有限元第講動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有限單元法通用PPT課件

1、第9章 動(dòng)力問(wèn)題有限元法張 洪 偉動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣第1節(jié) 引言第3節(jié) 直接積分法第4節(jié) 振型疊加法第5節(jié) 解的穩(wěn)定性第6節(jié) 大型特征值問(wèn)題的解法第7節(jié) 減縮系統(tǒng)自由度的方法第8節(jié) 小結(jié)2第1節(jié) 有限元?jiǎng)恿W(xué)方程的建立動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，它有兩類研究對(duì)象。一類是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，例如，高速旋轉(zhuǎn)的電機(jī)，往復(fù)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)燃機(jī)，以及高速運(yùn)行的飛行器，如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性是極為重要的研究課題。另一類是承受動(dòng)力載荷作用的工程結(jié)構(gòu)，例如建于地面的高層建筑和廠房，核電站的安全殼和熱交換器，這些結(jié)構(gòu)的破裂、傾覆和坍塌等破壞事故的發(fā)生，將給人民

2、的生命財(cái)產(chǎn)造成巨大損失。正確分析和設(shè)計(jì)這類結(jié)構(gòu)，在理論和實(shí)際上都是具有重要意義的。動(dòng)力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問(wèn)題。3三維彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程是：平衡方程幾何方程物理方程邊界條件初始條件（在V域內(nèi)）（在V域內(nèi)）（在V域內(nèi)）（在Su域內(nèi)）（在S域內(nèi)）（1.1）（1.2）（1.3）（1.4）（1.5）（1.6）4在動(dòng)載荷作用下，對(duì)于任一瞬時(shí)，設(shè)單元節(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移 ，則單元內(nèi)也產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移 和虛應(yīng)變 。單元內(nèi)產(chǎn)生的虛應(yīng)變能為:單元除受動(dòng)載荷外，還有加速度和速度引起的慣性力 和阻尼力，其中為材料密度，v是線性阻尼系數(shù)。外力所做的虛功為：式中，Pv、Ps、Pc分別為作用于單元上的動(dòng)態(tài)體

3、力、動(dòng)態(tài)面力和動(dòng)態(tài)集中力；V為單元面積；A為單元面積。動(dòng)力學(xué)方程建立：且形函數(shù)僅為坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此有根據(jù)虛位移原理，有代入經(jīng)整理，可得單元運(yùn)動(dòng)方程為由于式中分別稱為單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，它們就是決定單元?jiǎng)討B(tài)性能的特性矩陣。稱為單元節(jié)點(diǎn)動(dòng)載荷列陣，它是作用在單元上的體力、面力和集中力向單元節(jié)點(diǎn)移置的結(jié)果。在動(dòng)態(tài)分析和靜力分析中，單元的剛度矩陣是相同的，外部載荷的移置原理也一樣。動(dòng)力學(xué)有限元分析基本步驟如下：（1）連續(xù)區(qū)域的離散化（2）構(gòu)造插值函數(shù)由于只對(duì)空間域進(jìn)行離散，所以單元內(nèi)位移u,v,w的插值分別表示為:（1.7）其中8（3）形成系統(tǒng)的求解方程（1.8）

4、其中分別是系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)加速度向量和結(jié)點(diǎn)速度向量，M,C,K和Q(t)分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度和結(jié)點(diǎn)載荷向量。9（4）求解運(yùn)動(dòng)方程（1.9）如果忽略阻尼的影響，則運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為如果上式的右端項(xiàng)為零，則上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為（1.10）這是系統(tǒng)的自有振動(dòng)方程，又稱為動(dòng)力特性方程。（5）計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力10從以上步驟可以看出，和靜力分析相比，在動(dòng)力分析中，由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，最后得到求解方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其它的計(jì)算步驟和靜力分析是完全相同的。關(guān)于二階常微分方程組的解法有兩類：直接積分法和振型疊加法。直接積分法是直接對(duì)運(yùn)動(dòng)方程積分。而振

