2022年高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題(文理通用)之專題02函數(shù)零點問題

1、第 PAGE11 頁 共 NUMPAGES11 頁2022年高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題(文理通用)之專題02 函數(shù)零點問題專題二函數(shù)零點問題函數(shù)的零點作為函數(shù)、方程、圖象的交匯點，充分表達了函數(shù)與方程的聯(lián)絡(luò)，蘊含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想諸如方程的根的問題、存在性問題、交點問題等最終都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題進展處理，因此函數(shù)的零點問題成為了近年來高考新的生長點和熱點，且形式逐漸多樣化，備受青睞模塊1整理方法提升才能對于函數(shù)零點問題，其解題策略一般是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點對于兩個函數(shù)的選擇，有3種情況：一平一曲，一斜一曲，兩曲凸性一般要相反其中以一平一曲的情況最為常見別離參數(shù)法是處理零點問題的常見方法，

2、其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個函數(shù)；局部題目直接考慮函數(shù)的圖象與軸的交點情況，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個函數(shù)；局部題目利用零點存在性定理并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性處理零點，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個函數(shù)函數(shù)的凸性1下凸函數(shù)定義設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，假設(shè)對上任意兩點，總有，當且僅當時取等號，那么稱為上的下凸函數(shù)2上凸函數(shù)定義設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，假設(shè)對上任意兩點，總有，當且僅當時取等號，那么稱為上的上凸函數(shù)3下凸函數(shù)相關(guān)定理定理：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，那么為上的下凸函數(shù)為上的遞增函數(shù)且不在的任一子區(qū)間上恒為零4上凸函數(shù)相關(guān)定理定理：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，那么為上的上凸函數(shù)為上的遞減函數(shù)且不在的

3、任一子區(qū)間上恒為零例1函數(shù)1討論的單調(diào)性；2假設(shè)有兩個零點，求的取值范圍【解析】1，當時，所以，所以在上遞減當時，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增2法1：當時，由1可知，在上遞減，不可能有兩個零點當時，令，那么，所以在上遞增，而，所以當時，從而沒有兩個零點當時，于是在上有個零點；因為，且，所以在上有個零點綜上所述，的取值范圍為法2：令，那么，令，那么，所以在上遞增，而，所以當時，當時，于是當時，當時，所以在上遞增，在上遞減，當時，當時，假設(shè)有兩個零點，那么與有兩個交點，所以的取值范圍是法3：設(shè)，那么，于是，令，那么，令，那么，所以在上遞增，而，所以當時，當時，所以在上遞增，在上遞減，當時

4、，當時，假設(shè)有兩個零點，那么與有兩個交點，所以的取值范圍是法4：設(shè)，那么，于是令，那么有兩個零點等價于與有兩個交點因為，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，當時，是斜率為，過定點的直線當與相切的時候，設(shè)切點，那么有，消去和，可得，即，即令，顯然是增函數(shù)，且，于是，此時切點，斜率所以當與有兩個交點時，所以的取值范圍是法5：，令，那么有兩個零點與的圖象有兩個不同交點，所以兩個函數(shù)圖象有一個交點令，那么，由可得，由可得，于是在上遞減，在上遞增，而，所以，因此與相切于點，除切點外，的圖象總在圖象的上方由1可知，當時，將圖象上每一點的橫坐標固定不動，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，就得到了的圖象，此時與的圖象沒

5、有交點當時，的圖象就是的圖象，此時與的圖象只有1個交點當時，將圖象上每一點的橫坐標固定不動，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，就得到了的圖象，此時與的圖象有兩個不同交點綜上所述，的取值范圍是法6：，令，那么有兩個零點與的圖象有兩個不同交點，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，當時，由1可知，所以是下凸函數(shù)，而是上凸函數(shù)當與相切時，設(shè)切點為，那么有，消去，可得，即，即令，顯然是增函數(shù)，而，于是，此時切點，所以當與的圖象有兩個交點時，所以的取值范圍是【點評】函數(shù)零點問題，其解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點，三種方式中一平一曲、一斜一曲、兩曲最為常見的是一平一曲法1是直接考慮函數(shù)的圖象與軸的交點情況，法2是

