高數(shù) 矩陣的概念及運(yùn)算PPT通用PPT課件

1、2.2 矩陣及其運(yùn)算線性代數(shù)矩陣也是是線性代數(shù)的重要工具，矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用，最常見(jiàn)也最重要的就是解線性方程組。本節(jié)知識(shí)點(diǎn)和教學(xué)要求 知識(shí)點(diǎn)矩陣的概念 -矩陣的加減和倍數(shù)矩陣的乘法 -初等變換和矩陣的秩逆矩陣 -求解可逆矩陣方程 教學(xué)要求熟練掌握矩陣運(yùn)算的基本法則熟練運(yùn)用初等變換，進(jìn)而能求矩陣的秩熟練運(yùn)用初等變換求矩陣的逆熟練運(yùn)用初等變換求解可逆矩陣方程2.2.1 矩陣的概念引例某商店上半年電視銷售情況(單位:百臺(tái))51吋47吋42吋一分店735二分店120求全年電視銷售情況？51吋47吋42吋一分店1065二分店231某商店下半年電視銷售情況(單位:百臺(tái))簡(jiǎn)記為定義矩陣矩形數(shù)表 用大寫黑體拉丁字

2、母A,B,C等表示元素 aij 數(shù)學(xué)理論中，元素可以是數(shù)，也可以是其他對(duì)象;方陣：m=n時(shí), 稱n階方陣或n階矩陣; 1階矩陣就是一個(gè)數(shù).向量:1 n階矩陣行向量, n 1階矩陣列向量. 矩陣的簡(jiǎn)記法: (aij)mn用行向量表示用列向量表示這里，Aj為列向量，Bi為行向量。矩陣的相等矩陣的元素都一一對(duì)應(yīng)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣才相等.行數(shù)和列數(shù)不相等的矩陣絕不能相等!行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱同型矩陣，即兩個(gè)矩陣相等的先決條件是兩者為同型矩陣。零矩陣矩陣O= (aij)mn的mn個(gè)元素均為零。即轉(zhuǎn)置矩陣AT顯然, n 階方陣的轉(zhuǎn)置仍然是n 階方陣.(AT)T =A.系數(shù)矩陣和增廣矩陣?yán)?. 2. 1 三

3、元線性方程組的和分別是系數(shù)矩陣增廣矩陣n元線性方程組的情況見(jiàn)教材127頁(yè)。中國(guó)古代算書(shū)九章算術(shù)中的“方程” 劉徽的九章算術(shù)中方程章是這樣說(shuō)的。 “程，課程也。群物總雜, 各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程.” 這段話的意思可以從方程 章的第一道題看出, 題目是 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗; 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉, 下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?” ( 秉捆)“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 實(shí)三十九斗于右方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。

4、又乘其次, 亦以直除” (直除減去對(duì)應(yīng)的各數(shù)，到不能再減為止). 按照這種解法，列出下列算式：方程章的解法為用右行上禾秉數(shù)3遍乘中行各數(shù)，得6, 9, 3, 102 減去右行對(duì)應(yīng)各數(shù)，得3, 7, 2, 63，再減一次，得 0, 5, 1, 24，不能再減了 (消去一個(gè)未知數(shù)上禾每秉的實(shí)); 又用3遍乘左行各數(shù),得3, 6, 9, 78 減去右行對(duì)應(yīng)各數(shù)，得0, 4, 8, 39. 如下:接著用中行“中禾不盡者遍乘左行而以直除”，即接著消去左右兩行中的中禾每秉的實(shí), 同現(xiàn)代的解一次方程組的加減消元法十分一致.最后: 左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)，實(shí)即下禾之實(shí)。求中禾，以法乘中行下實(shí)，而除下禾

5、之實(shí)。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)。求上禾，亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實(shí)。實(shí)皆如法，各得一斗?！狈▏?guó)的彪特在劉徽之后約一千三百年的算術(shù)一書(shū)中開(kāi)始用不甚完整 (沒(méi)有認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)) 的加減消元法解聯(lián)立一次方程組。前面解題過(guò)程中的方框即可視為矩陣, 可見(jiàn)矩陣并以矩陣解一次方程組是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家首創(chuàng).) 定義2.2.2 矩陣的加減和倍數(shù)1、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè) 矩陣 那末矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如(即引例)說(shuō)明(交換性)(結(jié)合性)(零矩陣的單位性)2) 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律(保持轉(zhuǎn)置性)(5)負(fù)矩陣的存在性和矩陣的減法稱