5、型疊加法是首先求解一無(wú)阻尼的自由振動(dòng)方程，然后用解得的特征向量，即固有振型對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式進(jìn)行變換。動(dòng)力分析的計(jì)算工作量很大，因此提高效率，節(jié)省計(jì)算工作量的數(shù)值方案和方法是動(dòng)力分析研究工作中的重要組成部分。目前兩種普遍應(yīng)用的減縮自由度的方法是減縮法和動(dòng)力子結(jié)構(gòu)法。11第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣一、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣 單元質(zhì)量矩陣稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣。集中質(zhì)量矩陣假定單元的質(zhì)量集中在結(jié)點(diǎn)上，這樣得到的質(zhì)量矩陣是對(duì)角線矩陣。以下分實(shí)體單元和結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行討論。1.實(shí)體單元介紹兩種常用方法（1）第一種方法其中，ne是單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)。該式的力學(xué)意義是：Mle每一行的主元素等于Me中該行所有元素之和，而非主

6、元素為零。（2.1）12第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣（1）第二種方法該式的力學(xué)意義是：Mle每一行的主元素等于Me中該行主元素乘以縮放因子a，而非主元素為零。（2.2）13第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣?yán)? 計(jì)算平面應(yīng)力（應(yīng)變）單元的協(xié)調(diào)質(zhì)量Me矩陣和集中質(zhì)量矩陣Mle 。單元采用3結(jié)點(diǎn)三角形單元。（1）協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣位移插值函數(shù)是（2.3）其中I是22單位矩陣。（2.4）Me,Ce,Ke和Qe分別是單元的質(zhì)量、阻尼、剛度和載荷矩陣。14第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣算得單元的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣（2.5）其中，WtA是單元的質(zhì)量，t是單元的厚度。15第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣（2）集中質(zhì)量矩陣按第一種方法計(jì)算，

7、得到集中質(zhì)量矩陣為（2.6）此式的力學(xué)意義是：在單元的每個(gè)結(jié)點(diǎn)上集中1/3的質(zhì)量。16第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣按第二種方法計(jì)算，得到集中質(zhì)量矩陣與第一種方法結(jié)果一樣。注：對(duì)于8結(jié)點(diǎn)矩形單元，兩種方法得到的集中質(zhì)量矩陣不同。在實(shí)際分析中，更多的是推薦用第二種方法來(lái)計(jì)算集中質(zhì)量矩陣。2.結(jié)構(gòu)單元2結(jié)點(diǎn)經(jīng)典梁?jiǎn)卧?、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣如下所示：（1）協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣位移插值函數(shù)是（2.7）其中17第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣計(jì)算得單元的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣為（2.8）其中，l是單元長(zhǎng)度，WlA是單元的質(zhì)量，A是截面面積。（2）集中質(zhì)量矩陣（2.9）此式的力學(xué)意義是在每個(gè)結(jié)點(diǎn)上集中1/2的單元質(zhì)量。18第2

8、節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣需要指出，雖然質(zhì)量矩陣M在理論上是正定的，但通常需要在計(jì)算中對(duì)進(jìn)行精確積分才能保證此性質(zhì)。如果計(jì)算中采用低階的積分，則M可能是奇異的，這將使后續(xù)的動(dòng)力分析發(fā)生困難，因此在選擇Me的積分階次時(shí)應(yīng)予注意。19第2節(jié) 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣二、振型阻尼矩陣 它是假定阻尼力正比于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的結(jié)果，通常均將介質(zhì)阻尼簡(jiǎn)化為這種情況。這時(shí)單元矩陣比例于單元質(zhì)量矩陣。在以后的討論中，將知道系統(tǒng)的固有振型對(duì)于M和K是具有正交性的，因此固有振型對(duì)于M和K的阻尼矩陣C也是具有正交性的。所以這種阻尼矩陣稱為比例阻尼或振型阻尼。在實(shí)際分析中要精確地決定阻尼矩陣是相當(dāng)困難的，通常允許將實(shí)際結(jié)構(gòu)的阻尼矩