6、別離參數(shù)法，法3用了換元，3種方法的本質(zhì)都是一平一曲，其中法3將指數(shù)換成了對數(shù)，雖然沒有比法2簡單，但是也提示我們某些函數(shù)或答應(yīng)以通過換元，降低函數(shù)的解決難度法4是一斜一曲情況，直線與曲線相切時的值是一個重要的分界值法5和法6都是兩曲的情況，但法6比法5要簡單，其原因在于法5的兩曲凸性一樣而法6的兩曲凸性相反函數(shù)零點問題對函數(shù)圖象說明的要求很高，如解法2當中的是先增后減且極大值，但和的狀態(tài)會影響的取值范圍，所以必需要說清楚兩個趨勢的情況，才能得到最終的答案例2設(shè)函數(shù)設(shè)，1求；2證明：在內(nèi)有且僅有一個零點記為，且【解析】1因為，所以由，得，所以【證明】2因為，由零點存在性定理可知在內(nèi)至少存在一個

7、零點又因為，所以在內(nèi)遞增，因此在內(nèi)有且只有一個零點由于，所以，由此可得，即因為，所以，所以，所以【點評】當函數(shù)滿足兩個條件：連續(xù)不斷，那么可由零點存在性定理得到函數(shù)在上至少有1個零點零點存在性定理是高中階段一個比擬弱的定理，首先，該定理的兩個條件缺一不可，其次，就算滿足兩個條件，也只能得到有零點的結(jié)論，終究有多少個零點，也不確定零點存在性定理常與單調(diào)性綜合使用，這是處理函數(shù)零點問題的一種方法例3函數(shù)1設(shè)是的極值點，求，并討論的單調(diào)性；2當時，證明：【解析】1，由是的極值點，可得，解得于是，定義域為，那么，所以在上遞增，又因為，所以當時，當時，所以在上遞減，在上遞增【證明】2法1：定義域為，于是

8、在上遞增又因為當時，當時，所以在上有唯一的實根，當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，獲得最小值由可得，即，于是當時，；當時，等號成立的條件是，但顯然，所以等號不成立，即綜上所述，當時，法2：當，時，于是，所以只要證明，就能證明當時，于是在上遞增又因為，所以在上有唯一的實根，且當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，獲得最小值由可得，即于是，于是綜上所述，當時，法3：當，時，于是，所以只要證明，就能證明當時，由可得，又因為，且兩個不等號不能同時成立，所以，即，所以當時，【點評】法1與法2中出現(xiàn)的的詳細數(shù)值是無法求解的，只能求出其范圍，我們把這種零點稱為“隱性零點”法2比法1簡單，

9、這是因為利用了函數(shù)單調(diào)性將命題加強為，轉(zhuǎn)化為研究一個特例函數(shù)的問題，從而大大降低了題目的難度法2中，因為的表達式涉及、，都是超越式，所以的值不好計算，由此，需要對“隱性零點”滿足的式子進展變形，得到兩個式子和，然后進展反代，從而將超越式轉(zhuǎn)化為初等式“反代”是處理“隱性零點”問題的常用策略法3使用了與、有關(guān)的常用不等式，證明過程相當快捷簡單由于，且、的凸性相反，因此我們可以尋找兩個函數(shù)的公切線實現(xiàn)隔離放縮，事實上，就是、兩個函數(shù)的公切線不等式證明問題詳見專題四模塊2練習穩(wěn)固整合提升練習1：設(shè)函數(shù)1討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；2證明：當時，【解析】1的定義域為，的零點的個數(shù)的根的個數(shù)與在上的交點的個

10、數(shù)因為，所以在上遞增，又因為，時，所以當時，與沒有交點，當時，與有一個交點綜上所述，當時，的零點個數(shù)為，當時，的零點個數(shù)為【證明】2由1可知，在上有唯一的零點，當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，獲得最小值，且最小值為因為，所以，所以練習2：設(shè)函數(shù)為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)1當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2假設(shè)函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍【解析】1函數(shù)的定義域為，當時，所以當時，當時，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為2函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點在內(nèi)有兩個不同的根法1：問題在內(nèi)有兩個不同的根設(shè)，那么當時，所以在上遞增，所以在內(nèi)不存在兩個不同的根當時，由可得，由可得，所以的最小值為在內(nèi)有兩個不同的根，解得綜上所述，的取值范圍為法2：問題在內(nèi)有兩個不同的根與在內(nèi)有兩個不同的交點，當時，當時，當時，畫出在內(nèi)的圖象，可知要使與在內(nèi)有兩個不同的交點，的取值范圍為練習3：函數(shù)和，直線：過點且與曲線相切1求切線的方程；2假設(shè)不等式恒成立，求的最大值；3設(shè)，假設(shè)函數(shù)有唯一零點，求證：【解析】1設(shè)直線與函數(shù)相切于點，那么切線方程為，即，因為切線過點，所以，解得，所以切線的方程為2設(shè)，當時，當時，所以在時