如何求數(shù)列通項(xiàng)公式導(dǎo)學(xué)學(xué)案

1、第 PAGE 11 頁 共 10 頁如何求數(shù)列通項(xiàng)公式一、累加法（也叫逐差求和法）：利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而利用逐差求和法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而利用逐差求和法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累乘

2、法（也叫逐商求積法）:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如: 的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).例4 已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解析】： ,且當(dāng)時(shí)，滿足，.反思: 用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故由，則，又知，則，代入（3）得。所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、構(gòu)造新

3、數(shù)列: 將遞推公式（為常數(shù)，）通過與原遞推公式恒等變成的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.例7 已知數(shù)列中, ,求的通項(xiàng)公式.【解析】:利用,求得,是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,即,反思:.構(gòu)造新數(shù)列的實(shí)質(zhì)是通過來構(gòu)造一個(gè)我們所熟知的等差或等比數(shù)列.四、公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？【解析】： ， ， ，又， .反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通

4、項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。六 倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成 的形式的方法叫倒數(shù)變換.例10 已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】:將取倒數(shù)得: ,是以為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列. ,.反思:倒數(shù)變換有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項(xiàng),公差或公比變化了.四、待定系數(shù)法例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題

5、的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得 由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)

6、而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。跟蹤訓(xùn)練1.已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練2.已知數(shù)列滿足,且.則的通項(xiàng)公式是.跟蹤訓(xùn)練3.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練5.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練6.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有自然數(shù)，與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練1.已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.解：由已知,= .跟蹤訓(xùn)練2.已知數(shù)列滿足,.則的通項(xiàng)公式是.解：時(shí), ,作差得: ,跟蹤訓(xùn)練3.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.5. 跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿

7、足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.證明：由已知可得：，當(dāng)時(shí)，時(shí)，滿足上式. 的通項(xiàng)公式,時(shí)為常數(shù),所以為等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 6. 跟蹤訓(xùn)練6.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有自然數(shù)，與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:由已知可求,猜測(cè).(用數(shù)學(xué)歸納法證明).,. 五、對(duì)數(shù)變換法例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以。在式兩邊取常用?duì)數(shù)得設(shè) eq oac(,11)將式代入 eq oac(,11)式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入 eq oac(,11)式，得 eq oac(,12)由及 eq oac(,12)式，

8、得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、迭代法例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋杂?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。二 歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例二 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：，猜測(cè)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（略）反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測(cè)，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、換元法例13