6、為矩陣A的負(fù)矩陣。這就是矩陣的減法例2.2.1設(shè)某公司的職工按男女區(qū)分統(tǒng)計(jì)如下從矩陣 A B 中可了解該機(jī)械公司的職工總數(shù)情況：男性技術(shù)人員、生產(chǎn)工人、其他職工分別為150 、 400 、 15 人，而女性職工分別為 35 、 300 、 35 人我們分別用矩陣 A 和 B 來(lái)列出總公司和分公司的職工人數(shù)情況，然后匯總統(tǒng)計(jì)用矩陣 A B 表示，即總公司分公司技術(shù)人員生產(chǎn)工人其他技術(shù)人員生產(chǎn)工人其他男50100510030010女10200152510020例2.2.4 設(shè)容易看出,有1) 定義2、矩陣的倍數(shù) (即數(shù)與矩陣相乘) 矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè) 為 矩陣，

7、為數(shù)）2) 數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律(對(duì)加法的分配性)(保持轉(zhuǎn)置性)(結(jié)合性)引例1計(jì)算過(guò)程可表示如下:2.2.3 矩陣的乘法一個(gè)小學(xué)生買了12支鉛筆,每支0.3元; 練習(xí)本15本,每本0.2元; 藍(lán)墨水一瓶,價(jià)0.8元.共花去多少錢?這是一行矩陣與一列矩陣的乘法.能用矩陣表示計(jì)算過(guò)程嗎?是否更簡(jiǎn)約?引例 2 上例,若還有一個(gè)小學(xué)生買了8支鉛筆; 練習(xí)本10本; 藍(lán)墨水2瓶, 各樣物品價(jià)格相同. 兩人各自共花去多少錢?若另一商店的價(jià)格是用矩陣如何表示?有何優(yōu)點(diǎn)?當(dāng)我們處理大量數(shù)據(jù)的時(shí)候，就需要矩陣了引例3 某商店上半年電視經(jīng)營(yíng)情況51吋47吋42吋一分店735二分店120某商店上半年電視銷售情況(單

8、位:百臺(tái))簡(jiǎn)記為51吋47吋42吋進(jìn)貨價(jià)321.5銷售價(jià)3.32.21.6(單位:千元/臺(tái))這個(gè)結(jié)果的意義是什么?進(jìn)貨金額銷售金額利潤(rùn)一分店34.537.73.2二分店77.70.7(數(shù)量矩陣價(jià)格矩陣)(單位：十萬(wàn)元)并把此乘積記作設(shè) 是一個(gè) 矩陣， 是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣 的乘積是一個(gè) 矩陣 ，其中1. 矩陣的乘法定義設(shè)例2.2.6例2.2.5故解例2.2.7 設(shè)A, B分別是n1和1n矩陣, 且計(jì)算AB和BA.解例如不存在.注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.矩陣乘積的認(rèn)識(shí)定義4 設(shè)A是一個(gè)mn矩陣, B是一個(gè)ns矩陣則A的第i個(gè)行向量與B的第j

9、個(gè)列向量之乘積為一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是AB的第i行第j列的元素, 且定義 由 階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 的行列式，記作 或運(yùn)算性質(zhì)定理2.2.1方陣的行列式即同階方陣乘積的行列式等于各自行列式的乘積。因?yàn)樗匀绻?. 矩陣的乘法和線性方程組的關(guān)系就有即一般的線性方程組可以非常簡(jiǎn)單地表示為矩陣方程這里,（其中 為數(shù)）; 若A是 階矩陣，則 為A的 次冪，即 并且 3. 矩陣乘法的性質(zhì)（運(yùn)算律）例 設(shè)則從此例還可以看到: 兩個(gè)非零的矩陣, 其乘積可能等于零. 因此在矩陣等式中, 不能用消去律.注意矩陣不滿足交換律，即：則有但也有例外，比如設(shè)這屬于特例，稱之為“可交換矩陣”。4. 單位矩

10、陣如同數(shù)和乘法中的 1單位矩陣是一個(gè)方陣,并且除左上角到右下角的對(duì)角線(稱為主對(duì)角線)上的元素均為1以外,其他元素全都為0, 即這里, A是mn階矩陣, 上式任何矩陣左乘或右乘一個(gè)單位矩陣,其積仍為該矩陣.可驗(yàn)證解法1例2.2.8 已知解法 2五、小結(jié)矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘（矩陣的倍數(shù)）矩陣與矩陣相乘（要逐步熟悉）轉(zhuǎn)置矩陣方陣的行列式對(duì)稱陣與伴隨矩陣共軛矩陣（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意作業(yè)思考題成立的充要條件是什么?思考題解答答故 成立的充要條件為作 業(yè)( 教材第143頁(yè))2.2.4 -2.2.6 同學(xué)們?cè)僖?jiàn)！九章算術(shù)卷八解* 例2由此歸納出小結(jié)當(dāng) 時(shí)，顯然成立.假設(shè) 時(shí)成立，則 時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明所以對(duì)于任意的 都有定義 把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .例、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的其它運(yùn)算(已并入前面各項(xiàng),其它的本書(shū)不再深入)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)3、對(duì)稱