9、陣簡(jiǎn)化為M和K的線性組合。這種振型阻尼稱為Rayleigh阻尼。20求解方法求解運(yùn)動(dòng)方程直接積分法模態(tài)疊加法隱式積分顯式積分完整矩陣法縮減矩陣法完整矩陣法縮減矩陣法逐步積分法按是否需要聯(lián)立求解耦聯(lián)方程組，可分為兩大類：隱式方法：逐步積分計(jì)算公式是偶聯(lián)的方程組，需聯(lián)立求解，計(jì)算工作量大，通常增加的工作量與自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson 法。顯式方法：逐步積分計(jì)算公式是解偶的方程組，無(wú)需聯(lián)立求解，計(jì)算工作量小，增加的工作量與自由度成線性關(guān)系，如中心差分方法。重點(diǎn)介紹兩種常用的時(shí)域逐步積分法中心差分法和Newmark法。第3節(jié) 直接積分法一、中心差分法 在中心差分法中，加速度

10、和速度可以用位移表示，即（3.2）（3.1）中心差分法的遞推公式（3.3）上式是求解各個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)解的遞推公式，這種數(shù)值積分方法又稱為逐步積分法。23第3節(jié) 直接積分法需要指出，此算法有一個(gè)起步問(wèn)題，為此利用(3.1)，(3.2)得到。將利用中心差分法逐步求解運(yùn)動(dòng)方程的算法步驟歸結(jié)如下：1.初始計(jì)算形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C。給定選擇時(shí)間步長(zhǎng)t， t tcr，并計(jì)算積分常數(shù)計(jì)算形成有效質(zhì)量矩陣三角分解24第3節(jié) 直接積分法2.對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)（t0， t ，2 t ）計(jì)算時(shí)間t的有效載荷求解時(shí)間t t的位移如果需要，計(jì)算時(shí)間t的加速度和速度25第3節(jié) 直接積分法關(guān)于中心差分法還需要

11、著重指出一下幾點(diǎn)：中心差分法是顯式算法。中心差分法是條件穩(wěn)定算法。顯式算法用于求解由梁、板、殼等結(jié)構(gòu)單元組成的系統(tǒng)的動(dòng) 態(tài)響應(yīng)時(shí)如果對(duì)角化后的質(zhì)量矩陣M中已略去了與轉(zhuǎn)動(dòng)自由 度相關(guān)的項(xiàng)，則M的實(shí)際階數(shù)僅是對(duì)于位移自由度的階數(shù)。中心差分法比較適合于由沖擊、爆炸類型載荷引起的波傳播 問(wèn)題的求解。對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，一般說(shuō)，采用中心差分法就不太適合。26中心差分法的精度和數(shù)值穩(wěn)定性以上給出的中心差分逐步積分公式， 是收斂的； 具有2階精度，即誤差O(t2) ； 是有條件穩(wěn)定，穩(wěn)定條件tTn/； 具有較高的計(jì)算效率。第3節(jié) 直接積分法二、Newmark方法 在tt t的時(shí)間區(qū)域內(nèi)， Newmark積分

12、法采用下列的假設(shè)（3.4）（3.5）其中和是按積分精度和穩(wěn)定性要求決定的參數(shù)。另一方面，和取不同數(shù)值則代表了不同的數(shù)值積分方案。Newmark方法中的時(shí)間t t的位移解答a t t是通過(guò)滿足時(shí)間t t的運(yùn)動(dòng)方程的。28第3節(jié) 直接積分法計(jì)算a t t的兩步遞推公式（3.6）將利用Newmark法逐步求解運(yùn)動(dòng)方程的算法步驟歸結(jié)如下：1.初始計(jì)算形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C。給定29第3節(jié) 直接積分法選擇時(shí)間步長(zhǎng)t 及參數(shù)和，并計(jì)算積分常數(shù)。 這里要求： 0.50， 0.25(0.5+)2形成有效剛度矩陣三角分解30第3節(jié) 直接積分法2.對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)（t0， t ，2 t ）計(jì)算時(shí)間

