wěn)態(tài)解xtO 經(jīng)一段時(shí)間受迫振動(dòng)變?yōu)楹?jiǎn)諧振動(dòng)令 ，代入方程,有-阻尼振動(dòng), 隨時(shí)間消失,暫態(tài)解其中：第九章 機(jī)械振動(dòng)41由此得定態(tài)解的振幅和相位分別為二、共振驅(qū)動(dòng)力的角頻率為某一定值時(shí), 受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象.共振振幅：共振角頻率：穩(wěn)態(tài)解的特點(diǎn)：頻率與強(qiáng)迫力頻率相同,振幅及初相位完全由強(qiáng)迫力和系統(tǒng)的固有參量決定,與系統(tǒng)初始條件無(wú)關(guān)第九章 機(jī)械振動(dòng)42分析:1) 越小時(shí)2) =0時(shí)尖銳振動(dòng)O0A無(wú)阻尼 =0弱阻尼 0大阻尼 0應(yīng)用:電磁共振選臺(tái)(收音機(jī))樂(lè)器利用共振提高音響效果研究避免共振的破壞的措施：破