圓錐曲線中有關(guān)范圍的求解策略

1、圓錐曲線中有關(guān)范圍的求解策略湖北省南漳縣高級(jí)中學(xué) 郵編441500 孫 波 電析幾何參數(shù)取值范圍，有關(guān)最值問題，一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是高考的重要考查點(diǎn)，同時(shí)還是學(xué)生學(xué)習(xí)、考試的易錯(cuò)點(diǎn)，它涉及的內(nèi)容既豐富又綜合性強(qiáng)，本文就圓錐曲線如何確定參數(shù)取值范圍，綜合以下幾種解答策略，供參考。一、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，求參數(shù)范圍： (ab0)中有 ；雙曲線 （ao,bo）中有 例1.已知點(diǎn)p到雙曲線 的兩焦點(diǎn)后的距離之和為定值，且cosF1pF2的最小值為 .（1）求點(diǎn)p的軌跡方程式C.（2）點(diǎn)D（0，3），M.、N是曲線C上兩點(diǎn)，且 ，求的取值范圍.解（1）：由

2、余弦定理，重要不等式，橢圓的定義易得：曲線c的方程為： （2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則（x1,y13），（x2,y23） x1x2 y13（y23） -2得y2= ,或1y22 2 5評(píng)注：本題利用橢圓的幾何性質(zhì)：點(diǎn)（x，y）在橢圓上，則有yb，得到參數(shù)的不等式，解出參數(shù)的取值范圍避免設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算同時(shí)也不需討論直線斜率是否存在練習(xí)一：1.已知橢圓M：（ab0）的離心率e ，過點(diǎn)A（0,b）和B（a,0）的直線與原點(diǎn)的距離為 （1）求橢圓M的方程（2）若P、Q為橢圓M上的兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與X軸交于點(diǎn)（x0，0）,求x0的取值

3、范圍2.10年高考浙江卷已知m1,直線l：x-my- =0，橢圓C: +y2=1,F1、F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)。（1）.當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程.（2）.設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，AF1F2，BF1F2的重心分別為G、H，若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 二、利用根的別式構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍例2.0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（xA，yA），B（xB，yB）兩點(diǎn)分別在射線 ：x+y0（x0），xy0（x0）上移動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)p滿足 ,記點(diǎn)p的軌跡為C（1）求yA 、yB的值（2）求p點(diǎn)的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？（3）設(shè)點(diǎn)G（1,0），若直線ykx+m(m0

4、)與曲線C交于M、N兩點(diǎn)都在以G為圓心的圓上，求k的取值范圍.解：（1）yA .yB1（2）由（1）知：軌跡C的方程為y21（y0），它表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線上支.（3）由 y21 得（3k2-1）+2my-m2-3k2=0，ykx+m設(shè)M（x1,y1），N（x2,y2），則(2m)2-4(3k2-1)（-m2-3k2）0y1+y2= y1y2= 由得，m2+3k210, 由得，3k210 由得 m0 M、N在以點(diǎn)G為圓心的圓上，設(shè)N的中點(diǎn)為H，則GHMN.KGHk1 k=1即4mk=3k21m= 把代入得（ ）+3k2103k210 019k210又m= 0, k0 10評(píng)注：本例題通過不等

5、式0與等式4mk=3k2-1建立關(guān)于參數(shù)k的不等式，解不等式得到參數(shù)的取值范圍。象這樣通過不等式0以及等式（有關(guān)參數(shù)的等量關(guān)系）建立參數(shù)的不等式，解不等式得出參數(shù)的取值范圍的方法是解圓錐曲線參數(shù)范圍的常規(guī)方法之一，其關(guān)鍵是找出有關(guān)參數(shù)的相等量關(guān)系和不等關(guān)系.練習(xí)二 08年高考 天津卷1.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線c的一個(gè)焦點(diǎn)日F（3，0）,一條漸近線的方程是x-2y=0.（1）求雙曲線C的方程.（2）若以k(k0)的斜率的直線e與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，且線段M的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 ，求k的取值范圍.2.10年高考湖北卷已知一條曲線C在y軸上右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（

6、1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.（1）求曲線C的方程.（2）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M（m,0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B的任一直線都有0？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.三、建立目標(biāo)函數(shù)，利用重要不等式，函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)求函數(shù)值域.例3. 08年高考全國 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2,0）,B（0,1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn). 求四邊形AEBF面積的最大值.解法一：依題意得橢圓的方程為 ，AB的方程為X+2y=2，設(shè)E（x1,y1）,F(x2,y2)，x1x2.則由 y=kx 得：(1+4K2)x2=4 x2=x1

7、= 點(diǎn)、到的距離分別為d1= =d2= = 又四邊形（當(dāng)且僅當(dāng)k= 時(shí)，等號(hào)成立）的最大值為 解法二：由題意知：OB=1, OA=2.S四邊形AEBFSBEF+SAEFx2+2y2= 當(dāng)且僅x2=2y2時(shí)，等號(hào)成立的最大值為評(píng)注：有關(guān)求弦長、距離、圖形面積的范圍時(shí)，首先應(yīng)建立有關(guān)參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后利用重要不等式，函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)，求目標(biāo)函數(shù)的值域來解決相關(guān)問題.練習(xí)三 1. 已知雙曲線 （a0,b0）頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B，且與一條漸近線交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 又2，過點(diǎn)F的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn).（1）求雙曲線的方程.（2）證明：

8、B、P、N三點(diǎn)共線.（3）求BMN面積的最小值.2.已知F1 ,F2分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，曲線C日以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以后為焦點(diǎn)的拋軸線，自點(diǎn)F1引直線交曲線C于P、Q兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M.設(shè).（1）求曲線C的方程.（2）證明：（3）若2,3,求PQ的取值范圍.3.設(shè)橢圓T： （ab0），直線L過橢圓左焦點(diǎn)F1且不與X軸重合，L與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，左準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)k ,kF1=2，當(dāng)直線L與x軸垂直時(shí)，PQ= 。 (1)求橢圓T的方程.（2）直線L的繞著F1旋轉(zhuǎn)，與圓O：x2+y2=5交于A、B兩點(diǎn)，若AB4,，求F2PQ的面積S的取值范圍（F2為橢圓右焦點(diǎn)）4.橢圓 1和圓x2+(y- )2=1，點(diǎn)P、Q分別橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最大值.通過以上例題學(xué)習(xí)和練習(xí)題的訓(xùn)練，能基本獲得求圓錐曲線有關(guān)范圍的方法，