13、t t的有效載荷求解時(shí)間t t的位移如果需要，計(jì)算時(shí)間t的加速度和速度31第3節(jié) 直接積分法關(guān)于Newmark法還需要著重指出一下幾點(diǎn)：Newmark法是隱式算法。關(guān)于Newmark法的穩(wěn)定性。 證明，當(dāng)0.50， 0.25(0.5+)2時(shí)，算法是無(wú)條件穩(wěn)定的。 Newmark法適合于時(shí)程較長(zhǎng)的的系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)分析。Newmark法的其它表達(dá)形式。32和是按積分精度和穩(wěn)定性要求決定的參數(shù)。=1/2和 =1/4，平均常加速度法。=1/2和 =1/6，線性加速度法。=1/2和 =0，中心差分法。第4節(jié) 振型疊加法振型疊加法在積分運(yùn)動(dòng)方程以前，利用系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有振型將方程轉(zhuǎn)化為n個(gè)相互不耦合的方程

14、，對(duì)這種方程可以解析或數(shù)值地進(jìn)行積分。當(dāng)采用數(shù)值方法時(shí)，對(duì)于每個(gè)方程可以采取各自不同的時(shí)間步長(zhǎng)，即對(duì)于低階振型可采用較大的時(shí)間步長(zhǎng)。這兩者結(jié)合起來(lái)相當(dāng)于直接積分法時(shí)很大的優(yōu)點(diǎn)，因此當(dāng)實(shí)際分析的時(shí)間歷程較長(zhǎng)，同時(shí)只需要少數(shù)較低階振型的結(jié)果時(shí)，采用振型疊加法將時(shí)十分有利的。34第4節(jié) 振型疊加法一、求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型此計(jì)算步驟是求解不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動(dòng)方程，即 它的解可以假設(shè)為以下形式（4.1）其中，是n階向量，是向量的振動(dòng)頻率，t是時(shí)間變量，t0是由初始條件確定的時(shí)間常數(shù)。35第4節(jié) 振型疊加法解方程確定和。特征向量1， 2， n代表系統(tǒng)的n個(gè)固有振型。它們的幅度可按以下要求規(guī)

15、定這樣規(guī)定的固有振型又稱為正則振型，今后所用的固有振型，只指這種正則振型。固有振型對(duì)于矩陣M是正交的。在有限元分析中，特別是動(dòng)力分析中，方程的階數(shù)很高而求解的特征解又相對(duì)較少的特征值問(wèn)題，稱為大型特征值問(wèn)題。（4.2）36n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，具有n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。 對(duì)應(yīng)于兩邊左乘轉(zhuǎn)置，然后右乘 相減 關(guān)于正則振型表明，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。 Ki稱為第i階主剛

16、度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。 可見(jiàn)，由于主振型的正交性，不同階的主振動(dòng)之間不存在動(dòng)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動(dòng)的廣義彈性力在第j階固有振動(dòng)的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動(dòng)之間也不存在勢(shì)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在彈性耦合。 對(duì)于每一個(gè)主振動(dòng)來(lái)說(shuō)，它的動(dòng)能和勢(shì)能之和是個(gè)常數(shù)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)主振動(dòng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動(dòng)之間不會(huì)發(fā)生能量的傳遞。 因此，從能量的觀點(diǎn)看，各階主振動(dòng)是互相獨(dú)立的，這就是主振動(dòng)正交性的物理意義。 以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即

17、根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣使Mr由對(duì)角陣變換為單位陣 將主振型矩陣的各列除以其對(duì)應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即這樣得到的振型稱為正則振型。正則振型的正交關(guān)系是第i階正則振型第i階固有頻率 以各階正則振型為列，依次排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即由正交性可導(dǎo)出正則矩陣兩個(gè)性質(zhì)譜矩陣 在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對(duì)角陣。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中既有動(dòng)力耦合又有靜力耦合。對(duì)于n自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標(biāo)，使方程中不出現(xiàn)耦合項(xiàng)亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對(duì)角陣，這樣每個(gè)方程可以視為單自由度問(wèn)題，稱

18、這組坐標(biāo)為主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)。 由前面的討論可知，主振型矩陣U與正則振型矩陣 ，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對(duì)角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，以尋求主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)。第4節(jié) 振型疊加法二、系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析1.位移基向量的變換引入變換（4.3）此變化的意義是a(t)看成是i(i=1,2,n)的線性組合，i可以看成是廣義的位移基向量，xi是廣義的位移值。從數(shù)學(xué)上看，是將位移向量a(t)從以有限元系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)位移為基向量的n維空間轉(zhuǎn)換到以i為基向量的n維空間。通常在實(shí)際分析中，需要求解的自由度方程數(shù)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的自由度數(shù)n44第4節(jié) 振型疊加法2.求解單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程

19、單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的求解，通常采用杜哈美積分，又稱為疊加積分。這個(gè)方法的基本思想是將任意激振力ri(t)分解為一系列微沖量的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對(duì)每個(gè)微沖量的響應(yīng)，然后根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將它們疊加起來(lái)。得到系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)。杜哈美積分的結(jié)果是其中ai，bi是由起始條件決定的常數(shù)。（4.4）45第4節(jié) 振型疊加法3.振型疊加得到系統(tǒng)的響應(yīng)在得到每個(gè)振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來(lái)就是系統(tǒng)響應(yīng)。對(duì)振型疊加法的一些性質(zhì)和特點(diǎn)：振型疊加法中，將系統(tǒng)的位移轉(zhuǎn)換到以固有振型為基向量的空 間這對(duì)系統(tǒng)的性質(zhì)并無(wú)影響，而是以求解廣義特征值為代價(jià)，得到n個(gè)單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。振型疊加法中對(duì)于n個(gè)單自

20、由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的積分，比聯(lián)立方程組的直接積分節(jié)省計(jì)算時(shí)間。對(duì)于非線性系統(tǒng)通常必須采用直接積分法。46第4節(jié) 振型疊加法例3 以三自由度系統(tǒng)為例，現(xiàn)在用振型疊加法求解。此時(shí)應(yīng)求解的廣義特征值問(wèn)題是 （1）按照一般的線性代數(shù)方法可以得到（1）式的解答為（2）47第4節(jié) 振型疊加法利用（2）式，可以轉(zhuǎn)換為以1，2和3為基向量的3個(gè)互不耦合的運(yùn)動(dòng)方程，即：（3）原系統(tǒng)的初始條件是經(jīng)轉(zhuǎn)換后為（4）48第4節(jié) 振型疊加法利用無(wú)阻尼情形的杜哈美積分可以得到（3）式的精確解為：（5）最后利用振型疊加得到系統(tǒng)的位移為（6）49第4節(jié) 振型疊加法根據(jù)（6）式計(jì)算得到每一時(shí)間步長(zhǎng)的位移值如下：對(duì)于tT3/100.

21、363時(shí)，算得位移值：t5T318.14時(shí)，算得位移值：50此結(jié)果是系統(tǒng)響應(yīng)的精確解，可以用來(lái)檢驗(yàn)中心差分法和Newmark方法的結(jié)果。對(duì)于t0.363的情況，三者的比較見(jiàn)右圖由圖可見(jiàn)，由于t較小，兩種直接積分法的結(jié)果都相當(dāng)好。而對(duì)于t18.14的情況，由于t已相當(dāng)大，雖然此時(shí)Newmark方法的解仍然保持穩(wěn)定，但誤差較大。51第5節(jié) 解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性定義是：如果在任何時(shí)間步長(zhǎng)t條件下，對(duì)于任何初始條件的解不是無(wú)限制的增長(zhǎng)，則稱此積分方法是穩(wěn)定的；如果t必須小于某個(gè)臨界值，上述性質(zhì)才能保持，則稱此積分方法是有條件穩(wěn)定的。討論解的穩(wěn)定性實(shí)質(zhì)上是討論誤差引起的響應(yīng)。要討論的方程是：（5.1）52第5節(jié) 解的穩(wěn)定性一、中心差分法利用中心差分法對(duì)（5.1）進(jìn)行積分，可以寫出（5.2）假定解的